函数展开成幂级数讲解

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简明微积分函数展开为幂级数

解： f (n)(x) ex,
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为，)
对于任x、何 (0有 1 限 ) 数
第五节函数展开成幂级数
一、泰勒级数二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]

高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式

n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为

展开成x的幂级数.解

直接得到函数展开成幂级数的结果。
适用范围
适用于已知函数具有幂级数形式的简单函数，如正弦函数、余弦函数等。
举例
将函数f(x)=1/(1+x)展开成x的幂级数，得到f(x)=x^(-1)-x^(-2)+x^(3)-x^(-4)+...。
间接法
定义
间接法是指通过已知函数的幂级数展开式，利用函数的运算性质和幂级数的运算法则，推导出其他函数的幂级数展开式。
在近似计算中的应用
幂级数展开在近似计算中也有广泛应用。通过将一个复杂函数展开成幂级数，可以快速地近似计算函数的值，提高计算效率。
例如，在科学计算、工程技术和数值分析等领域中，幂级数展开被广泛应用于近似计算和数值模拟。
04
幂级数展开的收敛性讨论
幂级数展开的收敛半径
01
02
03
幂级数展开的收敛半径是指，当 x在某一定值范围内时，幂级数展开式是收敛的。
幂级数展开的性质
01
幂级数展开具有唯一性，即一个函数只能展开成唯一的幂级数。
02
幂级数展开具有收敛性，即幂级数在一定区间内收敛于函数值。
幂级数展开具有可导性，即函数的幂级数展开式在一定区间内
03
可导。
02
幂级数展开的常用方法
直接法
定义
直接法是指通过将函数进行逐项展开，并利用幂级数的运算法则，
05
幂级数展开的实例分析
二项式定理的幂级数展开
二项式定理的幂级数展开式为：(a+b)^n的展开式为：a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n1) + b^n。

11-5函数展开成幂级数

an
f ( n) (0) n!

n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0

收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0

且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n

11函数展开成幂级数解读

0
x
x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )
得 ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),
即
ln s( x ) ln(1 x ) ,

s( x ) (1 x ) , x ( 1,1)
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n! 牛顿二项式展开式注意: 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
xs( x ) x ( 1) x
2
( 1)( n 1)
( n 1)!
xn
利用
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) ( n 1)! n! n!
x x0 lim 0, 故 lim Rn ( x ) 0, n ( n 1)! n x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1) 求a n
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合等方法,求展开式. 例如 cos x (sin x )

数学物理方法课件解析函数的幂级数展开

幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入积分方程中求解系数，最后得到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入积分方程中求解系数a_n，得到解。
THANKS
感谢观看
幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会逐渐增大。
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无穷级数的方式，其中每一项都是该函数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得到微分方程的解。

精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义

,
f (n)(0) (1)n1(n 1)! ,
所以 ln(1 x)的麦克劳林级数是
x x2 x3 x4 (1)n1 xn .
(5)
234
n
用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径 R 1, 且当 x 1 时收敛, x 1 时发散, 故级数(5)的收敛域是 (1, 1]. 下面讨论在 (1, 1] 上它的余项的极限. 当 0 x 1 时, 对拉格朗日型余项, 有
x n1 (0
1).
显见
|
Rn (
x)
|
e|x| (n 1)!
|
x
|n1
.
y
对任何实数 x, 都有
6
lim e|x| | x |n1 0,
4
n (n 1)!
2
因而
lim
n
Rn
(
x)
0.
1 O 2
y ex
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 1 xn , x (, ).
x)(1
)n
x n1 , 0
1.
二、初等函数的幂级数展开式
例2 求k次多项式函数 f ( x) c0 c1x c2 x2
的幂级数展开式. 解由于
ck xk
f
(
n
)
(0)
n!cn , 0,
n k, n k,
总有
lim
n
Rn
(
x
)
0,
因而
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
充分条件是: 对一切满足不等式 | x x0 | r的 x , 有
lim

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。

幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。

幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。

下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。

1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。

2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。

幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。

此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。

在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。

总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。

-函数展开成幂级数

1 2 1 ln( 2 1) .
2 n1 2n 1
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.
就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性.
,
(| x|1).
例2
求
2n 1 n1 2n
之值.

n1
2n 1 2n

n1
2n 1 2n
xn

x1
符合积
分

n1
2n 1 2n

n1
2n 1 2n
x2n

x1
要求了

n1
2n 1 2n
x2 2n
n1

1

n 1
x 2n2

1
x2

x4

1 1 x2
,
故
x2n1 n1 2n 1
x1 01 x2
d
x

1 2
x 0

x
1 1

x
1 1
d
x
1 ln1 x , ( | x | 1) . 2 1 x
例3
f (n1) ( ) xn1 | e | x |
(n 1) !
| x |n1 (n 1) !
因为
lim an 0 n n !
( 在 0 与x 之间)

2 x2 (2 x2 )2

3.
x1

高等数学11-4函数展开成幂级数

1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )

1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性设 f ( x )能展开为泰勒级数

i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),

n0

f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n

n0

(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)

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