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高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算导学案(

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实数指数幂及其运算

学习目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。

掌握根式和有理数指数幂的意义

注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件

学习重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件

学习难点：实数指数幂的运算

学习过程：

一、正整数指数幂（复习）：

1．()nanN的意义： nnaaaa

2．()nanN的运算：

（1）mnmnaaa （2）()mnmnaa

（3）(,0)mmnnaamnaa （4）()mmmabab

二、负整数指数幂（拓展）：

规定： 01(0)aa 1(0)nnaaa

三、分数指数：

1．复习：

问题： 2xa 3xa 则x的取值是什么？

2．拓展：

如果存在实数x，使得nxa(,1,)aRnnN，则x叫做a的n次方根；

求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算，

正数a的正n次方根叫做a的n次算术根。

当na有意义时，na叫做根式，n叫做根指数。

3．根式性质：

(1) ()(1,)nnaannN (2)

nnanaan，当为正奇数时，当为正偶数时

4．分数指数幂（有理指数幂）：

（1）正分数指数幂：

1(0)nnaaa (0,,,)mnmnmaaanmNn且为既约分数

（2）负分数指数幂：1(0,,,)mnmnmaanmNna且为既约分数

5、有理指数幂运算法则：0,0ab，,是有理数

(1) aaa (2) ()aa (3) ()abab

四、无理指数幂：

1、0,0ab，,是无理数

(1) aaa (2) ()aa (3) ()abab

2、实数指数幂： 0,0ab，,是实数

(1) aaa (2) ()aa (3) ()abab

五、典型例题：

例1、（整数指数幂）化简下列各式：

（1）03.14 （2）512 （3）42x （4）1095252

（5）32212339ababab （6）33334411aaaaaaaa

练习：

一组：

（1）57xx （2）232(2)ab （3）23(2)()xx （4）13()()aabb

（5）2222(2)()aaaa （6）2222()()xyxy

二组：

（1）若,mnZ，满足5ma，15nb，则25mn .

（2）已知221na，*()nN，则33nnnnaaaa

（3）已知11aa，则66aa的值为

例2、（根式）求下列各式的值：

（1）243819 （2）44(3) （3）232222 （4）66()()abab

练习：求下列各式的值

（1）63231.512 （2）2224(9124)aabb

（3） 639663()()aa （4）若42xa，求xxxxaaaa

例3、求使根式2(3)(9)(3)3aaaa成立的实数a的取值范围

练习：若62344112aaa，求实数a的取值范围

例4．（有理指数幂）计算下列各式：

（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54

（2）20.520371037(2)0.1(2)392748

（3）141030.753327(0.064)()[(2)]16|0.01|8

（4）2110323(3)(0.002)10(52)(23)8

练习：计算下列各式：

（1）0212121236253； （2）34(25125)5；

（3）12113142[(12)](12)11212 （4）2111333324()3abab

例5．（1）已知0x，0y，化简yxyxxyyx

（2）已知22()xxa常数，求88xx的值

练习： （1）设0x，0y22yyxx，求yyxx的值

小结：

1、根式和根式的性质： 2、指数幂的拓展：

3、实数指数幂的运算律： 4、实数指数幂的运算律的应用

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(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)

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必修一

第一章 集合

1.1 集合与集合的表示方法

1.1.1 集合的概念

1.1.2 集合的表示方法

1.2 集合之间的关系与运算

1.2.1 集合之间的关系

1.2.2 集合的运算

本章小结

阅读与欣赏

聪明在于学习，天才由于积累

第二章 函数

2.1 函数

2.1.1 函数

2.1.2 函数的表示方法

2.1.3 函数的单调性

2.1.4 函数的奇偶性 3 2.1.5 用计算机作函数的图象（选学）

2.2 一次函数和二次函数

2.2.1 一次函数的性质与图象

2.2.3 待定系数法

2.3 函数的应用（Ⅰ）

2.4 函数与方程

2.4.1 函数的零点

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

本章小结

阅读与欣赏

函数概念的形成与发展

第三章 基本初等函数（Ⅰ）

3.1 指数与指数函数

3.1.1 实数指数幂及其运算

3.1.2 指数函数

3.2 对数与对数函数

3.2.1 对数及其运算

3.2.2 对数函数

3.2.3 指数函数与对数函数的关系

3.3 幂函数

3.4 函数的应用（Ⅱ）

本章小结 4 阅读与欣赏

对数的发明

必修二

第一章 立体几何初步

1.1 空间几何体

1.1.1 构成空间几何体的基本元素

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

1.1.4 投影与直观图

1.1.5 三视图

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.1.7 柱、锥、台和球的体积

实习作业

1.2 点、线、面之间的位置关系

高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件

高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件

• MATHEMATICS n

3. 1指数与指数函数

3. 1.1实数指数幕及其运算

【课标要求】

1. 理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运

算. 数学

第三章基本初等函数（I）

2. 了解实数指数幕的意义.

【核心扫描】

1-根式与分数指数幕的互化.（重点）

2. 根式的性质.（易混点）

3. 有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI

》课前探究学习 挑战自我［点点落实

自学导引

1. "次方根的概念

（1） 如果存在实数兀，使得 心 ,则X叫做。的〃次方根.

（2） 当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫

做根指数 ,a叫做被开方数.

2. 根式的性质

（1）（般）"=丄（卅＞1 且 〃UN+）；

（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）

（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）

3. 分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：

in _

Q 去二 (Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；

(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、

m. e N * ,且几 > 1)；

(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕\a\

4. 有理数指数幕的运算性质 (l}aa=ar+s (a>0,厂、泻Q)；

(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；

(3YabY=arbr (a>0, b>0,胆Q)・

试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的 底数有何取值范围？

提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,

dM（）;

_2l_ [

"〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ eR，当肌为偶数时，

a > 0.

想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意 义吗？

提示 式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子 （第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.

高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第三章 指数函数和对数函数 3.1

高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第三章 指数函数和对数函数 3.1

§3指数函数(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和

性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．

知识点一指数函数

思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分

裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系

式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？

答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．

梳理一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，

无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须

位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1

不是指数函数．

知识点二指数函数的图像和性质

思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？

答案函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点

作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．

梳理指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：a>10

图像

性质(1)定义域：R

(2)值域：(0，＋∞)

(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1(4)当x>0时，y>1；

x<0时，00时，0

x<0时，y>1

(5)是R上的增函数(5)是R上的减函数

1．y＝xx(x>0)是指数函数．(×)

2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(×)

3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(√)4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(×)

类型一求指数函数的解析式

例1已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．

人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_26

人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_26

指数函数教学设计

案例名称 指数函数教学设计

科目 教学对象 高一学生 提供者

课时 1课时

一、教材内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第三章第一节第二课时（3.1.2）《指数函数》，是在学生系统学习了函数的基本概念、表示方法、单调性、奇偶性及一次、二次函数图象，掌握了实指数幂及其运算的基础上引入的。

指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数，本节课将从细胞分裂和放射性物质衰变的实际问题引入，引出指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）

1. 知识和技能：

⑴理解指数函数的概念

⑵掌握指数函数的图像、相关性质及简单的运算及应用

2. 过程与方法：

⑴通过观察函数图像归纳总结出指数函数的性质

⑵引导学生进一步体会数形结合的思想，培养学生的识图能力和分析、归纳、总结的技巧

3. 情感、态度、价值观

⑴通过实例引入，让学生深切感受到生活中处处有数学，激发学习的兴趣和动力

⑵学习过程中经历了通过图像探究函数性质的过程，使学生体会到认识事物的特殊性与一般性之间的关系

⑶通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神

三、教学重点与难点

1.教学重点：理解指数函数的定义,把握图象和性质.

2.教学难点：理解掌握底数对指数函数的影响

四、学习者特征分析 1. 智力因素 :

⑴知识基础：系统学习了函数的基本概念、表示方法、单调性、奇偶性及一次、二次函数图象及性质，掌握了实指数幂及其运算

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