28.2.3(2)切线长定理

切线长定理一知识讲解(基础)责编：康红梅【学习目标】1. 了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2. 掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称•切线是直线，而非线段•2 .切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等3 •圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等•要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆•这个三角形叫作圆的外切三角形•2 •三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心•三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点•要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即；:- 1 I'：(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2内心(三角形三角形三条角平分线X(1)到三角形三边距离相等;内切圆的圆的交点(2)OA、OB OC分别平分心)M BAG M ABG M ACB⑶内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1. (2015秋?湛江校级月考)已知PA PB分别切OO于A B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1 )若PA=6,求厶PCD的周长.(2)若/ P=50°求/ DOC解：(1)连接OE••• PA PB与圆O相切，••• PA=PB=6同理可得：AC=CE BD=DE△ PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+P；=12(2)T PA PB与圆O相切，•••/ OAP M OBP=90 / P=50°,•••/ AOB=360 - 90°- 90°- 50° =130°,在Rt △ AOC和Rt △ EOC 中，r OA=OEOC=OC，L• Rt△AO Q Rt△EOC( HL),•••/ AOC H COE同理：/ DOE M BOD•••/ COD= M AOB=65 .2【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键.2 . (2016秋?江阴市校级期中)如图，AB、AC、BD是O O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5 ,AC=3，贝U BD的长为 _________【解析】解: •/ AC 、AP 为O O 的切线, 举一反三： 【变式】已知：如图，OO过点A 作AD _ BF 于点D .求证：DA 为OOAC 、BD 是O O 的切线，贝U AC=AP , BP=BD ，求出BP 的长即可求出 BD 的长.••• AC=AP ,•/ BP 、BD 为O O 的切线,• BP=BD , • BD=PB=AB - AP=5 - 3=2.故答案为：2.【总结升华】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键. 为.：ABC 的外接圆，BC 为OO 的直径，作射线 BF ，使得BA 平分三CBF , 的切线.AO = BO2 = . 3 .BA 平分.CBF ,• • 1 =. 2. • Z 3 Z 1 .DB // AO .AD _DB , • £BDA =90 . /.Z DAO =90 .AO 是O O半径，• DA 为O O 的切线. 3.如图，正方形 ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ ADE 的面积（ ）【答案】2.【答案】 连接AO .A.12B.24C.8D.6【答案】D;【解析】••• AE与圆0切于点F,显然根据切线长定理有AF=AB=4cm , EF=EC ,设EF=EC=xcm ,则DE= (4 - x) cm, AE= (4+x) cm ,在三角形ADE中由勾股定理得：2 2 2(4 - x) +4 = (4+x),x=1cm,/• CE=1cm ,.DE=4 -仁3cm ,2--S^\DE=AD ?DE -=2=3 ^4^2=6cm -【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF , EF=EC .类型二、三角形的内切圆4. (2015?青江市校级二模)如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，00经过B点且与AI相切于I点.(1)求证：AB=AC(2)若BC=16 00的半径是5，求AI的长.【解题思路】(1)延长AI交BC于D,连结OI,如图，根据内心的性质得/ OBI=Z DBI,则可证明OI// BD 再根据切线的性质得OI 丄AI，贝U BDLAD加上AI平分/ BAC所以△ ABC为等腰三角形，得到AB=AC (2)由OI// BC得到△ AOI sA ABD 得到比例式，再根据勾股定理求得A D JA B2— BD2=贸，于是就可得. 【答案与解析】解：(1)延长AI交BC于D,连结OI，如图,• AI= ?AD= 'XBD 8二11 ~=~••T是厶ABC的内心，••• BI 平分/ ABC 即/ OBI=Z DBI, •/ OB=O|•••/ OBI=Z OIB,•••/ DBI=Z OIB,•01 // BD•/AI为OO的切线，•01 丄AI,•BDLAD•/ AI 平分/ BAC•△ ABC为等腰三角形，•AB=AC(2)T OI // BC•△AOI sA ABD•-y•l i. H i ii，•订:•/.=:,AB』• Ai2"32,【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.举一反三：【变式】已知如图，△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3求厶ABC的内切圆O O的半径r.【答案】连结OA OB OC•/△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3 • AB=5.1111贝U S\AO+S A CO+S^AO(=S^ABC即卩5r+ 4r+ 3r= 3 4 r=12 2 2 2，。

切线长定理逐字稿切线长定理是指在任一曲线上，任一点的切线的斜率与曲线的斜率的乘积等于曲线的弧长。

性质：1、曲线的曲线弧长与点的切线斜率成正比；2、某点的切线斜率与曲线的曲线弧长之差的绝对值最小；3、曲线的曲线弧长与曲线的斜率成正比；4、某点的切线斜率与曲线的曲线弧长之和的绝对值最大；5、某点的切线斜率越大，则该点弧长与曲线斜率成正比的关系越紧密；6、某点的切线斜率越小，则该点弧长与曲线斜率成正比的关系越松散。

应用：1、切线长定理用于计算弧线和曲线的曲线长度，当知道切线的斜率时，可以计算出曲线的曲线长度；2、切线长定理也可以用来判断不同的函数的性质，以及求解几何函数的特征；3、切线长定理也可以用于最优路径问题，在建立求解曲线最优路径的具体方案时，可以利用切线长定理对路径进行优化；4、切线长定理也可用于积分的求解，求解不同曲线的面积，当知道切线的斜率时，可以使用此定理计算曲线的面积。

证明：假设曲线是由x=(x,y§)的函数表示的曲线，考虑曲线上的关于曲线的某一点P，取准点O和P之间的短线段OP，假设其切线斜率为K，曲线的斜率为k，那么在点P处我们可以构造一条和切线在P点重合的矢量，用差分公式表示为begin{equation}Delta x=(Delta x,Deltay)=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=KcdotDelta send{equation} 将差分公式代入到函数中并做微积分，便得到begin{equation}int_{P_{1}}^{P_{2}}KDeltasds=int_{P_{1}}^{P_{2}}left(f^{prime}(x)right)Delta xdxend{equation}即begin{equation}Kcdotint_{P_{1}}^{P_{2}}Deltasds=int_{P_{1}}^{P_{2}}left(f^{prime}(x)right)Delta xdxend{equation}由上述公式可以知道，切线斜率K和曲线斜率k之间的乘积等于曲线的曲线弧长，即begin{equation}Kcdot k=int_{P_{1}}^{P_{2}}Delta sdsend{equation}这就是切线长定理的证明。

知识点一切线长定义及切线长定理1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点到圆的切线长注意切线长和切线的区别和联系：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论:(1) △ PAB是等腰三角形；(2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ；(3) 弧AM=弧BM ;(4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论;如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP(5)图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与AO切于点E、F,求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长.切线长定理及其应用【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ .£4【过关练习】1•如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时,求AP的长•2•如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数•3•如图，在直角梯形 ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,以BC 为直径的 △ 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论 正确的个数是( )B1 2知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和 __________________ .（如图，即AB+CD=AD+BC ）题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与AO 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

切线长定理内容
切线长定理是几何学中的一个定理,它描述的是当两个物体相对运动时,如果物体A的切线速度与物体B的速度方向相反,那么物体A 的切线长度一定比物体B的长度长。

切线长定理的公式为:
L_A / L_B = (v_A^2 / c^2) - (v_B^2 / c^2)
其中,L_A表示物体A的切线长度,L_B表示物体B的切线长
度,v_A表示物体A的相对速度,v_B表示物体B的相对速度,c表示光速。

切线长定理说明了一个物体的切线长度与其相对速度有关,而与物体的质量、形状等因素无关。

这个定理在物体运动分析、机械力学、相对论等领域都有广泛的应用。

切线长及切线长定理一、切线长定理：1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长．2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、弦切角定理：1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，•已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数如图，△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.一、选择题1．如图，P是⊙O外一点，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA.PB于D.E,若△PDE的周长为20cm,则PA长为。

2.如图，AB.AC与⊙O相切于B.C∠A=50°，点P是圆上异于B.C的一动点，则∠BPC的度数是。

3．如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为。

3. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．184. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、则∠A 的度为________．6题图 7题图8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o ，则∠BOC 为____________度．8．如图，在R t △ABC 中，∠A=90°，⊙O 分别与AB,AC 相切于E.F ，圆心O 在BC 上，若AB=a,AC=b,则⊙O 的径为 。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

切线长定理—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC 中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.【答案与解析】连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形.∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED，∴DE是⊙O切线.【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.FCFC【答案】连接AO.∵AO BO=，∴23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒.∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. 3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A.12B.24C.8D.6【答案】D ；【解析】∵AE 与圆O 切于点F ，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm ，EF=EC ，设EF=EC=xcm ，则DE=（4﹣x）cm ，AE=（4+x ）cm ，在三角形ADE 中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x ）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S △ADE =AD•DE÷2=3×4÷2=6cm 2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF ，EF=EC ．类型二、圆外切四边形　4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【答案】B.。