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南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的方程是．2．（5分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是．4．（5分）过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是．5．（5分）已知空间直角坐标系中，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y 轴上且到点A，点 B 的距离相等，则点M 坐标为．6．（5分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．（5分）已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．（5分）已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．9．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为．10．（5分）双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是．11．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是．12．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y+b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．16．（14分）（1）已知点A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB 为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x 上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．17．（14分）已知圆C 的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l 的方程；（2）直线m 过点P（﹣1，2），与圆 C 交于A，B 两点，且AB=，求直线m 的方程．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．已知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．20．（16分）如图，已知椭圆O：的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P 是直线l：y=﹣2 上的一个动点（P 不在y 轴上），直线PC 交椭圆于另一点M．（1）当直线PM 过点A 时，求△ABP 的面积；（2）求证：△MBP 为直角三角形；（3）椭圆O 关于直线AB 的对称图形是曲线E，求曲线 E 的方程，并直接写出曲线E 的横坐标的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【解答】解：半径r==，则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=22．（5分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）．【解答】解：双曲线﹣=1的a2=4，b2=5，c==3，可得双曲线的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．故答案为：（﹣3，0），（3，0）．4．（5分）过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是y2=2x．【解答】解：设抛物线的标准方程为y2=2px，将点（2，﹣2）代入可得p=1，故抛物线的标准方程为y2=2x；故答案为：y2=2x．5．（5分）已知空间直角坐标系中，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y 轴上且到点A，点 B 的距离相等，则点M 坐标为（0，﹣1，0）．【解答】解：∵空间直角坐标系中，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上且到点A，点B的距离相等，∴设M（0，a，0），则=，解得a=﹣1，∴点M坐标为（0，﹣1，0）．故答案为：（0，﹣1，0）．6．（5分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．【解答】解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞7．（5分）已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．【解答】解：“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”，是充分条件，“这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”，不是必要条件，故答案为：充分不必要．8．（5分）已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．【解答】解：∵F1F2是PF1和PF2的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，∴2×2c=2a，解得=．故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为1．【解答】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得A（﹣2，2）、B（a，a+4）、C（a，﹣a），直线x﹣y+4=0与x+y=0与y轴组成的三角形面积为•2•4=4＜9．所以a＞0=×（2a+4）×（a+2）=9，所以S△ABC解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．10．（5分）双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是或．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得b=2a，可得离心率e====，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得a=2b，可得离心率e====，∴双曲线的离心率为：或．故答案为：或．11．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是k＜﹣29或k＞41．【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=25，∴圆心（2，﹣3），半径r=5，∵圆心到直线3x+4y+k=0的距离d==，∴圆上的点到直线的最小值=﹣5＞2，∴k＜﹣29或k＞41．故答案为k＜﹣29或k＞41．12．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程是x+2y﹣8=0．【解答】解：设弦的两端点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，，两式相减得，即k=，∴弦所在的直线方程y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y+b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是（﹣4，）．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0），设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，其圆心坐标为（﹣，0），半径为；∵动点P在直线x+y+b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴该直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离满足d=＜，化简得|b﹣|＜，解得﹣4＜b＜，∴实数b的取值范围是（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．14．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是37．【解答】解：∵存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，∴t2+at+b+++b=﹣3，设t+=m，|m|≥2，∴m2+am+2b+1=0∴﹣2b=m2+am+1，∴a2+4b2=a2+（m2+am+1）2=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，设f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，其对称轴为a=﹣m，∴f（a）min=（1+m2）m2﹣2m2（m2+1）+（m2+1）2=m2+1，∵|m|≥2，∴f（a）min≥4+1=5∴a2+4b2≥5，故答案为：5二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，即≤，解得：k∈[﹣2，2]，（2）若命题q：“方程﹣=1表示双曲线”是真命题．则（k﹣2）k＞0，解得：k∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，故k∈[﹣2，0）16．（14分）（1）已知点A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB 为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x 上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．【解答】解：（1）已知点A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1），则AB的中点坐标即圆心C（2，﹣3），则半径R=|AC|===，则以线段AB 为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=20；（2）由圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据圆过两点A （2，0），B （0，﹣4），可得CA=CB，即=，解得a=3，即圆心为（3，﹣3）、半径为|CA|==，故要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=10．17．（14分）已知圆C 的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l 的方程；（2）直线m 过点P（﹣1，2），与圆 C 交于A，B 两点，且AB=，求直线m 的方程．【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，不成立；当直线l的斜率k存在时，设过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l的方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，则圆心O（0，0）到切线kx﹣y+k+2=0的距离：d==2，解得k=0或k=，∴过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l的方程为y=2或=0．（2）当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=﹣1，直线m与圆交于点A（﹣1，﹣），B（﹣1，），AB=2，成立；当直线m的斜率k′存在时，设直线m的方程为y﹣2=k′（x+1），即k′x﹣y+k′+2=0，圆心O（0，0）到直线m的距离d′=，∵与圆 C 交于A，B 两点，且AB=，∴AB=2=2，解得k′=﹣，∴直线m的方程为：y﹣2=﹣（x+1），即3x+4y﹣5=0．综上，直线m的方程为x=﹣1或3x+4y﹣5=0．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．已知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）【解答】解：（1）设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=﹣x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|﹣|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线如图，（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2﹣a2=10202﹣6802=5×3402故双曲线方程为﹣=1用y=﹣x代入上式，得x=±680，∵|PB|＞|PA|，∴x=﹣680，y=680，故PO=680m答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处．19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，从而b=，∴椭圆的标准方程为+=1．由题意可得，直线l的方程为y=kx+2（k＞0），联立，得（3+4k2）x2+16kx+4=0．由△=256k2﹣16（3+4k2）=0，解得k=（k＞0）．∴直线l的方程为y=，即x﹣2y+4=0；（2）如图，设圆N的圆心为（m，0），由题意可得，，得m=1．则半径r=，∴圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5．①设P（x，y），则由PB=3PA，得，化简得：2x2+2y2﹣2x﹣9y+5=0．②联立①②解得：P（）或P（）．20．（16分）如图，已知椭圆O：的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P 是直线l：y=﹣2 上的一个动点（P 不在y 轴上），直线PC 交椭圆于另一点M．（1）当直线PM 过点A 时，求△ABP 的面积；（2）求证：△MBP 为直角三角形；（3）椭圆O 关于直线AB 的对称图形是曲线E，求曲线 E 的方程，并直接写出曲线E 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆的方程+y2=1，可得a=，b=1，c=，即有B（0，1），C（0，﹣1），A（，0），直线PM即AC：﹣y=1，即为x﹣y﹣=0，由y=﹣2，代入上式可得x=﹣，P（﹣，﹣2）到直线BA：x+y﹣=0的距离为d==2，即有S=BA•d=×2×2=2．△ABP（2）证明：设P（m，﹣2）（m≠0），k PM==﹣，PM：y=﹣x﹣1，代入椭圆方程可得（3+m2）x2+6mx=0，解得M，k PB==﹣，k BM==，则k PB k BM=﹣1，即PB⊥BM，即有△MBP为直角三角形；（3）设B关于直线y=﹣2的对称点为B'，由B（0，1），可得B'（0，﹣5），连接AB'，交直线y=﹣2即为P，则P到A，B的距离之和最小，且为|AB'|==2|AB|==2，由2＞2，可知以A，B为焦点的椭圆经过P，此时椭圆的离心率取得最大，且为e===．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
江苏省南京市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·潮州期末) 已知函数，若，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知命题p：x＞y；则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y；则x2＜y2；在命题①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q中，真命题是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④3. （2分） (2016高二上·福田期中) 下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A . 1B . 2C . 34. （2分） (2016高二上·福田期中) 设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二上·福田期中) 方程的图象是双曲线，则k取值范围是（）A . k＜1B . k＞2C . k＜1或k＞2D . 1＜k＜26. （2分）(2014·大纲卷理) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2 ，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4 ，则C的方程为（）A . =1B . +y2=1C . =1D . =17. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A .C . mD . 3m8. （2分） (2016高二上·福田期中) 若实数k满足0＜k＜9，则曲线 =1与曲线﹣ =1的（）A . 焦距相等B . 实半轴长相等C . 虚半轴长相等D . 离心率相等9. （2分） (2016高二上·福田期中) 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2014·大纲卷理) 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2 ，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·正阳开学考) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若= ， = ， = ．则下列向量中与相等的向量是（）A . ﹣ + +B .C .D . ﹣﹣ +12. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知双曲线 =1（b∈N*）的两个焦点F1 ， F2 ，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（）A . 2B . 3C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知x+y+1=0，那么的最小值为________．14. （1分） (2019高三上·台州期末) 设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，分别在圆，圆上，则的最大值为________．15. （1分） (2016高三上·襄阳期中) 若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为________．16. （1分） (2016高二上·杭州期末) 在平面直角坐标系内，设M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2）为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c=0，设．有下列四个说法：①存在实数δ，使点N在直线l上；②若δ=1，则过M、N两点的直线与直线l平行；③若δ=﹣1，则直线l经过线段MN的中点；④若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交．上述说法中，所有正确说法的序号是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2015高二下·铜陵期中) 已知椭圆C： =1的离心率为，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．18. （10分）已知函数（1）试讨论在区间上的单调性；（2）当时，曲线总存在相异两点，使得曲线在处的切线互相平行，求证 .19. （10分） (2019高二下·上海期末) 已知点是双曲线上的点．（1）记双曲线的两个焦点为，若，求点P到x轴的距离；（2）已知点M的坐标为，Q是点P关于原点的对称点，记，求的取值范围．20. （10分） (2019高二下·上饶期中) 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有 .（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，求的面积的最大值.21. （5分） (2016高三上·山西期中) 已知函数f（x）=lnx，g（x）= ax2+bx，a≠0．（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1 ，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．22. （10分）(2020·福建模拟) 如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、。
南京市高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·黄骅期中) 下列命题正确的是（）A . 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＞b是cos A＜cos B的充要条件B . 命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：对任意的x∈R，x2+x+1≤0C . 已知p：＞0，则￢p：≤0D . 存在实数x∈R，使sin x+cos x= 成立2. （2分）若非零向量,满足,且,则与的夹角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·天心期中) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A .B .C .D .4. （2分）抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为（）A . y2=6xB . y2=8xC . y2=16xD . y2=x5. （2分） (2017高三上·浦东期中) 下列四个命题中正确是（）A . 函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数（a＞0且a≠1）的值域相同B . 函数y=与y=的值域相同C . 函数与都是奇函数D . 函数y=与y=2x﹣1在区间[0，+∞）上都是增函数．6. （2分） (2017高一下·定州期末) 关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），有下列说法：①点P到坐标原点的距离为；②OP的中点坐标为（）；③点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）；④点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）；⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3）．其中正确的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分）若向量=（1，，﹣1），=（2，x，y），若∥，则x+y=（）A . -1B . 0C . 1D . 28. （2分）在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（）A .B .C .D .9. （2分）在正方体中，有下列命题：① ；②；③ 与的夹角为 .其中正确命题的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个10. （2分）过椭圆的右焦点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B椭圆上不同的两点A （x1 ， y1）B（x2 ， y2）满足条件：|F2A||F2B||F2C|成等差数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是（）A .B .C .D .11. （2分）“－3<m<5”是“方程表示椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分）在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是________．并对你的判断举例说明________．14. （1分）设向量满足，，若向量方向上的投影为，且向量与向量的夹角为120°，则的最大值等于________．15. （1分） (2019高二上·德惠期中) 已知F1 ， F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为________ ．16. （2分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（2，3，4）在平面xOy内的射影的坐标为________ ；点P （2，3，4）关于平面xOy的对称点的坐标为________三、解答题． (共8题；共52分)17. （10分） (2017高二下·赣州期中) 已知椭圆G： + =1（b＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F，且△MFN的面积为4 ．（1）求椭圆G的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点．以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．18. （5分） (2016高一下·河南期末) 已知命题p：x+2≥0且x﹣10≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19. （10分） (2017高三上·宿迁期中) 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量 =（a，b）， =（sinB，﹣cosA），且⊥ ．（1）求A的大小；（2）若| |= ，求cosC的值．20. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O，E为线段PC上一点，且AC⊥BE，（1）求证：PA∥平面BED；（2）若BC∥AD，BC= ，AD=2 ，PA=3且AB=CD，求PB与面PCD所成角的正弦值．21. （5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．求椭圆C的标准方程.22. （1分） (2017高二上·如东月考) “ ”是“ 或”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）23. （1分）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________ .24. （10分）(2017·甘肃模拟) 如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的正切值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共8题；共52分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、24-1、24-2、。
高二（上）期中试卷数学（理科）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题（514=70⨯分）1.图2226210C x y x y +--+=的周长是＿.2.已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点为3，则P 到另一个焦点的距离是＿. 3.已知空间两点()11,2,3P 和()25,4,7P ，则1P，2P 两点间的距离为＿. 4.过点(1,A 且与圆224x y +=相切的直线方程是＿. 5.已知动点P 的坐标(),x y 满足约束条件：4335251.x y x y x --⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≥则使目标函数2z x y =+取得最大值时的点P 的坐标是＿.6.圆()224x y y ++=与圆()()22219x y -+-=有＿条公切线.7.顶点在原点、对称轴是坐标轴，且过点()1,2-的抛物线的标准方程为＿. 8.已知方程22151x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是＿. 9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()1,2，则该双曲线的离心率的值为＿.10.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶高水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽＿米.11.曲线：y y x b =+恰有1个公共点，则b 的取值范围为＿.12.如果直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线0x y +=对称，若(),P a b 为平面区域1000kx y kx my y -+⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≥上的任意一点，则22b a +-的取值范围是＿. 13.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点1F ，2F 是椭圆的左焦点和右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使1PF 是P 到直线l 的距离的2倍，则该椭圆离心率的取值范围是＿.14.已知：点()1,0E ，点A 在直线1:10l x y -+=上运动，过点A ，E 的直线l 与直线2:10l x y ++=交于点B ，线段AB 的中点M 在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是＿. 解答题（90分）15.（14分）（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，准线方程为165x =±，求该双曲线的标准方程. 16.（14分）已知圆C 的圆心为()2,4，且圆C 经过点()0,4.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()3,1P -作直线l 与圆C 相交于A ，B两点，AB =l 的方程.17.（14分）某企业有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨.已知：每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kw ；每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kw ；每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200kw ；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？18.（16分）已知抛物线212y x ax =-++与直线2y x =. （1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A ，B ，当()1,4a ∈时，求线段AB 长度的取值范围.19.（16分）已知直线l 与圆2:2402C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为()0,1M .（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；（2）已知()0,3N -，若圆C 上存在两个不用的点P ，使P M =，求实数a 的取值范围.20.（16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，一条准线方程为x =（1）求椭圆C 的方程；（2）设()8,0P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的两个不同的点，连结PN 交于椭圆C 于另一点E ，求证：直线ME 与x 轴相交于定点.。
南京市高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·河北期中) 下列命题正确的是（）A . 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B . “x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C . 命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D . 已知命题 p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥02. （2分） (2018高二下·河南期中) 已知椭圆与抛物线的交点为，连线经过抛物线的焦点，且线段的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·林芝模拟) 别在双曲线的两条渐近线上，AF⊥x轴，BF⊥x轴，BF∥OA，• =0，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A .B .C .D .5. （2分）椭圆4x2+y2=1的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）抛物线的准线与双曲线的右准线重合,则m的值是（）A . 16B . 4C . -8D . -127. （2分） (2018高三上·大连期末) 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·张家界期中) 方程（x+y﹣1） =0所表示的曲线是（）A .B .C .D .9. （2分）设e是椭圆＝1的离心率，且e∈(， 1)，则实数k的取值范围是（）A . (0,3)B . (3，)C . (0,3)∪(，＋∞)D . (0,2)10. （2分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN 所成角的余弦值等于（）A .B .C .D .11. （2分）过点A（﹣2，3）作抛物线y2=4x的两条切线l1、l2 ，设l1、l2与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为（）A . x2+y2﹣3x﹣4=0B . x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C . x2+y2+x﹣3y﹣2=0D . x2+y2﹣3x﹣2y+1=012. （2分） (2017高二上·临沂期末) 双曲线C1： =1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P 的中点，则双曲线C1的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·南京月考) 等轴双曲线中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上，则标准方程为________.14. （1分） (2016高二上·吉安期中) P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为________15. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 在平行四边形中，∠ABD=90° ，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为________.16. （1分） (2016高二上·阜宁期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A、B 两点，若a∈[ ， ]，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，则椭圆离心率e的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2018高二上·遂宁期末) 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面;ACD（2）求直线与平面所成角的正弦值.18. （10分） (2017高二下·盘山开学考) 如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且PA⊥PF．（1）求直线AP的方程；（2）设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．19. （5分） (2017高二下·河北期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20. （5分）已知双曲线中心在原点，离心率等于2，且一个焦点坐标为（4，0），求此双曲线方程．21. （5分） (2015高二下·福州期中) 如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．22. （10分） (2018高二上·阳高期末) 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过作直线交椭圆于两点，使，求的面积.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、22-1、22-2、。
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．（5分）已知复数z=1+2i，则复数在复平面内对应的点位于第象限．2．（5分）某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是．3．（5分）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有辆．4．（5分）已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为分．7．（5分）某人射击1次，命中8～10环的概率如表所示：则他射击1次，至少命中9环的概率为．8．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为．9．（5分）执行如图所示的伪代码，当输入a，b的值分别为1，3时，最后输出的a的值为．10．（5分）为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框（菱形框）中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是．11．（5分）根据如图所示的流程图，若输入值x∈[0，3]，则输出值y的取值范围是．12．（5分）已知函数f0（x）=sin x+cos x，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），…，其中n∈N，则f19（）=．13．（5分）对于非零实数a，b，c，以下四个命题都成立：①（a+b）2=a2+2a•b+b2；②若a•b=a•c，则b=c；③（a+b）•c=a•c+b•c；④（a•b）•c=a•（b•c）；那么类比于此，对于非零向量，，，相应命题仍然成立的所有序号是．14．（5分）设函数f（x）=，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1满足z1•i=1+i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2．（1）求z1；（2）复数z1z2是纯虚数时，比较|z1|与|z2|的大小．16．（14分）某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如表：（1）上表中①②位置的数据分别是多少？（2）为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？17．（14分）（1）不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2bx+c2=0，其中b是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．18．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，且9a n+1a n﹣2•a n+1﹣4a n+1=0 （n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求{a n}的通项公式．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1），（1）求椭圆的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M，N（M，N不与点A 重合）．直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=．（1）当e≤x≤e2时，求函数f（x）的最小值；（2）已知函数g（x）=2x﹣，且f（x）g（x）≤0恒成立，求实数a的值；（3）某同学发现：存在正实数m、n（m＜n），使m n=n m，试问：他的发现是否正确？若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m的取值范围，而不需要解答过程．2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．（5分）已知复数z=1+2i，则复数在复平面内对应的点位于第四象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：复数z=1+2i，则复数==．复数在复平面内对应的点（，﹣）在第四象限．．故答案为：四．2．（5分）某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是19．【考点】B4：系统抽样方法．【解答】解：由题意52人中抽取四人作为样本，用系统抽样的方法，其步长是13，又座位号分别为6，32，45的同学都在样本中，故第四位同学的座位号应为6+13=19故答案为：19．3．（5分）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有75辆．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：由频率分布直方图，得速度在70km/h以下的汽车所点频率为（0.02+0.03）×10=0.5，∴从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，则速度在70km/h以下的汽车有：150×0.5=75（辆）．故答案为：75．4．（5分）已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为．【考点】BA：茎叶图．【解答】解：根据茎叶图可知这组数据的平均数是=（14+17+17+19+20+21）=18，∴这组数据的方差是s2=[（14﹣18）2+（17﹣18）2+（17﹣18）2+（19﹣18）2+（20﹣18）2+（21﹣18）2]=．故答案为：．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．6．（5分）某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为2分．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【解答】解：∵全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，∴全班的平均分是3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2，故答案为：27．（5分）某人射击1次，命中8～10环的概率如表所示：则他射击1次，至少命中9环的概率为0.3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：某人射击1次，由命中8～10环的概率表，得到他射击1次，至少命中9环的概率：p=0.12+0.18=0.3．故答案为：0.3．8．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为．【考点】CF：几何概型．【解答】解：在数轴上表示区间[0，1]的线段的长度为1；示区间[﹣1，2]的线段长度为3故在区间[﹣1，2]上随即取一个数x，则x∈[0，1]的概率P=故答案为：9．（5分）执行如图所示的伪代码，当输入a，b的值分别为1，3时，最后输出的a的值为5．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：执行如图所示的伪代码，如下；输入a=1，b=3；i=1≤2，a=1+3=4，b=4﹣3=1；i=2≤2，a=4+1=5，b=5﹣1=4；i=3＞2，终止循环，输出a=5．故答案为：5．10．（5分）为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框（菱形框）中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是I≤10或I＜11或I≤11或I＜12或I＜10.5，等．【考点】EF：程序框图．【解答】解：∵本题的作用是计算2×4×6×8×10，又∵第一次执行循环时的循环变量初值为2，步长为2，最后一次执行循环进循环变量值为10，故判断框内的内容应为：I≤10或I＜11或I≤11或I＜12或I＜10.5，等．故答案为：I≤10或I＜11或I≤11或I＜12或I＜10.5，等．11．（5分）根据如图所示的流程图，若输入值x∈[0，3]，则输出值y的取值范围是[1，7]．【考点】EF：程序框图．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当x∈[0，3]时，满足条件x≥0，函数y=2x+1∈[1，7]．故答案为：[1，7]．12．（5分）已知函数f0（x）=sin x+cos x，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），…，其中n∈N，则f19（）=．【考点】63：导数的运算．【解答】解：∵f0（x）=sin x+cos x，∴f1（x）=f0′（x）=cos x﹣sin x，f2（x）=f1′（x）=﹣sin x﹣cos x，f3（x）=﹣cos x+sin x，f4（x）=sin x+cos x，以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）（x）=f3（x）=﹣cos x+sin x，∴f19（x）=f4×4+3∴f19（）=﹣+=故答案为：13．（5分）对于非零实数a，b，c，以下四个命题都成立：①（a+b）2=a2+2a•b+b2；②若a•b=a•c，则b=c；③（a+b）•c=a•c+b•c；④（a•b）•c=a•（b•c）；那么类比于此，对于非零向量，，，相应命题仍然成立的所有序号是①③．【考点】F3：类比推理．【解答】解：①（a+b）2=a2+2a•b+b2，利用向量的数量积公式，可得对于非零向量，，，相应命题仍然成立；②若=，满足•=•，但是=不一定成立；③向量的数量积满足分配律，正确；④（•）•与共线，•（•）与共线，当、方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立，故不正确；故答案为：①③．14．（5分）设函数f（x）=，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的值为1008．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=+==，即f（﹣2015）+f（2016）=，f（﹣2014）+f（2015）=，f（﹣2013）+f（2014）=，…，f（﹣2）+f（3）=，f（﹣1）+f（2）=，f（0）+f（1）=，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）=2016×=1008，故答案为：1008．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1满足z1•i=1+i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2．（1）求z1；（2）复数z1z2是纯虚数时，比较|z1|与|z2|的大小．【考点】A8：复数的模．【解答】解：（1）∵复数z1满足z1•i=1+i，∴z1====1﹣i；（2）由复数z2的虚部为2可得z2=a+2i，∴z1z2=（1﹣i）（a+2i）=a+2+（2﹣a）i，由纯虚数可得2﹣a=0，解得a=2，故z2=2+2i由模长公式可得|z1|==，|z2|==2，∴|z1|＜|z2|16．（14分）某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如表：（1）上表中①②位置的数据分别是多少？（2）为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？【考点】B3：分层抽样方法；B7：分布和频率分布表．【解答】解：（1）根据题意，①中应填写的数值为100﹣（16+24+20+10）=30（或100×0.3=30），…（3分）②中应填写的数值为1﹣（0.24+0.3+0.20+0.10）=0.16（或16÷100=0.16）；…（6分）（没有任何过程，最多得4分）（2）分层抽样时的比值为=0.1，…（8分）由30×0.1=3，得第三组参加考核的人数是3；…（10分）类似地，第四组参加考核的人数是20×0.1=2，第五组参加考核的人数是10×0.1=1．…（14分）17．（14分）（1）不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2bx+c2=0，其中b是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（1）设事件A为“这2只球颜色不同”，（1分）基本事件共6个：（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2），事件A包含5个基本事件（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），﹣﹣﹣﹣（4分）因为每个基本事件发生的可能性都相同，（5分）所以，事件A发生的概率P（A）=．（7分）（2）设事件B为“方程x2﹣2bx+c2=0无实根”，（8分）当△=4b2﹣4c2=4（b2﹣c2）＜0，即b＜c时，方程x2﹣2bx+c2=0无实根．基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一个数表示b的取值，第二个数表示c的取值．（4分）事件B包含3个基本事件（0，1），（0，2），（1，2），（11分）因为每个基本事件发生的可能性都相同，（12分）所以事件B发生的概率P（A）==．（14分）18．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，且9a n+1a n﹣2•a n+1﹣4a n+1=0 （n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【解答】解：（1）∵9a n+1a n﹣2•a n+1﹣4a n+1=0，∴a n+1=，又∵a1=1，∴a2=，a3=，a4=；（2）由（1）可猜想a n=．下面用数学归纳法来证明：①当n=1时，a1=1结论显然成立；②假设当n=k时（k∈N+）时，结论成立，即a k=，则当n=k+1时，有a k+1====，即当n=k+1时命题也成立；由①②可知a n=．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1），（1）求椭圆的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M，N（M，N不与点A 重合）．直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，过点A（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，解得：a2=3，∴椭圆的标准方程为：；…（4分）（2）由M，N不与点B重合，所以直线AM的斜率存在，且不为零．…（5分）设AM的斜率为k，则AN的斜率为﹣．直线AM方程：y=kx+1，直线AN方程：y=﹣x+1．，整理得：（3k2+1）x2+6kx=0．…（7分）由韦达定理定理可知：x M+0=﹣，∴点M横坐标x M=﹣，纵坐标y M=k•x M+1=．…（9分）用﹣替换k可得点N横坐标x N=，纵坐标y N=．…（12分）直线MN方程：y=x﹣．…（15分）由此，可知，过定点（0，﹣）．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=．（1）当e≤x≤e2时，求函数f（x）的最小值；（2）已知函数g（x）=2x﹣，且f（x）g（x）≤0恒成立，求实数a的值；（3）某同学发现：存在正实数m、n（m＜n），使m n=n m，试问：他的发现是否正确？若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m的取值范围，而不需要解答过程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，∴f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=．令f'（x）==0，则x=e．列表如下：∴f（x）在区间（e，+∞）上单调减，在（0，e）上单调增，当e≤x≤e2时，函数f（x）单调减，∴函数f（x）的最小值为f（e2）=2e﹣2．…（4分）（2）f（x）g（x）≤0恒成立，即2ln x﹣ax+a≤0在x＞0时恒成立．令h（x）=f（x）g（x），则h′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．…（6分）所以，若a≤0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．…（8分）若a＞2，则当x∈（，1）时，f（x）单调递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意，…（10分）若0＜a＜2，则当x∈（1，）时，f（x）单调递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意，…（12分）若a=2，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f（x）≤f（1）=0符合题意．故a=2．…（14分）（3）正确，m的取值范围是1＜m＜e．…（16分）理由如下：研究函数图象，f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．又∵当x→+∞时，f（x）→0．∴总存在正实数m，n，且1＜m＜e＜n，使得f（m）=f（n），即=，即m n=n m．。
南京市高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设且，则有（）A .B .C .D .2. （2分）不等式的解集是（）A .B .C . {x|x＞2或x≤}D . {x|x＜2}3. （2分）在等差数列中，若，则数列的通项公式为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 在中，，，，则的值等于（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一上·漳州期末) 函数f（x）= +lg（1+x）的定义域是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （1，+∞）C . （﹣1，1）∪（1，+∞）D . （﹣∞，+∞）7. （2分） (2016高一下·枣强期中) 在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A . 2＜a＜2B . 2＜a＜4C . ＜a＜2D . ＜a＜28. （2分）(2017·晋中模拟) 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A . 66B . 55C . 44D . 339. （2分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100米到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（）A . 50米B . 60米C . 80米D . 100米10. （2分） (2016高二上·友谊开学考) 数列{an}中，a1=2，an+1=an+ （n∈N*），则a10=（）A . 3.4B . 3.6C . 3.8D . 411. （2分） (2016高一下·肇庆期末) 在△ABC中，三顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P （x，y）在△ABC内部及其边界上运动，则m=y﹣x的取值范围为（）A . [1，3]B . [﹣3，1]C . [﹣1，3]D . [﹣3，﹣1]12. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知a＞b＞1，若logab+logba= ，ab=ba ，则由a，b，3b，b2 ， a﹣2b构成的包含元素最多的集合的子集个数是（）A . 32B . 16C . 8D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·浦东期中) 若关于x的不等式（a﹣1）x2+2（a﹣1）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是________14. （1分） (2016高二上·马山期中) 在△ABC中，B=45°，c=2 ，b= ，那么A=________．15. （1分） (2018高二上·新乡月考) 在等差数列中，则 =________16. （1分） (2019高二上·兴庆期中) 已知点分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则的面积为________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2015高二上·邯郸期末) △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．18. （5分）已知a∈R，解关于x的不等式：ax2﹣2（a﹣1）x+a≤0．19. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn=an2+2an﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn=2n，求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．20. （5分） (2017·黑龙江模拟) 已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．21. （5分） (2017高一下·温州期末) 已知数列{an]的前n项和记为Sn ，且满足Sn=2an﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：+… （n∈N*）22. （10分） (2019高一上·宁波期中) 已知二次函数满足且 .（1）求函数的解析式；（2）若且在上的最大值为8，求实数的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、答案：略15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、22-1、答案：略22-2、答案：略。
2015-2016学年江苏省南京市江浦、六合两校联考高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈（0，），tanx＞sinx”的否定是．2．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标．3．（5分）设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=．4．（5分）已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是．5．（5分）已知命题“若a＞b，则ac2＞bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有个．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是．7．（5分）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为．8．（5分）5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）9．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦距，则实数a=．10．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2=120°，椭圆离心率e的取值范围为．11．（5分）若点A（1，0）和点B（5，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有条．12．（5分）设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是．13．（5分）AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．16．（14分）（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．求双曲线方程．17．（14分）已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．18．（16分）船上两根高5m的桅杆相距10m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离．19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．20．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过左焦点F1（﹣1，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且△F2MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．2015-2016学年江苏省南京市江浦、六合两校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈（0，），tanx＞sinx”的否定是，tanx ≤sinx．【解答】解：∵命题“∃x∈（0，），tanx＞sinx”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈（0，），tanx≤sinx．故答案为：∀x∈（0，），tanx≤sinx．2．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标（2，﹣3）．【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，得（x﹣2）2+（y+3）2=13∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r=的圆故答案为：（2，﹣3）3．（5分）设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= 10．【解答】解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10故答案为：104．（5分）已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是x2=﹣12y．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），所以抛物线开口向下，且p=6，则抛物线的标准方程x2=﹣12y，故答案为：x2=﹣12y．5．（5分）已知命题“若a＞b，则ac2＞bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有2个．【解答】解：若a＞b，c2=0，则ac2=bc2，∴原命题若a＞b，则ac2＞bc2为假；∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题也为假．原命题的逆命题是：若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b，∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2，故答案为：2个．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是[﹣，6] ．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点B（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点C（，3），分析可知z在点C处取得最小值，z min=3×﹣1=﹣，z在点B处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤z≤6，故答案为[﹣，6]；7．（5分）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为2或．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°，150°，斜率为若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°，120°，斜率为①若双曲线的焦点在x轴上，则或∵c2=a2+b2∴或∴或e2﹣1=3∴e=或e=2②若双曲线的焦点在y轴上，则或∵c2=a2+b2∴或∴或e2﹣1=3∴e=或e=2综上所述，离心率为2或故答案为2或8．（5分）5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【解答】解：方程的曲线表示椭圆⇔（k﹣5）（6﹣k）＞0，k﹣5＞0，k﹣5≠6﹣k，⇔5＜k＜6，且k≠5.5．∴5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．9．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦距，则实数a=1．【解答】解：由题意可得a＞0，即有焦点在x轴上，可得椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，由题意可得=，解得a=1．故答案为：1．10．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2=120°，椭圆离心率e的取值范围为[，1）．【解答】解：如图，当Q是椭圆的上下顶点时∠F1QF2最大；∴120°≤∠F1QF2＜180°；∴60°≤∠F1QO＜90°；∴sin60°≤sin∠F1QF2＜sin90°；∵|F1Q|=a，|F1O|=c；∴；∴椭圆离心率e的取值范围为．故答案为：[，1]．11．（5分）若点A（1，0）和点B（5，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有4条．【解答】解：分别以A，B为圆心，以1和2为半径作圆，则符合条件的直线为两圆的公切线，显然两圆外离，故两圆共有4条公切线，∴满足条件的直线l共有4条．故答案为：4．12．（5分）设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是．【解答】解：∵双曲线中，a=1，b=，∴c=2，可得双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=，设右准线为l，过P作PM⊥l于M点，连结PF，由双曲线的第二定义，可得|PM|=|PF|．∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行，设P（m，2），代入双曲线方程得m=，得点P（，2）．∴满足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）有最小值的点P坐标为．故答案为：．13．（5分）AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y=x2的准线方程为y=﹣，∴|AB|≤y1+y2+，∵弦AB的中点到x轴的距离是1，∴y1+y2=2，∴|AB|≤．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或﹣2．【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN•k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，A={x|x＞10，或x＜﹣2}q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而¬p⇒q，∴A⊂B，即，∴0＜a≤3．16．（14分）（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．求双曲线方程．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b ＞0），…（2分）由已知条件得，解得a=4，c=2，b2=12．…（5分）故所求椭圆方程为+=1或+=1．…（7分）（2）∵e=，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ．…（2分）又∵双曲线过（4，﹣）点，∴λ=16﹣10=6，…（5分）∴双曲线方程为x2﹣y2=6．…（7分）17．（14分）已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．【解答】解：设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，∴劣弧所对的圆心角为90°，故r=b，即r2=2b2，∴2b2﹣a2=1①，又∵P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，即=，即a﹣2b=±1．②解①②组成的方程组得：或，于是即r2=2b2=2，∴所求的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．18．（16分）船上两根高5m的桅杆相距10m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离．【解答】解：以两根桅杆的顶端A，C所在直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立如图所示直角坐标系，…（2分）则P点在以A，C为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的方程为，…（8分）因为P点纵坐标为﹣5，代入椭圆方程可解得…（12分）所以P到桅杆AB的距离为m．…（14分）答：绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为m．…（16分）19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）又由点M在准线上，得=2故=2，∴c=1，从而a=所以椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即（x﹣1）2+=+1，其圆心为（1，），半径r=因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d==所以=，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（Ⅲ）设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），=（x0﹣2，y0﹣t），=（x0，y0），∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以||==为定值．20．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过左焦点F1（﹣1，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且△F2MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=1，△F2MN的周长为8，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，即有b==，则椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4），由代入椭圆的方程得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得：k2＜，设A（x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=①，∴y1y2=k2（x1﹣4）（x2﹣4）=k2x1x2﹣4k2（x1+x2）+16k2，∴•=x1x2+y1y2=（1+k2）•﹣4k2•+16k2=25﹣，∵0≤k2＜，∴﹣29≤﹣＜﹣，∴•∈[﹣4，），∴•的取值范围是[﹣4，）．（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x2，﹣y2），直线AE的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0得：x=x1﹣，又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），∴x=，由将①代入得：x=1，∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
江苏省南京市高二上学期数学期中试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·惠来期末) 过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是（）A . x﹣2y﹣1=0B . x﹣2y+1=0C . 2x+y﹣2=0D . x+2y﹣1=02. （2分）方程表示圆的充要条件是A .B . 或C .D .3. （2分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的普通方程为（）A . x﹣y﹣2=0B . x﹣y+2=0C . x+y=0D . x+y﹣2=04. （2分）已知锐角α，β满足cosα= ，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·姚安期中) 已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆 =1的一个焦点重合，则m=（）A .B .C . ﹣D . ﹣6. （2分）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距等于（）．A .B . 2C .D . 27. （2分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为， E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A,B 是C的准线与E的两个交点，则|AB|= （）A . 3B . 6C . 9D . 128. （2分）直线与圆的位置关系是（）A . 相交B . 相切C . 相离D . 取决于k的值9. （2分） (2017高一下·廊坊期末) 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为a米和b米，测得灯塔A在观察站C西偏北60°，灯塔B在观察站C北偏东60°，则两灯塔A、B间的距离为（）A . 米B . 米C . 米D . 米10. （2分） (2016高二上·郴州期中) 已知椭圆：（0＜b＜2），左右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若| |+| |的最大值为5，则b的值是（）A . 1B .C .D .11. （2分） (2019高二上·牡丹江月考) 椭圆的长轴长是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·集宁月考) 设椭圆 = 的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·湖南期末) 圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为________．14. （1分） (2018高二下·湛江期中) 已知直线参数方程为(t为参数)，直线与圆交于B、C两点,则线段BC中点直角坐标________.15. （1分）已知点P是椭圆C：+y2=1上的动点，一定点Q（1，0）．有 3 个点P使得|PQ|=2成立；当点P运动时，线段PQ中点M的轨迹方程为________16. （1分） (2016高二下·芒市期中) 斜率为1的直线l与椭圆 +y2=1相交于A，B两点，则|AB|得最大值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）设方程（为参数）表示曲线 .（1）写出曲线的普通方程，并说明它的轨迹；（2）求曲线上的动点到坐标原点距离的最小值.18. （10分）在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2 ，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．19. （5分）(2018·中原模拟) 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．20. （10分） (2018高二下·牡丹江期末) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，直线与圆相交于，两点．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）求弦长．21. （10分）(2017·广元模拟) 已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1 ，到点F（﹣1，0）的距离为d2 ，且 = ．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2016高二上·成都期中) 如图，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为e1；双曲线C2：﹣ =1的左、右焦点分别为F3 ， F4 ，离心率为e2 ，已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．（1）求C1、C2的方程；（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
