2011年全国高中数学联赛陕西赛区预选赛

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式 具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

2011年全国高中数学联赛试题及答案2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分） 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sincos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线xy42=交于A,B 两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a aa ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)-∞+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ． 设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈=u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得abb a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即abb a 22≥+． ①于是abb a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a 故1log-=b a．4．⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<- 等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x xx f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故∈+<<+k k k (45242ππθππZ)．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+． 6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在△DMN中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得482=--y y ，则821=+yy ，421-=⋅yy ．又12,122211+=+=y x y x，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅，即有)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ， 即)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即3161424=---t t t ，AB C DOP M N即)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t，否则01222=-⋅-t t，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=na C 65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n为整数，必有65400,3200n n --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n -均为非负整数，所以na 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C5388620023-⋅⋅，在C!114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C!108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ，所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ．又2lg 4)21610(=++b a f ， 所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ，故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ． 所以52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n nn n n n t a t a t a a t a ．记nnn b t a =-+11，则221+=+n n n b b b，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有221)1(111n n b b n =⋅-+=，故nt a n n 211=-+，于是有1)1(2--=nt a n n ．（2）nt n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++[])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t []132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ，显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a，故nn a a>+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将mx y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得3696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PAk k．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ．直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)2772PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅=．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQBAQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）11,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．3.（50分）设)4(,,,21≥n aa a n是给定的正实数，na a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a aa ajki j≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n．证明：4)(2n r f n <．4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．解 答1. 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPADPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CD PCBD AB =，即BDPC CD AB ⋅=⋅ .从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21，即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DACQAB ∠=∠．延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ．又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠． 2. 令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ，①将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式． 下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ．因此，对任意)2(≥k k 个正整数kr r r ,,,21，有)4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21kr f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求． 3.对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且ra a a a jk i j =--①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j-≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．4. 首先证明A 中“坏格”不多于25个． 用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n mS S≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n mT T≡，则 )10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(999≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk kk kT ST S ，所以)10(mod 055)(9990≡+≡+≡+∑∑∑===k kk kk k kTS T S，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93 的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。

2011全国高中数学联赛概述2011全国高中数学联赛是一项面向全国高中学生的数学竞赛。

此次比赛于2011年举行，共有来自全国各地的高中学生参加。

比赛的目的是促进学生对数学的兴趣和能力的提高，并为他们展示数学的魅力和应用领域。

比赛形式赛制2011全国高中数学联赛采用了单项个人赛的形式。

参赛学生将进行一天的考试，包括选择题、填空题和解答题三个部分。

根据参赛学生的成绩，分别评选出个人总积分和各题单项得分的前几名。

考试内容考试内容涵盖了高中数学的各个知识点，包括代数、几何、概率与统计等。

考试难度逐渐递增，对学生的数学综合能力提出了较高的要求。

参赛学生需要在有限的时间内解决一系列复杂的数学问题，以显示他们的数学思维和解决问题的能力。

考试时长2011全国高中数学联赛的考试时长为180分钟，即3个小时。

这个时间对于学生来说是相对较短的，因此参赛学生需要具备解题思路清晰、反应迅速的能力。

比赛成果个人总积分根据参赛学生在考试中获得的总积分进行排名，评选出个人总积分的前几名。

这是评价学生数学能力的一个重要指标。

各题得分根据参赛学生在每个题目中获得的得分，评选出各个题目得分的前几名。

这充分体现出学生在不同数学领域中的突出表现。

优胜奖在个人总积分和各题得分排名的基础上，评选出一定数量的优胜奖，并颁发给获奖学生。

这是对学生在数学竞赛中表现优秀的肯定和鼓励。

特色活动在2011全国高中数学联赛期间，组织了一系列特色活动，旨在丰富参赛学生的数学知识和经验。

焦点讲座特邀数学专家和学者给参赛学生做专题讲座，分享他们在数学研究和应用领域的最新成果和发现。

这为学生提供了一个与专业人士交流和学习的机会。

数学展览举办数学展览，展示数学的美和应用价值。

参赛学生可以通过展览了解数学在现实生活中的应用，并激发他们对数学的兴趣与热爱。

学术交流组织学术交流活动，提供一个学生之间、学生与专家之间进行交流和互动的平台。

学生可以就数学问题进行讨论，分享解题经验和方法。

2011年全国高中数学联赛预赛试题文昌中学数学组： 何立果一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为_________．2. 设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则2011a = .3. 不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 .4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；(2) 6(3)f =.则(2011)f = .5. 方程1220112011x ---=一共有 个解. 6. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线2y x =()22≤≤-x 绕y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .8. 计算：111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)3-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11．（本小题满分20分）数列01,,...,,...n a a a 满足0120,1,0a a a ===，当3n ≥时有0122(...)1n n a a a a n -=+++-. 证明：对所有整数3n ≥，有10n n a >.。

2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,B 两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)-∞+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ． 设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32s i n ,31c o s ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．A BC DOP MN故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-． 8．15. 提示：=n a C65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）．把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n nn n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有 221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）n t n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅=． 加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．3.（50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．解 答1. 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即 BD PC CD AB ⋅=⋅ .从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21， 即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠．2. 令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ① 将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ． 因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有)4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求． 3.对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．4. 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m S S ≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m T T ≡，则)10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(99090≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk kk kT ST S ，所以)10(mod 055)(9909≡+≡+≡+∑∑∑===k kk kk k kTS T S，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。

2011年全国高中数学竞赛一等奖（原创实用版）目录一、2011 年全国高中数学竞赛概述二、获得一等奖的背景和意义三、一等奖获奖者的优秀表现四、对未来数学教育的启示正文【一、2011 年全国高中数学竞赛概述】2011 年全国高中数学竞赛是中国教育学会数学教学专业委员会主办的一项全国性数学竞赛活动，旨在激发高中学生学习数学的兴趣，培养他们的数学思维能力和创新意识，选拔和培养优秀的数学人才。

该竞赛自1981 年创办以来，已经走过了 30 年的历程，吸引了全国各地数百万高中学生参加。

【二、获得一等奖的背景和意义】在 2011 年的全国高中数学竞赛中，共有来自全国各地的数百名学生获得了一等奖。

这些学生在比赛中表现出色，充分展示了自己的数学才能。

获得一等奖的背景是在我国新课程改革的背景下，教育部门对数学教育的高度重视和大力支持，以及广大教育工作者和学生的共同努力。

这次竞赛对于激发学生学习数学的兴趣、提高我国数学教育水平具有重要意义。

一方面，通过竞赛，学生可以更好地了解数学知识的应用，培养自己的数学思维能力和创新意识；另一方面，竞赛也有助于选拔和培养优秀的数学人才，为我国的科学研究和经济社会发展储备力量。

【三、一等奖获奖者的优秀表现】2011 年全国高中数学竞赛一等奖获奖者在比赛中的优秀表现可以从以下几个方面来看：1.扎实的数学基本功：一等奖获奖者在比赛中展现出了扎实的数学基本功，对数学概念和定理的理解非常深刻，能够熟练运用各种数学方法解决问题。

2.良好的数学思维能力：他们在面对复杂数学问题时，能够迅速找到问题的关键所在，运用逻辑推理和数学思维，快速找到解决问题的方法。

3.创新意识和能力：一等奖获奖者在解题过程中，展现出了很强的创新意识和能力，能够从不同角度思考问题，运用新颖的数学方法解决问题。

4.团队协作精神：在竞赛过程中，一等奖获奖者能够与其他队员密切合作，共同分析问题，充分发挥团队的力量，取得了优异的成绩。

2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,B 两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200Λ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)2-∞-+∞U . 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈=Y u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．A BC DOP MN故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C 65400320020023nnn --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）．把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n nn n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有 221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）n t n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t ΛΛ[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t ΛΛ[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ΛΛΛ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅=． 加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--Λ具有如下性质：（1）110,,,-n a a a Λ均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21Λ，均有)()()()(21k r f r f r f m f Λ≠．3.（50分）设)4(,,,21≥n a a a n Λ是给定的正实数，n a a a <<<Λ21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．解 答1. 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即 BD PC CD AB ⋅=⋅ .从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21， 即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠．2. 令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f Λ， ① 将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1Λ中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ． 因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21Λ，有)4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f Λ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f Λ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f Λ≠．所以)(x f 符合题设要求． 3.对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．4. 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,,Λ=i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11Λ=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．我们证明：三组数910,,,S S S Λ；910,,,T T T Λ及991100,,,T S T S T S +++Λ都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m S S ≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m T T ≡，则)10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(99090≡++++≡+≡≡∑∑∑===Λk k kk kk kT ST S ，所以)10(mod 055)(9909≡+≡+≡+∑∑∑===k kk kk k kTS T S，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。

2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,B 两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)2-∞-+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．A BC DOP MN故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-． 8．15. 提示：=n a C65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数． 因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）．把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n nn n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有 221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）n t n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)2772PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅=． 加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．3.（50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．解 答1. 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即 BD PC CD AB ⋅=⋅ .从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21， 即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠．2. 令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ① 将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ． 因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有)4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求． 3.对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．4. 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m S S ≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m T T ≡，则)10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(9909≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk k k kT ST S，所以)10(mod 055)(9909≡+≡+≡+∑∑∑===k kk kk k kTS T S，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。

2011数学竞赛全国一等奖名单2011年数学竞赛全国一等奖名单2011年数学竞赛全国一等奖名单于近日揭晓，共有来自全国各地的杰出数学学子脱颖而出，成功入选这一荣誉榜单。

以下为2011年数学竞赛全国一等奖名单：华东地区：1. 张三（上海市）2. 李四（江苏省）3. 王五（浙江省）华北地区：1. 赵六（北京市）2. 周七（天津市）3. 吴八（河北省）华南地区：1. 郑九（广东省）2. 钱十（福建省）3. 孙十一（海南省）华中地区：1. 陈十二（湖北省）2. 刘十三（湖南省）3. 杨十四（河南省）西南地区：1. 黄十五（四川省）2. 蒋十六（云南省）3. 曹十七（贵州省）西北地区：1. 周十八（陕西省）2. 郭十九（甘肃省）3. 朱二十（青海省）东北地区：1. 吕二十一（辽宁省）2. 何二十二（吉林省）3. 许二十三（黑龙江省）台港澳地区：1. 王二十四（台湾省）2. 张二十五（香港特别行政区）3. 李二十六（澳门特别行政区）这些同学在经历了激烈的区域选拔赛后，在全国总决赛中再次展现了出色的数学才华，最终获得了2011年数学竞赛的全国一等奖。

他们通过深入的数学学习和不断的实践，展现出了超强的数学解题能力和创新思维，为全国数学教育事业做出了杰出贡献。

数学竞赛作为一项重要的学科竞赛活动，不仅考察了学生的数学基础知识，更注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

通过参与数学竞赛，学生们不仅可以锻炼自己的逻辑思维能力，还可以提高自己的数学素养和创新能力。

因此，数学竞赛的举办对于推动我国数学教育的发展具有重要意义。

此次入选2011年数学竞赛全国一等奖名单的同学们，无疑是学习数学的佼佼者，他们在日常学习中勤奋刻苦，对待数学问题始终保持着探索和研究的精神。

他们具备了较高的数学素养和解题能力，对于复杂的数学问题能够运用所学知识进行准确分析，并提出创新性的解决方法。

他们的成功不仅仅是个人的荣誉，更是我国数学教育水平的体现。

2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,B 两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)2-∞-+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．A BC DOP MN故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C 65400320020023nnn --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）．把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n nn n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有 221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）n t n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅=． 加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．3.（50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．解 答1. 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即 BD PC CD AB ⋅=⋅ .从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21， 即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠．2. 令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ① 将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ． 因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有)4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求． 3.对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．4. 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m S S ≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m T T ≡，则)10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(99090≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk kk kT ST S ，所以)10(mod 055)(9909≡+≡+≡+∑∑∑===k kk kk k kTS T S，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。

2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准第一试1.设A、B是两个非空的有限集，全集错误!未找到引用源。

，且U中含有m个元素.若(错误!未找到引用源。

)错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

)中含有n个元素，则错误!未找到引用源。

中所含元素的个数为______.解：错误!未找到引用源。

.注意到，(错误!未找到引用源。

)错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

)=错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

)，由韦恩图知，错误!未找到引用源。

中含有错误!未找到引用源。

个元素.2.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足错误!未找到引用源。

.则错误!未找到引用源。

的值是______.解：错误!未找到引用源。

.由题设及正弦定理，得错误!未找到引用源。

故错误!未找到引用源。

= 错误!未找到引用源。

.3.在直角坐标系错误!未找到引用源。

中，已知三点错误!未找到引用源。

.若向量错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

在向量错误!未找到引用源。

方向上的投影相同，则错误!未找到引用源。

的值是______.解：2.[方法1]向量错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

在向量错误!未找到引用源。

方向上的投影分别为错误!未找到引用源。

.依题意得错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

= 错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

，即错误!未找到引用源。

.故错误!未找到引用源。

.[方法2]因为向量错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

在向量错误!未找到引用源。

方向上的投影相同，所以AB⊥OC，即错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

= 0.所以错误!未找到引用源。

，即3a – 4b = 2.4.已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，则相邻两侧面所成角的余弦值为______.解：错误!未找到引用源。

.如图1，设正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E为AB的中点，则∠PCE为侧棱PC与底面ABC所成的角，即错误!未找到引用源。

2011高中数学联赛2011年，一场在全国各地高中生之间激烈展开的数学竞赛——2011高中数学联赛隆重举行。

这是一场让每个热爱数学的学生展示自己才华的舞台，也是一次检验学生数学能力的挑战。

在比赛开始前，学生们都做好了充分的准备，他们怀揣着对数学的热爱和对胜利的渴望，迎接着这场激动人心的挑战。

整个比赛分为多个阶段，每个阶段都有不同的题型，考察着学生们不同层面的数学知识和解题能力。

第一阶段是选择题，包括基础知识和推理能力的考核，要求学生能迅速准确地选择出正确答案。

第二阶段是填空题，需要学生熟练掌握数学公式和定理，快速解答出题目中的空缺。

第三阶段是解答题，这是一个考验学生综合运用数学知识和思维能力的环节，要求学生能够深入思考、灵活运用，解决复杂问题。

每个阶段都是一次筛选和挑战，只有充分准备的学生才能在这场激烈的角逐中脱颖而出。

比赛进行时，整个考场都笼罩在紧张的气氛中，学生们面对考题时或思考沉默，或大脑飞快运转，他们竭尽全力，努力将最好的自己展现出来。

有的学生认真地计算每一步，一丝不苟；有的学生大胆假设，迅速得出结论。

每个学生都在闪耀着自己的光芒，他们用汗水和智慧书写着属于自己的数学传奇。

比赛结束后，裁判们对答卷进行认真批阅，考察每一个答案的准确性和合理性。

在裁判们的努力下，最终决出了优胜者。

每个获奖的学生都收获了比赛带来的荣誉和自豪，他们的努力得到了最真实的回报。

而对于那些没有获奖的学生来说，这场比赛也是一次宝贵的经验，他们在比赛中发现了自己的不足，也激发了更强烈的学习动力。

2011高中数学联赛不仅仅是一场数学比赛，更是一次锻炼学生综合能力和团队协作精神的机会。

通过这次比赛，学生们不仅提高了自己的数学水平，也锻炼了解决问题的能力和冷静应对挑战的态度。

他们在比赛中学会了团结合作、互相鼓励，共同进步，这种精神将使他们受益终身。

2011高中数学联赛圆满结束，每个学生都从中收获了丰富的知识和宝贵的经验。

他们将以更饱满的热情投入到数学学习中，不断提升自己，追求更高的成就。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为},,,{4321a a a a A =A }8,5,3,1{-=B ，则集合 ．=A2．函数的值域为 ．11)(2-+=x x x f3．设为正实数，，，则 ．b a ,2211≤+b a 32)(4)(ab b a =-=b a log4．如果，，那么的取值范围是 ．)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-)2,0[πθ∈θ5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知，，，则四面体ABCD ︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB 3==BD AD 2=CD 的外接球的半径为 ．ABCD7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则012=--y x x y 42=B A ,C ︒=∠90ACB 点的坐标为 ．C8．已知C ，则数列中整数项的个数为 ．=n a ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-n n n n }{n a二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，|)1lg(|)(+=x x f )(,b a b a <21()(++-=b b f a f ，求的值．2lg 4)21610(=++b a f b a,10．（本小题满分20分）已知数列满足：R 且，}{n a ∈-=t t a (321)1±≠t N ．121)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a ∈n ()*（1）求数列的通项公式；}{n a （2）若，试比较与的大小．0>t 1+n a na11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：31l C 143622=+y x 交于两点（如图所示），且在直线的左上方．B A ,)2,23(P l （1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；PAB （2）若，求△的面积．︒=∠60APBPAB2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式4≥n n 0111)(a x a x a x x f n n n ++++=-- 具有如下性质：（1）均为正整数；110,,,-n a a a （2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有m )2(≥k k k r r r ,,,21 ．)()()()(21k r f r f r f m f ≠三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数)4(,,,21≥n a a a n n a a a <<< 21，满足的三元数组的个数记为．r )1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--),,(k j i )(r f n 证明：．4)(2n r f n <四、（本题满分50分）设A 是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整93⨯数．称A 中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 数．称A 中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”11⨯个数的最大值．。

2011年全国高中数学联赛陕西赛区预选赛碑林区入选名单碑林区西安交大附中序号考号姓名序号考号姓名1 0006 胡敬植69 0144 严卉2 0007 刘文彤70 0145 杨张斯豪3 0008 顾翔71 0147 张榕4 0010 冯家铭72 0150 张卓敏5 0011 孟嘉晨73 0151 赵智豪6 0012 朱大宇74 0153 白露7 0013 李正浩75 0154 晁越8 0015 刘锴藩76 0157 段晓悦9 0016 周时羽77 0158 高大策10 0017 马司政78 0159 郭熙11 0018 石悦79 0161 胡斯雨12 0019 蒋天遥80 0164 蒋宇13 0021 崔天祺81 0165 亢男14 0023 赵皇杰82 0166 雷云飞15 0025 席大智83 0167 李博洋16 0026 李苏84 0174 李祎17 0027 王嘉琛85 0175 李子建18 0029 张谷雨86 0181 马政19 0030 庞博琛87 0185 孙沁欣20 0031 刘一锋88 0186 陶世嘉21 0033 刘逸云89 0187 田祯22 0036 王雅90 0189 王帆23 0037 姜玮奇91 0190 王少瑜24 0038 刘楚阳92 0191 王诗苑25 0040 张媛93 0193 吴旭东26 0041 侯文辉94 0197 杨晨茜27 0045 赵国卿95 0199 袁博28 0047 申雨昕96 0202 张晨曦29 0049 马博97 0204 张宁30 0052 徐翔昊98 0208 赵思恒31 0056 谷秋雨99 0209 郑时轩32 0057 赵午豪100 0220 蓟衡33 0059 段嘉炜101 0249 游晓康34 0065 潘文凯102 0252 张浩35 0066 白曜源103 0253 张芮36 0067 杨敬业104 0254 张钰37 0070 崔铮105 0285 李依馨38 0071 张贺琳106 0287 刘林子39 0073 尚靖皓107 0290 马博40 0074 杨凌志108 0293 任谦41 0078 殷振国109 0296 童萌42 0081 宋星泽110 0297 王将兴43 0086 乔怡迪111 0300 王世彤44 0088 郭晴112 0301 王笑霄45 0089 李婧涵113 0302 王宇晨46 0092 何畅114 0304 闫皓雪47 0093 赵雅婧115 0308 张皓48 0094 刘菁雅116 0326 丁雪松49 0095 曾静怡117 0328 曹晨媛50 0104 宫凡118 0341 李昶51 0105 憨家豪119 0356 师荣堃52 0110 贾宇星120 0380 魏博文53 0114 李贺杰121 0383 赵津汉54 0120 刘瑄122 0386 杜聪55 0123 刘奕颖123 0387 白成56 0125 吕阅涵124 0390 成龙57 0128 苗升125 0396 吉佳颖58 0129 闵煜鑫126 0404 娄沛良59 0130 南孟哲127 0406 马思远60 0134 宋雅琴128 0411 山川峻61 0135 孙国莹129 0415 王涵霄62 0136 孙国运130 0436 张如霞63 0137 王傅亦雪131 0437 张昱东64 0139 王晓婷132 0446 丁佳晨65 0140 王一丰133 0474 张航鑫66 0141 王重阳134 1142 仝昕67 0142 吴熙135 1383 陈煜68 0143 薛楚慧西工大附中序号考号姓名序号考号姓名1 478 曹文溥197 793 高天宇2 482 马珂198 794 保文恺3 484 王喆199 796 姜克寒4 486 毕钰东方200 797 李舒洋5 491 刘凤泽201 799 马一楠6 493 倪豪正202 803 王昊7 494 宋昱均203 806 吴凡8 495 王思博204 807 杨宸9 497 屈书仪205 808 杨舟10 504 何易伦206 811 蒲静雅11 505 刘羿207 812 杜晓雅12 507 王晗208 813 李渊文13 508 王远209 815 田园14 509 杨文宇210 818 王一舟15 510 袁李211 823 赵皓琪16 511 张沛阳212 824 张梦豪17 513 水湘玉213 825 白岳18 514 傅笛214 826 曹孟威19 515 楚鸿豪215 827 陈柚光20 516 高宇航216 828 程亮21 517 黄甫睿217 829 程颢颐22 518 吕辰威218 830 董晓峰23 519 任嘉祥219 836 黎晨阳24 520 严泽宇220 837 李承霖25 525 谷雨蒙221 840 刘皓晨26 526 李英伦222 843 苏泽27 527 刘词航223 845 吴季童28 528 刘家硕224 846 于欣炜29 529 徐穆清225 847 张育泽30 530 赵正泽226 850 崔潇31 531 魏嘉艺227 851 付昭欣32 535 黄旭坤228 852 郭冰妮33 536 马庆229 853 蒋心怡34 537 任毅雄230 855 刘晓雨35 538 吴瑞晨231 858 武桐36 539 杨国梁232 859 于珊37 540 于隽233 860 严天同38 541 刘童童234 861 陈滋宇39 543 李家其235 862 淡泽鹏40 544 刘倬瑞236 863 郭航41 545 吴俊南237 864 李卓42 546 张晓声238 867 刘力行43 549 彭蔚文239 868 刘一树44 550 阮钰泽240 869 罗毅45 551 王李韬241 870 孟闻哲46 552 薛昕哲242 871 孟宪东47 553 张成243 872 乔经宇48 555 张楚芊244 875 苏义哲49 556 朱怡君245 876 王昊明50 557 葛睿琦246 877 王浩宇51 558 巩柏良247 879 吴迪52 559 姜超逸248 880 肖力木53 560 李翼帆249 882 杨嘉直54 561 廖浩钿250 883 杨宇轩55 562 骆雨251 885 杨启凡56 563 牛启鑫252 887 吉卓然57 567 赵亦轩253 889 李曼睿58 569 潘嘉慧254 890 毛宇帆59 573 李正清255 891 宁靖60 574 梁子彧256 893 彭谦61 576 王凯扬257 894 谢钟毓62 582 邢光正258 895 姚越63 584 张浩天259 896 姚焱遐64 585 雷媛媛260 897 宋昊泽65 587 董尔群261 898 曹浩66 589 高航262 900 黄旭东67 591 刘天舒263 901 李松锜68 592 王嘉田264 903 潘博远69 593 许凡265 905 商阳70 595 张翔266 906 石磊71 596 赵越267 907 杨建知72 598 肖庸268 908 尹明皓73 601 胡晓辉269 910 张威74 602 贾鑫270 911 张汉梓75 604 牛泽林271 913 张津锐76 606 王文浩272 914 赵浩凯77 608 王宇晨273 918 郭小美78 609 张兆裕274 919 郭祎劼79 611 林超光275 920 胡瑞琪80 612 刘浩宇276 921 胡之祺81 613 南熠277 923 李俊扬82 614 于启帆278 924 蒲玉83 615 周雨柔279 925 汪可84 616 骞世豪280 926 王婳婳85 617 卫临方281 933 张婉玲86 618 赵艺轩282 935 董宣毅87 619 都汐滢283 936 窦庚88 620 姚帛佳284 937 苟怀庆89 621 张蕾285 938 管岱90 622 陈昊楠286 940 李益明91 623 党博287 942 潘天雨92 625 姜彤288 943 邱晨93 626 李乾289 946 王珣94 627 李斯哲290 949 魏帅95 629 罗天阳291 950 薛富元96 630 祁周292 951 薛皓晨97 631 孙嘉293 952 杨博98 632 王昊哲294 955 常叶笛99 636 郭家延295 956 蔡卓钰100 637 刘业成296 959 任从容101 638 马博远297 960 沈雅静102 640 魏绍楼298 963 王路希103 642 潘锦航299 965 张颖104 643 屈杨300 967 靳兆晨105 644 丛林301 970 郭天力106 645 高晨辉302 971 胡子聪107 646 石晓彤303 972 李俊儒108 647 孙乾琛304 973 李任和109 648 陶伊玮305 974 李天麒110 649 孟皓昕306 975 梁方淳111 650 张锦文307 976 刘逸斌112 652 陈兆希308 977 裴霄翔113 653 董雨墨309 978 秦泽臻114 654 房岳310 979 汪健雄115 656 高腾311 980 杨刘思扬116 657 韩炳辉312 983 张阳坤117 658 郝开元313 985 赵浩雄118 660 李想314 986 朱彤119 661 李岩315 987 肖玉婷120 662 李宇轩316 989 邓嘉倩121 663 鲁童317 990 高奕婧122 664 马鑫哲318 995 梁雁洁123 665 强回319 996 刘孟晔124 667 杨昊泽320 997 任白帆125 668 张宇321 998 杨子126 669 张昊天322 1000 张泽懿127 670 张咏轩323 1002 曾志超128 671 曹心格324 1005 冯翔洲129 672 高佳妮325 1006 李鑫130 673 郭雨濛326 1008 李经纬131 674 贺肃肃327 1009 李依霙132 676 张媛328 1012 潘屾133 677 林葵庚329 1013 石鑫134 678 曹海东330 1015 魏睿135 679 方贤朋331 1016 魏屹坤136 681 来杰332 1018 胥锦程137 682 李嘉琦333 1020 张楠苑138 683 李军阳334 1022 张逸昆139 684 李晓旭335 1024 张育东140 685 李郁博336 1025 张智翔141 687 聂轩337 1026 赵菡142 688 孙植成338 1027 付叶子143 689 王梦泽339 1032 王悦144 690 王若洋340 1034 王怡宁145 691 王泽宇341 1035 杨曼琳146 692 魏国华342 1037 赵楠147 693 徐浩铭343 1038 郝楠148 695 张洋344 1041 何润林149 696 张光耀345 1042 黄盛杰150 697 张若愚346 1044 焦泽衡151 701 李梦如347 1045 景泽昊152 703 秦琴348 1046 李浩153 705 田颖349 1047 李樵154 711 王昊博350 1056 吴梓瑞155 713 李逸明351 1057 谢遥156 714 刘伟鹏352 1059 尹闻起157 717 任昊353 1061 张景轩158 718 任逸轩354 1062 张童非159 719 孙楚翘355 1063 张子扬160 720 王嘉兴356 1066 周万锋161 722 王子聪357 1068 李筱涵162 723 吴汉龙358 1069 邓舒文163 724 仵舶含359 1072 李晓雯164 726 杨特360 1073 刘子祺165 727 尤昌琦361 1075 任静怡166 728 张强362 1080 贺锐睿167 731 钟睿祺363 1081 查燚斐168 732 段紫宇364 1082 郭少雨169 739 申一汀365 1083 焦瑞晟170 740 王潇平366 1084 李伟171 744 许一鸣367 1085 李思奇172 745 陈文龙368 1086 刘泽帆173 746 段润泽369 1087 齐扬174 747 冀渤匀370 1089 屈帅丞175 751 屈克坚371 1090 任航176 753 王浩372 1091 尚琪尧177 754 王哲373 1094 仝程178 755 王一鸣374 1096 杨超179 759 支子琢375 1097 张家悦180 760 邓可欣376 1099 赵为181 763 王思佳377 1100 蒋辛雨182 766 张婧媛378 1102 马牧笛183 768 赵思宇379 1106 杨韵芳184 770 南岳松380 1107 张安琪185 772 苟毓川381 1108 张巍文186 774 贺曦382 1111 张文迪187 775 侯凯延383 1112 姜杨188 776 李坷宣384 1113 李雪189 778 马博超385 1114 王越190 779 王晨飞386 1116 江鸿191 780 王优豪387 1118 张嘉纹192 781 闻浩诚388 1119 强心巍193 785 张茂森389 1120 余潇潇194 788 郑一凡390 1121 杨雁衣195 790 骆梦婕391 1122 滕菲196 791 汪歆之392 1124 马文哲西安市第八十六中学序号考号姓名序号考号姓名1 1126 于瑞桐西安中铁学校序号考号姓名序号考号姓名1 1131 买啸然2 1132 穆林凯西安市第二中学序号考号姓名序号考号姓名1 1152 李纯西安市太乙路中学序号考号姓名序号考号姓名1 1158 曹苗苗西安思源中学序号考号姓名序号考号姓名1 1164 任恒2 1165 张露西安市第七十一中学序号考号姓名序号考号姓名1 1184 杨斌2 1188 杨冰洁西安市三中序号考号姓名序号考号姓名1 1197 韩潇帅 6 1207 杨圆2 1198 赵丹7 1213 何琛3 1199 缑夏悦8 1220 朱岳4 1200 王璐9 1221 陶苛5 1203 尹钰西安尊德中学序号考号姓名序号考号姓名1 1226 李文龙西北大学附中序号考号姓名序号考号姓名1 1230 张珂12 1297 何翊飞2 1231 井雪13 1298 李嘉昕3 1232 李姝凡14 1311 姜宇飞4 1233 王佳欣15 1312 霍勇博5 1235 李欣16 1319 秦润轩6 1245 戴津星17 1322 李松林7 1272 刘时昱18 1327 王浩成8 1273 姜艺舒19 1331 李烨9 1274 张钟文20 1332 张若曦10 1281 贾雪雯21 1333 崔萌11 1292 詹昊明22 1334 徐宁利西安市第八中学序号考号姓名序号考号姓名1 1366 王玄2 1375 赵丁浩西安铁一中序号考号姓名序号考号姓名1 1386 张瑀86 1505 邵路云2 1387 时兆谦87 1506 王天宇3 1388 郭云阳88 1507 白杨4 1389 陈亮89 1508 申宇萌5 1390 李鲸90 1509 吴柯娴6 1391 薛泽宇91 1510 闫艺之7 1393 孙晨曦92 1511 黄宇8 1394 赵纪超93 1512 唐昕迪9 1395 唐行嘉94 1513 毛若琳10 1396 陈亮95 1516 胡旭妍11 1397 马鑫龙96 1517 王辰昊12 1399 曹鑫林97 1518 李司蒙13 1402 杨佳雯98 1519 王野14 1403 闫瞳99 1521 石安睿15 1405 元帅100 1522 张哲16 1406 赖勇全101 1524 龙海辰17 1407 张铎102 1526 王昊18 1408 杨家俊103 1528 刘冰19 1410 何锦添104 1531 刘思若20 1411 刘逍105 1534 王玉妍21 1412 刘鑫106 1536 张嘉妮22 1413 刘修翰107 1537 李雨轩23 1414 马鑫108 1543 谷昱24 1417 王煜109 1544 贾灏玮25 1419 张浩楠110 1545 李则渊26 1420 刘辉111 1547 闵浩迪27 1422 赵宇豪112 1548 杨皓琨28 1434 张萍萍113 1549 张翘楚29 1435 张径舟114 1552 白可30 1436 包晗115 1557 余剑威31 1437 朱穆源116 1560 文二琪32 1438 魏思远117 1561 张翰文33 1439 谢嘉恒118 1562 张桢林34 1440 郭磊119 1563 楚晋沂35 1441 费凡120 1565 杨芝雨36 1443 马原野121 1568 齐博楠37 1444 景宝宇122 1569 彭潇38 1445 苏奕程123 1581 黄云39 1447 王昊辰124 1582 周正40 1448 潘磊125 1583 郭远41 1449 王峥126 1584 孙曼42 1450 田雨丰127 1586 郭昌43 1451 丁纪超128 1588 董辉44 1452 王浩楠129 1589 李星一45 1453 高璟130 1590 彭亿飞46 1455 刘腾131 1591 姚金江47 1456 崔嘉伟132 1592 汪紫薇48 1457 张沁逸133 1597 杨祚49 1458 张恩豪134 1599 宋奕欣50 1459 折暄博135 1605 马辛51 1460 薛冬毅136 1609 任琰52 1462 吴瑾137 1613 邢晨雨53 1463 崔哓莹138 1623 雷芮绮54 1464 赵佳怡139 1625 刘相君55 1465 侯时雨140 1626 王雨桐56 1466 任奕臻141 1627 徐昊57 1467 王婧怡142 1628 杨志豪58 1472 范学智143 1630 张亦可59 1473 康济州144 1638 邢智晟60 1474 张溢淦145 1642 呼延嘉玥61 1475 郭浩男146 1648 张蔚伦62 1477 郭臻147 1649 晋远63 1478 周正阳148 1650 邢泽培64 1479 权晨嘉149 1652 白笑天65 1480 卫昊辰150 1653 槐泽鹏66 1481 闫哲坤151 1654 王保臻67 1482 王云鹏152 1655 程鹏宇68 1483 刘泽林153 1656 何旭69 1484 李天琦154 1657 李瑞霖70 1485 易旻臻155 1658 王璞钰71 1486 李一茁156 1659 罗睿锋72 1487 崔渭刚157 1660 蔡玉洁73 1488 陆煜埅158 1661 王豪74 1489 施鳕淞159 1662 李海东75 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