2018届高考数学二轮复习 平面向量的数量积专题

ab
(5)cos〈a,b〉= a b .
3. 向量数量积的运算律
(1)a·b= b·a(交换律);
(2)(λa)·b= a·(λ=b) λ(a数·b乘) 结合律);
(3)(a+b)·c= a·c+b·c
(分配律).
4. 平面向量数量积的坐标表示
a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)a·b=x1x2+y；1y(22)|a|=
解：由已知,a·b=4×8×-（ 1）=-16. (1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2 2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|= 4 .3 ∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64 =3×162,∴|4a-2b|= 16 .3 (2)若(a+2b)⊥(ka-b),则 (a+2b)·(ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0, 即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.
5. (教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k= ;若12 a⊥b，则k= .1
3
解析：若a∥b，则1×k－6×2＝0，∴k＝12.
若a⊥b，则a·b＝0，∴1×2＋6×k＝0，∴k＝
1 3
.
经典例题
题型一 平面向量的数量积
【例1】已知a,b是非零向量. （1）若a⊥b，判断函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)的奇偶性； （2）若f(x)为奇函数，证明：a⊥b.
第三节 平面向量的数量积及平面 向量的应用举例
基础梳理
1. 平面向量的数量积

AD2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD＝ 7，
∴cos ∠ADB＝21×＋17×－97＝－147，
∴A→D·B→C＝
7×3×cos
∠ADB＝3
7×－
147＝－32.故选
B.
答案 (1)D (2)B
数量积的应用解题方略 数量积应用的重点类型及解法
重点类型
解决方法
求模的公式：①定义法：|a|＝ a2；②坐
2.平面向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义 |a||b|cos a，b 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)， 记作 a·b＝ |a||b|cos a，b .可见，a·b 是实数，可以等于
正数、负数、零.其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向
上(b 在 a 方向上)的投影. (2)向量数量积的运算律
求向量的模
标公式：|a|＝ x2＋y2，除以上两个公式
外，还可运用数量积的计算公式列方程 求解.
(1)向量夹角的范围：[0，π].
求向量的夹角 (2)向量夹角的计算公式：cos θ＝|aa|·|bb|.
利用向量垂 (1)两向量垂直的充要条件是 a·b＝0. 直的充要条 (2)利用(1)中的条件可以构造方程(组)，解 件求参数 之可求其中的参数值.
(2)由|a＋b|＝|a－b|可知 a⊥b， 设A→B＝b，A→D＝a，作矩形 ABCD， 可知A→C＝a＋b，B→D＝a－b. 设 AC 与 BD 的交点为 O，结合题意可知 OA＝OD＝AD，∴∠AOD＝π3 ，∴∠DOC＝2π 3 ， 又向量 a＋b 与 a－b 的夹角为A→C与B→D的夹角，故所求夹角为 2π 3 ，故选 D .
解 (1)由题意得 f(x)＝－2sin2x＋2 3sin x·cos x

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题5 平面向量 第32练 平面向量的数量积练习 理训练目标 (1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型 (1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．解题策略 (1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cos θ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a |2＝a ·a ，灵活运用数量积的运算律.1．(2017·玉溪月考)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →＝________. 3．(2016·镇江模拟)在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，AB ＝4，AC ＝3，则AD →·BC →＝________.4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →＝________.5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．6．(2015·安徽改编)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列正确结论的个数为________． ①|b |＝1；②a ⊥b ；③a ·b ＝1；④(4a ＋b )⊥BC →.7．(2015·福建改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________．8．(2016·吉林长春质检)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，|a －t b|b ||的取值范围是________．9．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________.10．(2016·浙江余姚中学期中)已知OA →与OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λ OA →＋μOB →，若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．(2016·盐城模拟)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，且AC 2－2AC ＋AB 2＝0，则BC →·AO →的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为半径OP ，OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，则AM →·AN →的取值范围是________．14．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t (t ＞0)时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________．答案精析1.3π42.13.－72 4.5 5．4解析 由题意可得a·b＝3cos θ－sin θ ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b|＝2a －b2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为4. 6．1解析 如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a ＋b)·BC →＝(4a ＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥BC →，故正确结论只有④. 7．13 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时取等号．8．[1，13]解析 由题意，b |b|＝(0,1)，∴|a－t b|b||＝|(1，3)－t (0,1)|＝|(1，3－t )| ＝1＋3－t2＝t －32＋1.∵t ∈[－3，2]， ∴t －32＋1∈[1，13]，即|a －t b|b||的取值范围是[1，13]．9.56 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)． 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3λ－1，即点E (λ，3(λ－1))． 由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝31－μ.即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.10．2 3解析 由题意得OA →·OB →＝2 3.因为OP →＝λOA →＋μOB →，所以OP →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ.又因为λ＋3μ＝2，所以λ＝2－3μ，所以OP →2＝4(2－3μ)2＋12μ2＋43(2－3μ)μ＝4(3μ－1)2＋12，所以当3μ－1＝0，即μ＝33时，|OP →|min ＝2 3. 11．－89解析 由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CB →＋12CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－29CB →2－14CA →2＋12CB →·CA →＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．[－14，2)解析如图．设BC 的中点为D ，则BC →·AO →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(－AB →＋AC →) ＝12(|AC →|2－|AB →|2)． 设|AC →|＝b ，|AB →|＝c ，则b 2－2b ＋c 2＝0， 所以BC →·AO →＝12(b 2＋b 2－2b )＝b 2－b .又b 2－2b ＝－c 2＜0，所以0＜b ＜2. 所以BC →·AO →∈[－14，2)．13．[32，52]解析 建立如图所示的平面直角坐标系，连结AO ，设∠AOQ ＝θ，则A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)． 由已知得M (－12，32)，N (1,0)，则AM →＝(－12－2cos θ，32－2sin θ)，AN →＝(1－2cos θ，－2sin θ)，所以AM →·AN →＝(－12－2cos θ)(1－2cos θ)＋(32－2sin θ)·(－2sin θ)＝72－2sin(θ＋30°)，因为0°≤θ≤120°， 所以30°≤θ＋30°≤150°， 故12≤sin(θ＋30°)≤1， 所以32≤AM →·AN →≤52.14．1 －58解析 因为|xAB →＋yAC →| ＝x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方， 得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0， 则Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，则cos A (cos A －1)≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2. 当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22(2x ＋y )满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt△ABC 中，取BC 的中点D ，连结PD ， 则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →＜0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×⎝⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－58，即有最小值为－58.。

第3讲 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念【1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ【0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.【2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积【或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.【3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝【x 1，y 1)，b ＝【x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.【1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.【2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.【3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.【5)|a ·b |≤|a ||b |【当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律【1)a ·b ＝b ·a 【交换律).【2)λa ·b ＝λ【a ·b )＝a ·【λb )【结合律).【3)【a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c 【分配律).诊 断 自 测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”)【1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.【 ) 【2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.【 )【3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.【 )【4)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角.【 )【5)a ·b ＝a ·c 【a ≠0)，则b ＝c .【 )解析 【1)两个向量夹角的范围是[0，π].【4)若a ·b >0，a 和b 的夹角可能为0；若a ·b <0，a 和b 的夹角可能为π.【5)由a ·b ＝a ·c 【a ≠0)得|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 【1)× 【2)√ 【3)√ 【4)× 【5)×2.【2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝【1，－1)，b ＝【－1，2)，则【2a ＋b )·a 等于【 )A.－1B.0C.1D.2解析 因为a ＝【1，－1)，b ＝【－1，2)，所以2a ＋b ＝2【1，－1)＋【－1，2)＝【1，0)，得【2a ＋b )·a ＝【1，0)·【1，－1)＝1，选C.答案 C3.【2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且【a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.解析 因为【a －b )⊥a ，所以【a －b )·a ＝|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3－23×cos〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32，由于〈a ，b 〉∈[0，π].则向量a ，b 的夹角为π6.答案 π64.【2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________.解析 ∵|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋2|a ||b |cos 2π3＋1＝4－2＋1＝3，∴|a ＋b |＝ 3.答案 35.【必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.答案 －26.【2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝【1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________.解析 ∵【a ＋b )⊥【a －2b )，∴【a ＋b )·【a －2b )＝0，即|a |2－a ·b －2|b |2＝0，∴5－a ·b －2＝0，∴a ·b ＝3，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝355.答案 3 355考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 【1)【2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB→|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→等于【 ) A.20 B. 15 C.9 D.6【2)【2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC→的值为【 ) A.－58 B.18 C.14 D.118解析 【1)取AB →，AD →为一组基底.∵BM →＝3MC →，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14【4AB →＋3AD →)·112【4AB →－3AD →)＝148【16AB →2－9AD →2)＝148【16×62－9×42)＝9，选C.【2)法一 如图所示，根据已知得，DF →＝34AC →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →，BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝错误!·【错误!－错误!)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →＝34－12－14×1×1×cos 60°＝18.故选B. 法二 建立如图所示的平面直角坐标系.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC →＝【1，0). 易知DE ＝12AC ，∠FEC ＝∠ACE ＝60°，则EF ＝14AC ＝14，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38， 则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538， 所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·【1，0)＝18. 故选B.答案 【1)C 【2)B规律方法 【1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.【2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 【1)【2017·义乌市调研)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13BC →，则AE →·BD →＝________.【2)【2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________. 解析 【1)法一 因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13【AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋12AC →.因为AB ⊥AC ，所以AB →·AC →＝0，所以AE →·BD →＝错误!·错误!＝－错误!|错误!|2＋ 16|AC →|2＝－23×22＋16×22＝－2. 法二 建立如图所示的平面直角坐标系，则A 【0，0)，B 【2，0)，D 【0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，BD →＝【－2，1)，所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23·【－2，1)＝43×【－2)＋23×1＝－2.【2)法一 如图，DE →·CB →＝【DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB→＝DA →2＝1，DE →·DC →＝【DA →＋AE →)·DC→ ＝DA →·DC →＋AE →·DC→ ＝AE →·DC →＝|AE →|·|DC→|≤|DC →|2＝1. 法二 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A 【0，0)，B 【1，0)，C 【1，1)，D 【0，1)，设E 【t ，0)，t ∈[0，1]，则DE→＝【t ，－1)，CB →＝【0，－1)， 所以DE →·CB →＝【t ，－1)·【0，－1)＝1.因为DC→＝【1，0)， 所以DE →·DC →＝【t ，－1)·【1，0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法三 由图知，无论E 点在哪个位置，DE→在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到B 点时，DE→在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴【DE →·DC →)max＝|DC →|·1＝1. 答案 【1)－2 【2)1 1考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 【1)【2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝【1，m )，b ＝【3，－2)，且【a ＋b )⊥b ，则m ＝【 )A.－8B.－6C.6D.8【2)若向量a ＝【k ，3)，b ＝【1，4)，c ＝【2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 【1)由题知a ＋b ＝【4，m －2)，因为【a ＋b )⊥b ，所以【a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋【－2)×【m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.【2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴【2a －3b )·c <0，即【2k －3，－6)·【2，1)<0，解得k ＜3.又若【2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝【－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 答案 【1)D 【2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 规律方法 【1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b |a ||b |【夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.【2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 【1)【2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝【 )A.30°B.45°C.60°D.120°【2)【2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝【m ，1)，b ＝【1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 【1)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝错误!＝错误!.由〈错误!，错误!〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°.【2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.答案 【1)A 【2)－2考点三 平面向量的模及其应用【例3】 【1)【2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝【 )A.57B.61C.57D.61【2)【2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析 【1)由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.【2)由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|【a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥【a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 【1)B 【2)12规律方法 【1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a ·a 及【a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【2)求向量模的最值【范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法【数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 【1)在平面直角坐标系中，O 为原点，A 【－1，0)，B 【0，3)，C【3，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________. 【2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________. 解析 【1)设D 【x ，y )，由|CD→|＝1，得【x －3)2＋y 2＝1， 向量OA→＋OB →＋OD →＝【x －1，y ＋3)， 故|OA→＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆【x －3)2＋y 2＝1上的动点到点【1，－3)距离的最大值，其最大值为圆【x －3)2＋y 2＝1的圆心【3，0)到点【1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.【2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x 【0≤x ≤a )，∴D【0，0)，A 【2，0)，C 【0，a )，B 【1，a )，P 【0，x ).P A →＝【2，－x )，PB →＝【1，a －x )，32∴P A →＋3PB →＝【5，3a －4x )，|P A →＋3PB→|2＝25＋【3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB→|的最小值为5. 答案 【1)1＋7 【2)5[思想方法]1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.[易错防范]1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c【a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝【)A.0B.1C.2D. 5解析|a－b|＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1＋4＝ 5.答案 D2.【2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是【)A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.【a＋b)2＝|a＋b|2D.【a＋b)·【a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b a，b≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案 B3.已知a＝【1，－2)，b＝【x，2)，且a∥b，则|b|＝【)A.2 5B. 5C.10D.5解析∵a∥b，∴1x＝－22，解得x＝－1，∴b＝【－1，2)，∴|b|＝（－1）2＋22＝ 5.故选B.答案 B4.【2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝【1，－2)，AD →＝【2，1)，则AD →·AC→等于【 ) A.5 B.4 C.3 D.2解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC→＝AB →＋AD →＝【1，－2)＋【2，1)＝【3，－1).∴AD →·AC→＝2×3＋【－1)×1＝5，选A. 答案 A5.【2015·重庆卷)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥【2a ＋b )，则a 与b 的夹角为【 )A.π3B.π2C.2π3D.5π6解析 因为a ⊥【2a ＋b )，所以a ·【2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3，故选C.答案 C二、填空题6.【2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝【x ，x ＋1)，b ＝【1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________.解析 由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2【x ＋1)＝0⇒x ＝－23.答案 －237.【2017·台州调研)已知向量OA→＝【3，－4)，OB →＝【6，－3)，OC →＝【5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，实数m 的取值范围是________；若∠ABC 为钝角时，实数m 的取值范围是________.解析 由已知得AB→＝OB →－OA →＝【3，1)， AC→＝OC →－OA →＝【2－m ，1－m ). 若AB →∥AC →，则有3【1－m )＝2－m ，解得m ＝12.由题设知，BA→＝【－3，－1)，BC →＝【－1－m ，－m ). 若∠ABC 为锐角，则由BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34；若∠ABC 为钝角，则m <－34.由题意知，当m ＝12时，AB→∥AC →，且AB →与AC →同向.故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，当∠ABC 为钝角时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－348.【2017·金华十校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，|a －b |＝6，向量c －a ，c －b 的夹角为2π3，|c －a |＝23，则a 与c 的夹角为________，a ·c 的最大值为________.解析 如图，设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|AC →|＝|c －a |＝23，|AB→|＝|a －b |＝6，又∵∠AOB ＝π3，∠ACB ＝2π3，∴O ，A ，B ，C 共圆，由正弦定理得∠ABC ＝∠BAC ＝π6，在△ACO 中，∠AOC＝∠ABC ＝π6，由余弦定理得AC 2＝|a |2＋|c |2－2|a ||c |cos ∠AOC ，即12≥2|a ||c |－3|a ||c |⇒|a ||c |≤12【2＋3)，∴a ·c ＝|a ||c |·cos ∠AOC ≤18＋123，当|a |＝|c |＝32＋6时等号成立，即a ·c 的最大值为18＋12 3. 答案 π6 18＋12 3 三、解答题9.已知|a |＝4，|b |＝3，【2a －3b )·【2a ＋b )＝61， 【1)求a 与b 的夹角θ； 【2)求|a ＋b |；【3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 解 【1)∵【2a －3b )·【2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.【2)|a ＋b |2＝【a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×【－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. 【3)∵AB→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.10.【2017·湖州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝【cos 【A －B )，sin 【A －B ))，n ＝【cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. 【1)求sin A 的值；【2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 【1)由m ·n ＝－35，得cos 【A －B )cos B －sin 【A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 【2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得【42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.能力提升题组 【建议用时：25分钟)11.【必修4P120 1【6)改编)若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |等于【 ) A.2B.5C.2或5D.2或 5解析 由于平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于2π3或0°，|a ＋b ＋c |＝（a ＋b ＋c ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c当夹角为0时，上式值为5；当夹角为2π3时，上式值为2.故选C. 答案 C12.【2015·山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于【 ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2解析 在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝【BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos 60°＝a 2＋12a 2＝32a 2. 答案 D13.【2015·浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －【x e 1＋y e 2)|≥|b －【x 0e 1＋y 0e 2)|＝1【x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析 ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝【1，0，0)，b ＝【m ，n ，t ).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得m ＝52，n ＝32，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －【x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －【x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34【y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34【y －2)2＋t 2取到最小值1.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 答案 1 2 2 214.在直角坐标系xOy 中，已知点A 【1，1)，B 【2，3)，C 【3，2)，点P 【x ，y )在△ABC 三边围成的区域【含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →【m ，n ∈R ).【1)若m ＝n ＝23，求|OP→|；【2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值. 解 【1)∵m ＝n ＝23，AB →＝【1，2)，AC →＝【2，1)，∴OP→＝23【1，2)＋23【2，1)＝【2，2)，∴|OP→|＝22＋22＝2 2.【2)∵OP →＝m 【1，2)＋n 【2，1)＝【m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B 【2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.15.【2017·杭州联考)已知平面上一定点C 【2，0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且错误!·错误!＝0. 【1)求动点P 的轨迹方程；【2)若EF 为圆N ：x 2＋【y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值. 解 【1)设P 【x ，y )，则Q 【8，y ).由【PC →＋12PQ →)·【PC →－12PQ →)＝0， 得|PC→|2－14|PQ →|2＝0， 即【x －2)2＋y 2－14【x －8)2＝0， 化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.【2)因PE →·PF →＝【NE →－NP →)·【NF →－NP →)＝【－NF →－NP →)·【NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP→2－1， P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P 【x 0，y 0)， 则有x 2016＋y 2012＝1， 即x 20＝16－4y 203，又N 【0，1)，所以NP →2＝x 20＋【y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13【y 0＋3)2＋20. 因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF→的最大值为19； 当y 0＝23时，NP →2取得最小值为13－43【此时x 0＝0)， 故PE →·PF→的最小值为12－4 3.。