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正多边形的有关计算 (一)
正多边形的有关计算 (一)正多边形的有关计算 (一)教学目的：1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；教学重点： 化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．教学难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．二、新课讲解：哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．)什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．)正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．)什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n边形的2
一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中(幻灯展示练习题，学生思考，回答)1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．解此方程n=9．幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如图7-138，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．1．观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)2．观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(安排中等生回答：全等，依据(s．s．s)或(s．a．s))3．将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(安排中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．)套上幻灯片的复合片：3
与圆有关的位置关系、正多边形的复习
1、 直线与圆的位置关系
例1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=6，AB=10，以点C为圆心作圆，设圆的半径长为r。要使AB与圆C相切，求r的值。
同源题选：
1.已知直角△ABC中，∠C=90°, AC=3 , BC=4,圆C与线段AB有两个交点,则圆C的半径
r的取值范围是 。
2.已知直角△ABC是等边△，AB= 4cm, 以A为圆心的圆与边BC相切，那么⊙A的半径长等于 cm。
2、圆与圆的位置关系
例2（2003上海）.矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是 。
同源题选：
1.（2005上海）如果半径分别为2和3的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是
.
2.若两个圆的半径分别为R和r（R>r），圆心为d, R2+d2 = r2+2Rd，则两圆的位置关系（ ）。
（A）内含 （B）外离 （C）相切 （D）相交
3.已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为5cm, O1 O2 =7cm,那么⊙O2的半径长等于
__ _cm。
【达标训练】
1.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是8和5，两圆没有公共点，则圆心距⊙O1和⊙O2的取
值范围是 。
2.两个以点O为圆心的同心圆中，圆环的面积为9π，大圆的弦AB切小圆于点C，则
弦AB的长度 。
3.两个以点0为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与弦CD的长相等，如果AB与小圆相
切，则CD与小圆的位置关系 。
4.两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆
《正多边形的有关计算》 知识清单
一、正多边形的定义
正多边形是指各边相等，各角也相等的多边形。比如常见的正三角形、正方形、正五边形等。
二、正多边形的内角和与外角和
1、 内角和
对于一个 n 边形，其内角和公式为：（n 2)×180°。
例如，三角形（n ＝ 3）的内角和为 （3 2)×180° ＝ 180°；四边形（n ＝ 4）的内角和为 （4 2)×180° ＝ 360°。
2、 外角和
无论正多边形的边数是多少，其外角和始终为 360°。
这是因为多边形的每个内角与相邻的外角之和为 180°，n 个内角与
n 个外角的总和为 180°×n，而内角和为 （n 2)×180°，所以外角和为
180°×n （n 2)×180° ＝ 360°。
三、正多边形的每个内角和每个外角的度数
1、 每个内角的度数
由于正多边形的各角相等，所以每个内角的度数为：（n
2)×180°÷n 。 例如，正六边形，n ＝ 6，每个内角的度数为 （6 2)×180°÷6 ＝
120°。
2、 每个外角的度数
因为正多边形的外角和为 360°，且各外角相等，所以每个外角的度数为 360°÷n 。
比如正八边形，n ＝ 8，每个外角的度数为 360°÷8 ＝ 45°。
四、正多边形的中心、半径、边心距
1、 中心
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心称为正多边形的中心。
2、 半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径。
3、 边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
以正六边形为例，如果已知正六边形的半径为 R，边心距为 r ，边长为 a 。
可以通过勾股定理得出：r ＝ √3/2×a ，R ＝ a 。
五、正多边形的面积计算
1、 利用边心距和边长计算 设正 n 边形的边长为 a ，边心距为 r ，则面积 S ＝ 1/2×n×a×r 。
例如，正三角形，边长为 a ，边心距为 r ，面积 S ＝ 1/2×3×a×r ＝
多边形的面积计算
多边形是几何学中常见的图形，其面积计算是数学中的重要问题。面积是指图形所占据的平面区域的大小，计算多边形的面积可以使用不同的方法，下面将介绍几种常见的计算多边形面积的方法。
方法一：正多边形的面积计算公式
正多边形是指所有边长和内角相等的多边形，最常见的正多边形是正三角形、正方形、正五边形等。正多边形的面积计算公式为：面积 =
边长的平方乘以√3 / 4。例如，一个边长为5的正三角形的面积为：5²
× √3 / 4 = 10.83。
方法二：将多边形划分为三角形求和
将任意多边形划分为若干个三角形，计算每个三角形的面积，然后将其相加得到多边形的总面积。这种方法适用于任意多边形，无论是凸多边形还是凹多边形。划分的方法有很多种，可以选择不同的内角和边作为划分依据。通过计算每个三角形的面积，并将其相加即可得到多边形的面积。
方法三：格林公式
格林公式是一种计算封闭曲线所围多边形面积的方法，适用于不规则多边形。格林公式的表达式为：面积 = 0.5 × (∑(x[i]y[i+1] -
x[i+1]y[i]))，其中x[i]和y[i]分别表示多边形的顶点的x坐标和y坐标。通过遍历多边形的顶点，计算每个顶点所对应的面积，并将其相加，最终得到多边形的面积。 方法四：三角形面积向量叉乘
将多边形的任意一个顶点作为基准点，逐个计算基准点与相邻两个顶点组成的三角形的面积，然后将其相加得到多边形的面积。这个方法的关键在于计算三角形的面积，可以使用向量的叉乘来求解。通过遍历多边形的顶点，计算每个三角形的面积，并将其相加，最终得到多边形的面积。
需要注意的是，在使用以上方法计算多边形的面积时，首先需要根据多边形的给定信息确定顶点的坐标或边长等参数。然后，根据不同的计算方法进行计算，最终得到多边形的面积。
