简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟

Comsol软件在二维材料教学中的应用摘要：石墨烯是一种典型的二维材料，具有优良的光学和电学性能，光-物质响应能力强并且易于进行光电调控，在小型化、多功能化的光电子学器件研究中具有广阔应用前景。

为了进行石墨烯的理论与实验教学，首先需进行准确的光电特性建模。

目前，始终缺乏针对石墨烯精准、直观的光电仿真方法，导致教学内容晦涩难懂。

有限元分析软件Comsol Multiphysics具有多物理场综合仿真能力，可自主编译并且剖分精确，可为石墨烯的理论教学提供直观、易于理解的仿真手段。

本文通过研究石墨烯的光电特性，确定了准确的建模参数，之后利用Comsol进行了建模仿真，通过与公开实验数据对比验证了模型的正确性。

该建模方法可用于进行多种二维材料的教学演示。

关键词：Comsol软件，石墨烯，二维材料，仿真建模一、石墨烯特性石墨烯（graphene）是由单层碳原子以六角形式排列的蜂巢状晶格平面结构，2004年，英国科学家Andre Geim和Konstantin Novoselov利用机械剥离法成功制备出单层石墨烯，掀起了对二维材料的研究热潮[1]。

石墨烯每个碳原子都有六个电子，其中2个为内壳层电子，4个为外壳层价电子。

形成石墨烯晶格时，碳原子外壳层4个价电子中的3个电子按sp2杂化轨道分别与邻边三个碳原子构成平面共价键，用“σ”键表示，相比于钻石的sp3杂化轨道共价键，石墨烯具有更为坚固的轨道键，这决定了其卓越的机械性能。

共价键外的一个电子被称为‘π’电子，由于石墨烯的平面结构，其可以自由移动且具有超高迁移率，这一特性使石墨烯展示出了诸多奇异光电子学性质。

不同于其他半导体材料，石墨烯具有零带隙特性，如图1。

其特殊的能量-色散关系决定了石墨烯的超高电导率。

科学家们在理论上证明了石墨烯载流子迁移率可达到100000，实验中诸多研究者获得了超过15000的载流子迁移率。

这一数值超过硅材料的10倍，是目前已知载流子迁移率最高的物质，因此石墨烯也被称为“半金属”。

– – – – 适用于2D或者3D结构 提供port边界和散射边界用于定义入射波源的场分布和入射波矢 提供PML和周期性边界，PEC/PMC等常用边界 提供频域、时域分析以及BEM分析
• 分析类型：散射场求解
– – – – – 适用于2D或3D结构 使用背景场定义入射光场 自动区分总场和散射场 提供PML和周期性边界，PEC/PMC等常用边界 支持频域和时域分析
Simulated by COMSOL Mul)physics
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考虑光生载流子
加载 + 1 V 偏置电压
（a）空穴浓度分布 （b）电子浓度分布 （c）x＝1um处沿y方向的 电子和空穴浓度变化 （d）静电势分布
Simulated by COMSOL Mul)physics
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未考虑光生载流子过程的PN结计算
加载 + 1 V 偏置电压
（a）空穴浓度分布 （b）电子浓度分布 （c）x＝1um处沿y方向的 电子和空穴浓度变化 （d）静电势分布
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束包络法 (Beam Envelopes Method )
Electric field, E(x) Electric field envelope, E1(x)
* * * * *
x
E(x) = E1(x)exp(-­‐jk1x) |dE1/dx|<< |k1E1|
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简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟北京东之星应用物理研究所伍勇1.引言COMSOL携带的案例库里，其中一篇<Bandgap Analysis of a Photonic Crystal>(以下简称< Bandgap >)对砷化镓简单正方格子2D光子能带进行了完整计算和研究。

本文将程序用于简单六方结构，并将结果在此做一介绍。

2. 关于 Floquet (弗洛盖）波矢F k这是入门COMSOL光子晶体能带模拟的重要概念，在另一案例<Porous Absorber>中，在Floquet周期性边界条件一段写明：)dk(ie)dx(p)x(p由此我判断Floquet 波矢就是Bloch（布洛赫）波矢,但“帮助”文档中有：)sinancosa(sinkk21211F ，以正格子基矢21a,a表示（其文没有任何几何插图和物理说明），使我决定必须在六方格子中选择矩形单胞作为周期单元，以使计算机程序能够运行我的几何方案。

3.几何建模图1作为试探选择的几何模型，圆形柱代表以GaAs作为格点材料，在空气介质中周期性排列，形成二维六方结构人造晶体。

a 是晶格常数。

z 是z 方向的单位矢量形单胞六方格子光子晶体的矩图.1以上根据倒格子基矢定义计算出1b ，2b 及其分量。

由倒格子基矢1b ，2b ，构建长方格子的布里渊区也是长方结构如图2：a3aKMxk yk aa 1aa 32a i )a a (a a ab x222321321)a a (a a ab 3211322里渊区六方结构光子晶体的布图2.4.二维光子晶体主方程COMSOL 在< Bandgap > “模型开发器” [电磁波，频域] 写出方程形式如下：0)()(201E jk E rr ，在< Bandgap >中，下面目录 [波方程，电] 中直接简化为，20Ek )E (r 电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出介质中的麦克斯韦方程组)(D1)(B 30)(tB E2)(tD JH4E D，H B，EJ在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度（电导率）为零。

1.近来用COMSOL 计算光子晶体光纤的模场分布，可是不知道PML 的参数如何设置，以及边界条件怎么设置，计算出来的结果不对. 实验室老板催得急，算不出来特别郁闷，不想读的心思都有了。

请用过的人帮帮忙吧：）我也是用comsol 算光纤的，关于pml 层的设定问题，如果不考虑损耗的话，pml 层可以不设，你可以试一试就知道了，pml 对模场分布基本没有影响2. COMSOL Multiphysics 如何模拟带隙光子晶体光纤？要用COMSOL Multiphysics 模拟带隙光子晶体光纤，也就是要加入kz，可以用如下方法：（1）用平面波模式，将模型边界条件改为电场，输入一个表达式的名字，例如E1。

（2）定义该边界表达式E1，菜单“选项gt表达式gt边界表达式”，选择不同的边界，分别写入该边界上电场E1 的表达式，将所需的周期性边界方程写入COMSOL Multiphysics。

这样就能加入kz，3. 如何准确求光子晶体光纤的限制损耗即有效折射率的虚部我在模拟PCF 时，为了求其限制损耗即有效折射率的虚部，PCF 结构的外面加了PML，在但是在加了PML后，却发现光束不能约束在纤芯中了。

不知道哪里出了问题，还望各位高手给予指点，谢谢。

V W-d 8vpw-qT- 1attach219885/attach :T o1OB0j P 加了PML 后的结果如下：attach219886/attachbeautycatcher 发表于2009-10-21 07:31我也是初学，也在做一些光子晶体的方法。

目前还不懂帮你顶顶，大家多多讨论caoer 发表于2009-10-21 11:17有限元做光子？这个挺有新意，不过要注意是否适用mahui 发表于2009-11-5 09:59能说一下有限元做光子为什么不合适吗？不过用FDTD 做光子的还蛮多的Feit 发表于2009-11-5 12:22PML 的几何不对，应该是加个六边形的PML 才对吧：）fangany 发表于2009-11-8 13:29纤芯比外面的小，当然有可能找到外面的那个模式，多找几个模式或者将外面的区域减小应该就可以了shanyrain 发表于2009-11-8 20:35加个圆形的就可以了PML 要考虑模型的对称性，比如这个模型可以只计算1/4 或者1/6xwx000000 发表于2009-11-13 22:31楼主具体交流下怎么划分格点的？我算光子晶体光纤的模式，伪模很多阿，比如设neff1.5 附近寻找，200 个，设它就给找出200 个neff出来。

Luneburg透镜
磁透镜
四极质谱仪
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光学隐身
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Luneburg透镜
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GaP 30nm
Au 20nm
入射光
波长600nm
光强 vs. 传输距离
University of Dayton, Charles M. Bowden Research Center
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等离子体超分辨成像
• 磁化等离子体可重构超分辨成像
适当参数的磁化等离子体能使电磁波在 外加磁场方向上几乎无衍射地传输 不需要制备常规超材料所需的微加工 调节外加磁场或等离子体密度可动态重 构成像装置（射频，微波，太赫兹） l/1170
碰撞频率 30MHz
4T
碰撞频率 5GHz
l/12
PEC
1GHz
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高斯光束的二倍频
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四波混频计算结果
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Duffing模型处理非线性色散
电子作为阻尼非谐振子：
阻尼
非线性
色散
谐振

8.基于COMSOL Multiphysics的高压SF_6断路器电弧与气流相互作用研.zip 在大量阅读国内外参考文献的基础上，归纳总结国内外高压SF6断路器灭弧室 气流场以及电弧模型研究现状，参考压气式SF6断路器熄弧原理，应用二维电 弧动态能量源的物理数学模型。创新性地将基于有限元方法的多物理场耦合 分析软件COMSOL Multiphysics平台应用于高压SF6断路器的灭弧室流场仿真 。建立252kV压气式高压SF6断路器灭弧室几何模型，结合多物理场耦合特点 ，对灭弧室内的电场以及流场各参数进行数值仿真分析。
及直接耦合型的带通滤波器和侧边耦合型的带阻滤波器。分析
讨论了基于二维正方晶格光子晶体三端口通道下路滤波器结构和多通道下路 滤波器,具有良好的滤波效果,对二维光子晶体在光通信领域的应用具有一定 的参考价值。本文还介绍了全息制作光子晶体的理论与制作实验,该制作方式 基于多光束干涉原理,让感光材料在全息干涉图样中曝光,使光与物质发生作 用,然后经显影、定影,就可以形成介质折射率在空间上周期性变化的有序微 结构。这种方法特别适合制作光波范围内的光子晶体。
更新时间：2014-12-11
以下是小编整理的一些有关comsol软件文档资料集锦(十一)以及相关文档
的简介，其中包括了一些软件相关的教程、以及相关的应用仿真离子体辅助制备纳米材料理论模拟研究.zip
基于等离子体设备，利用数值模拟讨论了低气压的气相沉积SiC量子点的生长 特性；采用COMSOL探讨了大气压微等离子体在水溶液中的放电特性。
2.交通荷载引起的高速公路低路堤永久性沉降研究
基于典型的低路堤路基路面体系设计,利用数值仿真软件COMSOL Multiphysics,分析了不同工况下的低路堤路基的沉降和孔压变化。计算结果

COMSOL使用步骤打开COMSOL光子晶体光纤模式仿真模块：双击图标，选择射频模块—垂直波—混合模波—模式分析。

10damper初始界面：所选用的COMSOL模块的初始界面。

一、圆孔型光子晶体光纤的建模选择左边绘图对象中的“椭圆形/圆形（以圆心）”图标点击图标并同时在键盘上按Shift键，以(0,0)为圆心画圆。

画好圆后双击此圆，可以设定圆的直径、圆心等参数。

这里设定直径为9um，此时的圆变得很小，我们可以通过工具栏上的“放大、缩小、缩放至视窗大小”按钮将圆缩放到界面适合的大小。

复制圆：选择Ctrl+C与Ctrl+V后会出现下面的小对话框，可以设定x或y轴位移将圆进行上下左右的移动。

这里设定y轴位移为10um。

复制后的界面如下图所示。

对于图两个圆中上面的圆同样进行“复制，粘贴”，位移中x、y轴都为0。

此时两个圆是重叠的。

选择左边绘图对象中的“旋转”图标，旋转60度。

旋转后的图如下所示。

同样进行旋转可得到第一层空气孔，如下图所示。

1复制上图中的标志为1的圆，设定其y轴位移为10um。

同样进行旋转可得到第二层空气孔。

重复上面步骤，便可以画出空气孔为圆形的光子晶体光纤的截面图。

这里我们仿真的是空气孔为五层的光子晶体光纤，第一层空气孔缺失，所以将截面图中的第一层空气孔去掉。

所得截面图如下所示。

纤芯直径为3um，光纤外直径为125um。

二、柚子型光子晶体光纤的建模画圆，这里我们设定的空气孔直径为36um。

选择左边绘图对象中的矩形/正方形(中心)图标。

建立一个具有一定宽度和长度的长方形。

将长方形旋转30度选择镜射图标选择联集，将两个长方形组合在一起复制联集后的长方形，再将原来的圆与长方形取联集。

2将上图中的长方形组合2，与左侧的长方形组合重合取差集，便可以得到一个柚子型的空气孔将图形沿y轴上移。

这里内包层直径为28um，空气孔直径36um，所以上移14+18=32um。

同样将空气孔进行旋转，得到下图。

将中间的柚子型去掉，加上圆形的纤芯和包层。

COMSOL⼆维膜层光学性能-吸收率仿真教学COMSOL⼆维膜层结构光学性能/吸收率仿真教学新建
1. 新建→模型向导→⼆维；
2. →选择物理场：光学→波动光学→电磁波，频域→增加→研究；
3. 选择研究：波长域→完成；
建模
4. ⼏何绘制多个长⽅形形成多层膜结构；
5. 必要的情况下可以在上下层加⼊空⽓层（真空层）；
边界条件
6. 添加“端⼝”，设置红外⼊射端⼝，在空⽓层边界上。

再添加“端⼝”，设置出射端⼝，另⼀端的空⽓层；
7. 模型两侧边界设置为“周期性边界条件”；
8. 对于膜层很薄的部分，可以设置为“过渡边界条件”，代替超薄层，厚度可在此条件下设置；
9. 进⾏⽹格化；
材料参数
10. 顶部⼯具栏：增加材料；
11. 可在右侧框内搜索要添加的材料，然后“增加到选择”；或者添加空材料，去选择⼀个域，然后材料属性⽬录下会出现做该仿真必要的参数，输⼊参数即可；研究：结果
12. 研究→波长域，设置波长范围及步长，点击“研究”；
13. 派⽣值→全局计算，表达式选“ewfd.Atotal” ；数据系列运算选“⽆”，计算；仿真图下⽅出现“表格”，得到“波长”与“吸收率”关系。

点击“表图”按钮，得到“吸收曲线”；
14. 派⽣值→全局计算，表达式选“ewfd.Atotal”；数据系列运算选“平均值”，计算；仿真图下⽅出现“表格”，得到“平均吸收率”值。

2是最容易被完成的。 6. 在材质的设置窗口中，单击材料属性部分。 7. 在材质属性树中，选择电磁模型>折射率>折射率（n） 8. 单击新增至材料
砷化镓 1. 在模型建立器中，展开材料>砷化镓பைடு நூலகம்点，然后单击折射率 2. 在属性组设置窗口中，找到局部性质部分。 3. 在局部性质表中，输入以下设置：
4. 找到输出属性与模型输入部分。找到输出属性分段。在该表中， 输入以下设置
模型定义 上图描述的是由砷化镓圆柱阵列组合而成的空气“通道”。通过移去一些 柱子形成一个具有90°弯曲的波导。该模型的目的是研究TE波如何通过 晶体传播。这些模型使用标量计算公式，设横向电场分量为EZ ：
其中，n是折射率，k0是自由空间波数。 由于没有物理边界，可以在所有边界使用散射边界条件。设振幅EZ在入 射波的边界上为1。 结果和讨论 图1包含了电场的z分量的曲线图。它清楚地展示了光波通过波导的传 播。
1.55。 6. 在曲率因子编辑字段中，键入0.65。 7. 单击建立全部按钮
研究 第1步：频域
1. 在模型建立器窗口中，展开研究1的节点，然后单击步阶1：频 域。
2. 在频域的设置窗口中，找到研究设定部分 3. 在频率编辑字段中，键入3e8/1e-6 3e8/1.2e-6。这将让你得到一
个自由空间波长为1微米和一个自由空间波长为 1.2微米的解 4. 在研究工具栏上，单击计算
材料2 1. 在主页面上，单击新材料 2. 右键单击材料2和选择重命名
3. 去重命名材料对话框，并在新名称编辑字段中键入空气 4. 单击确定 5. 仅仅选择域2 6. 在材质的设置窗口中，单击材料属性部分 7. 在材质属性树中，选择电磁模型>折射率>折射率（n） 8. 单击新增至材料 9. 找到材料目录部分。在该表中，输入以下设置

应用COMSOL对二维三角晶格光子晶体带隙仿真
张雁茗;逯贵祯
【期刊名称】《中国传媒大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2017(24)3
【摘要】介绍了一种使用COMSOL用数值计算方法仿真2D光子晶体色散图的方法,通过COMSOL将Z方向无限延伸的介质介质圆柱阵列形成的二维三角晶格光子晶体等效为二维平面进行仿真,并采用了独特的矩形结构作为该三角晶格光子晶体的单元晶格,相比传统的用正六边形作为单元晶格的方法,建模与设置Floquet 周期边界条件的过程更为简单。

成功仿真出了该光子晶体的色散图,并与参考文献中的结果进行了对比分析,带隙、色散曲线与文献中结果基本吻合,证明了这种仿真方法的正确性。

【总页数】3页(P31-33)
【关键词】光子晶体;光子带隙;色散图;三角晶格;COMSOL
【作者】张雁茗;逯贵祯
【作者单位】中国传媒大学
【正文语种】中文
【中图分类】O481.1
【相关文献】
1.二维三角晶格光子晶体的光子带隙分析 [J], 张晓娟
2.Ge基二维三角晶格光子晶体的光子带隙 [J], 刘建军;范志刚;肖昊苏;张旺;关春颖;
苑立波
3.柱体截面不同三角晶格二维光子晶体完全带隙的研究 [J], 廖兴展;林少光;张桂春
4.二维斜三角晶格光子晶体完全带隙研究 [J], 赵永林;闫珂柱;刘军;李开才
5.铜币形空气孔二维三角晶格光子晶体的完全光子带隙 [J], 李传起;范庆斌;杨梦婕;张秀容
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

2. 偏微分方程的弱形式介绍
用数学方法描述真实的物理问题时，一般有三种描述方式。1、偏微分方程形式(Partial Differential Equation, PDE)；2、能量最小化形式；3、弱形式(Weak Form)。他们都是同一物理方程的不同等效形式， 针对特定条件有各自的优势。其中我们最常见的便是偏微分方程。PDE 方程一般都有对应的解析解，当 难以得到其解析解时，便需要根据变分原理或能量最小化原理转化为积分形式的泛函数变分问题求解。 积分形式适合用有限元元求解，而弱形式可以看做对积分变量连续性要求更低，形式更一般的能量最小 化形式了。COMSOL Mutiphysics [7] [8]是求解多物理场的一款有限元数值求解软件，通过内建多种物理 方程及相应求解器，可以对互相耦合的复杂物理问题进行数值求解，是物理学研究中非常重要的工具。 COMSOL Multiphysics 本身是一款有限元的求解器，可以设定将所需求解的 PDE 方程转化为弱形式，再 进行求解。但不是所有问题都能通过内置弱形式模块解决，这时了解弱形式方程及其有限元算法对求解 实际物理问题很有帮助。 在求解光子晶体能带时， 当使用 COMSOL 内置的本征值求解模块时， 需要预先定义好其最简布里渊 区边界，COMSOL 会自动随布洛赫波矢 k 的变化求解得到其相应频率 f 的本征值。在求解色散材料问题 时，即介电常数 ( f ) 或者磁导率 µ ( f ) 是频率相关函数，由于 f 未知，COMSOL 内置本征值求解模块将 无法求解，这个时候就需要借助自定义弱形式方程来求解了。 考虑介质中传播电磁波的麦克斯韦方程可以以磁场 H 或者电场 E 形式来表达。 以电场形表达式其波 动方程为：
关键词
数值求解，弱形式，光子晶体，能带结构

简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL 模拟北京东之星应用物理研究所伍勇1.引言COMSOL 携带的案例库里，其中一篇<Bandgap Analysis of aPhotonic Crystal>(以下简称< Bandgap >)对砷化镓简单正方格子2D 光子能带进行了完整计算和研究。

本文将程序用于简单六方结构，并将结果在此做一介绍。

2. 关于 Floquet (弗洛盖） 波矢F k这是入门COMSOL 光子晶体能带模拟的重要概念，在另一案例<Porous Absorber>中，在Floquet 周期性边界条件一段写明：)d k (i e )d x (p )x (p ⋅-+=由此我判断Floquet 波矢就是Bloch （布洛赫）波矢,但“帮助”文档中有：)sin a n cos a (sin k k 21211F ααα ⨯+=，以正格子基矢21a ,a 表示（其文没有任何几何插图和物理说明），使我决定必须在六方格子中选择矩形单胞作为周期单元，以使计算机程序能够运行我的几何方案。

3.几何建模图1作为试探选择的几何模型，圆形柱代表以GaAs 作为格点材料，a 32=a i x 022π里渊区六方结构光子晶体的布图2.4.二维光子晶体主方程COMSOL 在< Bandgap > “模型开发器” [电磁波，频域] 写出方程形式如下： 0)()(0201=--⨯∇⨯∇-E j k E r r ωεσεμ， 在< Bandgap >中，下面目录 [波方程，电] 中直接简化为，020=-⨯∇⨯∇E k )E (r ε电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出介质中的麦克斯韦方程组)(D 1ρ=⋅∇ )(B 30=⋅∇ )(t B E 2∂∂-=⨯∇ )(t D J H 4∂∂+=⨯∇ E D ε=，H B μ=，E J σ=在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度（电导率）为零。

简单六方结构二维光子晶体能带的C O M S O L 模拟 北京东之星应用物理研究所伍勇1.引言COMSOL 携带的案例库里，其中一篇<BandgapAnalysisofaPhotonicCrystal>(以下简称<Bandgap>)对砷化镓简单正方格子2D 光子能带进行了完整计算和研究。

本文将程序用于简单六方结构，并将结果在此做一介绍。

2.关于Floquet (弗洛盖）波矢F k这是入门COMSOL 光子晶体能带模拟的重要概念，在另一案例<PorousAbsorber >中，在Floquet 周期性边界条件一段写明：)d k (i e )d x (p )x (p 由此我判断Floquet 波矢就是Bloch （布洛赫）波矢,但“帮助”文档中有：)sin a n cos a (sin k k 21211F ，以正格子基矢21a ,a 表示（其文没有任何几何插图和物理说明），使我决定必须在六方格子中选择矩形单胞作为周期单元，以使计算机程序能够运行我的几何方案。

3.几何建模图1作为试探选择的几何模型，圆形柱代表以GaAs 作为格点材料，在空气介质中周期性排列，形成二维六方结构人造晶体。

a 是晶格常数。

z ˆ 是z 方向的单位矢量 以上根据倒格子基矢定义计算出1b ，2b 及其分量。

由倒格子基矢1b ，2b ，构建长方格子的布里渊区也是长方结构如图2：4.二维光子晶体主方程COMSOL 在<Bandgap>“模型开发器”[电磁波，频域]写出方程形式如下：0)()(0201 E j k E r r ， 在<Bandgap>中，下面目录[波方程，电]中直接简化为，电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出介质中的麦克斯韦方程组E D ，H B ，E J在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度（电导率）为零。

本文档不考虑磁性质，0 ，0 J ，1 r传播模态电场函数COMSOL 表达为：)(t i e z z ik e )y ,x (E )t ,z ,y ,x (E 5 ，在周期结构中，它应具有Bloch 波的性质，不考虑衰减损耗。

comsol仿真实验报告一、实验目的本次实验旨在通过使用 COMSOL Multiphysics 软件对特定的物理现象或工程问题进行仿真分析，深入理解相关理论知识，并获取直观、准确的结果，为实际应用提供有效的参考和指导。

二、实验原理COMSOL Multiphysics 是一款基于有限元方法的多物理场仿真软件，它能够将多个物理场（如电场、磁场、热场、流体场等）耦合在一个模型中进行求解。

其基本原理是将连续的求解区域离散化为有限个单元，通过对每个单元上的偏微分方程进行近似求解，最终得到整个区域的数值解。

在本次实验中，我们所涉及的物理场及相关方程如下：（一）热传递热传递主要有三种方式：热传导、热对流和热辐射。

热传导遵循傅里叶定律：＄q ＝k\nabla T$，其中＄q$ 为热流密度，＄k$ 为热导率，＄＼nabla T$ 为温度梯度。

热对流通过牛顿冷却定律描述：＄q ＝ h(T T_{amb}）＄，其中＄h$ 为对流换热系数，＄T$ 为物体表面温度，＄T_{amb}＄为环境温度。

（二）流体流动对于不可压缩流体，其运动遵循纳维斯托克斯方程：＄＼rho(＼frac{＼partial ＼vec{u}｝｛＼partial t} ＋（＼vec{u}＼cdot\nabla)＼vec{u}）＝＼nabla p ＋＼mu\nabla^2\vec{u} ＋＼vec{f}＄其中＄＼rho$ 为流体密度，＄＼vec{u}＄为流体速度，＄p$ 为压力，＄＼mu$ 为动力粘度，＄＼vec{f}＄为体积力。

（三）电磁场麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程：＄＼nabla\cdot\vec{D} ＝＼rho$＄＼nabla\cdot\vec{B} ＝ 0$＄＼nabla\times\vec{E} ＝＼frac{＼partial ＼vec{B}｝｛＼partial t}＄＄＼nabla\times\vec{H} ＝＼vec{J} ＋＼frac{＼partial ＼vec{D}｝｛＼partial t}＄其中＄＼vec{D}＄为电位移矢量，＄＼vec{B}＄为磁感应强度，＄＼vec{E}＄为电场强度，＄＼vec{H}＄为磁场强度，＄＼rho$ 为电荷密度，＄＼vec{J}＄为电流密度。

COMSOL多物理场模拟软件简单入门教程下面是COMSOL多物理场模拟软件的简单入门教程：
第一步，首先打开COMSOL多物理场模拟软件。

在启动界面上，选择
创建新模型。

第二步，选择您要模拟的物理场。

COMSOL提供了多个物理现象的模块，如传热模块、流体力学模块、电磁场模块等。

选择适合您模拟对象的
物理现象模块。

点击下一步。

第三步，定义几何模型。

在这一步中，您可以创建几何图形、导入CAD文件或使用现有几何形状。

您可以使用COMSOL的几何建模工具来创
建您想要的几何形状。

完成后，点击下一步。

第四步，设置物理场。

在这一步中，您可以设定边界条件、物理参量等。

COMSOL提供了丰富的物理场设置选项，您可以根据需要进行调整。

完成后，点击下一步。

第五步，设置网格。

COMSOL使用网格来离散化物理现象的模型。

您
可以选择自动生成网格或手动调整网格的细化程度。

完成后，点击下一步。

第六步，设置求解器。

COMSOL提供了多个求解器选项，根据您的模
型和要求选择合适的求解器。

完成后，点击下一步。

第七步，设置后处理。

COMSOL提供了多种可视化和后处理选项，如
绘制剖面图、动态模拟、导出数据等。

根据您的需求选择合适的后处理选项。

第八步，点击求解按钮。

COMSOL将自动求解您的模型，并显示结果。

您可以根据需要进一步优化和改进模型。

31
把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化
Finite element
32
sparse: 稀疏的，linear system of equations: 线性方程组
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有限元
•整个区域划分的基本子区域，称为有限元，场方程被应用到每个基元。 •不像时域有限差分法，网格单元（有限元）不一定是长方形的，可能是

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x
x 3v
x 而一般取： t 2c
c：为光速，自由空间中： c
min(x, y, z ) 当△ x, △ y, △z不相等时： t 2c
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• 在给定位置x0处的 f(xi,tn)≡fin 的泰勒级数展开:
• 因此，对空间导数，我们有:
对空间离散
•同样，对时间导数，我们有:
…
Hale Waihona Puke 所有方法都是通过一定的技巧解麦克斯韦方程
•有很多方法和有用的商业软件
•但是没有一种方法（软件）可以解决所有的问题！ •用户需要很熟悉这些软件，这些技巧的原理和局限性，以及需 要分析的问题。
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frequency-domain: 频域，time-domain: 时域，discretization: 离散化，aperiodic: 非周期性的
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Fourier transform: 傅立叶变换，dense: 密集的，resolve: 分辨
3. 有限元法(FEM)
• FEM:一种求解偏微分方程组的数值方法
•最初应用于结构力学和热力学理论，可以追溯到1950年代
•1960年代末其应用首次出现在电磁学著作中，但1980年代前并 未被广泛采用。
这些方法各有优缺点，在应用时要根据实际场合合理地选用！

2019年第38卷第8期传感器与微系统（Transducer and Microsystem Technologies）DOI：10．13873/J．1000—9787（2019）08—0111—03基于COMSOL的光子晶体能带结构仿真计算*付子义1，王晨旭1，长谷川弘治2（1．河南理工大学电气工程与自动化学院，河南焦作454000；2．室兰工业大学情报电子工学系，日本室兰0500071）摘要：为更方便、快捷地求解光子晶体能带结构问题，基于有限元数值仿真软件COMSOL Multiphysics系数偏微分方程模块，重新建立了数学模型，直接从亥姆霍兹方程出发，结合布洛赫态，推导出光子晶体偏微分形式的本征方程，充分考虑了布洛赫波矢的传播情况，求解出相应的本征频率从而求解出能带，对一维和二维光子晶体能带结构分别进行仿真计算。

仿真计算结果与传统方法结果进行对比分析，验证了此方案的可行性。

关键词：光子晶体；偏微分方程；本征方程；能带结构；COMSOL Multiphysics中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1000—9787（2019）08—0111—03Simulation computation of photonic crystals energyband structure based on COMSOL*FU Ziyi1，WANG Chenxu1，HASEGAWA Koji2（1．School of Electrical Engineering and Automation，Henan Polytechnic University，Jiaozuo454000，China；2．Information and Electronic Engineering，Muroran Institute of Technology，Muroran0500071/Hokkaido，Japan）Abstract：In order to solve the problem of photonic crystal band structure more conveniently and quickly，basedon the COMSOL Multiphysics coefficient partial differential equation（PDE）module of the finite elementnumerical simulation software，the mathematical model is reestablished．The partial differential form of the photoniccrystal is derived from the Helmholtz equation and combined with the Bloch state．The eigenfunction，and thepropagation of Bloch wave vector is taken into full consideration，the corresponding eigenfrequency is solved so asto solve the energy band．In this case，the energy band structure of one and two-dimensional photonic crystals issimulated respectively．The simulation results are compared with the results of traditional methods，and thefeasibility of the scheme is verified．Keywords：photonic crystals；partial differential equation（PDE）；eigenfunction；energy band structure；COMSOL Multiphysics0引言当电磁波在光子晶体［1，2］中传播时由于布拉格衍射的影响，会受到调制而形成能带结构，即光子能带（photonic band），光子能带之间可能出现的带隙，即光子带隙（pho-tonic band gap，PBG），频率处于光子能带里的电磁波可以在光子晶体中几乎无损地传播，但是出于光子带隙的电磁波，却不能在光子晶体中传播。