2015-2016学年高中数学 3.2.2 抛物线的简单性质课件 北师大版选修2-1

1 2 1 2 1 2 1 2
探究一
探究二
探究三
探究四
③由 Δ<0,即 2k2+k-1>0,解得 k<-1 或 k> . 于是,当 k<-1 或 k> 时,方程①没有实数解,从而方程组(*)没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点. 综上,我们可得 当 k=-1 或 k= 或 k=0 时,直线 l 与抛物线只有一个公共点; 当-1<k< ,且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有两个公共点;
图形
标准方程 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 开口 通径
y2=2px(p>0) p ,0 2 x=p 2
y2=-2px(p>0) p - ,0 2 x=
p 2
x2=2py(p>0) 0, y=p 2
x2=-2py(p>0) 0,y=
p 2
p 2
p 2
几 何 性 质
x≥0,y∈R x轴 (0,0) e=1 向右
探究一
探究二
探究三
探究四
解:设所求抛物线方程为 y2=2px 或 y2=-2px,p>0. 设交点 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0), 则|y1|+|y2|=2 3,即 y1-y2=2 3, 由对称性,知 y2=-y1,代入上式,得 y1= 3. 把 y1= 3代入 x2+y2=4,得 x=± 1. ∴ 点 A(1, 3)在抛物线 y2=2px 上,点 A'(-1, 3)在抛物线 y2=-2px 上. ∴ 3=2p 或 3=-2p× (-1).∴ p= . ∴ 所求抛物线方程为 y2=3x 或 y2=-3x.
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R y轴
y≤0,x∈R
向左
向上
向下
经过焦点且垂直于对称轴的弦,通径长为 2p
思考 1 一条直线与一个圆相切的充要条件是这条直线与这个圆
有且只有一个公共点,但不能说一条直线与一条抛物线相切的充要条件是 这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点,为什么? 提示:当一条直线与一条抛物线只有一个公共点时,这条直线未必与该 抛物线相切,例如平行于抛物线的对称轴的直线与该抛物线只有一个公共 点,但这条直线并不与这条抛物线相切.当直线不与抛物线的对称轴平行时, 可以根据公共点的个数来判断直线与抛物线相离、 相切或相交的位置关系 .
2 2
b 2 x+ 2a
2
=
1 a
4ac-b y4a
2
.由此可见,要得到抛物
2
线 y=ax +bx+c(a≠0),可以将 x
1 = y 按向量 a
b 4ac-b - , 2a 4a
平移而得到,所以抛
物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程分别为
b 4ac-b - , 2a 4a
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 x 轴,且与圆 x2+y2=4 相交的公共弦长等于 2 3,求这条抛物线的方程. 思路分析:因为圆和抛物线都关于 x 轴对称,所以它们的交点也关于 x 轴对称,即公共弦被 x 轴垂直平分,于是由弦长等于 2 3,可知交点纵坐标为 ± 3.
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
当 k<-1 或 k> 时,直线 l 与抛物线没有公共点.
探究一
探究二
探究三
探究四
点评解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二
次方程,判断其解的个数,确定斜率或直线的倾斜角时,应特别注意斜率为 0 和斜率不存在两种情形,还应注意在抛物线中,直线和曲线有一个公共点并 不一定相切.
1 k
2 |y1-y2|= 1 +
1 k
2
(y1 + y2 )2 -4y1 y2 .
另外,要注意直线方程斜率不存在时的情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 3】 已知抛物线的方程为 y2=4x,直线 l 过定点 P(-2,1),斜 率为 k.当 k 为何值时,直线 l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有 公共点. 思路分析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线 l 的方程与抛物线的 方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线 l 与抛物线的 位置关系. 解:由题意,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). y-1 = k(x + 2), 由方程组 (*) y 2 = 4x, 得 ky2-4y+4(2k+1)=0.① 这时,直线 l 与抛物线只有一个公共点
1 2 1 2
因忽视斜率不存在及二次项系数而漏解
【典型例题 5】 求过点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直
探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:错误之一是遗漏直线斜率不存在的情况,仅考虑斜率存在的 直线.错误之二是方程组消元后的方程 k2x2+2(k-1)x+1=0 被认定为二次方 程,因而由直线与抛物线只有一个公共点,得出 Δ=0.事实上方程的二次项系 数为含字母的 k2,方程不一定是二次方程.当 k=0 时,方程是一次方程 -2x+1=0,此时方程组只有一解.
思考 2 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线,如
何确定这条抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程? 提示:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),由于其方程不是抛物线的标准 方程的形式(也不能转化为标准方程形式),因此要求其顶点坐标、焦点坐 标、准线方程就不能简单地利用课本中的相关结论.但我们可以考虑通过 图像的平移,从而借助于标准方程达到目的. 由 y=ax +bx+c(a≠0),得
探究二
探究三
探究四
2 2 (1)证明:设 A(-y1 ,y1),B(-y2 ,y2). 2 2 ∵ N(-1,0),NA=(1-y1 ,y1),NB=(1-y2 ,y2), 2 2 由 A,N,B 共线,y2-y2y1 =y1-y1y2 ,
∴ y2-y1=y1y2(y1-y2). 又 y1≠y2,∴ y1y2=-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
正解:(1)若直线斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0. x = 0, x = 0, 由 2 得 y = 0. y = 2x, ∴ 直线 x=0 与抛物线只有一个公共点. (2)若直线斜率存在,设为 k,则过点 P 的直线方程为 y=kx+1. y = kx + 1, 2 2 由方程组 得 k x +2(k-1)x+1=0. y 2 = 2x, 1 x= , 2 即直线 y=1 与抛物线只有一个公共点; 当 k=0 时,解得 y = 1, 当 k≠0 时,若直线与抛物线只有一个公共点, 则 Δ=4(k-1)2-4k2=0,∴ k= .∴ 直线方程为 y= x+1. 综上所述,所求直线方程为 x=0 或 y=1 或 y= x+1.
y 2 = 2px, p2 2 由 p 得 x -3px+ =0, 4 y = x- ,
2
∴ xA+xB=3p. 由焦半径公式知, |AB|=|AF|+|BF|= xA + =xA+xB+p=4p=8. ∴ p=2.
p 2
+ xB +
p 2
探究一
探究二
探究三
Hale Waihona Puke 探究四(方法 2)运用弦长公式. 同方法 1,得方程 x k=1,由弦长公式知, |AB|= 1 + k 2 · (xA + xB )2 -4xA xB = 2· (3p)2 -p2 = 2· 8p2 =4p=8, 得 p=2. (方法 3)利用公式|AB|=
1 ,1 4
(1)当 k=0 时,由方程①得 y=1.把 y=1 代入 y2=4x,得 x= . .
1 4
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)当 k≠0 时,方程①的判别式为 Δ=-16(2k2+k-1). ①由 Δ=0,即 2k2+k-1=0,解得 k=-1 或 k= . 于是,当 k=-1 或 k= 时,方程①只有一个解,从而方程组(*)只有一个解. 这时,直线 l 与抛物线只有一个公共点. ②由 Δ>0,即 2k2+k-1<0,解得-1<k< . 于是,当-1<k< ,且 k≠0 时,方程①有两个解,从而方程组(*)有两个解.这 时,直线 l 与抛物线有两个公共点.
2
,
b 4ac-b +1 - , 2a 4a
2
4ac-b -1 ,y= . 4a
2
探究一
探究二
探究三
探究四
求抛物线方程
1.用待定系数法求抛物线的标准方程,其主要解答步骤归结为
探究一
探究二
探究三
探究四
2.抛物线标准方程的设法: (1)顶点在原点,对称轴为 x 轴时的抛物线方程可设为 y2=ax(a≠0).当 a>0 时,抛物线开口向右,当 a<0 时,抛物线开口向左; (2)顶点在原点,对称轴为 y 轴时的抛物线方程可设为 x2=ay(a≠0),当 a>0 时,抛物线开口向上,当 a<0 时,抛物线开口向下.
2.2 抛物线的简单性质
课程目标 1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的 概念. 2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范围,抛 物线的对称性、顶点、离心率等简单性质. 3.会用顶点及通径的端点画抛物线的草图.
学习脉络
抛物线的简单性质