正方形性质与判定

正方形的性质

与判定

板块名称 中考考试要求层次

A B C

正方形 会识别正方形 掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

① 边的性质：对边平行，四条边都相等．

② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．

判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系

2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。

3. 提高学生分析问题与解决问题的能力。

4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点

重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点：正方形知识的灵活应用 中考要求

知识点睛

重、难点 教学目标

一、正方形的性质

【铺垫】正方形有条对称轴．

【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则:BDEFABCDSS正方形正方形

⑵如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且

20AEAFAF，，则BE的长为

FEDCBA ⑶如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若1AG，2BF，90GEF，则GF的长为．

【例2】 ☆将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点12...nAAA，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

正方形的性质与判定

一、 正方形的性质与判定比较

性质 判定

边 1、对边平行；

2、四边相等； 1、一组邻边相等的矩形；

角 3、四角相等（都等于90o） 2、一个角是直角的菱形；

线 4、对角线互相平分、垂直且相等 3、对角线相等的菱形；

4、对角线垂直的矩形；

5、对角线互相平分、垂直且相等的四边形

二、正方形判定方法

① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；

如上表中的判定原理1—4，都是这种方法；

② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件；

③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。

三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较

平行四边形 菱形 矩形

正方形

边 1、对边平行 1、对边平行 1、对边平行 1、对边平行

2、对边相等 2、四边相等 2、对边相等 2、四边相等

角 3、对角相等 3、对角相等

3、四角相等 3、四角相等

对角线 4、对角线互相平分 4、对角线互相平分

且垂直 4、对角线互相平分

且相等 4、对角线互相平分、

垂直且相等

对称性 5、中心对称图形， 5、中心对称图形， 5、中心对称图形 5、中心对称图形，

6、轴对称图形， 6、轴对称图形，两条对角线所在直线是对称轴 6、轴对称图形，两条对边的中垂线是对称轴 6、轴对称图形，

4条对称轴

四、例题与练习

【例】如图Z-01，RtABC中，∠ACB=90o，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，

DF⊥AC于F，求证：四边形CFDE是正方形。

〖思路分析〗要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。

证法一：先证矩形，再证一组邻边相等

小学数学知识归纳正方形的性质与判定

正方形是小学数学中常见的几何图形之一，它有其独特的性质与判定方法。本文将对正方形的性质进行归纳，并介绍判定一个图形是否为正方形的方法。

一、正方形的性质

正方形是具有以下性质的四边形：

1. 边长相等：正方形的四条边长都相等。

2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角（即90度），所以角度也相等。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线互相垂直且长度相等。

4. 对称性：正方形具有对称性，即以中心为对称点旋转180度，正方形仍然保持不变。

二、判定一个图形是否为正方形的方法

在数学中，我们可以通过以下方法来判定一个图形是否为正方形：

1. 角度判定法：如果一个四边形的四个内角都等于90度，则这个四边形是正方形。这是因为正方形的角度都相等，并且每个角度都是90度。 2. 边长判定法：如果一个四边形的四条边长都相等，则这个四边形是正方形。这是因为正方形的边长都相等，所以四边形的四条边长也应该相等。

3. 对角线判定法：如果一个四边形的两条对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是正方形。这是因为正方形的对角线具有这样的性质。

除了以上三种方法外，我们还可以通过其他相关性质来判定一个图形是否为正方形，比如对称性等。

三、归纳小结

正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质包括边长相等、角度相等、对角线相等和对称性等。判定一个图形是否为正方形可以通过角度判定法、边长判定法、对角线判定法等方法进行验证。

通过学习和掌握正方形的性质与判定方法，小学生可以更好地理解和应用正方形相关的数学知识。正方形在几何学中有着重要的应用，如建筑设计、图案制作等。因此，对正方形的深入了解对于小学生的数学学习和发展非常重要。

希望本文对读者对小学数学中正方形的性质与判定方法有所帮助，能够为小学生的数学学习提供一定的指导。同时也希望读者能够继续学习和探索更多有关几何图形的知识，提升数学水平。

正方形的性质和判定

1 / 3 正方形的性质与判定

1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3.面积：=S正方形边长×边长＝12×对角线×对角线

4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）对角线相等的菱形是正方形；

（3）一组邻边相等的矩形是正方形

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形

随堂练习

1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（

）

A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角

2. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )

A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④

3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）

A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF

第3题 第4题 第5题 第6题

4.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）

A．45° B．55° C．60° D．75°

5.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点B的坐标为（ ）