3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)备课笔记
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3.1.2
椭圆的简单几何性质第2课时
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的
第一节《椭圆》。以下是本节的课时安排：
第三章圆锥曲线的方程
课时内容3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页
新教材
内容
分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细
绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知
椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭
圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺
垫。通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标
准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关
系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与
方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具
有的程序化、普适性特点。
核心素养培
养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算
的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养
数学抽象的核心素养。通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算
的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的
判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线椭圆的标准方程、几何性质
学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲
线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．
2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．
3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.
重点：直线与椭圆的位置关系
难点：直线与椭圆的位置关系的应用
（一）新知导入
一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称
轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点
1上，片门位另一个焦点
2上，由椭圆一个焦点
1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点
2。
（二）椭圆的简单几何性质
知识点一点与椭圆的位置关系
【探究1】
根据点与圆的位置关系，你能得出点P
(x
0，y
0)与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a
＞b
＞0)的位置关系有哪些？
怎样判断？
◆
点P
(x
0，y
0)与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a
＞b
＞0)的位置关系：
(1)点P
在椭圆上⇔x20
a2＋y20
b2＝1；
(2)点P
在椭圆内部⇔x20
a2＋y20
b2＜1；
(3)点P
在椭圆外部⇔x20
a2＋y20
b2＞1.
【做一做1】
点(1,1)与椭圆22
1
32xy
的位置关系为（）
A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定
【做一做2】
若点A
(a,
1)在椭圆x2
4＋y2
2＝1的内部，则a
的取值范围是________.
知识点二直线与椭圆的位置关系
【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？
◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)
直线y
＝kx
＋m
与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a
＞b
＞0)的位置关系判断方法：
联立y
＝kx
＋mx2
a2＋y2
b2＝1，消y
得一个关于x
的一元二次方程.
位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ
)
相交2个2解Δ
＞0相切1个1解Δ
＝0
相离0个0解Δ＜0
斜率不存在时，观察可得．
【做一做1】直线y
＝x
＋1与椭圆x2
＋y2
2＝1的位置关系是()
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆x2
3＋y2
＝1被直线x
－y
＋1＝0所截得的弦长|AB
|＝________.
1.直线与椭圆的位置关系
例1.
已知直线y
＝x
＋m
与椭圆x2
16＋y2
9＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m
的取值范围．
[分析]将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式Δ
判断．
【类题通法】
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到
关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ
>0⇔直线与椭圆相交；
Δ
＝0⇔直线与椭圆相切；
Δ
<0⇔直线与椭圆相离．
【巩固练习1】(1)若直线y
＝kx
＋2与椭圆x2
3＋y2
2＝1相切，则斜率k
的值是()
A.6
3
B．－6
3
C．±6
3
D．±3
3
(2)直线y
＝kx
－k
＋1(k
∈R)与焦点在x
轴上的椭圆x2
5＋y2
m＝1总有公共点，则m
的取值范围是________．
2.弦长问题
例2.
已知椭圆4x2
＋y2
＝1及直线y
＝x
＋m
.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m
的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[分析](1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ
的符号，建立关于m
的不等式求解；(2)
利用弦长公式建立关于m
的函数关系式，通过函数的最值求得m
的值，从而得到直线方程．
【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：
法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；
法二是用弦长公式|AB
|＝1＋k2
|x
1－x
2
|＝1＋1
k2|y
1－y
2|，其中k
为直线AB
的斜率，A
(x
1，y
1)，B
(x
2，
y
2)．
2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．
【巩固练习2】已知椭圆C
的中心在原点O
，焦点在x
轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点M
1，3
2，F
为其左焦点．
(1)求椭圆C
的标准方程；
(2)过左焦点F
的直线l
与椭圆交于A
，B
两点，当|AB
|＝18
5时，求直线l
的方程．
3.中点弦问题
例3.
过椭圆x2
16＋y2
4＝1内一点P
(2,1)作一条直线交椭圆于A
，B
两点，使线段AB
被P
点平分，求此直
线的方程．
[分析]由于弦所在直线过定点P
(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y
－1＝k
(x
－2)，与椭圆方
程联立，通过中点为P
，得出k
的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．
【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．
(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x2
a2＋y2
b2＝1，直线与椭圆交于点A
(x
1，y
1)，B
(x
2，y
2)，且弦AB
的中点为
M
(x
，y
)，则x2
1
a2＋y2
1
b2＝1，①
x2
2
a2＋y2
2
b2＝1，②①－②：a2
(y2
1－y2
2)＋b2
(x2
1－x2
2)＝0，
∴y
1－y2
x
1－x
2＝－b2
a2·x1＋x
2
y
1＋y
2＝－b2
a2·x
y.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．
【巩固练习3】已知椭圆方程是x2
9＋y2
4＝1，求以A
(1,1)为中点的弦MN
所在的直线方程．
1.若点P
(a,
1)在椭圆x2
2＋y2
3＝1的外部，则a
的取值范围为()
A.－2
3
3，23
3
B.2
3
3，＋∞
∪－∞，－233
C.4
3
，＋∞
D.－∞，－43
2.直线y
＝kx
－k
＋1与椭圆x2
9＋y2
4＝1的位置关系是()A．相交B．相切
C．相离D．不确定
3.直线y
＝x
＋1被椭圆x2
4＋y2
2＝1所截得的弦的中点坐标是()
A.2
3
，5
3
B.4
3，7
3
