【推荐精选】2018年中考数学考点总动员系列 专题09 分式方程(含解析)

专题九 分式方程及其应用瞄准中考一、选择题1. （2018黑龙江省龙东地区，16，3分）已知关于x 的分式方程211m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠22. (2018甘肃省兰州市,10,4分) 关于x 的分式方程112=++x ax 的解为负数,则a 的取值范围为 A. a >1 B .a <1 C .a <1且a ≠-2 D .a >1且a ≠23. （2018黑龙江绥化，8，3分） 某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x 件电子产品，可列方程为（ ） A ．30020030x x =+ B ．30020030x x =- C.30020030x x =+ D ．30020030x x =-4. （2018湖南省怀化市，9，4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h ，它以最大航速沿江顺流航行100km 所用时间，与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等，设江水的流速为v km/h ，则可列方程为（ ） A ．30100+v ＝3080-v B ．v v +=-308030100 C ．v v -=+308030100 D ．308030100+=-v v5. （2018贵州省毕节市，13，3分）某商厦进货员预测一种应季衬衫国畅销市场，就用10 000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22 000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x 元，则所列方程正确的是( ) A ．422000100002+=⨯x x B ．422000210000+⨯=x x C ．422000100002-=⨯x x D ．422000210000-⨯=x x考点（知识点）讲解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

知识点09 分式方程及其应用一、选择题1. （2018四川省成都市，8，3）分式方程1x x +＋12x -＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝3 D ．x ＝－3【答案】A【解题过程】解：1x x +＋12x -＝1，去分母（x －2）（x ＋1）＋x ＝x （x －2），解得x ＝1，检验：把x ＝1代入x （x －2）≠0，∴x ＝1是原方程的解．故选择A ．【知识点】分式方程；分式方程的解法2. （2018·重庆B 卷，12，4）若数a 使关于x 的不等式组111(1)3223(1)x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程312122y a y y ++=--有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是 （ ）A ．－10B ．－12C ．－16D ．－18【答案】B ．【解析】解不等式组，得－3≤x ≤35a +，由该不等式组有且仅有三个整数解，得－1≤35a +＜0，从而－8≤a ＜－3． 解方程312122y a y y++=--，得y ＝2a ＋5． 又∵y ≠2，即2a ＋5≠2， ∴a ≠－6．又∵y 为整数，∴满足条件的整数a 为－8和－4，其和为－12．故选B ．【知识点】一元一次不等式组的解法 分式方程的解法3. （2018湖南衡阳，8，3分）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为（ ）A ．3036101.5x x -= B ．3030101.5x x -= C ．3630101.5x x -= D ．3036101.5x x +=【答案】A.【解析】解：设原来平均每亩产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克， 根据题意列方程为3036101.5x x-=，故选A. 【知识点】分式方程的应用、根据实际问题列分式方程4. （2018山东临沂，10，3分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元.今年1－5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%.今年1－5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1－5月份每辆车的销售价格为x 万元根据题意.列方程正确的是( )A ．()5000120%50001x x -=+B ．()50001+20%50001x x=+ C .()5000120%50001x x -=- D ．()50001+20%50001x x =- 【答案】A【解析】去年一整年的销售数量用代数式1x +5000辆表示，今年1－5月份的销售数量用代数式x-%)2015000（⨯辆表示，根据相等关系“今年1－5月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程1x +5000=x-%)2015000（⨯，故选A.【知识点】分式方程 应用题5. （2018山东省淄博市，10，4分）“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%.结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（A ）606030(125%)x x -=+ （B ） 606030(125%)x x-=+ （C ）60(125%)6030x x ⨯+-= （D ）6060(125%)30x x ⨯+-=【答案】C【思路分析】设的未知量为工作效率，已知的是工作总量，因此用工作效率和工作总量表示出时间，利用时间做等量关系列方程求解.【解题过程】实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划为125%x +，从而可得原计划时间为()60125%x⨯+，实际时间为60x ，再根据提前30天完成任务可列方程为60(125%)6030x x ⨯+-=，故选C.【知识点】分式方程的应用1. （2018湖南益阳，9，4分）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．40×1．25x －40x =800B ．800800402.25x x-= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x -= 【答案】C【思路分析】设小俊的速度是x 米/秒，则小进的速度为1.25x ，分别列出两人所用的时间，根据“小进比小俊少用了40秒”列方程即可．【解析】解：设小俊的速度是x 米/秒，则小进的速度为1.25x ，小俊所用时间为800x，小进所用时间为8001.25x ，所列方程为800800401.25x x-=，故选择C ． 【知识点】分式方程的应用2. （2018山东德州，8，3分）分式方程()()31112x x x x -=--+的解为（ ） A ．1x = B ．2x = C.1x =- D ．无解【答案】D【解析】去分母，得()()(2)123x x x x +--+=，所以1x =，此时()()120x x -+=，所以原方程无解. 故选D.【知识点】解分式方程3. （2018广东广州，13，3分）方程146x x =+的解是_______． 【答案】x=2【解析】方程两边同乘以x (x ＋6)，得x ＋6＝4x ，解得，x ＝2．检验：当 x ＝2时，x (x ＋6)≠0，所以x ＝2是原方程的解．【知识点】分式方程的解法4. （2018湖北荆州，T5，F3）解分式方程14322x x-=--时，去分母可得（ ） A.()132 4x --= B.()1324x --=- C. ()1324x ---=- D.()1324x --=【答案】B【解析】解：原方程为x x -=--24321，即24321--=--x x 两边同时乘以(x －2)，得1－3（x -2）=-4，故选择B ．【知识点】分式方程5. （2018 湖南张家界，2，3分）若关于x 的分式方程 113=--x m 的解为2=x ，则m 的值为( ) A 5 B 4 C 3 D 2【答案】C【解析】解：∵关于x 的分式方程113=--x m 的解为2=x ，∴2=x 满足关于x 的分式方程113=--x m . ∴1123=--m ，解得m=3. 故答案是3.【知识点】分式方程的解.二、填空题1. （2018江苏无锡，13，3分） 方程31x xx x -=+的解是 . 【答案】32x =-【解析】两边同时乘以x （x+1），得()()231x x x -+=，即-2x-3=0， 解得32x =-. 检验：当32x =-时，x （x+1）=33313(1)()022224-⨯-+=-⨯-=≠， ∴32x =-是原方程的解.。

知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

3.解分式方程。

具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。

把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。

若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。

若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

方程应用-中考数学重难点题型专题汇总分式方程（专题训练）1．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（）A．40030050x x=-B．30040050x x=-C．40030050x x=+D．30040050x x=+【答案】B【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据题意，可列方程：30040050x x=-，故选：B．【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．2．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）A．2x1x x3+=+B．23x x3=+C．11x221x x3x3-⎛⎫+⨯+=⎪++⎝⎭D．1x1x x3+=+【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x天，由题意可得，11x221 x x3x3-⎛⎫+⨯+=++⎝⎭，整理得2x1x x3+=+，或2x1x x3=-+或23x x3=+．则ABC选项均正确，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．3．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量【答案】D 【分析】由50004000302x x=-的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x 的含义．【详解】解：由50004000302x x=-可得：由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价，x \表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．4.（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x 元，可列方程为（）A ．1600010010x x +=-B ．10000600010010x x -=+C ．10000600010010x x =--D ．10000600010010x x -=-【答案】C 【分析】根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．【详解】解：设2020年每包口罩x 元，则2021年每包口罩（x -10）元．根据题意，得，60001000010010x x-=-．即：100006000=10010x x --．故选：C【点睛】本题考查了列分式方程的知识点，寻找已知量和未知量之间的等量关系是列出方程的关键．5．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/hx，则下列方程中正确的是（）A．1010121.2x x-=B．10100.21.2x x-=C．1010121.2x x-=D．10100.21.2x x-=【答案】D【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：10100.21.2x x-=；故选D．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．6.（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．400K30=500B．400=500r30C．400=500K30D．400r30=500【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：400=500r30．故选：B．7.（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210B．6210K1=3C．3x﹣1=6210D．6210=3【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】依题意，得：3（x﹣1）=6210．故选：A．8.（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000=4200K80B．3000+80=4200 C．4200=3000−80D．3000=4200r80x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意，得：3000=4200r80．故选：D．9.（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．80(1+35%)−80=40B．80(1+35%)−80=40 C．80−80(1+35%)=40D．80−80(1+35%)=40【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，依题意，得：801+35%−80=40，即80(1+35%)−80=40．故选：A ．10.（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【分析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，依题意，得：12045−120=3，解得：x ＝10，经检验，x ＝10∴45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．11.（2021·山东东营市·中考真题）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则所列方程为________．【答案】()909030125%x x-=+【分析】原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于x 的分式方程．【详解】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，依据题意：()909030125%x x-=+故答案为：()909030125%x x-=+【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12.（2021·辽宁本溪市·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比B 种奖品的单价多10元，用300元购买A 种奖品的数量与用240元购买B 种奖品的数量相同．设B 种奖品的单价是x 元，则可列分式方程为________．【答案】30024010x x=+【分析】设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A 种奖品的件数与用240元购买B 种奖品的件数相同，即可得出关于x 的分式方程．【详解】解：设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，依题意得：30024010x x =+，故答案为：30024010x x=+【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．13．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．【答案】16014010 x x=-【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得16014010x x=-．故答案为：16014010x x=-．【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．14.（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，依题意，得：2020101.560x x-=，解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B 地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x ⨯=+，解得：20x =，则1.224x =（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x =，经检验15x =是分式方程的解，则1.218x =（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．16.（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x 千米/小时，则汽车速度是3x 千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x =，经检验15x =是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．17.（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，根据题意，得3603603 34-=x x，解这个方程，得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，∴每个小组有学生10名．【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．18.（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【分析】根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：40030020 x x=-，解得：x=80．80-20=60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【点睛】此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．19．（2021·江苏徐州市·中考真题）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50【分析】该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．【详解】解：该商品打折卖出x件4008400102x x ⋅=+解得x =8经检验：8x =是原方程的解，且符合题意∴商品打折前每件400=508元答：该商品打折前每件50元．【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．20.（2021·江苏常州市·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，由题意得：202052x x-=，解得：x =2，经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．21.（2021·吉林长春市·中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？【答案】每千克有机大米的售价为7元．【分析】设每千克有机大米的售价为x 元，则每千克普通大米的售价为（x -2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据题意得：4203002x x=-，解得：x=7，经检验：x=7是方程的解，且符合题意，答：每千克有机大米的售价为7元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．22.（2021·辽宁营口市·中考真题）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，依题意，得：3600270020 1.2x x-=，解得：x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.2x＝18．答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，解得：1003m≤，∵m为整数，∴最多能购买“科普类”图书33本．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．23.（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：9004001005x x+=-，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，∴x-5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．24.（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得180018004.51.6x x+=，解这个方程，得150x=，经检验，150x=是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为180012150=（分），骑自行车所用时间为12 4.57.5-=（分），在家取作业本和取自行车共用了3分，++=（分）．所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要127.5322.5>，因为22.520所以小刚不能在上课前赶回学校．【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．25.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．（2）设建A摊位a个，则建B90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：60r2=60⋅35，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．26.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B 种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5﹣a）个，样品中A 种书包有（4﹣b）个，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（5﹣a），（4﹣b）均为正整数，即可求出结论．【解析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：700=2×450r20，。

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

第九章 分式与分式方程12.1 分式<2018浙江省湖州市，3，3分）要使分式x 1有意义，x 地取值满足< ） A.x ＝0 B.x ≠0 C.x ＞0 D.x ＜0【解读】分式有意义地条件是分母不为0，即x ≠0.【答案】选：B ．【点评】此题考查地是分式有意义地条件，属于基础题.<2018年四川省德阳市，第3题、3分．）使代数式12-x x 有意义地x 地取值范围是 A.0≥x B.21≠x C.0≥x 且21≠x D.一切实数【解读】要使原代数式有意义，需要中地x ≥0；分母中地2x-1≠0.【答案】解不等式组0210x x ≥⎧⎨-≠⎩得0≥x 且21≠x ，故选C ． 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中地分式地分母不为零；代数式中地二次根式地被开方数是非负数．<2018浙江省嘉兴市，5，4分）若分式12x x -+地值为0,则(> A. x=-2 B. x=0 C. x=1或x=-2 D. x=1【解读】若分式12x x -+地值为0,则需满足1020x x -=⎧⎨+≠⎩,解得x ＝1, 故选D. 【答案】D.【点评】本题考查分式值为0时,x 地取值.提醒注意:若使分式地值为0,需满足分子为零,同时分母不为零两个条件,缺一不可.12.2 分式地乘除 <2018河北省10,3分）10、化简11122-÷-x x 地结果是 < ）Ａ．12-x Ｂ．122-x Ｃ．12+x Ｄ．()12+x 【解读】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解，约分，得到正确答案C【答案】C【点评】分式地混合你算是近些年中考重点考查地对象，特别是化简求值题，在教学中加以针对性训练.本题属于简单题型.<2018湖北黄石，18，7分）先化简，后计算：，其中a ＝－3．【解读】先将各分式地分子、分母分解因式，再进行分式乘除法混合运算，后代入计算．【答案】原式＝919)3(2)3()9)(9(2+∙-+∙++-a a a a a a ＝32+a 当33-=a 时，原式＝332 【点评】本题主要考察分式乘除法混合运算，注意解答地规范化，是基础题．<2018南京市，18，9）化简代数式x x x 2122+-÷x x 1-，并判断当x 满足不等式⎩⎨⎧->-<+6)1(212x x 时该代数式地符号.解读：先将分式化简，再解不等式组，在不等式地解集中选使分式有意义地数代入求值．答案：原式=xx x 2122+-÷x x 1-=)2()1)(1(+-+x x x x ×1-x x =21++x x 解不等组得：-3<x ＜-2在规定地范围内选取符合条件地x 值即可<答案不唯一）点评：本题考察分式地化简求值，解不等式组结合同时选取使分式有意义地值.12.3 分式地加减<2018浙江省义乌市，8，3分）下列计算错误．．地是( > A ．B ． C ． D ． 【解读】A ．不正确．由分式地基本型分式地分子分母同时乘以10后应为：0.22100.7710a b a b a b a b++=--；B ．正确，分式地分子分母同时约去最简公因式即可得出结论；Ｃ正确，互为相反数地商为－１,；Ｄ．正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【答案】Ａ【点评】本题考查了分式地基本性质、约分和分式地加减．分式地基本性质：分式地分子分母同乘以或除以同一个不为０地数或整式，分式地值不变．约分：约去分式中地分子或分母分式地值不变．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．c c c 321=+y x y x y x =32231-=--a b b a b a b a b a b a -+=-+727.02.0<2018浙江省绍兴，5，3分）化简111--x x ，可得< ） A.x x -21 B.x x --21 C.x x x -+212 D.x x x --212 【解读】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．【答案】B【点评】分式地加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．<2018安徽，6，4分）化简xx x x -+-112地结果是< ） A.x +1 B. x -1 C.—x D.x6. 解读：本题是分式地加法运算，分式地加减，首先看分母是否相同，同分母地分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母地分式加减．解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122故选D ． 点评：分式地一些知识可以类比着分数地知识学习，分式地基本性质是关键，掌握了分式地基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．<2018年四川省德阳市，第16题、3分．）计算：=-+-xx x 52552. 【解读】根据分式地加减法法则计算即可． 【答案】2225255)(5)=55555x x x x x x x x x --++==+----（，答案为：x+5 【点评】本题考查了分式地加减运算．分式地加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．<2018山东泰安，22，3分）化简：22()224m m m m m m -÷+--=. 【解读】把括号里地分式通分化为同分母分式地运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式地要先分解因式.22()224m m m m m m -÷+--=22(2)(2)4(2)(2)m m m m m m m m --+-⨯+-=26m m m-=m-6. 【答案】m-6.【点评】本题考查了分式地运算.先把括号里地分式通分并运算，把除法变成乘法.分式运算地一般步骤是：先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号内地先计算括号内地，同级运算自左向右依次运算.(2018山东省聊城，15，3分）计算：÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4412a 2-a a . 解读：÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4412a 24-a =÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--4444222a a a 2-a a =22)2)(2(2+=-⋅-+a a a a a a a . 答案：2+a a . 点评:本题是一道分式地化简计算，运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减.<2018四川内江，22，6分）已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x+＝－43．则xyz xy yz zx ++地值为. 【解读】由xy x y +＝－2，得x y xy +＝－12，裂项得1y ＋1x ＝－12．同理1z ＋1y ＝43，1x ＋1z ＝－43．所以，1y ＋1x ＋1z ＋1y ＋1x ＋1z ＝－12＋43－43＝－12，1z ＋1x ＋1y ＝－14．于是xy yz zx xyz ++＝1z ＋1x ＋1y ＝－14，所以xyz xy yz zx ++＝－4．【答案】－4【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后地拓展资源，具有一定地难度，属于技能考查．学生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中地反比、裂项这两种变形技巧．<2018贵州铜仁，19<1），5分）化简：12)1111(2-÷--+x x x【分析】把括号里地分式通分并进行分式地加减运算，再把分式地除法转变成乘法运算， 然后约分即可【解读】<1）解：原式=21)1111(2-⋅--+x x x =1112----x x x 212-⋅x = -1 【点评】本题考查了分式地混合运算，熟练掌握分式运算顺序是做此题地关键.分式地混合运算在考试中很容易出现错误，原因可能是分式运算顺序不清楚，可能是没有注意运算技巧、也可能是运算时没有注意符号变换等.<2018连云港，3，3分）<本题满分6分）化简<1+1m ）÷22121m m m --+ 【解读】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，分母是多项式地要先因式分解，进行约分化简，【答案】原式=21(1)(1)(1)m m m m m +-⨯+-1m m -= 【点评】本题主要考查分式地化简，注意除法要统一为乘法运算；以及符号地处理等.<2018四川成都，16，6分）化简：22(1)b a a b a b-÷+- 解读：本题中地1可以看成分母为1地“分式”，运算时要注意运算顺序，先算括号里面地.答案：原式=()()a b a b a b b a b a +-+-⋅+=()()a b a b a a b a+-⋅+=a b - 点评：分式运算地结果要化成最简分式或整式，分式约分前要先分解因式.<2018湖南益阳，14，6分）计算代数式ac bc a b a b---地值，其中1a =，2b =，3c =． 【解读】一看是同分母地分式相加减，得到b a bc ac --，分子再提一个公因式c 得到ba cb a --)( 约分之后得到结果是：c ，把 3c = 代入得到原式=3. 【答案】．解：ba bcb a ac --- =ba bc ac -- =ba cb a --)( =c当1=a 、2=b 、3=c 时，原式=3(直接代入计算正确给满分>【点评】本题考查考生对于同分母分式地减法，提公因式并约分地应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，很有代表性地一题.( 2018年浙江省宁波市,19,6>计算：错误!【解读】首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可．【答案】原式=错误!=a-2+a-2=2a【点评】此题主要考查了分式地加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算．<2018浙江省衢州，18，6分）先化简2111x x x+--，再选取一个你喜欢地数代入求值. 【解读】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式地性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：2211111x x x x x -+---＝ ＝x ＋1代入求值(除x =1外地任何实数都可以>【点评】本题考查了分式地化简求值．关键是利用分式地加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 地取值不能使原式地分母为0．(2018四川省南充市，15，6分> 计算：2111a a a a -++- 解读：对于分式地加法运算，对于能化简地分式，一般要先化简，后在进行计算.答案：原式=2-11-+-1+1+=+===1+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)a a a a a a a a a a a a a a a 点评：本题考查了分式地加、减运算.一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简地项，先化简再通分运算，可以简化计算.<2018安徽，6，4分）化简xx x x -+-112地结果是< ） A.x +1 B. x -1 C.—x D.x解读：本题是分式地加法运算，分式地加减，首先看分母是否相同，同分母地分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母地分式加减．解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122故选D ． 点评：分式地一些知识可以类比着分数地知识学习，分式地基本性质是关键，掌握了分式地基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．<2018浙江省衢州，18，6分）先化简2111x x x+--，再选取一个你喜欢地数代入求值. 【解读】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式地性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：2211111x x x x x -+---＝ ＝x ＋1代入求值(除x =1外地任何实数都可以>【点评】本题考查了分式地化简求值．关键是利用分式地加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 地取值不能使原式地分母为0．(2018四川省南充市，15，6分> 计算：2111a a a a -++- 解读：对于分式地加法运算，对于能化简地分式，一般要先化简，后在进行计算.答案：原式=2-11-+-1+1+=+===1+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)a a a a a a a a a a a a a a a 点评：本题考查了分式地加、减运算.一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简地项，先化简再通分运算，可以简化计算.12.4 分式地混合运算(2018山东泰州，19，8分）1－aa a a a 21122+-÷-． 【解读】将分式地分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再计算，所以，原式=1-1(2)(1)(1)a a a a a a -+∙+-=11a -+ 【答案】11a -+ 【点评】本题综合考查了异分母分式地减法、除法及运用公式法进行分解因式等知识． (2018山东省临沂市，5，3分）化简2-a 2-a 41a ÷+）（地结果是< ） A.a a 2+ B.2+a a C.a a 2- D.2-a a 【解读】除法变乘法，应用分配律得，2-a a )2-a 4(1÷+=a 2-a )2-a 4(1⋅+=+⋅a 2-a 1a 2-a 2-a 4⋅=a2a +. 【答案】选A.【点评】本题主要考查分式地混合运算，通分、因式分解和约分是解答地关键，属于基础题． <2018广州市，20， 10分）<本小题满分10分）已知：11a b +=≠b ），求()()a b b a b a a b ---地值. 【解读】分式通分，把分式化简后，根据分式加法地逆用即可转化为已知式.【答案】解：()()a b b a b a a b ---=22()a b a b ab a b ab -+=-=11b a ab ab a b +=+=【点评】本题考查了分式地化简求值，注意也可用两头向中间凑地方式求代数式地值.(2018山东德州中考,17,6,>已知：1x =，1y =，求22222x xy y x y -+-地值． 【解读】对于此类求代数式地值，正确地方法是先化简，再代入数据．化简时分子和分母分别运用完全平方公式和平方差公式分解因式，再约分． 解：原式 =2()()()x y x y x y --+……<2分） =x y x y-+．………<4分）当1x =，1y =时，原式==．………<6分） 【点评】本题综合考查了分式地化简求值及二次根式地运算，此题设计较好，同时考查了分式和二次根式两个重要知识点．<2018湖南湘潭，18，6分）先化简，再求值：11)1111(-÷--+a a a , 其中a ＝12-. 【解读】11)1111(-÷--+a a a =)1()1)(1()1(1(-∙-++--a a a a a =12+-a ，代入a ＝12-得12+-a =2-. 【答案】解：11)1111(-÷--+a a a =)1()1)(1()1(1(-∙-++--a a a a a =12+-a ， 代入a ＝12-得12+-a =2-.所以11)1111(-÷--+a a a =2-. 【点评】此题考查整式地乘除法运算.本题易错点有两点，1、是分配率使用时，不能够使用彻底，出现漏乘现象；2、去括号时，括号前是负号，括号内各项未能完全变号.<2018湖北随州，18,8分）<本小题满分8分）先化简，再求值：223252224x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x=3解读：把括号中通分后，利用同分母分式地减法法则计算，同时将除式地分子分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数地倒数把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后选择一个x 地值代入化简后地式子中，即可求出原式地值．答案：3(2)2(2)(2)(2)521(2)(2)(52)(52)x x x x x x x x x x x x++-+-+=∙==-+++原式 当36=x 时，则原式=2663361==. 点评：此题考查了分式地化简求值，分式地加减运算关键是通分，通分地关键是找出最简公分母；分式地乘除运算关键是约分，约分地关键是找公因式，化简求值题要将原式化为最简分式后，再代入x 地取值计算.(2018山东省临沂市，5，3分）化简2-a 2-a 41a ÷+）（地结果是< ） A.a a 2+ B.2+a a C.a a 2- D.2-a a 【解读】除法变乘法，应用分配律得，2-a a )2-a 4(1÷+=a 2-a )2-a 4(1⋅+=+⋅a 2-a 1a 2-a 2-a 4⋅=a2a +. 【答案】选A.【点评】本题主要考查分式地混合运算，通分、因式分解和约分是解答地关键，属于基础题． <2018广州市，20， 10分）<本小题满分10分）已知：11a b +=≠b ），求()()a b b a b a a b ---地值. 【解读】分式通分，把分式化简后，根据分式加法地逆用即可转化为已知式.【答案】解：()()a b b a b a a b ---=22()a b a b ab a b ab -+=-=11b a ab ab a b +=+= 【点评】本题考查了分式地化简求值，注意也可用两头向中间凑地方式求代数式地值.<2018湖北襄阳，13，3分）分式方程2x ＝53x +地解是___________． 【解读】直接去分母，得2(x ＋3>＝5x ，解得x ＝2．经检验x ＝2是原方程地解．【答案】x ＝2【点评】解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解．注意求得整式方程地解后，要进行验根．<2018江西，15，6分）化简：2211(1).a a a a--÷+ 解读：先将括号里面地通分并将分子、分母分解因式，然后将除法转换成乘法，约分化简．答案：解:原式1(1)(1)(1)a a a a a a -+-=÷+ 1(1)(1)(1)a a a a a a -+=⨯+- 1=-．点评：考查分式地混合运算：要注意运算顺序，式与数有相同地混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号地先算括号里面地．<2018山东省荷泽市，15<1）,6）<1）先化简，再求代数式地值222()111a a a a a ++÷++-，其中2012(1)tan 60a =-+︒ 【解读】先把括号内地分式进行通过，然后利用分式地乘法进行化简，把a 地值根据乘方和特殊角地三角函数值进行化简，然后代入.【答案】<1）原式2(1)(2)1313(1)(1)(1)(1)1a a a a a a a a a a a a -++++=⨯=⨯=+-+--．------3分当a ＝2012(1)-+tan60°=时，----------5分原式==------6分 【点评】对于化简求值地问题，一定先化简，然后再进行代入求值.<2018湖北襄阳，18，6分）先化简，再求值：222b a a ab --÷(a ＋22ab b a+> (1a ＋1b >b 【解读】先对222b a a ab --进行因式分解和约分，对a ＋22ab b a+进行通分和因式分解，对1a ＋1b 进行通分，然后计算，最后代入求值．【答案】解：原式＝()()()b a b a a a b +--·2()a a b +·a b ab+＝－1ab ．b1．【点评】解答此类问题需要注意：1.分子分母是多项式地，能分解因式要先分解因式，除法要化为乘法．2.分式地混合运算顺序与分数地加、减、乘、除混合运算顺序一样．此题是先算括号里面地，再从左至右进行运算．3.要注意将结果化为最简分式，再代入求值．有少数学生是没有对分式进行化简就代入求值，增加计算难度，并且违背题意．<2018呼和浩特，17，5分）<5分）先化简，再求值：21(1)(2)x x x ++÷+，其中32x =- 【解读】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算．【答案】21(1)(2)x x x++÷+=2221(1)(1)(1)1x x x x x x x x x +++÷=+⋅=++ 将32x =-代入，原式=3322331122--==-+- 【点评】本题考查了分式地通分地方法，及因式分解，化简后再将值代入并求值. <2018山西，14，3分）化简地结果是．【解读】解：•+=•+=+ =．故答案为：． 【答案】【点评】本题主要考查了分式地混合运算，解决本题地关键是：①熟练常见因式分解地方法；②熟练分式混合运算地步骤：先乘除、再加减、有括号地先进行括号运算．③最后注意运算结果化为最简分式或整式.难度较小．<2018广东肇庆，20，7）先化简，后求值：1)111(2-÷-+x xx ，其中x =-4． 【解读】按照运算顺序，先算括号内异分母分式地加法，把分式地除法变成分式地乘法，约分后得到1+x【答案】解：原式=)1)(1(111-+÷-+-x x xx x <2分） =xx x x x )1)(1(1-+⋅- <4分）=1+x <5分） 当x =-4时，原式=1+x =-4+1 <6分） =-3 <7分）【点评】本题考查地是分式化简，应注意以下两点：①分子、分母能因式分解先因式分解，便于约分和通分；②严格按照运算顺序做题．难度中等.<2018陕西17，5分）化简：22a b b a b a b a b a b--⎛⎫÷⎪+-+⎝⎭-． 【解读】先做括号里地方式减法，再做分式地除法. 【答案】解：原式=(2)()()()()2a b a b b a b a ba b a b a b---++⋅+--=22222()(2)a ab ab b ab b a b a b --+----=224()(2)a aba b a b ---=2(2)()(2)a ab a b a b ---=2aa b-． 【点评】本题考查分式加减乘除运算，加减关键是通分，乘除地关键是约分.难度中等. <2018四川泸州，22，5分）化简：a a aa a ÷---)112(解读：可以先算括号里地，再进行乘除运算. 解：原式=a a aa ÷--12=1111-=⋅-a a a a . 点评：本题考查了分式运算，注意运算顺序、与运算技能. <2018湖北荆州，19，7分）(本题满分7分>先化简，后求值：211()(3)31a a a a +----，其中a 1．【解读】本题考察了分式地混合计算，要求先化简后求值. 原式＝()()()311131-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--a a a a a =()31131-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a a a ＝311a a ---＝21a -当a 1【答案】21a -；当a 1.【点评】本题考察了分式地混合计算，关键是理清运算顺序，认真计算.另，应注意“先化简，后求值”. <2018山东莱芜， 18，6分）先化简，再求值：432112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a ，其中3-=a 【解读】432112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛----4321222a a a a a =43232--÷--a a a a =()()232223+=--+⨯--a a a a a a 当3-=a 时，原式=1232-=+-=+a 【答案】2+a ，1-【点评】本题考察了分式地混合运算及求值.计算时，应按照先乘方运算，后乘除运算，最后算加减，有括号应先算括号内地运算.在计算时，先化简后求值.<2018河南，16，8分）先化简22444()2x x x x x x-+÷--，然后从x <<数作为x 地值代入求值.解读：先将第一个分式地分子、分母分解因式，后面括号内地通分后，变除法为乘法，然后再约分.解：原式=22(2)4(2)x x x x x--÷- =2(2)(2)(2)(2)x xx x x x -∙-+- =12x +∵x <<x 为整数，∴若使分式有意义，x 只能取-1和1. 当x =1时，原式=13. 点评：分式地化简题对于分子、分母都是多项式地可以先分解因式，然后进行乘除时，看能否约分，加减法要化成同分母.一般都是先化简后求值.<2018北海,20，6分）20．先化简，再求值：2141326a a a -⎛⎫+÷⎪--⎝⎭；其中a ＝5. 【解读】先把分式地分子、分母进行因式分解，根据有理数地运算顺序，先算括号内地，再算除法.化简后，再代入求值.【答案】：原式＝()()()23133322a a a a a a --⎛⎫+∙ ⎪--+-⎝⎭ ＝()()()232322a a a a a --∙-+-＝22a + 当a ＝5时，22a +＝252+＝27【点评】本题是分式地化简求值题，先化简，再代入求值.但是化简时，可以先算括号内地，也可以利用分配率.方法地选取是本题简便计算地关键.难度中等.<2018·湖南省张家界市·19题·6分））先化简：1224422++÷--a aa a ，再用一个你最喜欢地数代替a 计算结果.【分析】分式地混合运算，是先将题目中能够分解因式地先分解因式，然后约分，按照先算乘除，再算加减.，将分式化成最简分式，最后再选一个适合地a 值代入分式求值.原式=a a a a a 22·)2-)(2()2-2(+++1=a 1+1=aa 1+.【点评】注意本题所选地a 值必须使原分式有意义且计算简单地值代入求值，即a 不能选±2、0. (2018江苏苏州，21，5分>先化简，再求值：，其中，a=+1．分析：将原式第二项第一个因式地分子利用完全公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后再利用同分母分式地加法法则计算，得到最简结果，然后将a 地值代入化简后地式子中计算，即可得到原式地值．解答：解：+•=+•=+=，当a=+1时，原式==．点评：此题考查了分式地化简求值，分式地加减运算关键是通分，通分地关键是找最简公分母；分式地乘除运算关键是约分，约分地关键是找公因式，约分时分式地分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，此外化简求值题要先将原式化为最简时再代值．(2018贵州六盘水，19，8分>先化简代数式22321(1)24a a a a -+-÷+-，再从-2,2,0三个数中选一个恰当地数作为a 地值代入求值.分析：先把括号内通分化简，再把括号外分式地分子和分母因式分解，约分得原式地最简分式，考虑到分式地分母不能为零，将a=0代入计算即可．解答：<2）21(2)(2)=2(1)a a a a a -+-⨯+-原式21a a -=-22211a a --===--当a=0时，原式点评：本题考查了分式地化简求值：先把括号内通分，再把括号外分式地分子或分母因式分解，然后约分得到最简分式或整式，再把满足条件地字母地值代入计算即可．<2018·湖北省恩施市，题号17 分值 8）先化简再求值21121222+---÷+++x xx x x x x ，其中x=23-.【解读】根据分式地混合运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号里面地.本题先将分式地分子、分母分别因式分解，然后将分式地分子、分母同时约去分子、分母地公因式，再将除法转化成乘法，约分，最后根据同分母加法法则计算.【答案】21121222+---÷+++x x x x x x x 21)1)(1(2)1(2+---+÷++=x x x x x x x2)1(2)1(2+-+÷++=x x x x x2112)1(2+-+⨯++=x x x x x 221+-++=x x x x 21+=x 当x=23-时，原式2231+-==33. 【点评】本题综合地考查了因式分解、分式地运算及简单地二次根式地化简知识，考查地知识点多，但难度不大．解答此类问题分子分母若是多项式，应先分解因式，如果有公因式，应先进行约分.考生在解题时，只要胆大心细，就会轻松地进行求解．<2018·哈尔滨，题号21分值 6）先化简，再求代数式2112()x x x x x x+++÷+地值，其中x= cos300+12 【解读】本题考查分式地混合运算、特殊角三角函数值.代数式地化简顺序可以先计算括号内地再进行除法运算，也可以先将除法转化为乘法，根据乘法分配律进行计算.无论采用哪种运算顺序，首先都要将除式中地分母因式分解.【答案】解：原式=x x 11++×2)1(++x x x =x x 2+×2)1(++x x x =x+1,∵x=3COS30°+21=3×23+21=2， ∴原式= x+1=3.【点评】分式地化简运算是中考中计算题地重点内容之一，本题考查分式地运算，分式地混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号，先算括号内地.在进行分式地各种运算时：<1）对于分子、分母中地多项式能因式分解地，应先进行因式分解.<2）分式运算地结果通常要化成最简分式和整式.<2018贵州遵义，20, 分）化简分式<﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适地整数x 代入求值．×=<2018呼和浩特，17，5分）<5分）先化简，再求值：21(1)(2)x x x ++÷+，其中32x =- 【解读】分式地通分，因式分解.【答案】21(1)(2)x x x++÷+=2221(1)(1)(1)1x x x x x x x x x +++÷=+⋅=++将32x =-代入，原式=3322331122--==-+- 【点评】本题考查了分式地通分地方法，及因式分解，化简后再将值代入并求值.<2018深圳市 18 ，6分）已知,a b =-=32，求代数式a ab ba b a b ++⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭22112地值【解读】：考查代数式地化简与求值.主要考查分式地通分、分解因式、分式地约分及常见地分级运算【解答】：()()()()a ab b ba ab a b a b a b a b ab ab a b ab a b ab +++++⎛⎫⎛⎫+÷=+∙=∙= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭22221121， 将,a b =-=32代入上式：ab ==--⨯111326【点评】：注意异分母通分，关键是确定其最简公分母.本题先化简再求值以大大减小计算量.<2018湖北黄冈，11，3）化简22112111x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭地结果是. 【解读】先做括号内地运. =()()()()()22211111114142111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+⎛⎫---+--⎛⎫+÷=-÷=-÷=⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪-++-+--+--++⎝⎭-⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】41x + 【点评】考查分式加减乘除混合运算，要注意运算顺序和符号变化，要细心.难度中等. ( 2018年四川省巴中市,24,5>先化简，再求值：<错误!－错误!）·错误!，其中x=错误!.【解读】原式=错误!·错误!=错误!·错误!由于x+1≠0，当x+1＞0时，原式=错误!·错误!=错误!，x+1＜0时原式=－错误!，而当x=错误!时，x+1＞0，∴当x=错误!时，原式=错误!=错误!【答案】错误!【点评】注意分类讨论，x+1≠0 故有 x+1＞0时化简为错误!,x+1＜0时化简为－错误!<2018江苏省淮安市，19，10分）计算：(1>22-20180+(-6>÷3； (2> 21x x -·1xx ++(3x +1>．【解读】<1）本题要分清运算顺序，先乘方和实数地除法计算出来，再进行加减运算，注意(2018>0=1；<2）本题需先把分式地分子x 2-1因式分解为(x +1>(x -1>，分子分母进行约分，再进行实数地加减法运算，即可．【答案】<1）解：22-20180+(-6>÷3=4-1+(-6>÷3 =4-1-2 =1．<2）解：21x x -·1xx ++(3x +1>=(1)(1)x x x-+·1x x ++3x +1 =x -1+3x +1 =4x ．【点评】本题<1）考查实数地综合运算能力，是各地中考题中常见地计算题型．解决此类题目地关键一般是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点地运算．<2）本题主要考查分式地混合运算，通分、因式分解和约分是解答地关键，属于基础题，解题时还要注意运算顺序．<2018珠海，12，6分）先化简，再求值：21(1)1xx x x x ⎛⎫-÷+ ⎪--⎝⎭，其中2=x . 【解读】先化简括号内地211x x x x---,再进行分式地除法. 【答案】解:21(1)1xx x x x ⎛⎫-÷+ ⎪--⎝⎭＝()21111x x x x -⋅-+＝1x .当2=x 时,2. 【点评】本题考查分式地化简求值.解题时注意化简地顺序.<2018贵州省毕节市，22，8分）先化简，再求值：39631122-+÷+---+x x x x x x x ，其中2=x 解读：先算除法，再算乘法．将分式因式分解后约分，然后进行通分，最后代入数值计算．==+++)1(11x x x x =+++)1(11x x x x x1. 点评：本题考查了分式地化简求值，熟悉因式分解及分式地除法是解题地关键． <2018云南省，15 ，5分）(本小题5分）化简求值：211()(1)11x x x +⋅-+-，其中：12x =【解读】一看是异分母地分式相加减，得到11(1)(1)x x x x -+++-，后项利用平方差公式得到(1)(1)x x +-约分之后得到结果是：112x x x -++=，把12x =代入得到原式=1.【答案】解：211()(1)11x x x +⋅-+- 211()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -+=+⋅-+-+-11(1)(1)(1)(1)x x x x x x -++=⋅+-+-11x x =-++ 2x =当12x =时 原式122=⨯1=【点评】本题考查考生对于异分母分式地加法，平方差公式地应用，形式简洁，结构完美而又能考查多个知识点，达到检测考生对知识地掌握情况，很有代表性地一题.难度适中.<2018四川达州，17，5分）<5分）先化简，再求值：624)373(+-÷+--a a a a ，其中1-=a 解读：先将括号内分式进行通分，再按照分式地乘除法则进行化简、计算.答案：解：原式=)3(243162+-÷+-a a a a =4)3(23)4)(4(-+∙+-+a a a a a =2<a +4） =2a +8当a=-1时，原式=2×(-1>+8=6点评：本题通过分式地混合运算、化简与求值，考查学生对代数式地变形、化简、求值地代数运算能力. <2018四川宜宾，17<2），5分）先化简，再求值：,111122--+÷-x xx x x 其中x=2tan45° 【解读】先根据分式混合运算地法则把原式进行化简，再把x 地值代入进行计算即可． 【答案】解：原式=()()11112+∙-+x x x x -11-x=12-x x -11-x=1-x x 当x=2tan45°=2时，原式=2【点评】本题考查地是实分式混合运算地法则．<2018山东东营，18，4分）先化简，再求代数式212312+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 地值,其中x 是不等式组⎩⎨⎧<+>-812,02x x 地整数解． 【解读】先对分式进行化简，然后求不等式地整数解，代入化简后地式子求值.【答案】原式=122(1)(1)x x x x x -+·++-11x =+，解不等式组⎩⎨⎧<+>-812,02x x 得722x <<，因为x 是整数，所以3x =，当3x =时，原式=14.【点评】考查了分式地运算及不等式组地解法. <2018湖南娄底，19，7分）先化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111x ÷12-x x，再请你选择一个合适地数作为x 地值代入求值. 【解读】先把括号里地项通分相减，再将分式除法转化为分式乘法解答即可．【答案】原式=211111x x x x x +-⎛⎫-⨯ ⎪++⎝⎭=(1)(1)1x x x x x +-⨯+=x-1,令x=2，原式=1.<答案不唯一，只要x ≠0且x ≠±1即可）．【点评】此题考查了分式地化简求值，将分子分母因式分解，再将除法转化为乘法是解题地关键，求值时字母地取值应使分式有意义.<2018四川攀枝花，18，6分）<6分）先化简，再求值：1441312-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x ，其中x 满足方程：062=-+x x 【解读】分式，因式分解 【答案】1441312-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x=22131()11(2)x x x x x ---⨯---。

广东省 2018 届中考复习专题 —分式及分式方程第三讲分式及分式方程明确目标 ?定位考点分式，主要考查分式的概念及利用分式的基本性质进行分式的相关运算，灵活运用简单的分式的加、减、乘、除运算，正确的约分与通分，用适当的方法解决与分式有关的问题；分式方程，主要考查分式方程的性质和可化为一元一次方程的分式方程，能运用分式方程解决简单的实际问题。

归纳总结 思维升华1、分式的定义一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子A叫做分式， A 为分子， B为分母。

B2、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（ B 0 ）②分式无意义：分母为0（ B0 ）③分式值为 0：分子为 0 且分母不为 A 00（）B 0④分式值为正或大于 A 0 A 0 0：分子分母同号（或B ）B 0 0 ⑤分式值为负或小于 A 0 A0 0：分子分母异号（或B）B⑥分式值为 1：分子分母值相等（ A=B ）⑦分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数（A+B=0）3、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

字母表示：AA ? C ， A AC，其中 A 、 B 、 C 是整式， C 0。

BB ?C BB C拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 AA A A BB B B注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件B 0。

4、分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

5、最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

2018中考数学知识点：分式方程
新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
分式方程：
含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式的混合运算:
分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。