第十二章全等三角形常见全等三角形模型复习讲义人教版数学八年级上册
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常见全等三角形模型（压轴）
三角形全等的判定方法：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
证明三角形全等的基本思路：
全等三角形中常见的基本模型：
1手拉手模型
①△ABE和△ACF均为等边三角形
结论：（1）△ABF≌△AEC；
（2）∠BOE =60°；
（3）OA平分∠EOF ．
拓展图形：
结论：（1）AD=BE ； （2）∠ACB=∠AOB ； （3）△PCQ为等边三角形；
（4）PQ∥AE ； （5）AP=BQ ； （6）CO平分∠AOE ；
（7）OA=OB+OC； （8）OE=OC+OD．
②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论：（1）BE=CD； （2）BE⊥CD ．
③ABEF和ACHD均为正方形
结论：（1）BD⊥CF； （2）BD=CF．
2三垂直模型
由△AEB≌△BDC导出 由△ABE≌△BCD导出 由△ABE≌△ECD导出
AE=CD+DE AB=EC+CD BC=AB+CD
3等腰直角三角形型
定点是斜边中点，BF=AE（AF=CE），动点在两直角边上滚动的旋转全等：
结论： （1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE；
（2）DE⊥DF；
（3）S四边形AFDE=1/2S△ABC．
例1．在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE=DC；
（3）AE与DC的夹角为60°；
（4）BH平分∠AHC；
（5）△ABG≌△DBF；
（6）等边△GBF；
（7）GF∥AC.
1．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD=CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面（1），（2）中的结论还成立吗？请简单说明理由．
2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）．
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），
求证：△AOC≌△ABP ；
（2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠PAE的度数和E点的坐标； （3）点C在y轴移动的过程中，若∠APB＝30°，则点P的横坐标为
． 例2．如图1，OA＝1，OB＝3，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC． （1）求点C的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APQ，过Q作QE⊥x轴于E点，求PO﹣QE的值．
1．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）．
A．50 B．62 C．65 D．68
2．直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．
（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若90,90BCA，则 （填“”，“”或“”号）；
②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；
（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
3．（1）如图1，OA＝3，OB＝6，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC，则C点的坐标为 ；
（2）如图2，OA＝3，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（3）如图3，点F坐标为（﹣3，﹣3），点G（0，m）在y轴负半轴上，点H（n，0）在x轴的正半轴上，且FH⊥FG，求m+n的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，∠BAC=90°，AB=AC，点E为边AC上一点，连接BE交y轴于点F，交x轴于点G，作CD⊥BE交BCABECCFABCAEFBEAF0180BCABCABCABCAA B
C E F D D
A B
C E F A
D F C E B
图1 图2 图3 BE延长线于点D，且CD=BF，连接AD，CF.
（1）求证：△ABF≌△ACD；
（2）若∠ACF=2∠CBF，求证：∠ACO=∠FCO；
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（0，2），求OC的长.
5．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF．求证：∠ADB=∠CDF．
例3．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B同时出发向点C运动，且它们的速度都为1/cms，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
1．如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
例4．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN=BM．
（1）求证：△ANO≌△BMO；
（2）求证：OM⊥ON．
（3）当M、N分别在线段AB、AC上移动时，四边形AMON的面积如何变化？
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB．AC于M．N，求证：DM=DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA．AC延长线交于M．N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
2．将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．
（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；
（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．
