最新苏科版数学八年级上册《等腰三角形的轴对称性(第3课时》同步练习(精品同步试题).doc

2. 5 等腰三角形的轴对称性课时1 等腰三角形知识点1 等腰三角形的性质1. 如图，在ABC ∆中AB AC =，过点A 作//AD BC ，若170∠=︒，则BAC ∠的大 小为( )A.30︒B.40︒C.50︒D.70︒2. 如图，在ABC ∆，点D 在BC 上，下列四个命题正确的有( )①若AB AC =，则B C ∠=∠②若AB AC =，12∠=∠，则AD BC ⊥，BD DC =③若AB AC =，BD DC =，则AD BC ⊥，12∠=∠④若AB AC =，AD BC ⊥，则BD DC =，12∠=∠A.1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 在等腰三角形中，一个外角的度数为100°，则不与该外角相邻的两个内角的度数分别为( )A.40°，40°B. 80°，20°C.50°，50°D. 50°，50°或80°，20°4. 如图，在ABD ∆中，C 为BD 上一点，AD BC BA ==，则下列各式正确的是 ( )A. 122∠=∠B. 212180∠+∠=︒C. 132180∠+∠=︒D. 312180∠-∠=︒5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为( )A. 45°或135°B.45°C.135°D.90°6. 如图，在ABC ∆中，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ，CF 是ACD ∆的中线，CE 是ACB ∠的平分线.求证: CE CF ⊥.7. 如图，点D ，E 是ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =，BD 与CE 相等吗?请说明你的理由.知识点2 等腰三角形的判定8. 在ABC ∆中，已知下列条件，能判定ABC ∆为等腰三角形的是( )A. 40A ∠=︒，50B ∠=︒B. 40A ∠=︒，60B ∠=︒C. 20A ∠=︒，80B ∠=︒D. 40A ∠=︒，80B ∠=︒9. 如图，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有 A.4个 B. 3个C. 2个D. 1个 10. 如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E .求证:(1)BD DF =;(2) ADE ∆的周长等于AB AC +.11. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，点E 在CA 的延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F .(l)求证: E AFE ∠=∠;(2)若3AF =，5BF =，求CE 的长，并写出ABC ∆周长的取值范围.【精选作业】1. 如图，在PAB ∆中，PA PB =，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM BK =，BN AK =，若44MKN ∠=︒，则P ∠的度数为( )A. 44°B. 66°C. 88°D. 92° 2. 如图，在ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD .则下列结论错误的是( )A. 2C A ∠=∠B. BD 平分ABC ∠C. BCD BOD S S ∆∆=D. BD BC =3. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是( )A. AD CD =B. A DCE ∠=∠C. ADE DCB ∠=∠D. 2A DCB ∠=∠4. 如图，在ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 是ABC ∠的平分线.若在边AB 上截取BE BC =，连接DE ，则图中的等腰三角形共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 5. 已知,,a b c 为ABC ∆的三边长，且()()()0a b a c b c ---=，则ABC ∆一定是 .6. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，点,,D E F 分别在,,BC AB AC 上，且DE BE =，DF DC =，若40A ∠=︒，则EDF ∠的度数为 .7. 如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO延长线上的一点，10OA =cm ，动点P 从点A 出发沿AB 以2 cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1 cm/s 的速度移动，点P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = 时，POQ ∆是等腰三角形.8. 如图，已知点,A C 分别在,BG BE 上，且AB AC =，//AD BE ，GBE ∠的平分线与AD 交于点D ，与AC 交于点F .连接CD .(1)求证:①AB AD =;②CD 平分ACE ∠.(2)猜想BDC ∠与BAC ∠之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.9. 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，,D E 分别在边,BC AC 上，AD DE ⊥，且AD DE =.点F 是AE 的中点，FD 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，连接CM .(1)求证: FMC FCM ∠=∠;(2)AD 与MC 垂直吗?请说明理由.10. 如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 为BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，作40ADE ∠=︒ ，DE 交AC 于点E .(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠= ，DEC ∠= ，点D 从点B 向点C 运动的过程中，BDA ∠逐渐变 ;(填“大”或“小”)(2)当DC 的长为多少时，ABD DCE ∆≅∆，并给予证明;(3)在点D 的运动过程中，ADE ∆可以是等腰三角形吗?若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由.11. 问题情境:将一副直角三角板Rt ABC ∆和Rt DEF ∆按图1所示的方式摆放，其中90ACB FDE ∠=∠=︒，CA CB =，O 是AB 的中点，点D 与点O 重合，DF AC ⊥于点M ，DE BC ⊥于点N ，试判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由. 探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:OM ON =，理由如下:连接CO ，则CO 是AB 边上的中线，∵CA CB =，∴CO 是ACB ∠的平分线，(依据1)∵OM AC ⊥，ON BC ⊥，∴OM ON =.(依据2)反思交流:(1)①依据1是 ;②依据2是 ;(2)你有与小宇不同的方法吗?请写出你的方法;(3)将图1中的Rt DEF ∆沿着射线BA 的方向平移至如图2的位置，使点D 落在BA 的延长线上，FD 的延长线与CA 的延长线相交于点M ，且FM CM ⊥，BC 的延长线与DE 相交于点N ，且BN DE ⊥，连接OM ，ON ，试判断线段OM ，ON 的数量关系和位置关系，并说明理由.2. 5等腰三角形的轴对称性课时1等腰三角形1.B2.D3.D4.B5.A6. ,CD CA CF =是ACD ∆的中线，CF ∴是ACD ∠的平分线，ACF DCF ∴∠=∠ CE 是ACB ∠的平分线,90ACE ACF ∴∠+∠=︒CE CF ∴⊥7. BD CE =8.C 9.B10. (1) BF 是ABC ∠的平分线，ABF FBC ∴∠=∠//,DE BC FBC BFD ∴∠=∠DBF DFB ∴∠=∠DB DF ∴=(2)由(1)知DB DF =，同理可得CE EF =.DE DF EF =+DE DB CE ∴=+ADE ∴∆的周长为AB AC +.11.(1) ,AB AC B C =∴∠=∠,,90,90EP BC C E B BFP ⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒E BFP ∴∠=∠又BFP AFE ∠=∠,E AFE ∴∠=∠.(2) 11CE =,16<ABC ∆的周长<32.【精选作业】1.D2.C3.D4.D5. 等腰三角形6. 70°7.103或10 8. (1)①//,AD BE ADB DBC ∴∠=∠, BD 平分,GBE ABD DBC ∠∴∠=∠,,ABD ADB AB AD ∴∠=∠∴=②//,AD BE ADC DCE ∴∠=∠,由①知AB AD =,又,AB AC AC AD =∴=,,ACD ADC ACD DCE ∴∠=∠∴∠=∠,CD ∴平分ACE ∠. (2) 12BDC BAC ∠=∠ 9. (1)由题意，知ADE ∆是等腰直角三角形，又F 是AE 的中点，DF AE ∴⊥，易得DF AF EF ==.90,ABC DF AE ∠=︒⊥90,90DCF MAC AMF MAC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，DCF AMF ∴∠=∠.又90,DFC AFM DF AF ∠=∠=︒=,()DFC AFM ASA ∴∆≅∆，CF MF ∴=,FMC FCM ∴∠=∠(2) AD MC ⊥10.(1)25° 115° 小(2)当DC =2时(3)在点D 的运动过程中，ADE ∆可以是等腰三角形，此时BDA ∠的度数为110°或80°11. (1)①等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)②角平分线的性质(或角平分线上的点到角两边的距离相等)(2)有.方法如下:,CA CB A B =∴∠=∠. O 是AB 的中点，OA OB ∴=. ,,90DF AC DE BC AMO BNO ⊥⊥∴∠=∠=︒.在OMA 和ONB ∆中，OA OB A B AMO BNO =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩(),OMA ONB AAS OM ON ∴∆≅∆∴=(3),OM ON OM ON =⊥1、Be honest rather clever 20.7.157.15.202017:4617:46:12Jul-2017:462、By reading we enrich the mind; by conversation we polish it.二〇二〇年七月十五日2020年7月15日星期三3、All things are difficult before they areeasy.17:467.15.202017:467.15.202017:4617:46:127.15.202017:467.15.20204、By other's faults, wise men correct theirown.7.15.20207.15.202017:4617:4617:46:1217:46:125、Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. So let us seize it, not in fear, but in gladness. Wednesday, July 15, 2020July 20Wednesday, July 15, 20207/15/20206、I have no trouble being taken seriously as a woman and a diplomat [in Ghana].。

苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》同步练习题-带答案一、单选题1．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△CAB=36°，以C 为原点，C 所在直线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M 使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．如图，等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ．点P 是BA 延长线上一点，O 点是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：△AC 平分△PAD ；△△APO=△DCO ；△△OPC 是等边三角形；△AC=AO+AP.其中正确结论的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，在四边形ABCD 中，△BAD ＝△BCD ＝90°，△ADC =45°，BD =2a ，E 为BD 中点，给出下列结论：△AE =a ， △△CAE =45°，△AC = 2a ，△取AC 的中点F ， 则EF △AC ， 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在ABC 中，AB=AC ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=（ ）A．40︒B．50︒C．20︒D．30︒∠的度数为（）5．如图，ABC中，已知AB AC=，DE垂直平分AC，40∠=︒则BCDAA．15︒B．30︒C．50︒D．65︒6．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且△EBF＝100°，△EAF＝70°，则△AEB等于() A．95°B．15°C．95°或15°D．170°或30°7．等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（）A．65°B．80°C．50°或65°D．50°或80°8．已知等腰三角形的一个内角是50︒，则这个三角形顶角的度数是（）A．130︒B．50︒C．80︒D．50︒或80︒⊥于D点，点E、F分别是AD的三等分点，若ABC的面积为9．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC18，则图中阴影部分面积为（）A．6B．8C．9D．10∠，若AB=m，10．如图，ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高，E是BA延长线上一点，AC平分DAEBC=p，BD=q，则下列等式一定成立的是（）A ．m q p +=B ．2m q p +=C ．2m q p +=D ．12q m p +=二、填空题11．在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED =EC ，若三角形ABC 的边长为1，AE =2，则CD 的长为 ．12．若等腰三角形的周长为30cm ，一边长为6cm ，则腰长为 ．13．如图，CA 1是等腰Rt △ABC 斜边AB 上的高，以CA 1为直角边构造等腰Rt △CA 1B 1（点C ，A 1，B 1按顺时针方向排列），△A 1CB 1＝90°，称为第一次构造；CA 2是Rt △CA 1B 1斜边上的高，再以CA 2为直角边构造等腰Rt △CA 2B 2（点C ，A 2，B 2按顺时针方向排列），△A 2CB 2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n 次构造的Rt △CAnBn 的边CBn 与△ABC 的边CB 第二次重合时，构造停止，若S △ABC ＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为 ．14．等腰三角形的一个角的度数是36︒，则它的底角的度数是 ．15．如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，EF AB ⊥于点F ，若5EF =，则ED 的长度为 ．三、解答题16．已知等腰三角形的周长为15cm ，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm 的两个三角形，求等腰三角形的腰长．17．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒,OA OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动、C 点固定OC CD DE ==点D E 、可在槽中滑动．若75BDE ∠=︒，请求出CDE ∠的度数．18．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD//BC ，G 为CD 上一点，连接AG ，BG ．△若AG 平分DAB ∠，BG 平分ABC ∠，求AGB ∠的度数；△若90ABC ∠=︒，AD+BC=AB ，G 为CD 中点，求证：ABG 为等腰直角三角形；（2）某工程队需要在A ，B 两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图2，甲工人从C 点直走到树A 处，然后向右转90后再直走一段路等于AC 的长度到点D 处；乙工人从C 点直走到树B 处，然后向左转90后再直走一段路等于BC 的长度到点E 处．工程队队长打算把八角亭建在DE 的中点G 处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点C ，正当大家懊恼时，队长说：别急，只要找到A ，B 两棵树连线的中点F ，由点F 引AB 的垂线，再往A ，B 两棵树前方量出AB 的长度的一半，就能找到之前的G 点（如图3所示）．你觉得队长的方法对吗？为什么？19．如图，一条船上午6时从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B 处，分别从A ，B 处望灯塔C ，测得30NAC ∠=︒ 60NBC ∠=︒．(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？20．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，但同学们给出了以下建议：(1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，，DO=BO，最后测出CD的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理延长BO至点D，使CO AO由；(2)由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得∠EOC=65°，∠C=80°，∠OEF=145°，CF=127m，EF=78m，请求出该建筑物两端A，B之间的距离．参考答案1．C2．B3．D4．D5．B6．C7．A8．D9．C10．B11．1或3/3或112．12cm13．1612 14．36︒或72°15．516．4cm 或6cm17．80︒18．（1）△90︒△略；（2）队长说法正确，略 19．(1)海岛B 到灯塔C 的距离为30海里(2)上午9时小船与灯塔C 的距离最短 20．(1)甲同学的方案可行；略(2)该建筑物两端A ，B 之间的距离为205m ．。

初中数学苏科版八年级上册第二章2.5等腰三角形的轴对称性同步练习一、选择题1.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，如果∠BEC=80°，那么∠GHE等于()A. 5°B. 10°C. 20°D. 30°AB，则下列结论2.如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=12错误的是()A. AD=BDB. CD=BDC. △ABC是直角三角形D. ∠B=60°3.如图，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是()A. 20°B. 35°C. 40°D.70°4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°5.有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是()A. 3cmB. 6cmC. 10cmD. 12cm6.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为()A. 13B. 17C. 13或17D. 13或107.若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为()A. 2B. 3C. 4D. 2或48.如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，若AB=10，BD=6，则△ADE的周长为()A. 4B. 30C. 18D. 129.已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有()A. 3条B. 5条C. 7条D. 8条10.等腰△ABC的底角若为顶角的1，过底边上的一点D作底边BC的垂线交AC于点E，4交BA的延长线于点F，则△AEF是()A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰但非等边三角形二、填空题11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=3，则BC的长为________．12.如图，在△ABO中，∠AOB=90°，C是AB的中点，若AB=10cm，则OC=_______；若OC=2.5cm，则AB=_______。

2.5 等腰三角形的轴对称性（1）一、选择题1．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为 ( )A．80° B．50° C．40° D．20°2．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 ( )A．16 B．18 C．20 D．16或203．如图，点C在AD上，AC=BC，∠A=25°，则∠BCD的度数为 ( )A．25° B．40° C．50° D．80°4．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为 ( ) A．20° B．25° C．30° D．40°5．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于 ( )A．90° B．75° C．70° D．60°x +(y－8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是6．已知实数x，y满足4( )A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对二、填空题7．如图，AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= °．8．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= °．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF= 度．10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是．11．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的数量关系是．12．如图，在第1个△ABA1中，∠B=20°, AB=A1 B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1 A2=A1C；在A2 C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2 D……按此做法进行下去，第n个三角形的以A n为顶点的内角的度数为．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于28°，则顶角为．三、解答题14．如图，已知在△ABC中，AB=AC，M是边BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的点，且BD=CE，求证：MD=ME．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．(1) 求∠ECD的度数；(2) 若CE=5，求BC长．16．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．17．如图①，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．(1) 求证：BE=CE；(2) 如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF．18．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E， AB=10 cm，且△ABD的周长为23 cm．求△ABC的周长．19．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交AD于点E，交BC的延长线于点F．求证：∠B=∠CAF．参考答案1．B 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B 7．44° 8．40° 9．50 10．3011．∠1－∠2=180° 12．80×(12)n-113．62或118° 14．略 15．∠ECD =36° BC =5 16．略 17．证明：(1) ∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE =∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△ABE ≌ACE(SAS)，∴BE=CE ； (2) ∵∠BAC =45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF +∠C =90°，∵BF ⊥AC ，∴∠CBF +∠C =90°，∴么EAF =∴CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BF AFE BFC ∠=∠=∠=∠=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴ △AEF ≌△BCF (ASA)． 18．33 19．略2.5 等腰三角形的轴对称性（2）一、选择题1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为 ( )A．70° B．80° C．40° D．30°2．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的值为 ( )A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，M为BC的中点．已知EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 ( )A．21 B．18 C．13 D．154．若a，b，c是三角形的三条边，且满足a2+ac=ab+bc，则该三角形的形状为． ( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形5．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( )A．6条 B．7条 C．8条 D．9条6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ( )A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题7． (1) 如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△是等腰三角形；(2) 如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△是等腰三角形；(3) 如图③，若AD平分∠BAC，CE∥AB，交AD的延长线于点E，则△是等腰三角形；(4) 如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EC，EG交AB于点F，则△是等腰三角形．8．如图，B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，则∠FEM 度数是 .9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为°．10．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B= .11．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10 cm，动点P从点C出发沿CB以2 cm ／s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1 cm／s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t (s)表示移动的时间，当t= 时，△POQ是等腰三角形．三、解答题12．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：(1) ∠EDC=∠ECD；(2) OC=OD；(3) OE是线段CD的垂直平分线．13．已知：如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：(1) DM=BM；(2) MN⊥BD．14．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC=10，EF=4．(1) 求△MEF的周长；(2) 若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求△EFM的三个内角的度数．15．如图，在△ABC中，M，N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．求证：MN⊥EF．16．如图①，在△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．(1) 图中有几个等腰三角形? 猜想：EF与BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2) 如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗? 如果有，分别指出它们在第(1)问中EF与BE，CF间的关系还存在吗?(3) 如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE ∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗? EF与BE，CF关系又如何?说明你的理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．△ACE △ADE△ACE △AEF8．100° 9．60° 10．65°或25° 11．10或10312．证△EDO≌△ECO(AAS)得出OC=OD，ED=EC→∠EDC=∠ECD，∴EO垂直平分DC，则OE是CD的中垂线． 13．略 14．(1) △MEF周长为14．(2) 三个内角度数分别为40°，70°，70°15．证明：如图，连接MF，ME，∵MF，ME分别为Rt△FBC是和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF=ME=12BC，在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF．16．(1) 图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；(2) 还有两个等腰三角形，为△BEO，△CFO，如图②所示，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在． (3)有等腰三角形：△BEO，△CFO，此时EF=BE－CF，∵如图③所示，OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE=EO，OF=FC，∴BE=EF+FO=EF+CF，∴EF=BE－CF．2.5 等腰三角形的轴对称性（3）一、选择题1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是 ( )A．180° B．220° C．240° D．300°2．如图，等边△ABC的边长为1，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 ( ) A．2 B．4 C．3 D．2．53．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高是2，则DE+DF的值为 ( )A．2 B．4 C．3 D．2．55．如图，在等边三角形ABC中，中线AD，BE相交于点O，图中的等腰三角形有 ( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6．点P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是 ( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空题7．在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB= °，∠BAD= °．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．9．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是．10．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= ．11．若∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，OP1，OP2，则△OP1P2是三角形．12．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为．三、解答题13．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．(1) 求证：DE=DF；(2) 当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．15．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC_上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P．(1) 求证：CE=BF；(2) 求∠BPC的度数．16．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．(1) 试判定△ODE的形状，并说明你的理由．(2) 线段BD，DE，EC三者有什么关系? 写出你的判断过程．17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．18．如图，在正方形ABCD中，△EAD为等边三角形，则∠EBC= ．19．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．(1) 求证：ACOD是等边三角形；(2) 当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3) 当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?参考答案1．C 2．C 3．C 4．A 5．D 6．A 7．90° 30 8．15 9．∠BAP=∠CPD∠APB=∠PDC 10．45 11．等边 12．6 13．(1) ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠ADB=∠AEC=60°．∴∠EAD=60°，∴△AED是等边三角形． 14．略 15．(1)略 (2) ∠BPC=120° 16．(1)△ODE是等边三角形 (2) BD=DE=EC 17．∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=160°，BC=AC，DC=EC．∴∠BCA－∠ACD=∠DCE－∠ACD，即∠BCD=∠ACE．∴△DBC≌△EAC (SAS)．∴∠DBC=∠EAC．又∵∠DBC=∠ACB=60°，∴∠ACB=∠EAC．∴AE∥BC． 18．(1) ∵△ADC≌△BOC，∴DC=OC，∠DCA=∠OCB．∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°．∴∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°．∴△COD是等边三角形 (2) 当α=150°时，△AOD 是直角三角形理由：∵△ADC≌△BOC，∴∠ADC=∠BOC=150°．又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90。