压杆的稳定性

②
19
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为： N 1 = P cosθ ， N 2 = P sin θ
两杆的临界压力分别为： π 2E I π 2E I Pc r 1 = ， Pc r 2 = 2 l1 l2 2 要使P最大，只有N 1 、N 2 都达
θ
①
到临界压力，即 π 2E I P cosθ = 2
5
钢板尺： 钢板尺：一端固定 一端自由
实际上， 钢尺就被压弯。可见， 实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 有关。 而是与 受压时变弯 有关。
6
一、稳定性的概念
稳定性就是系统自身抵抗干扰保持某一平衡状态的能力. 稳定性就是系统自身抵抗干扰保持某一平衡状态的能力.
五、其它失稳问题
受外压的柱体、壳体，工字梁的腹板等受压构件。 受外压的柱体、壳体，工字梁的腹板等受压构件。
10
§10–2 细长压杆的临界压力 10 2
一、两端铰支压杆的临界力
1、确定Pcr Pcr的基本思想 压杆保持微小弯曲平衡时的最小压力即为临界压力。 压杆保持微小弯曲平衡时的最小压力即为临界压力。 因此由微小弯曲状态去分析临界压力
临界力
= 269×10 N = 269kN
3
12
三、欧拉公式的普遍形式
π 2 EI P = cr (µL)2
µ—长度系数（或约束系数）。 长度系数（或约束系数）
四、不同支座条件的长度系数 µ
1.一端固定、 1.一端固定、一端自由µ=2； =2； 一端固定 2.两端铰支 =1； 2.两端铰支µ=1； 3.一端固定、 3.一端固定、一端铰支µ=0.7； =0.7； 一端固定 4.两端固定 4.两端固定µ=0.5 。
3
构件的承载能力 强度、刚度、 强度、刚度、稳定性
4
钢板尺： 钢板尺：一端固定 一端自由
钢板尺长为300mm的，横截面尺寸为 20mm × 1mm 。 的 钢板尺长为 钢的许用应力为[σ 钢的许用应力为 σ]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为 [P] = A[σ] = 3920 N σ
λ ≥ λp
的压杆叫做 “大柔度压杆” (细长 大柔度压杆”
的杆为中小柔度杆， λ < λP 的杆为中小柔度杆，其临界力不能用欧拉公式求
24
三、经验公式
直线经验公式
σ cr =a−bλ
a −σ s 其中λs = b
直线公式的使用范围： 直线公式的使用范围：
λs ≤ λ ≤ λ P
四.不同柔度压杆的σcr的计算 不同柔度压杆的σ 不同柔度压杆的
µ =1
1 × 1732 λ= = = 108 i 16
A3钢，λp=100, λ＞λp，用欧拉公式
µl
π 2E Pcr = 2 × A = 121.54 × 103 N = 121.54kN λ
39
3、根据稳定条件求许可荷载
pcr 由：n= ≥ nst N
pcr 121.54 ∴N ≤ = = 40.5kN nst 3
不稳定平衡
稳定平衡
7
二、压杆的稳定性
压杆保持直线平衡状态的能力。 压杆保持直线平衡状态的能力。
8
三、压杆失稳与临界压力
1、压杆的失稳 压杆丧失直线形的平衡状态而呈曲线形的平衡状态。 压杆丧失直线形的平衡状态而呈曲线形的平衡状态。 压杆失稳后易变形， 压杆失稳后易变形，丧失了承载能力 2、压杆的临界压力（Pcr) 压杆的临界压力（ 压杆保持直线平衡状 态时所能承受的最大 压力 稳 定 过 平 衡 临界状态
N AB sin 300 × 1500 − Q × 2000 = 0 3 ∴ Q = N AB 8
A
Q B NAB
38
C
2、计算λ并求临界荷载
π
i= I = A 64 (D 4 − d 4 ) (D 2 − d 2 ) = D2 + d2 = 16 mm 4
π
4
l AB
15 00 = = 1 732 m m 0 cos 3 0
16
解：(a )杆BD受压，其余杆受拉
由静力学知识
P
B D
= P
BD杆的临界压力:
Pcr =
(
π 2E I
2 a
)
2
=
π 2E I
2a 2
杆系失稳时
PBD = Pcr
P=
π EI
2
2a
2
17
(b) 杆 BD 受拉，其余杆受压
由静力学知识四根压杆各自所 受的压力为 2
2 P
四根受压杆的临界压力：
Pcr =
32
解：图 (a ) 中，AD杆受压 2 π EI N AD = 2 P1 = 2 2a
(
)
⇒
1 π EI P1 = 2 2 a2
2
图（b）中，AB杆受压
N AB = P2 =
π EI
2
a
2
⇒
P2 =
π EI
2
a2
33
练习：图示圆截面压杆 练习：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。 ， 。 求可以用经验公式σ 求可以用经验公式 cr=304-1.12λ (MPa)计算临 计算临 界应力时的最小杆长。 界应力时的最小杆长。
σ cr n= σ
nst ：稳定性安全系数 (一般高于强度计算安全系数) 一般高于强度计算安全系数)
二、稳定性计算中两个必须注意的问题
36
1.失稳的方向—— 压杆失稳弯曲时横截面绕什么轴转动？ 压杆失稳弯曲时横截面绕什么轴转动？ 失稳时压杆的横截面绕惯性矩最小的轴转动。 失稳时压杆的横截面绕惯性矩最小的轴转动。 横截面绕惯性矩最小的轴转动 2.柔度问题 (1) 柔度的计算
l1 P sin θ =
（1） （2）
β
90°
②
π 2E I
l2
2
20
将式 (2) 除以式 (1), 便得
l1 tgθ = l2
2
2
= ctg β
2
由此得
θ = arc tg(ctg β )
θ
①
βபைடு நூலகம்
90°
②
21
§10–3
经验公式与临界应力总图
一、 基本概念
1、柔度（长细比） 柔度（长细比）
二.两端铰支细长压杆的欧拉公式
此公式的应用条件： 此公式的应用条件：
Pcr =
π 2 EI
l2
•理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） 理想压杆 •线弹性，小变形 线弹性， 线弹性 •两端为铰支座 两端为铰支座 11
例题10-1 例题 解： 截面惯性矩
1 × 2.30 × 10 × 2 × 3 λz = = = 132.8 iz 60
3
29
µl
例10-5 A3钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图所示，其 中 a 为正视图，b为俯视图。在A、B二处用螺栓夹紧。已知 l = 2 .3m ， b = 40 mm ， h = 60 mm ， E = 205 GPa 求此杆的临界力
Pcr = σ cr A
π 2E = 2 bh λ
=
π 2 × 205 × 40 × 60 × 10 −6
132.8 2
= 275kN
31
练习： 练习：图示两桁架中各杆的材料和截面均 相同， 相同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大 载荷， 载荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定 1和P2的关系 不能断定P
对应的
度
压力
不 稳 定 平 衡
9
临界压力: 临界压力: Pcr
四、关于临界压力（Pcr)的两点说明 关于临界压力（Pcr)的两点说明 临界压力
1、 Pcr 越大压杆越不易失稳，压杆的稳定性越好 越大压杆越不易失稳， 2、如果直杆仅受轴向压力且处于曲线平衡状态， 如果直杆仅受轴向压力且处于曲线平衡状态， 则此杆必已失稳； 则此杆必已失稳；且此时的压力必等于或大于临 界压力。 界压力。
失稳时
2 2 P＝ Pcr
2
π EI
2
a
2
P =
2
π EI
a
2
18
例10－4 10－
图示结构， 图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。 两杆截面和材料相同，为细长压杆。 截面和材料相同 为最大值时的θ角 π/2）。 确定使载荷 P 为最大值时的 角（设0<θ<π/2）。 π/2
θ
①
β
90°
λ≥ 大柔度杆，用欧拉公式； 1. λ≥λp 即大柔度杆，用欧拉公式； 中柔度杆，用直线公式： 2. λs≤ λ≤ λp 即中柔度杆，用直线公式：σcr=a –bλ ； 小柔度杆，此时为强度问题： 3. λ≤ λs 即小柔度杆，此时为强度问题： σcr= σs 。
25
五.临界应力总图 σcr
σcr=a -bλ
，
µ = 0 .5
iz = Iz b = A 2 3
0.5 × 2.30 ×103 × 2 × 3 = 99.6 λy = = iy 40
30
µl
λ z > λ y 压杆将在正视图平面内失稳。对于A3钢， 压杆将在正视图平面内失稳。对于A3 A3钢
属于大柔度杆， λz = 132.8 属于大柔度杆，故可用欧拉公式计算其临界力
π 2 E (i 2 A) π 2E π EI = = = σ cr = 2 2 2 (µl ) A A (µl ) A µl µl i λ = π 2E i ：σ cr = λ2