下载文档原格式
2020年高考数学大题专项练习数列三（15题含答案解析）2020年高考数学大题专项练习数列三1.已知数列{a n }满足a n+1=λa n +2n (n ∈N *，λ∈R)，且a 1=2．(1)若λ=1，求数列{a n }的通项公式；(2)若λ=2，证明数列{n n a 2}是等差数列，并求数列{a n }的前n 项和S n ．2.设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，. （1）求通项公式；（2）求数列{}的前项和.3.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5＋a13=34，S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{b n}的通项公式为b n=a na n＋t，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．5.已知数列满足：，。
数列的前n项和为,且.⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n项和为6.已知{a n}是递增数列，其前n项和为S n，a1>1，且10S n=(2a n＋1)(a n＋2)，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项a n；(2)是否存在m，n，k∈N*，使得2(a m＋a n)=a k成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．7.已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.8.已知是各项均为正数的等比数列,且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）为各项非零的等差数列,其前n项和S n,已知,求数列的前n 项和.9.已知数列{a}是等比数列，为数列{a n}的前项和，且n（1）求数列{a n}的通项公式.（2）设且{b n}为递增数列.若求证：10.在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，T n =b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .11.已知数列{a n }满足a 1=1，且a n =2a n ﹣1+2n (n ≥2，且n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项之和S n ，求证：322->n S n n ．12.已知数列是等比数列，首项为，公比，其前n 项和为，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足为数列前n 项和，若恒成立，求的最大值.13.设数列{a}满足a1=2，a n+1=2a n+2n+1（n∈N*）．n（1）若b n=，证明：数列{b n}为等差数列，并求出数列{b n}的通项公式；（2）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．14.若数列{a}的前项和S n满足,等差数列{b n}满足n.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(2)设,求数列的前项和为.15.已知数列{a}的各项均为正数，其前n项和为，且满足，N.n（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在正整数k, 使a k,S2k-1,a4k成等比数列? 若存在, 求k的值；若不存在,请说明理由.答案解析1.解：2.（1）；（2）.。
2020高考数学模拟试题（理）《数列》分类汇编一．选择题（共28小题）1．（2020•涪城区校级模拟）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若*14()n n n a a n N +=∈，则5(S = ) A ．30B．C．D ．622．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = )A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +3．（2020•龙岩一模）已知数列{}n a满足12n a +=，则12020a a +的最大值是()A．4-B．8C．4+D．8+4．（2020•涪城区校级模拟）已知数列{}n a 中，12a =，21a =，且满足11112(2)111n n n n a a a -++=+++，则(n a = ) A ．51nn -+ B ．22n -C ．3n -D ．62n + 5．（2020•涪城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0(i j a a i +=，*j N ∈，且1)i j ，则i 的取值集合是( )A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4，5}C ．{6，7，8}D ．{6，7，8，9，10}6．（2020•眉山模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9(S =) A ．27B ．272C ．9D ．37．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，则2020201920102009(a a a a -=- )A ．5B ．10C ．25D ．1058．（2020•道里区校级一模）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π9．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋯，1n n a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则3a 等于( ) A ．64B ．32C ．2D ．410．（2020•内蒙古模拟）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，424S =，999S =，则7(a = )A ．13B ．14C ．15D ．1611．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a -，32a a -，⋯，1n n a a --是首项为1，公差为2的等差数列，则3a 等于( ) A ．9B ．5C ．4D ．212．（2020•重庆模拟）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a = ) A ．15B ．16C ．17D ．1813．（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．112314．（2020•临汾模拟）在进行123100+++⋯⋯+的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列24034n na m =+，则122016(m a a a +++⋯⋯+= )A ．5042m+ B ．5044m+ C ．504m + D ．2504m +15．（2020•道里区校级一模）已知数列{}n a 满足211112nn n n n n a a a a a a -+-++=++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6(S = ) A ．128B ．126C ．124D ．12016．（2020•香坊区校级模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，⋯，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，)⋯．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为( )A ．55B ．220C ．285D ．38517．（2020•吉林二模）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例5151(0.61822--≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为( )（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.0918．（2020•吉林二模）在区间[3-，3]上随机取一个数x ，使得301xx --成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．1119．（2020•厦门模拟）定义{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩．若函数2(){2f x max x =-+，4}x -，数列{}n a 满足()(*)n l n a f a n N +=∈，若{}n a 是等差数列，则1a 的取值范围是( ) A ．{2-，1}B ．(-∞，3][2-，)+∞C ．(-∞，3]{2--⋃，1}D ．(-∞，3][2-，){2U +∞-，1}20．（2020•厦门模拟）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++，则7(a =) A ．31B ．32C ．63D ．6421．（2020•邵阳一模）在数列{}n a 中，若11a =，23a =，21(1)n n n a a a n ++=-，则该数列的前50项之和是( ) A ．18B ．8C ．9D ．422．（2020•湖北模拟）已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x '+=，若2()()x n n n n f x e a x b x c =++，记数列2{}2nn na cb -的前n 项和为n S ，则下列选项中与2019S 的值最接近的是( ) A ．32B ．53C ．74 D ．9523．（2020•临汾模拟）已知等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则公比(q = ) A ．12或2- B ．12-或2C ．12-或2-D ．12或2 24．（2020•金安区校级模拟）已知数列{}n a 满足13n n a a +=，11a =，012123164nn n n n n a C a C a C a C ++++⋯+=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为( )A ．160-B ．80-C ．80D ．16025．（2020•武汉模拟）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -26．（2020•淮北一模）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A．B ．20C ．25D ．10027．（2020•鼓楼区校级模拟）已知数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，且113a b +=，1a ，*1b N ∈，设*()n n a c b n N =∈，则数列{}n c 的前7项和等于( )A ．17B ．26C ．35D ．4428．（2020•武昌区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(,48)-∞B ．(,36)-∞C ．(,16)-∞D ．(16,)+∞二．解答题（共12小题）29．（2020•广州一模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112(*)2n n n S a n N --=∈． （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ．30．（2020•桥东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，且11a =，2211()8n n n S a a λ+=+-． （1）求λ的值及{}n a 的通项公式； （2）设1n n n n n a Sb S S +=+，求{}n b 的前n 项和n T ． 31．（2020•龙岩一模）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．32．（2020•宜昌模拟）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1a 、2a 、5a 成等比数列，749S =．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足2log (2)n T +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令*()nn na c n Nb =∈，证明：123n c c c ++⋯+<．33．（2020•五华区校级模拟）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T ．34．（2020•龙岩一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 35．（2020•咸阳二模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =． ()I 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ； ()II 设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和，求证：1n T <． 36．（2020•七星区校级一模）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上，（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-为等比数列，并求其公比．（Ⅱ）设2log (1)n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若(1)m m S a λ+，求实数λ的最小值． 37．（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）求n a 及n S ； （2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．38．（2020•福清市一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -=． （Ⅰ）求n a（Ⅱ）若数列{}n b 满足*14()nn n n a b n N S S +=∈，{}n b 的前n 项和n T ． 39．（2020•邵阳一模）已知正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 40．（2020•荔湾区校级模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足341S a +=，231S a +=．（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）记12n n n n b S S +=，12n n T b b b =++⋯+，试比较n T 与1的大小．答案解析一．选择题（共28小题）1．（2020•涪城区校级模拟）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若*14()n n n a a n N +=∈，则5(S = ) A ．30B．C．D ．62【解答】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，*14()n n n a a n N +=∈，124a a ∴=，2316a a =，且0q >，解得2q =，1a =5S ∴==．故选：B ．2．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = )A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【解答】解：14121n n S a n +-=-， 1(21)41n n n a S +∴-=-①， 1(23)41(2)n n n a S n -∴-=-②，①-②得：1(21)(23)4(2)n n n n a n a a n +---=， 整理得：121(2)21n n a n n a n ++=-， 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯21232553123252731n n n n n n ---=⋯---21(2)n n =-，又11a =，符合上式，21n a n ∴=-．故选：C ．3．（2020•龙岩一模）已知数列{}n a满足12n a +=，则12020a a +的最大值是()A．4-B．8C．4+D．8+【解答】解：依题意12n a +=221(2)(2)4n n a a +-+-=， 令2(2)n n b a =-，则14n n b b ++=，214n n b b ++∴+=，于是2n n b b +=，211(2)b a ∴=-，2202022(2)b b a ==-，12020124b b b b ∴+=+=，即2212020(2)(2)4a a -+-=，法一：112020202022cos 4)42222sin 4a a a a θπθθ=+⎧⇒+=+++⎨=+⎩（当且仅当4πθ=时等号成立）；法二：2222x yx y ++ 11202012020((2)(2)4244a a a a a -∴+=--+⨯=+（当且仅当120202a a ==+法三：2212020(2)(2)4a a -+-=，即1(a，2020)a 在22(2)(2)4x y -+-=上， 令z x y =+，即0x y z +-=，2d ∴=，|4|22z ∴-，42422z ∴-+ 4max z ∴=+．故选：C ．4．（2020•涪城区校级模拟）已知数列{}n a 中，12a =，21a =，且满足11112(2)111n n n n a a a -++=+++，则(n a = ) A ．51nn -+ B ．22n - C ．3n -D ．62n + 【解答】解：11112(2)111n n n n a a a -++=+++， ∴数列1{}1n a +是等差数列，其首项为11213=+，公差211111111236d a a =-=-=++， ∴1111(1)1366n n n a +=+-⨯=+， 611n a n ∴+=+， 51n na n -∴=+． 故选：A ．5．（2020•涪城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0(i j a a i +=，*j N ∈，且1)i j ，则i 的取值集合是( )A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4，5}C ．{6，7，8}D ．{6，7，8，9，10}【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设公差为d ，且43a =-，1224S =， 即133a d +=-，1121112242a d ⨯+⨯=， 求得19a =-，2d =，9(1)211n a n d n ∴=-+-=-．若0(i j a a i +=，*j N ∈，且1)i j ，则2112110i j a a i j +=-+-=，即11i j +=， 1i ∴=，10j =； 或2i =，9j =； 或3i =，8j =；或4i =，7j =；或5i =，6j =，则i 的取值集合是{1，2，3，4，5 }， 故选：B ．6．（2020•眉山模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9(S =) A ．27B ．272C ．9D ．3【解答】解：由等差数列的性质可得，475663a a a a a +=+=+， 53a ∴=，则19959()9272a a S a +===． 故选：A ．7．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，则2020201920102009(a a a a -=- )A ．5B ．10C ．25D ．105【解答】解：数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，∴51125112200a a q a q q ⎧+=⎪=⎨⎪>⎩，解得12a =，q =， ∴20192018201810202020192009200820082010200922(1)2522(1)a a q q q q q a a q q q q ---====---． 故选：C ．8．（2020•道里区校级一模）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π 【解答】解：设{}n a 的公差为d ，由()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=， 可得122020122020()(cos cos cos )1010a a a a a a π++⋯+-++⋯+=， 即120201*********()(cos cos cos )1010a a a a a π+-++⋯+=，① 又对11010i π．i Z ∈，有20212(20212)2(20212)(20212)(20212)cos cos cos[]cos[]2222i i i i a i d a i d i d i da a -+-+---+=-++2021120202(20212)(20212)(20212)(20212)2coscos 2cos cos 2cos cos222222i i i a i d a a a a i d i d i d-+-++---===． 设120202a a m +=，则①即为1202022019101010112020[(cos cos )(cos cos )(cos cos )]1010m a a a a a a π-++++⋯++=，即2019201720202cos [coscos cos ]1010222d d dm m π-++⋯+=②， 设20192017()20202cos [coscos cos ]1010222d d dg x x x π=-++⋯+-，由2020d =， 可得20192017()20202sin [coscos cos ]202020200222d d dg x x '=+++⋯+>-=， 所以()g x 在R 上递增，且()02g π=， 又由②可得()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以102020202020()10102a a S π+==．故选：A ．9．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋯，1n n a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则3a 等于( ) A ．64B ．32C ．2D ．4【解答】解：由 题意可得，1118()2n n n a a --=⨯，18a =， 所以214a a =即232a =，322a a =， 所以364a =． 故选：A ．10．（2020•内蒙古模拟）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，424S =，999S =，则7(a = )A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：因为424S =，999S =， 11462493699a d a d +=⎧⎨+=⎩，解可得，13a =，2d = 则71615a a d =+=． 故选：C ．11．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a -，32a a -，⋯，1n n a a --是首项为1，公差为2的等差数列，则3a 等于( ) A ．9B ．5C ．4D ．2【解答】解：由题意可得，112(1)21n n a a n n --=+-=-，11a =， 故24a =，39a =， 故选：A ．12．（2020•重庆模拟）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a = ) A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，222216q q ∴=⨯+，且0q >， 解得4q =，8292log 2417a log ∴=⨯=． 故选：C ．13．（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．1123【解答】解：设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，2a ，5a ，9a 成等比数列，可得2529a a a =， 即2111(4)()(8)a d a d a d +=++， 整理可得18a d =，故1553741775()7821025583117()2a a S a d d S a d d a a ⨯++====+⨯+． 故选：C ．14．（2020•临汾模拟）在进行123100+++⋯⋯+的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列24034n na m =+，则122016(m a a a +++⋯⋯+= )A ．5042m+ B ．5044m+ C ．504m + D ．2504m +【解答】解：依题意24034n na m =+，记122016m S a a a +=++⋯⋯+，则122015201624034240342403424034m m S m m m m ++=++⋯++++++， 又201620152124034240342403424034m m S m m m m ++=++⋯++++++， 两式相加可得201720172017201720162240342403424034240342m m m m m S m m m m +++++=++⋯++=++++， 则201650444m mS +==+． 故选：B ．15．（2020•道里区校级一模）已知数列{}n a 满足211112nn n n n n a a a a a a -+-++=++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6(S = ) A ．128B ．126C ．124D ．120【解答】解：211112nn n n n n a a a a a a -+-++=++，11a =，23a =， 22213132a a a a a a ∴+=++，即39621a +=+，解得：37a =；同理，由23324242a a a a a a +=++，即4491443a +=+， 解得：415a =；同理解得：531a =；663a =， 6137153163120S ∴=+++++=，故选：D ．16．（2020•香坊区校级模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，⋯，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，)⋯．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为( )A ．55B ．220C ．285D ．385 【解答】解：数列{}n a 如1，3，6，10，15，⋯，可得通项公式(1)2n n n a +=． 2221212(1)(21)(1)22122n n n n n n n n S ++⋯+++⋯++++∴=+=+． 10n =时，可得：101011211011220122S ⨯⨯⨯=+=．故选：B ．17．（2020•吉林二模）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例5151(0.61822--≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为( )（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.09【解答】解：根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即1HP =，则矩形HPLJ 中，5151LP HJ +===- 则在矩形HJIF 中，251(51HF +==-，同理：351()2FC +=，451()2DC +=， 则551()11.092BC +=≈； 故选：D ．18．（2020•吉林二模）在区间[3-，3]上随机取一个数x ，使得301xx --成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．11【解答】解：由题意，本题符合几何概型，区间[3-，3]长度为6， 使得得301xx --成立的x 的范围为(1，3]的区间长度为2， 故使得301xx --成立的概率为2163=，即差数列{}n a 的公差13d =， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，1102(4)33n n a n -=-+-=， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D ．19．（2020•厦门模拟）定义{max a ，,},a a bb b a b⎧=⎨<⎩．若函数2(){2f x max x =-+，4}x -，数列{}n a 满足()(*)n l n a f a n N +=∈，若{}n a 是等差数列，则1a 的取值范围是( ) A ．{2-，1}B ．(-∞，3][2-，)+∞C ．(-∞，3]{2--⋃，1}D ．(-∞，3][2-，){2U +∞-，1}【解答】解：令224x x -+=-，解得2x =，3-．()24,322,32x x x f x x x --⎧∴=⎨-+-<<⎩或．{}n a 是等差数列，1()n n n n a a f a a +∴-=-=常数．①144n n n n a a a a +-=--=-为常数，14(1)n a a n =--．224n n a a -+-，解得3n a -或2n a 恒成立，则13a -．②若{}n a 为常数列，则212n n n a a a +==-，解得2n a =-或1．1a ∴的取值范围是(-∞，3]{2--⋃，1}，故选：C ．20．（2020•厦门模拟）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++，则7(a =) A ．31B ．32C ．63D ．64【解答】解：依题意，当2n 时，由121111n n n a a a a S --=++⋯++=+，①可得 11n n a S +=+，②②-①，可得11n n n n n a a S S a +--=-=， 整理，得12n n a a +=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．11122n n n a --∴==，*n N ∈． 717264a -∴==． 故选：D ．21．（2020•邵阳一模）在数列{}n a 中，若11a =，23a =，21(1)n n n a a a n ++=-，则该数列的前50项之和是( ) A ．18B ．8C ．9D ．4【解答】解：在数列{}n a 中，若11a =，23a =，21(1)n n n a a a n ++=-， 3312a ∴=-=，4231a =-=-， 5123a =--=-，6312a =-+=-， 7231a =-+=， 8123a =+=，∴数列{}n a 是以6为周期的数列．50682=⨯+，∴该数列的前50项之和是：50123456128()S a a a a a a a a =⨯+++++++8(132132)134=++---++=．故选：D ．22．（2020•湖北模拟）已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x '+=，若2()()x n n n n f x e a x b x c =++，记数列2{}2nn na cb -的前n 项和为n S ，则下列选项中与2019S 的值最接近的是( ) A ．32B ．53C ．74 D ．95【解答】解：由22()(1)(21)x x f x e x e x x =+=++， 得21()()(43)x f x f x e x x ='=++，221()()(67)x f x f x e x x '==++， 232()()(813)x f x f x e x x '==++，⋯21()()[2(1)(1)(2)1]x n n f x f x e x n x n n '+==++++++． 又2()()x n n n n f x e a x b x c =++， 1n a ∴=，2n b n =，(1)1n c n n =++．∴222212221n n n a c b n n ==-++． 令22211111(2)21(1)1n n n n a d n c b n n n n n n==<<=--+--，则2019123111111313(1)()()2223122n S d d d d n n n =+++⋯+<+-+-+⋯+-=-<-． ∴与2019S 的值最接近的是32． 故选：A ．23．（2020•临汾模拟）已知等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则公比(q = ) A ．12或2- B ．12-或2C ．12-或2-D ．12或2 【解答】解：5115a a -=，426a a -=，则4131(1)15()6a q a q q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 22520q q ∴-+=， 解可得，2q =或12q =． 故选：D ．24．（2020•金安区校级模拟）已知数列{}n a 满足13n n a a +=，11a =，012123164n n n n n n a C a C a C a C ++++⋯+=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为( )A ．160-B ．80-C ．80D ．160【解答】解：因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13n n a -=，所以0121231n n n n n n a C a C a C a C ++++⋯+0011223333n nn n n n C C C C =+++⋯+(13)464n n =+==，所以3n =， 所以61(1)(2)x x x--，其中61(2)x x-展开式的第1r +项为66621661(2)()(1)2r r r r rr r r T C x C x x---+=-=-，令621r -=-，得72r =（舍去），令3r =可得4160T =-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-，展开式中常数项为：1(160)160-⨯-=． 故选：D ．25．（2020•武汉模拟）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -【解答】解：11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a ++∴+-=，∴1=1，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1(1)1n n =+-⨯=，2n a n ∴=． 故选：B ．26．（2020•淮北一模）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( )A ．B ．20C ．25D ．100【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +， 得2233(2)(6)10a d a d +++， 即223320850d a d a ++-； 由△2233(8)420(5)0a a =-⨯⨯-， 化简得2325a ， 解得355a -，所以123453525a a a a a a ++++=， 即12345a a a a a ++++的最大值为25． 故选：C ．27．（2020•鼓楼区校级模拟）已知数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，且113a b +=，1a ，*1b N ∈，设*()n n a c b n N =∈，则数列{}n c 的前7项和等于( )A ．17B ．26C ．35D ．44【解答】解：113a b +=，1a ，*1b N ∈， 可得11a =，12b =或12a =，11b =，数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，可得11n a n n =+-=，211n b n n =+-=+；或1n a n =+，n b n =， 则1n n a n c b b n ===+，数列{}n c 的前7项和等于17(28)352⨯⨯+=，故选：C ．28．（2020•武昌区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(,48)-∞B ．(,36)-∞C ．(,16)-∞D ．(16,)+∞【解答】解：由题意，当1n =时，2113111122a S ==-=． 当2n 时，2213131[(1)(1)]322222n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，32n a n ∴=-，*n N ∈．则111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+． 设数列{}n b 的前n 项和n T ，则 12n n T b b b =++⋯+11111111(1)()()3434733231n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)34473231n n =-+-+⋯+--+11(1)331n =-+ 31nn =+． 对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，∴对任意的*n N ∈，不等式9331nn n λ<++恒成立， 即对任意的*n N ∈，不等式23(31)n nλ+<恒成立．构造数列{}n c ：令23(31)n n c n+=，*n N ∈．22213(34)3(31)3(991)01(1)n n n n n n c c n n n n ++++--=-=>++，*n N ∈．∴数列{}n c 是单调递增数列． ∴数列{}n c 的最小值为148c =．48λ∴<．故选：A ．二．解答题（共12小题）29．（2020•广州一模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112(*)2n n n S a n N --=∈． （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ． 【解答】解：（1）由1122n n n S a --=，可得1n =时，11a S =，又1121S a -=，即11a =； 2n 时，1n n n a S S -=-，112122n n n S a ----=，又1122n n n S a --=， 两式相减可得1112n n n a a --+=-， 即有112n n na a ++=-； （2）证明：由（1）可得112n n na a ++=-， 即有12112n n n a a ++++=-， 两式相减可得2112n n n n b a a ++=-=，则1122122n n n n b b +++==，可得数列{}n b 是首项为14，公比为12的等比数列， 前n 项和111(1)114212212n n n T +-==--． 30．（2020•桥东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，且11a =，2211()8n n n S a a λ+=+-． （1）求λ的值及{}n a 的通项公式； （2）设1n n n n n a Sb S S +=+，求{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是等差数列，11a =，设公差为d ， 又2211()8n n n S a a λ+=+-， 221111(())8a a a d λ∴=++-，即2211[1(1)]8d λ=++-①；2212111[()(2)]8a a a d a d λ+=+++-，即22111[(1)(12)]8d d d λ++=+++-②，联立①②得：2d =或1d =-， 当2d =时，2λ=；当1d =-时，20a =，不符合题意，舍去． 1(1)221n a n n ∴=+-⨯=-．（2）1111111n n n n n n n n n n n n n n a S a S a a a b S S S S S S ++++++-=+=+=-+， 121121a a b S S ∴=-+， 322231a ab S S =-+，⋯，1111n nn n na ab S S ---=-+， 111n n n n n a a b S S ++=-+， 将以上n 个式子左右分别相加得：1112211211(1)n n n n a a n T b b b n n S S n +++=++⋯+=-+=+-+． 31．（2020•龙岩一模）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）由题意，可知1221a b b b +=， 即111122a +=，解得11a =． 又数列{}n a 是公差为1的等差数列， 11n a n n ∴=+-=．111(1)n n n n n a b b n b nb +++∴+=+=，∴数列{}n nb 是常数数列，即111n nb b ==，1n b n∴=，*n N ∈． （2）由（1）知，1111(1)1n n n c b b n n n n +===-++， 故12n n S c c c =++⋯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 32．（2020•宜昌模拟）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1a 、2a 、5a 成等比数列，749S =．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足2log (2)n T +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令*()nn na c n Nb =∈，证明：123n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）设数列{}n a 为公差d 不为零的等差数列，由1a 、2a 、5a 成等比数列，可得2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+，化为12d a =， 由749S =，可得172149a d +=，即有14949a =，解得11a =，2d =， 可得12(1)21n a n n =+-=-，*n N ∈； 又21(121)2n S n n n =+-=，由数列{}n b 的前n 项和为n T，且2log (2)1n T n +==+， 可得122n n T ++=，即122n n T +=-，当1n =时，112b T ==；2n 时，1122222n n n n n n b T T +-=-=--+=，对1n =也成立， 则2n n b =，*n N ∈； （2）证明：由*()n n n a c n N b =∈，可得1(21)()2n n c n =-， 设21211113()(21)()222n n n R c c c n =++⋯+=++⋯+-， 23111111()3()(21)()2222n n R n +=++⋯+-， 上面两式相减可得211111112[()()](21)()22222n n n R n +=++⋯+--1111(1)11422(21)()12212n n n -+-=+---，化简可得13(23)()2n n R n =-+，由1(23)()02n n +>，可得123n c c c ++⋯+<．33．（2020•五华区校级模拟）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T ． 【解答】解：（1）设{}n a 的公差为d ，0d ≠， 1a ，2a ，7a 成等比数列，∴2217a a a =，可得2111()(6)a d a a d +=+，又0d ≠，得14d a =， 又41313a a d =+=，联立可得11a =，4d =， 14(1)43n a n n ∴=+-=-；（2）11(1)(1)(43)n n n n b a n ++=-=--，2019122009T b b b ∴=++⋯+(15)(913)(80658069)8073=-+-+⋯+-+ (4)100980734037=-⨯+=．34．（2020•龙岩一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）611a =，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2111(4)()(13)a d a d a d +=++，化简得12d a =，②由①②可得，11a =，2d =．∴数列的通项公式是21n a n =-；（2）由（1）得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 1211111111(1)(1)2335212122121n n nS b b b n n n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-=-+++． 35．（2020•咸阳二模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =． ()I 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ； ()II 设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和，求证：1n T <． 【解答】()I 解：()I 由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112818656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为12(1)21n a n n =+-=-，*n N ∈．2(1)122n n n S n n -=+=． ()II 证明：由()I 知，211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++． 则1211112n n T S S S n=++⋯++++ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 1111n =-<+． 即1n T <．36．（2020•七星区校级一模）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上，（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-为等比数列，并求其公比．（Ⅱ）设2log (1)n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若(1)m m S a λ+，求实数λ的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上，可得121n n a a +=+， 即有112(1)n n a a ++=+，可得{1}n a +为首项为2，公比为2的等比数列，可得12n n a +=， 即21n n a =-，1121(21)2n n n n n a a ++-=---=， 可得数列1{}n n a a +-为等比数列，其公比为2； （Ⅱ）设22log (1)log 2n n b a =+=n n =，1(1)2n S n n =+，(1)m m S a λ+即为1(1)22m m m λ+，可得(1)22mm m λ+恒成立， 由(1)2m m m m c +=，111(1)(2)(1)(1)(2)222m mm m m m m m m m m c c +++++++--=-=， 当1m =时，21c c >，2m =时，32c c =，2m >时，1m m c c +<， 即12345c c c c c <=>>>⋯，可得2332c c ==为最大值，即有32λ， 则34λ，即实数λ的最小值为34．37．（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）求n a 及n S ； （2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．【解答】解：（1）设数列{}n a 是公差为d ，且不为零的等差数列，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列，可得2152a a a =， 即有21(14)(1)d d +=+，解得2d =， 则12(1)21n a n n =+-=-；21(121)2n S n n n =+-=；（2）21212211111122()21(21)141n a n n n n b a n n n --+=+=+=-+-+-+， 可得前n 项和21111111(1)(282)42231n n T n n -=-+-+⋯+-+++⋯++112(14)2(1)(41)4114443n n n n n -=-+=+-+-+． 38．（2020•福清市一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -=． （Ⅰ）求n a（Ⅱ）若数列{}n b 满足*14()nn n n a b n N S S +=∈，{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）22n n a S -=．2n ∴时，1122n n a S ---=，可得：1220n n n a a a ---=，可得：12n n a a -=．1n =时，1122a a -=，解得12a =，∴数列{}n a 是首项公比都为2的等比数列．2n n a ∴=．（2）由（1）可得：2(21)2(21)21n n n S -==--．11211(21)(21)2121n n n n n n b ++∴==-----． ∴数列{}n b 的前n 项和223111111111121212*********n n n n T ++=-+-+⋯⋯+-=--------． 39．（2020•邵阳一模）已知正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】解：（1）正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．11(3)()0n n n n a a a a ++∴-+=，13n n a a +∴=，∴数列{}n a 为等比数列．13n n a -∴=．（2）设等差数列{}n n b a -的公差为d ，且12b =，314b =， 2143212d ∴-=-+，解得2d =． 12(1)21n c n n ∴=+-=-．∴数列{}n b 的前n 项和21(1321)1333n n S n -=++⋯⋯+-++++⋯⋯+2(121)3131222n n n n n +---=+=+． 40．（2020•荔湾区校级模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足341S a +=，231S a +=．（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）记12nn n n b S S +=，12n n T b b b =++⋯+，试比较n T 与1的大小．【解答】解：（1）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足341S a +=，231S a +=． 设公比为q ，首项为1a ，则：12341a a a a +++=①，1231a a a ++=，由①②得：123412311a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩整理得：342a a =， 解得2q =．11a =． 所以11122n n n a --==． （2）由于12n n a -=，所以(21)2121n n n S -==--，1121n n S ++=-，则：1112211(21)(21)2121n n n n n n n n n b S S +++===-----． 所以：1211111111111337212121n n n n n T b b b ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-<---。
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列1．（2020·东北师大附中高三模拟（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36C ．-6D ．6【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-， ∴2d =， ∴n S ()112n n dna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选B 。
2．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==， 又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =. 若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q qq q--==--解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =； 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5，故选B 。
3．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（ ） A ．11 B ．10C ．7D ．3【答案】B【解析】依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=。
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（三）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{|10}A x x =->，{|lg }B x y x ==，则A B =I ( ) A ．(1,)+∞ B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞答案：B首先解不等式求出集合A ，求对数函数的定义域得集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 解：因为10x ->.所以1x <，所以(,1)A =-∞， 因为0x >，所以(0,)B =+∞， 所以(0,1)A B =I . 故选：B 点评：本题考查了集合的交集概念以及基本运算、对数函数的定义域，属于基础题. 2．复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 解： 因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限 故选A 点评：本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题.3．已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<答案：C利用指对数函数的知识得出,a b 的范围即可. 解：因为3log 0.30a =<， 4.13(0,1)b -=∈，312c =>，所以a b c <<． 故选：C 点评：本题考查指数、对数的大小比较，较简单. 4．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A ．83- B ．43- C ．83D ．43答案：A由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 解：3sin 22sin cos 4θθθ==-Q ，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A . 点评：本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题. 5．已知||||a b ==r r21a a b +⋅=r r r，则向量a r ，b r 的夹角θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C首先算出1a b ⋅=-r r，然后求出cos θ即可. 解：因为21a a b +⋅=r r r ，所以1a b ⋅=-r r ，所以1cos 2||||a b a b θ=⋅=-r r r r，所以23θπ=故选：C 点评：本题考查的是向量的数量积的有关计算，较简单.6．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（p áo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314B ．1114C ．114D ．27答案：B分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 解：从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 点评：本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.7．函数()3ln ||xf x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A由函数()f x 为非奇非偶函数可排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，可排除选项B ．解：因为函数()f x 为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y 轴对称，排除选项C ，D ， 当x →+∞时，函数值()f x →+∞，故排除选项B ． 故选：A 点评：解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.8．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥答案：C根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 解：对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 点评：本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.9．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．18答案：D利用余弦定理角化边整理可得结果. 解：由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D . 点评：本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.10．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．12ω=-，23ϕπ=B ．12ω=-，3πϕ=C ．2ω=-，23ϕπ=D ．2ω=-，3πϕ=答案：C由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，首先利用函数()g x 的最小正周期是π可求出ω，然后利用3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ 解：由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 的最小正周期是π，所以2||ππω=，所以2ω=±，因为0ω<，所以2ω=-，所以()3sin 23g x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 因为3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2k ϕ=π或22()3k k Z ππ+∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：C 点评：本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.11．在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．3π B ．9π C ．12πD ．24π答案：B根据题意，确定CP 为三棱锥P ABC -的外接球的直径，再利用球的表面积公式即可求解. 解：因为AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB B ⋂=，所以PA ⊥底面ABC ， 因为点P 到底面ABC 的距离为1.所以1AP =. 因为CB AP ⊥，CB AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，故BC PB ⊥，90PBC PAC ∠=∠=︒，即该球的直径为3CP ===，所以球的半径为32R =，249S R ππ==. 故选：B 点评：本题考查了多面体的外接球问题、球的表面积公式，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3答案：B过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 解：过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 点评：本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．答案：32根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 点评：本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14．已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O 为坐标原点，且||2OP =，则点P 的坐标是_______. 答案：()2,2首先求出双曲线过第一象限的渐近线方程y x =，利用两点间的距离公式即可求解. 解：双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，设(),P x x ，0x >因为||2OP =P 的坐标为()2,2. 故答案为：()2,2 点评：本题考查了双曲线的几何性质、两点间的距离公式，属于基础题.15．已知函数[]22()(0)x f x f e kx '=-（e 为自然对数的底数，()f x '为函数()f x 的导函数且(0)0f '≠，()f x 至少有两个零点，则实数k 的取值范围是__________.答案：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭令0x =，求出()01f '=，可得函数 ()2xf x e kx =-，分离参数可得2xek x=，记2()x e g x x=，利用导数作出()g x 的大致图像，数形结合可得2(2)4k g e =…，从而求出实数k 的取值范围. 解：因为[]2()(0)2x f x f e kx ''=-，所以2(0)[(0)]f f ''=，解得()01f '=或()00f '=（不合题意，舍去），所以()2xf x e kx =-，由()y f x =至少有两个零点，所以20x e kx -=至少有两根，因为0x =不是方程的根，所以方程可化为2xe k x =，记2()xe g x x=，因为()22222(2)()x xx e x xe e x g x x x --'==，所以()g x 在区间()0,2单调递减，在区间(,0)-∞和(2,)+∞单调递增，函数()g x 大致图象如图，所以当2(2)4k g e =…时，函数()f x 至少有2个零点，所以实数k 的取值范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题考查了导数在研究函数单调性、最值中的应用、根据函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、双空题16．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是__________. 答案：15815根据相互独立事件的概率乘法求出甲、乙被录取的概率，再次利用概率的乘法运算可求出甲、乙同时被录取的概率；分类并利用概率的乘法以及加法可求出只有一人被录取的概率. 解：甲被录取的概率为1433545P =⨯=，乙被录取的概率为2211323P =⨯=， 则该次考试甲，乙同时被录取的概率是12311535P PP ==⨯=， 只有一人被录取的概率是()()22113221815353115P P P P P +-=⨯+⨯==-. 故答案为：15；815点评：本题考查了相互独立事件的概率乘法运算，考查了分析以及基本运算能力，属于基础题.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 答案：（1）2n a n =；（2）211343n nS n n =+-+⨯. （1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 解：（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯． 点评：本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =I ，1A O ⊥平面ABCD .（1）证明1//AO 平面11B CD . （2）若1AB AA =，求二面角1A A B D --的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）63. （1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，证出11//A O O C ，再利用线面平行的判定定理即可证出结论.（2）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面1AA B 的一个法向量，平面1DA B 的一个法向量，利用空间向量的数量积由2112|cos |n n n n θ⋅=u r u u r u r u u r 即可求解. 解：（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，所以11//OC A O ，11OC AO =，所以四边形11AOCO 为平行四边形，所以11//A O O C ，因为1AO ⊄平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ， 所以1//AO 平面11B CB . （2）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 设1OA =.因为1AB AA -，所以11OA =，所以(0,1,0)A -，1(0,0,1)A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，所以1(0,1,1)AA =u u u r ，()1,1,0AB =u u u r ， 设()1111,,n x y z =u r为平面1AA B 的一个法向量，因为11100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，所以111100y z x y +=⎧⎨+=⎩，令11y =，所以1(1,1,1)n =--u r，因为平面1DA B 的一个法向量为2(0,1,0)n =u u r，设二面角1A A B D --的平面角为θ，所以21123|cos |31n n n n θ⋅===⨯u r u u u r ur ur ， 所以sin 6θ=.点评：本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法求面面角，属于中档题.19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下： 愿意 不愿意 男生 60 20 女士 4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关； （2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.0010k3.841 6.635 10.828答案：（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. （1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 解：（1）∵2K Q 的观测值()2160604040203210.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯=人，女生有21045⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X 的可能取值有0,1,2,3，()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====，X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．点评：本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20．已知函数2()(ln )2f x a x x x x =-+-，e 为自然对数的底数. （1）当2a e =-时，求函数()f x 的极值；（2）若2x π…，求证：()22(sin ln )2x e x e x π>-+--.答案：（1）当1x =时，极大值21e --，当x e =时，极小值2e -；（2）证明见解析. （1）首先求出导函数()f x '，将2a e =-代入，求出()f x '的正负，从而确定函数的单调区间，再根据极值的定义即可求解.（2）由（1）知，当2a e =-，2x π…时，可得222(ln )2e x x x x e --+--…，即2()22ln e x x e x --…，构造()sin 12g x x x π=--+，利用导数可得函数()g x 在,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，即()02g x g π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，证出sin 12x x π+-…，进而证出不等式. 解：（1）因为1(1)(2)()122x x a f x a x x x-+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭， 所以当2a e =-时，2(1)()()x x e f x x--'=，因为当01x <<时，()0f x '>； 当1x e <<时，()0f x '<； 当x e >时，()0f x '>；所以函数()y f x =在(0,1)和(,)e +∞上单调递增，在(1,)e 上单调递减， 所以当1x =时，函数有极大值(1)21f e =--， 当x e =时，函数有极小值2()f e e =-.（2）由（1）知，当2a e =-，2x π…时，函数()y f x =在x e =时取得极小值，即最小值2e -，所以222(ln )2e x x x x e --+--…，化简可得2()22ln e x x e x --…， 令()sin 12g x x x π=--+，则()1cos 0g x x '=-…， 所以函数()g x 在,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()02g x g π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，所以sin 12x x π+-…，从而可得2)22ln 2sin (12ln 2x x e x x e x e π⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭-厖， 因为不等式的两个等号不同时成立，所以2()2(sin ln )2e x x e x π->-+-. 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值、最值，构造函数求导函数证明不等式，属于难题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B V 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程； （2）求OMN V 面积的取值范围.答案：（1）2213x y +=；（2）364⎛ ⎝⎦.（1）由题意可得1b =，3a b ，根据椭圆的标准方程即可求解.（2）分类讨论：当直线MN 的斜率不存在时，求出OMN V 的面积；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，直线MN 的方程为(1)y k x =-，将直线与椭圆联立，利用韦达定理结合121||12S y y =⨯-⨯即可求出面积的最值. 解：（1）因为1()0,1B ，所以1b =，因为112A B B V 为等边三角形， 所以3a b ，所以3a =所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）设OMN V 的面积为S .①当直线MN的斜率不存在时，可得1,M ⎛ ⎝⎭，N ⎛⎝⎭，所以112S ==②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ， 则直线MN 的方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得()2222316330k x k x k +-+-=，所以2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()12122|31k y y k x x k -=-=+， 因为1>0x ，20x >，所以||1k >，面积121||12S y y =⨯-⨯22|313k k k ==++令t =21S t =+，t ∈， 由())()22211t S t t -'=+则()S t 在定义域内单调递减，所以343S <<OMN V面积的取值范围是34⎛ ⎝⎦.点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了学生的计算能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.答案：（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可； （2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t tαα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可. 解：（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数，可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，Q 直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α，∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t tαα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，Q 0απ≤≤，∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=点评：本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．设函数()121f x x x a =++-+． （1）当1a =时，解不等式()6f x ≤； （2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．答案：（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫--⎪⎝⎭. （1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果. 解：（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-Q ，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+Q 有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．点评：本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—数列1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b82．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．324．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．155．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．58．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝．11．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝．15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．21．（2020•浙江）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满⾜a1＝b1＝c1＝1，c n＝a n+1﹣a n，c n+1＝c n，（n∈N*）．（Ⅰ）若{b n}为等⽐数列，公⽐q＞0，且b1+b2＝6b3，求q的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等差数列，公差d＞0，证明：c1+c2+c3+…+c n＜1+，n∈N*．22．（2020•上海）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，a1＝1．（1）若数列{a n}为等差数列，S10＝70，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等⽐数列，a4＝，求满⾜S n＞100a n时n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀．选择题（共8⼩题）1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b8【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＝a1+（n﹣1）d，∴a2＝a1+d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，b n+1＝S2n+2﹣S2n，∴b2＝S4﹣S2＝a3+a4，b4＝S8﹣S6＝a7+a8，b6＝S12﹣S10＝a11+a12，b8＝S16﹣S14＝a15+a16，A.2a4＝a2+a6，根据等差数列的性质可得A正确，B．若2b4＝b2+b6，则2（a7+a8）＝a3+a4+a11+a12＝（a3+a12）+（a4+a11），成⽴，B正确，C．若a42＝a2a8，则（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+7d），即a12+6a1d+9d2＝a12+8a1d+7d2，得a1d＝d2，∵d≠0，∴a1＝d，符合≤1，C正确；D．若b42＝b2b8，则（a7+a8）2＝（a3+a4）（a15+a16），即4a12+52a1d+169d2＝4a12+68a1d+145d2，得16a1d＝24d2，∵d≠0，∴2a1＝3d，不符合≤1，D错误；故选：D．2．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d＝，∴a n＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．由a n＝2n﹣11＝0，得n＝，⽽n∈N*，可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，⾃第6项开始为正值．可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最⼤项，⾃T5起均⼩于0，且逐渐减⼩．∴数列{T n}有最⼤项，⽆最⼩项．故选：B．3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．32【解答】解：{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，则a2+a3+a4＝q（a1+a2+a3），即q＝2，∴a6+a7+a8＝q5（a1+a2+a3）＝25×1＝32，故选：D．4．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【解答】解：若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦，即有i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j ＝9，k＝12，共5个；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则a i，a j，a k为原位⼩三和弦，可得i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j ＝8，k＝12，共5个，总计10个．故选：C．5．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…【解答】解：对于A选项：序列1101011010C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+0）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+1+0+1+0）＝，不满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4），故排除A；对于B选项：序列1101111011C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+1+1）＝，不满⾜条件，排除；对于C选项：序列100011000110001C（1）＝a i a i+1＝（0+0+0+0+1）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+0+0+0++0）＝0，C（3）＝a i a i+3＝（0+0+0+0+0）＝0，C（4）＝a i a i+4＝（1+0+0+0+0）＝，符合条件，对于D选项：序列1100111001C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+1）＝不满⾜条件．故选：C．6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1【解答】解：设等⽐数列的公⽐为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，∴S n＝＝2n﹣1，a n＝2n﹣1，∴＝＝2﹣21﹣n，故选：B．7．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由a1＝2，且a m+n＝a m a n，取m＝1，得a n+1＝a1a n＝2a n，∴，则数列{a n}是以2为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，则，∴a k+1+a k+2+…+a k+10＝＝215﹣25，∴k+1＝5，即k＝4．故选：C．8．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【解答】解：⽅法⼀：设每⼀层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，由等差数列的性质可得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，且（S3n﹣S2n）﹣（S2n﹣S n）＝n2d，则n2d＝729，则n＝9，则三层共有扇⾯形⽯板S3n＝S27＝27×9+×9＝3402块，⽅法⼆：设第n环天⽯⼼块数为a n，第⼀层共有n环，则{a n}是以9为⾸项，9为公差的等差数列，a n＝9+（n﹣1）×9＝9n，设S n为{a n}的前n项和，则第⼀层、第⼆层、第三层的块数分别为S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，∵下层⽐中层多729块，∴S3n﹣S2n＝S2n﹣S n+729，∴﹣＝﹣+729，∴9n2＝729，解得n＝9，∴S3n＝S27＝＝3402，故选：C．⼆．填空题（共6⼩题）9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满⾜a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d，所以＝＝＝＝．故答案为：．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝25．【解答】解：因为等差数列{a n}中，a1＝﹣2，a2+a6＝2a4＝2，所以a4＝1，3d＝a4﹣a1＝3，即d＝1，则S10＝10a1＝10×（﹣2）+45×1＝25．故答案为：2511．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝10．【解答】解：数列{a n}满⾜a n＝，可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，所以S3＝1+3+6＝10．故答案为：10．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为3n2﹣2n．【解答】解：将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为⾸项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+＝3n2﹣2n，故答案为：3n2﹣2n．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是4．【解答】解：因为{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），因为{a n}是公差为d的等差数列，设⾸项为a1；{b n}是公⽐为q的等⽐数列，设⾸项为b1，所以{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，所以其前n项和S＝＝n2+（a1﹣）n，当{b n}中，当公⽐q＝1时，其前n项和S＝nb1，所以{a n+b n}的前n项和S n＝S+S＝n2+（a1﹣）n+nb1＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），显然没有出现2n，所以q≠1，则{b n}的前n项和为S＝＝+，所以S n＝S+S＝n2+（a1﹣）n+﹣＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），由两边对应项相等可得：解得：d＝2，a1＝0，q＝2，b1＝1，所以d+q＝4，故答案为：4．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝7．【解答】解：由a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，当n为奇数时，有a n+2﹣a n＝3n﹣1，可得a n﹣a n﹣2＝3（n﹣2）﹣1，…a3﹣a1＝3•1﹣1，累加可得a n﹣a1＝3[1+3+…+（n﹣2）]﹣＝3•＝；当n为偶数时，a n+2+a n＝3n﹣1，可得a4+a2＝5，a8+a6＝17，a12+a10＝29，a16+a14＝41．可得a2+a4+…+a16＝92．∴a1+a3+…+a15＝448．∴＝448，∴8a1＝56，即a1＝7．故答案为：7．三．解答题（共8⼩题）15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等⽐数列{b n}的公⽐为q，由a1＝1，a5＝5（a4﹣a3），则1+4d＝5d，可得d＝1，∴a n＝1+n﹣1＝n，∵b1＝1，b5＝4（b4﹣b3），∴q4＝4（q3﹣q2），解得q＝2，∴b n＝2n﹣1；（Ⅱ）证明：法⼀：由（Ⅰ）可得S n＝，∴S n S n+2＝n（n+1）（n+2）（n+3），（S n+1）2＝（n+1）2（n+2）2，∴S n S n+2﹣S n+12＝﹣（n+1）（n+2）＜0，∴S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；法⼆：∵数列{a n}为等差数列，且a n＝n，∴S n＝，S n+2＝，S n+1＝，∴＝＝＜1，∴S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ），当n为奇数时，c n＝＝＝﹣，当n为偶数时，c n＝＝，对任意的正整数n，有c2k﹣1＝（﹣）＝﹣1，和c2k＝＝+++…+，①，由①×可得c2k＝++…++，②，①﹣②得c2k＝+++…+﹣﹣，∴c2k＝﹣，因此c2k＝c2k﹣1+c2k＝﹣﹣．数列{c n}的前2n项和﹣﹣．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．【解答】解：（1）设等⽐数列{a n}的公⽐为q（q＞1），则，∵q＞1，∴，∴．（2）a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1•22n+1，＝＝．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）k＝1时，a n+1＝S n+1﹣S n＝λa n+1，由n为任意正整数，且a1＝1，a n≠0，可得λ＝1；（2）﹣＝，则an+1＝S n+1﹣S n＝（﹣）•（+）＝•（+），因此+＝•，即＝，Sn+1＝a n+1＝（S n+1﹣S n），从⽽S n+1＝4S n，⼜S1＝a1＝1，可得S n＝4n﹣1，a n＝S n﹣S n﹣1＝3•4n﹣2，n≥2，综上可得a n＝，n∈N*；（3）若存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，则S n+1﹣S n＝λa n+1，则S n+1﹣3S n+1S n+3S n+1S n﹣S n＝λ3a n+1＝λ3（S n+1﹣S n），由a1＝1，a n≥0，且S n＞0，令p n＝（）＞0，则（1﹣λ3）p n3﹣3p n2+3p n﹣（1﹣λ3）＝0，λ＝1时，p n＝p n2，由p n＞0，可得p n＝1，则S n+1＝S n，即a n+1＝0，此时{a n}唯⼀，不存在三个不同的数列{a n}，λ≠1时，令t＝，则p n3﹣tp n2+tp n﹣1＝0，则（p n﹣1）[p n2+（1﹣t）p n+1]＝0，①t≤1时，p n2+（1﹣t）p n+1＞0，则p n＝1，同上分析不存在三个不同的数列{a n}；②1＜t＜3时，△＝（1﹣t）2﹣4＜0，p n2+（1﹣t）p n+1＝0⽆解，则p n＝1，同上分析不存在三个不同的数列{a n}；③t＝3时，（p n﹣1）3＝0，则p n＝1，同上分析不存在三个不同的数列{a n}．④t＞3时，即0＜λ＜1时，△＝（1﹣t）2﹣4＞0，p n2+（1﹣t）p n+1＝0有两解α，β，设α＜β，α+β＝t﹣1＞2，αβ＝1＞0，则0＜α＜1＜β，则对任意n∈N*，＝1或＝α3（舍去）或＝β3，由于数列{S n}从任何⼀项求其后⼀项均有两种不同的结果，所以这样的数列{S n}有⽆数多个，则对应的数列{a n}有⽆数多个．则存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0，综上可得0＜λ＜1．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公⽐q不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项，可得2a1＝a2+a3，即2a1＝a1q+a1q2，即为q2+q﹣2＝0，解得q＝﹣2（1舍去），所以{a n}的公⽐为﹣2；（2）若a1＝1，则a n＝（﹣2）n﹣1，na n＝n•（﹣2）n﹣1，则数列{na n}的前n项和为S n＝1•1+2•（﹣2）+3•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n﹣1，﹣2S n＝1•（﹣2）+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n，两式相减可得3S n＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n•（﹣2）n＝﹣n•（﹣2）n，化简可得S n＝，所以数列{na n}的前n项和为．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．【解答】解：（1）∵a2+a4＝20，a3＝8，∴+8q＝20，解得q＝2或q＝（舍去），∴a1＝2，∴a n＝2n，（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，∴2n≤m，∴n≤log2m，故b1＝0，b2＝1，b3＝1，b4＝2，b5＝2，b6＝2，b7＝2，b8＝3，b9＝3，b10＝3，b11＝3，b12＝3，b13＝3，b14＝3，b15＝3，b16＝4，…，可知0在数列{b m}中有1项，1在数列{b m}中有2项，2在数列{b m}中有4项，…，由＜100，＞100可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．∴数列{b m}的前100项和S100＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．【解答】解：（1）设公⽐为q，则由，可得a1＝1，q＝3，所以a n＝3n﹣1．（2）由（1）有log3a n＝n﹣1，是⼀个以0为⾸项，1为公差的等差数列，所以S n＝，所以+＝，m2﹣5m﹣6＝0，解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），所以m＝6．21．（2020•浙江）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满⾜a1＝b1＝c1＝1，c n＝a n+1﹣a n，c n+1＝c n，（n∈N*）．（Ⅰ）若{b n}为等⽐数列，公⽐q＞0，且b1+b2＝6b3，求q的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等差数列，公差d＞0，证明：c1+c2+c3+…+c n＜1+，n∈N*．【解答】（Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2，∵b1+b2＝6b3，∴1+q＝6q2，整理，得6q2﹣q﹣1＝0，解得q＝﹣（舍去），或q＝，∴c n+1＝•c n＝•c n＝•c n＝•c n＝4•c n，∴数列{c n}是以1为⾸项，4为公⽐的等⽐数列，∴c n＝1•4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*．∴a n+1﹣a n＝c n＝4n﹣1，则a1＝1，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝41，•••a n﹣a n﹣1＝4n﹣2，各项相加，可得a n＝1+1+41+42+…+4n﹣2＝+1＝．（Ⅱ）证明：依题意，由c n+1＝•c n（n∈N*），可得b n+2•c n+1＝b n•c n，两边同时乘以b n+1，可得b n+1b n+2c n+1＝b n b n+1c n，∵b1b2c1＝b2＝1+d，∴数列{b n b n+1c n}是⼀个常数列，且此常数为1+d，b n b n+1c n＝1+d，∴c n＝＝•＝（1+）•＝（1+）（﹣），⼜∵b1＝1，d＞0，∴b n＞0，∴c1+c2+…+c n＝（1+）（﹣）+（1+）（﹣）+…+（1+）（﹣）＝（1+）（﹣+﹣+…+﹣）＝（1+）（﹣）＝（1+）（1﹣）＜1+，∴c1+c2+…+c n＜1+，故得证．22．（2020•上海）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，a1＝1．（1）若数列{a n}为等差数列，S10＝70，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等⽐数列，a4＝，求满⾜S n＞100a n时n的最⼩值．【解答】解：（1）数列{a n}为公差为d的等差数列，S10＝70，a1＝1，可得10+×10×9d＝70，解得d＝，则a n＝1+（n﹣1）＝n﹣；（2）数列{a n}为公⽐为q的等⽐数列，a4＝，a1＝1，可得q3＝，即q＝，则a n＝（）n﹣1，S n＝＝2﹣（）n﹣1，S n＞100a n，即为2﹣（）n﹣1＞100•（）n﹣1，即2n＞101，可得n≥7，即n的最⼩值为7．考点卡⽚1．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝2、等⽐数列的通项公式：a n＝a1q n﹣1；前n项和公式S n＝＝（q≠1）3、⽤函数的观点理解等差数列、等⽐数列（1）对于等差数列，a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，a n是n的⼀次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若⼲个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可⽤⼆次函数的⽅法解决等差数列问题．（2）对于等⽐数列：a n＝a1q n﹣1．可⽤指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等⽐数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等⽐数列{a n}是递减数列．当q＝1时，是⼀个常数列．当q＜0时，⽆法判断数列的单调性，它是⼀个摆动数列．【典型例题分析】典例1：数列{a n}满⾜a n＝n2+kn+2，若不等式a n≥a4恒成⽴，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：a n＝n2+kn+2＝，∵不等式a n≥a4恒成⽴，∴，解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{a n}满⾜a1＝1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最⼤值是（）A．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{a n}满⾜a1＝1，a n＞0（n∈N*），设公差为d，则a n＝1+（n﹣1）d，其前n项和为S n＝，∴＝，＝1，＝，＝，∵数列{}也为等差数列，∴＝+，∴＝1+，解得d＝2．∴S n+10＝（n+10）2，＝（2n﹣1）2，∴＝＝，由于为单调递减数列，∴≤＝112＝121，故选：D．2．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常⻅数列的⼀种，数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数，已知等差数列的⾸项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代⼊2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第⼀项这个数列是等差数列，但如果把⾸项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常⽤到的⽅式，⼤家可以熟记⼀下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为⾸项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的⼀个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解⽅程⼀样求出⾸项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是⼀种很常⻅的题型，这⾥⾯往往⽤的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常⻅数列的⼀种，如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数，这个数列就叫做等差数列，⽽这个常数叫做等差数列的公差，公差常⽤字⺟d表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出⾸项a1的值，然后套⽤公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运⽤．其实⽅法都是⼀样的，要么求出⾸项和公差，要么求出⾸项和第n项的值．【考点点评】等差数列⽐较常⻅，单独考察等差数列的题也⽐较简单，⼀般单独考察是以⼩题出现，⼤题⼀般要考察的话会结合等⽐数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运⽤．4．等⽐数列的性质【等⽐数列】（⼜名⼏何数列），是⼀种特殊数列．如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，这个数列就叫做等⽐数列，因为第⼆项与第⼀项的⽐和第三项与第⼆项的⽐相等，这个常数叫做等⽐数列的公⽐，公⽐通常⽤字⺟q表示（q≠0）．注：q＝1时，a n 为常数列．等⽐数列和等差数列⼀样，也有⼀些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这⾥a1为⾸项，q为公⽐，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤⽴的点．②求和公式，S n＝，表示的是前⾯n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n ＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等⽐数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等⽐数列，设其公⽐为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运⽤了等⽐数列第n项的通项公式，这也是⼀个常⽤的⽅法，即知道某两项的值然后求出公⽐，继⽽可以以已知项为⾸项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，⽅法就是待定系数法．【等⽐数列的性质】（1）通项公式的推⼴：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等⽐数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等⽐数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等⽐数列．（4）单调性：或 {a n}是递增数列；或 {a n}是递减数列；q＝1 {a n}是常数列；q＜0 {a n}是摆动数列．5．等⽐数列的通项公式【知识点的认识】1．等⽐数列的定义如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐值等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列，这个常数叫做等⽐数列的公⽐，通常⽤字⺟q表示（q≠0）．从等⽐数列的定义看，等⽐数列的任意项都是⾮零的，公⽐q也是⾮零常数．2．等⽐数列的通项公式设等⽐数列{a n}的⾸项为a1，公⽐为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等⽐中项：如果在a与b中间插⼊⼀个数G，使a，G，b成等⽐数列，那么G叫做a与b的等⽐中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等⽐数列的常⽤性质（1）通项公式的推⼴：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等⽐数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等⽐数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等⽐数列．（4）单调性：或 {a n}是递增数列；或 {a n}是递减数列；q＝1 {a n}是常数列；q＜0 {a n}是摆动数列．6．等⽐数列的前n项和【知识点的知识】1．等⽐数列的前n项和公式等⽐数列{a n}的公⽐为q（q≠0），其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等⽐数列前n项和的性质公⽐不为﹣1的等⽐数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等⽐数列，其公⽐为q n．7．数列的应⽤【知识点的知识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等⽐数列的综合3、数列的实际应⽤数列与银⾏利率、产品利润、⼈⼝增⻓等实际问题的结合．8．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，⼀般来说要求的数列为等差数列、等⽐数列、等差等⽐数列等等，常⽤的⽅法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝②等⽐数列前n项和公式：③⼏个常⽤数列的求和公式：（2）错位相减法：适⽤于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等⽐数列．（3）裂项相消法：适⽤于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所⽤的⽅法，就是将⼀个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．（5）分组求和法：有⼀类数列，既不是等差数列，也不是等⽐数列，若将这类数列适当拆开，可分为⼏个等差、等⽐或常⻅的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{a n}满⾜：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．分析：形如的求和，可使⽤裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝，∴T n＝＝＝，即数列{b n}的前n项和T n＝．点评：该题的第⼆问⽤的关键⽅法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常⽤的⽅法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分⺟的⼀般就可以⽤裂项求和．【解题⽅法点拨】数列求和基本上是必考点，⼤家要学会上⾯所列的⼏种最基本的⽅法，即便是放缩也要往这⾥⾯考．9．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前⼏项），且任⼀项a n与它的前⼀项a n﹣1（或前⼏项）间的关系可以⽤⼀个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容⼀个重点，要认真掌握．注意：（1）⽤a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成⽴的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统⼀为⼀个式⼦．（2）⼀般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运⽤关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等⽐数列通项公式．（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，⽤作差法：a n＝．⼀般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运⽤关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，⽤作商法：a n，＝．（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，⽤累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求a n，⽤累乘法：a n＝（n≥2）．（6）已知递推关系求a n，有时也可以⽤构造法（构造等差、等⽐数列）．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以⽤待定系数法转化为公⽐为k的等⽐数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以⽤倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前⼏项进⾏归纳猜想，再利⽤数学归纳法进⾏证明．10．等差数列与等⽐数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与⾸末两端“等距离”的两项和相等，并且等于⾸末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第⼆项开始起，每⼀项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（⾸项不⼀定选a1）．2、等⽐数列的性质．（1）通项公式的推⼴：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等⽐数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等⽐数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等⽐数列．（4）单调性：或 {a n}是递增数列；或 {a n}是递减数列；q＝1 {a n}是常数列；q＜0 {a n}是摆动数列．31。
2020届高三各地名校最新数学试题数列专题高考模拟八套试题汇编填空题：1．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学文若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 2．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学文若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲3、北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学试题已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =_______4．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学理若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ．5．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且b ，a ，c成等差数列，·9AB AC =，则a =__________．6．2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．7．广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则7S = _______ 选择题：1.北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学试题在等差数列{}n a 中，设*,,,k l p r N ∈，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件2．2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，4a +2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 6＝（ ） A ．62B ．64C ．126D ．1283．广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．255．广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A ．2XZ Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-解答题：1.北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学试题已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥，记12A n S a a a =+++，对于任意不大于AS 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m. （Ⅰ）求12,a a 的值；（Ⅱ）求证：“12,,,n a a a 成等差数列”的充要条件是“(1)2A n n S +=”； （Ⅲ）若2020A S =，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.2．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学理(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．3.广东省珠海市2020届高三上学期期末考试数学文(本小题满分12分）已知正项等差数列{n a }满足20,94352=⋅=+a a a a ,等比数列{n b }的前n 项和n S 满足c S n n -=2,其中c 是常数.(1)求c 以及数列{n a }、{n b }的通项公式； (2)设n n n b a c =，求数列{n c }的前n 项和n T ；4．2020届山西省运城市高三上学期期末数学文试题记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，332S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令212log ||42n n a b =+，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，若500n T ≥-，求正整数n 的最大值.5．2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且251565a S ==，.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且10n n T S =-，求数列{}n b 的前n 项和n R .答案： 填空题： 1．3 2．10 3、【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，得到()()()2213213a a a +=++，从而得到关于3a 的方程，解出3a 的值，得到答案.【详解】因为数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，所以()()()2213213a a a +=++， 即()()()2322113a +=++， 解得35a =. 故答案为：5.【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题. 4．105、【答案】【解析】由b ，a ，c 成等差数列得2a b c =+①，由·9AB AC =，得18=bc ②，再把①②代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得本题答案. 【详解】,,b a c 成等差数列，2∴=+a b c ，cos cos93π⋅=⋅⋅==AB AC AB AC A bc ，18∴=bc ，22222222cos ()3454∴=+-=+-=+-=-a b c bc A b c bc b c bc a ，解得a =. 【点睛】本题主要考查解三角形、等差数列与向量的综合，考查运算求解能力.6、2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题【答案】8【解析】根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可. 【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列， 由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩. 则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.7、广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题【答案】14【解析】设公差为d ，根据23S a =求出公差，即可求出其前n 项和公式，代入求解即可. 【详解】解：设公差为d ，23S a =则1122a d a d +=+，把112a =代入得12d =，21n a n ∴=∴()114n S n n =+，故714S = 故答案为：14【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和公式，属于基础题. 选择题： 1、【答案】D 【解析】 【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项．【详解】若等差数列为123455,4,3,2,1..a a a a a =====⋯则当1,5,2,3k l p r ====时，k l p r +>+成立，但k l p r a a a a +>+不成立，所以非充分条件当1,2,3,4k l p r ====时，k l p r a a a a +>+成立，但k l p r +>+不成立，所以非必要条件综上可知，k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的既非充分非必要条件 所以选D.【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题．2、2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题【答案】C【解析】a 2，a 4+2，a 5成等差数列，可得a 2+a 5=2（a 4+2），把已知代入解得q ．再利用求和公式即可得出． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ＞0，a 1=2，∵a 2，a 4+2，a 5成等差数列，∴a 2+a 5=2（a 4+2），∴2q+2q 4=2（2q 3+2），解得q=2．∵S 6=()622-1=1262-1.故选C. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3、广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题【答案】A【解析】数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则可知{}n a 是常数列，所以充分性成立； 若{}n a 是0n a =常数列，则{}n a 不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选A 。
2020全国各地模拟分类汇编理：数列（3）【山东省冠县武训高中2020届高三二次质检理】在等比数列n {a }中，56a a a(a 0)+=≠，15165a a b +=，则2526a a +等于（ ） A.b a B.22b a C.2b a D.2ba【答案】C【山东省冠县武训高中2020届高三二次质检理】各项均不为零的等差数列n {a }中2n n 1n 1a a a 0(n N*,n 2)-+--=∈≥，则2009S 等于（ ）A.4018B.2020C.2D.0 【答案】A【江西省2020届十所重点中学第二次联考】已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x ，y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+恒成立.若数列{n a }满足1(0)a f =，且1()n f a +=*1()(2)n n N f a ∈--，则2010a 的值为 （）A.4016B.4017C.4018D.4019 【答案】D【湖北省黄冈市黄州区一中2020届高三10月综合理】已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 。
【答案】（-30，-27）【安徽省望江县2020届高三第三次月考理】若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21012a a a ++为确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数是( ) A.13S B.15S C.17S D.19S 【答案】B【安徽省望江县2020届高三第三次月考理】已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( )A.(],1-∞-B.()(),01,-∞+∞UC.[)3,+∞D.(][),13,-∞-+∞U【答案】D【河北省保定二中2020届高三第三次月考】数列{}n a 是首项41=a 的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，则其公比为（ ）A ．1 B. 1-C. 1或1-D. 2【答案】C【河北省保定二中2020届高三第三次月考】已知等比数列{}n a 的公比为正数，且24734a a a =⋅，22=a ，则=1a 。
2020届高三数学数列检测试卷试卷总分100分一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共3 6分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填入题中括号中.)1．等差数列{b n }中，b 1＝1, b 1＋b 2＋b 3＋……＋b 10＝145, 则数列{b n }的通项公式b n 是 （ ）（A ）3n －2 （B ）4－3n （C ）16n －15 （D ）37310-n 2．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，若a n －3·a n ＋1＝a k 2(n , k 均为自然数)，则a k 为 （ ）（A ）a 1qn －1（B ）a 1qn －2（C ）a 1qn －3（D ）以上答案都不正确3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8, a 11－a 4＝4, 记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n ，则S 13等于 （ ）（A ）168 （B ）156 （C ）78 （D ）152 4．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，a 3＋a 8>0, S 9<0, 则S 1, S 2, S 3, ……,S n 中最小的是（ ）（A ）S 9 （B ）S 8 （C ）S 5 （D ）S 45．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 30＝13S 10, S 10＋S 30＝140，则S 20的值是（ ）（A ）90 （B ）70 （C ）50 （D ）40 6．等比数列{a n }中，公比q ＝21，且a 3＋a 6＋a 9＋……＋a 99＝60，那么a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 99的值等于 （ ）（A ）300 （B ）420 （C ）90 （D ）100二、填空题：(本大题共5小题，每小题6分，共30分。
把答案填在题中横线上。
) 7．在等比数列{a n }中，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n ，已知a 5＝2S 4＋3,a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 的值是 .8．等差数列{a n }的首项a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值是4.6，则抽去的这一项是第 项. 9．已知x ＝11，则1102112311222++++++++x x x x x x ΛΛ＝ . 10．某产品，计划每年成本降低q %，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是 元.11．数列{a n }中，若a 1＝5, a n ＝S n －1 (n ≥2)，则a n = . 三、解答题：(本大题共2小题，共34分，解答应写出文字说明，或演算步骤)12、（本小题满分14分）已知三数成等比数列，若把第二个数增加4，则三数成等差数列，若再把第三个数增加32，则它们又成了等比数列，求这三个数。
