高中数学第一章常用逻辑用语复习小结导学案无答案新人教B版(1)

第一章 常用逻辑用语复习小结【知识点梳理】1.“或”、“且”、“非”的真假判断2.(1)全称命题 一般形式 它的否定 (2)存在性命题一般形式 它的否定3.条件 结论p ⇒ q 、 p 是q 的 ；p ⇐ q ，p 是q 的 ； p ⇔ q ，p 是q 的4. 原命题 逆命题 若q 则p 否命题 逆否命题 同真假的命题是 【客观题训练】1. c a a +=2是a,b,c 成等差数列的 ________________条件2. a,b,c 成等比数列是ac b =2的 ________________条件 3.3.a>b 是ba>1的 ________________条件 4.命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．∃x ∈R ，3210x x -+≤ C ．∃x ∈R ，3210x x -+> D ．∀x ∈R ，3210x x -+>5.已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的 ________________条件 6.下列命题是真命题的是 （ ）A 、“若0=x ，则0=xy ”的逆命题；B 、“若0=x ，则0=xy ”的否命题；C 、若1>x ，则2>x ；D 、“若2=x ，则0)1)(2(=--x x ”的逆否命题7. 命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 （ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<x C.若1>x 或1-<x ，则12>x D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x8.设A={x |1xx -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“n ∈A ”是“n ∈B ”的________________条件9.已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝ 10.“31-<<x 成立”是“(3)0x x -<成立”的________________条件 11.已知R a ∈，则“2a <”是“22a a <”的 ________________条件12.对于实数x,y ，条件p:x+y=8,条件q:x=2且y=6，那么p 是q 的________________条件 13.条件甲：0a b >>，条件乙：11a b<，则甲是乙成立的 ________________条件 14.下列命题 ：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ； ③43≥； ④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确命题的个数是 （ ）A. 0 B.1 C.2 D. 315. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题2320q x x -+<：的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是（ ）(A)②③(B)①②④(C)①③④(D)①②③④16 .下列有关命题的说法中错误的是 （ ）A ．若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题B "1"x =是2"320"x x -+=的充分不必要条件C ．命题“若2320x -+=，则1x =“的逆否命题为：“若1,x ≠则2320x x -+≠” D ．对于命题:,p x R ∃∈使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++≥17.已知2:11xp x <-，()():30q x a x -->。

高中数学第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词课堂导学案新人教B版选修１-1编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章常用逻辑用语 1．1 命题与量词课堂导学案新人教B版选修１-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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１。

1 命题与量词课堂导学三点剖析一、判断一个语句是否是命题【例1】下列语句①2是无限循环小数;②x2－3x+2=0;③当ｘ=4时,2x＞0；④垂直于同一直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数;⑥难道菱形的对角线不平分吗？⑦把门关上.其中不是命题的是＿＿__＿__＿_．解析:①是命题，能判断真假②不是命题,因为语句中含有变量x,在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假③是命题，能作出判断的语句④不是命题,因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断⑤是命题⑥是命题⑦不是命题，没法作出判断故答案为：②④⑦温馨提示祈使句、疑问句一般不是命题。

二、判断命题及其真假【例2】设m、ｎ是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面。

考查下列命题,其中为真命题的是( )Ａ.m⊥α,n⊂β,m⊥ｎ⇒α⊥βB．α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥nC。

α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥nD。

α⊥β，α∩β＝m，ｎ⊥m⇒n⊥β解析:对于选项A,反例如图，此时α、β成任意角.对于选项C，反例如图,此时m∥n。

对于选项Ｄ，反例如图,此时①m⊂β或②ｎ与β斜交．答案：B三、将命题改写成“若p则q”的形式【例3】将下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假：(1）偶数能被2整除(2）奇函数的图象关于原点对称(3)同弧所对的圆周角不相等解析:（1)若一个数是偶数,则它能被2整除.真命题。

第一单元常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．p q 綈p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假知识点三充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．类型一命题的关系及真假的判断例1 将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4类型二逻辑联结词与量词的综合应用例2 已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练2 已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．类型三充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例3 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a >ln b >0D ．x a>x b且x >0.5 命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练4 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析问题导学 知识点四如果p ，则q 如果q ，则p 如果綈p ，则綈q 如果綈q ，则綈p 题型探究例1 解 (1)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假) 否命题：如果两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假) 逆否命题：如果两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)(2)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果mn <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn <0.(假) 否命题：如果mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．(假)逆否命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0.(真) 跟踪训练1 B [正确的为①③.]例2 A [因为p ∨q 为假命题，所以p 和q 都是假命题． 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假， 得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，所以m ≥0.① 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假， 得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.]跟踪训练2 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 例3 (1)B (2)C解析 (1)∵x 2－3x >0⇒/ x >4，x >4⇒x 2－3x >0，故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件． 跟踪训练3 C例4 解 方法一 命题p ：x 2－5x ＋6≤0， 解得2≤x ≤3；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0， 解得m ≤x ≤m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋2>3或⎩⎪⎨⎪⎧m <2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是[1,2]． 方法二 命题p ：2≤x ≤3， 命题q ：m ≤x ≤m ＋2， 綈p ：x <2或x >3， 綈q ：x <m 或x >m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴{x |x <m 或x >m ＋2}{x |x <2或x >3}，故⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是[1,2]．跟踪训练4 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件，∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤0，f3≤0，解得a ≤9，∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 当堂训练1．B 2.A 3.若x ，y 不全为零，则xy ≠0 4.②③ 5.(－∞，0]。

第一章集合与常用逻辑本章小结学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;2.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集;能使用维恩图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用;3.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系;4.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义;能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.自主预习1.(多选题)下列结论错误的是()A.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}B.若{x2，1}={0，1}，则x=0或x=1C.对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立D.含有n个元素的集合有2n个真子集2.(多选题)下列结论错误的是()A.若已知p:x>1和q:x≥1，则p是q的充分不必要条件B.“长方形的对角线相等”是存在性命题C.当q是p的必要条件时，p是q的充分条件D.p:∀x∈R，x2≥-1; p:∃x∈R，x2≤-1.3.已知区间A=(-3，1)，B=[-2，3]，则A∩B=，A∪B=.4.若命题p:∃a∈R，一次函数y=x+a的图像经过原点，则 p:;是命题.(填“真”或“假”)课堂探究典例剖析，探究深化例1已知集合A={x|-3<x<2}，B={x|0≤x<5}，C={x|x<m}，全集为R.(1)求A∩(∁R B);(2)若(A∪B)⊆C，求实数m的取值范围.变式训练已知集合A={x|-3≤x≤5}，B={x|m+1<x<2m-1}，C={x∈Z|x∈A或x∈B}，(1)当m=3时，用列举法表示出集合C;(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围.归纳小结:例2已知P={x|-2≤x≤10}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.【探究1】本例条件不变，若x∈P是x∈S的必要不充分条件，求m的取值范围.【探究2】本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围.【探究3】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.归纳小结:自主总结，形成网络总结——交流——完善，得到本章的知识结构图:核心素养专练1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B∩∁U A=()A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{6}2.已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A.[2，+∞)B.(2，+∞)C.(-∞，0)D.(-∞，0]3.已知集合A={1，3，√m}，B={1，m}，A∪B=A，则m=()A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或34.(多选题)下列有关命题的说法错误的是()A.∃x0∈R，sin x0+cos x0=2B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1<0”的否定是“∀x∈R，有x2+x-1≥0”D.命题“∀x<0，(x-1)(x+2)<0”的否定是“∃x0≥0，(x0-1)(x0+2)≥0”参考答案自主预习1ABD2.BD3.[-2，1)(-3，3]4.∀a∈R，一次函数y=x+a的图像不经过原点假.课堂探究典例剖析，探究深化:例1解:(1)∁R B={x|x<0或x≥5};∴A∩∁R B={x|-3<x<0}.(2)A∪B={x|-3<x<5}，∵(A∪B)⊆C，∴m≥5.∴实数m的取值范围为[5，+∞).变式训练解:(1)当m=3时，B={x|4<x<5}，∴C={x∈Z|-3≤x≤5或4<x<5}={-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5}.(2)∵A∩B=B，∴B⊆A，当B=⌀时，m+1≥2m-1，即m≤2;当B≠⌀时，m+1<2m-1，即m>2，易得，解得2<m≤3.综上，得实数m的取值范围是(-∞，3].例2解:∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴，解得m≤3.，S为非空集合，∴1-m≤1+m，解得m≥0.综上，m的取值范围是[0，3].【探究1】解:由例知，S⫋P，∴，或，解得0≤m，3，0≤m<3，∴，≤m≤3.故m的取值范围是[0，3].【探究2】解:由例知P={x|-2≤x≤10}，若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，∴P⊆S，∴，解得m≥9.故m，取值范围是[9，+∞).【探究3】解:由例题知P={x|-2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S，∴，∴，这样的m不，在.自主总结，形成网络:核心素养专练1.C2.A3.B4.ABD学习目标通过构建第一章知识网络，体现数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养，从而提高总结归纳、拓展提升的能力.自主预习请大家结合本章内容的学习，构建出本章的知识网络结构图.课堂探究素养一数学抽象例1已知集合，=，a2，a+3b，0}，则2|a|+b=.例2已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的值.变式训练已知集合A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，2∈B，B⊆A，求实数a，x的值.素养二数学运算例3已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B=()A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{-2，0，1，2}D.{-1，0，1，2}例4设全集I=R，已知集合M={-3}，N={x|x2+x-6=0}.(1)求N∩(∁I M).(2)记集合A=N∩(∁I M)，已知集合B=[a-1，a+5]，a∈R，若A∩B=A，求实数a的取值范围.素养三逻辑推理例5集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3n+1，n∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是()A.S⊈P⊈MB.S=P⊈MC.S⊈P=MD.P=M⊈S例6写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假:(1)p:空集是任何一个非空集合的真子集;(2)q:∀x∈R，4x2>2x-1+3x2;(3)r:∃x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|<2;(4)s:所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.核心素养专练一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列表示正确的是()A.{所有实数}=RB.整数集={Z}C.⌀={⌀}D.1∈{有理数}2.集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∪(∁R B)=()A.{x|x>1}B.{x|x≥-1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.满足{1}⊆X⫋{1，2，3，4}的集合X有()A.4个B.5个C.6个D.7个4.命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是()A.对任意x∈R，都有x2<1B.不存在x∈R，使得x2<1C.存在x∈R，使得x2≥1D.存在x∈R，使得x2<15.命题“∃x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是()A.∃x∈R，x3-x2+1<0B.∃x∈R，x3-x2+1≥0C.∀x∈R，x3-x2+1>0D.∀x∈R，x3-x2+1≤06.“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.a2>b2的一个充分条件是()A.a>bB.a<bC.a=bD.a=2，b=18.下列命题中，真命题是()A.若x，y∈R，且x+y>2，则x，y至少有一个大于1B.∀x∈R，2x>x2=-1C.a+b=0的充要条件是abD.∃x∈R，x2+2≤09.一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a<0B.a>0C.a<-1D.a>110.已知集合A={x|x>2}，B={x|x<2m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是()A.1B.2C.3D.411.若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为()A.{a|2≤a≤7}B.{a|6≤a≤7}C.{a|a≤7}D.⌀12.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是()二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.设全集U=R，集合A={x|x<0}，B={x|x>1}，则A∪(∁U B)=.14.命题“∀1≤x≤2，使x2-a≥0”是真命题，则a的取值范围是.15.设集合A={x|0<x<1}，B={x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)16.定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y)，x∈A，y∈B}.设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R，x2+2x+5>0.18.(本小题满分12分)已知A={x|-2<x<3}，B={x|-3<x≤3}，求∁R A，∁R(A∩B)，(∁R A)∩B.19.(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.(1)条件p:a，b∈R，a+b>0，结论q:ab>0;(2)条件p:A⫋B，结论q:A∪B=B.20.(本小题满分12分)已知集合A={x|1<x<3}，集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时，求A∪B;(2)若A⊆B，求实数m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}，且B≠⌀.(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围;(2)若A∩B=⌀，求a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证:1x <1y的充要条件是xy>0.参考答案自主预习略课堂探究例1答案:4解析:因为集合，=，a2，a+3b，0}，所以b=0，a2=4，解得a=±2，当a=-2，b=0时，{-2，0，4}={4，-2，0}成立，此时2|a|+b=4;当a=2，b=0时，{2，0，4}={4，2，0}，成立，此时，2|a|+b=4.例2解:由题设条件可知，1∈A，若a+2=1，即a=-1时，(a+1)2=0，a2+3a+3=1=a+2，不满足集合中元素的互异性，舍去;若(a+1)2=1，则a=0或a=-2.当a=0时，a+2=2，(a+1)2=1，a2+3a+3=3，满足条件;当a=-2时，a+2=0，(a+1)2=1，a2+3a+3=1，不满足集合中元素的互异性，舍去;若a2+3a+3=1，即a=-1或a=-2，均不满足条件.综上可知，实数a的值只能是a=0.变式训练解:因为a，x∈R，集合A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，2∈B，B⊆A，所以，解得，或，经检，，，符合题，.例3答案:A解析:集合A={x|-2<x<2}，所以A∩B={0，1}.例4解:(1)因为M={-3}，则∁I M={x|x≠-3}，又因为N={2，-3}，从而有N∩(∁I M)={2}.(2)因为A∩B=A，所以A⊆B，又因为A={2}，所以a-1≤2≤a+5，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围是[-3，3].例5答案:C解析:运用整数的性质求解，集合M，P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集.例6解:(1) p:存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集，假命题.(2) q:∃x∈R，4x2≤2x-1+3x2，真命题.(3) r:∀x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|≥2，假命题.(4) s:有的圆的圆心到其切线的距离不等于半径，假命题.核心素养专练一、1.D[选项A不正确，因为符号“{}”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”;选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号;显然选项C不正确;选项D正确.]2.B[由B={x|x<1}可知∁R B={x|x≥1}，A∪(∁R B)={x|x≥-1}.]3.D[集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个.]4.D[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是:存在x∈R，使得x2<1.故选D.]5.C[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3-x2+1>0”.故选C.]6.B[当a=-1时，函数y=ax2+2x-1=-x2+2x-1与x轴只有一个交点;但若函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点，则a=-1或a=0，所以“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.]7.D[A中，当a=0，b=-2时，a2=0，b2=4，不能推出a2>b2;B中，当a=-1，b=1时，a2=b2，不能推出a2>b2;C中，当a=b时，a2=b2，不能推出a2>b2;D中，a2=4，b2=1，能推出a2>b2，故选D.]8.A[当x=2时，2x=x2，故B错误;当a=b=0时，满足a+b=0，但a b=-1不成立，故C错误;∀x∈R，x2+2>0，故∃x∈R，x2+2≤0错误，故选A.]<0，即a<0，a<-1可以推出a<0，但a<0不一定推9.C[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知3a出a<-1，故选C.]10.A[根据补集的概念，∁R B={x|x≥2m}.∵A⊆∁R B，∴2m≤2.解得m≤1，故m的值可以是1.]11.C[当3a-5<2a+1，即a<6时，A=⌀⊆B;当3a-5≥2a+1，即a≥6时，A≠⌀，要使A ⊆B ，需有，解得2≤a ≤7.，综上可知，a ≤7.]12.C [由题图A ，闭合开关K 1或者闭合开关K 2都可以使灯泡R 亮;反之，若要使灯泡R 亮，不一定非要闭合开关K 1，因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充分不必要条件.由题图B ，闭合开关K 1而不闭合开关K 2，灯泡R 不亮;反之，若要使灯泡R 亮，则开关K 1必须闭合.因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的必要不充分条件.由题图C ，闭合开关K 1可使灯泡R 亮;反之，若要使灯泡R 亮，开关K 1一定是闭合的.因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件.由题图D ，闭合开关K 1但不闭合开关K 2，灯泡R 不亮;反之，灯泡R 亮也可不闭合开关K 1，只要闭合开关K 2即可.因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的既不充分也不必要条件.]二、13.{x|x ≤1} [∵B={x|x>1}，∴∁U B={x|x ≤1}，则A ∪∁U B={x|x ≤1}.]14.{a|a ≤1} [命题p :a ≤x 2在1≤x ≤2上恒成立，y=x 2在1≤x ≤2上的最小值为1，故a ≤1.] 15.充分不必要 [由于A={x|0<x<1}，所以A ⫋B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件.] 16.18 [当x=0时，y=2，3，对应的z=0; 当x=1时，y=2，3，对应的z=6，12. 即A ☉B={0，6，12}.故集合A ☉B 的所有元素之和为18.]三、17.解:(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题; 由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，￢p :存在一个x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立”.(2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词，因而是存在量词命题; 又由于“∃”的否定为“∀”，因此， p :对任意一个x ，都有x 2+2x+5≤0，即“∀x ∈R ，x 2+2x+5≤0”. 18.解:结合数轴，由图可知∁R A={x|x ≤-2或x ≥3}，∵A ∩B={x|-2<x<3}=A ，∴∁R (A ∩B )=∁R A={x|x ≤-2或x ≥3}， ∴(∁R A )∩B={x|-3<x ≤-2或x=3}. 19.解:(1)因为a ，b ∈R ，a+b>0， 所以a ，b 至少有一个大于0，所以p q.反之，若ab>0，可推出a ，b 同号. 但推不出a+b>0，即qp.综上所述，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件. (2)因为A ⫋B ⇒A ∪B=B ，所以p ⇒q. 而当A ∪B=B 时，A ⊆B ，即qp ，所以p 为q 的充分不必要条件.20.解:(1)当m=-1时，B={x|-2<x<2}，A ∪B={x|-2<x<3}.(2)由A ⊆B ，知，解得m ≤-2，，即实数m 的，值范围为{m|m ≤-2}. 21.解:(1)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B.∴，解得a ，取值范围为43≤a ≤2. (2)由B={x|a<x<3a }，且B ≠⌀， ∴a>0.若A ∩B=⌀，∴a ≥4或3a ≤2.∴a 的取值范围为0<a ≤23或a ≥4. 22.证明:法一(充分性)由xy>0及x>y ，得x xy >y xy， 即1x <1y.(必要性)由1x <1y，得1x -1y<0，即y -xxy<0. 因为x>y ，所以y-x<0，所以xy>0.所以1x <1y的充要条件是xy>0.法二:1x <1y⇔1x-1y<0⇔y-xxy<0.由条件x>y⇔y-x<0，故由y-xxy<0⇔xy>0.所以1x <1y⇔xy>0，即1x <1y的充要条件是xy>0.。

1.1 命题与量词
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1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨 (1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
提示：判断一个命题是全称命题还是存在性命题，关键是看量词是全称量词还是存在量
词．
名师点拨存在性命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．。

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第一章常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2．理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法．３。

理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.４.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、存在性命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定．知识点一命题及其关系1.判断一个语句是否为命题，关键是:(1)为________＿_；(2）能_____＿______．2.互为逆否关系的两个命题的真假性_______＿.3．四种命题之间的关系如图所示.知识点二充分条件、必要条件和充要条件1．定义一般地,若ｐ则ｑ为真命题,是指由p通过推理可以得出q。

这时，我们就说,由p可推出q，记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件．一般地,如果既有ｐ⇒ｑ,又有q⇒p，就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.2．特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：(1）对称性：若p是q的充分条件,则q是p的___＿_＿__条件;（2)传递性：若p是q的充分条件,q是r的充分条件，则p是r的_＿______条件.即若p⇒q,q ⇒r,则p⇒r．必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是ｑ的充分条件,q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定．知识点三简单的逻辑联结词与量词1．常见的逻辑联结词有“_＿＿__＿"、“＿____＿"、“____＿_”.2．短语“所有"“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀ｘ”表示“________”.3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x ”表示“________"．４．含有全称量词的命题叫做＿_＿_____命题,含有存在量词的命题叫做_＿＿__＿___＿命题.类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究 命题角度1 充分条件与必要条件的再探究例１ 设甲、乙、丙三个命题,若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,则( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 Ｃ．丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件反思与感悟 若ｐ⇒ｑ,则p 是q 的充分条件,q 是ｐ的必要条件，即q 的充分条件是p ,p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”,则可认为ｐ的必然结果是ｑ，q 是ｐ的必然结果． 则pD ⇒/q 易表述为以下几种说法:p 是ｑ的不充分条件,ｑ的不充分条件是ｐ； ｑ是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q 。

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B版必修第一册新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B 版必修第一册(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是他请教一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？”由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚．直到有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素．(3)表示：通常用英文大写字母A ，B ，C ，…表示集合，用英文小写字母a ，b ，c ，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系(1)“属于”：如果a 是集合A 的元素，就记作□01a ∈A ，读作“a 属于A ”．(2)“不属于”：如果a 不是集合A 的元素，就记作□02a ?A ，读作“a 不属于A ”．知识点三空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为□01空集(empty set)，记作□02?. 知识点四集合中元素的三个特性 (1)确定性； (2)互异性；(3)无序性．知识点五集合的分类(1)有限集；(2)无限集．知识点六几个常用数集的固定字母表示知识点七集合的表示方法03描述法、□04“区间”(以及后面将集合常见的表示方法有：□01自然语言、□02列举法、□要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)．(1)列举法：把集合中的元素□05一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个□06特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．知识点八区间01(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负实数集R可以用区间表示为□无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x< bdsfid="137" p=""></b的实数x<> 02[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．的集合分别表示为□可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【新知拓展】1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．( )(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一且只居其一．( )(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.( )(4)对于区间[2a，a＋1]，必有a<0.( )(5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．( )答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是( )A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，?)填空．0________?，0________{0},0________N，－2________N *，13________Z ，2________Q ，π________R .(3)不等式2x －1≥3的解集可以用区间表示为________．答案 (1)A (2)? ∈ ∈ ? ? ? ∈ (3)[2，＋∞)题型一集合概念的理解例1 下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数全体；④某校高一年级的全体女生；⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员；⑦a ，b ，a ，c .[解析] ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等．②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．③不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合．④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”．⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”．⑥不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．⑦不能构成集合．因为两个a 是重复的，不符合集合元素的互异性． [答案] ①④⑤ 金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素．(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1] 判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合．解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确．(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误． (3)中由于0.5＝12，不符合集合中元素的互异性，故错误．(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确. 题型二元素与集合关系的判断与应用例2 (1)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3?Q ；③0∈N *；④|－4|?N *. A ．1B ．2C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足66－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)∵π是实数，3是无理数，∴①②正确；∵N *表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．(2)∵66－x∈N ，x ∈N ，∴66－x ≥0，x ≥0，即?6－x >0，x ≥0，∴0≤x <6，∴x ＝0,1,2,3,4,5. 当x 分别为0,3,4,5时，66－x相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5. [答案] (1)B (2)0,3,4,5 金版点睛1.常用数集之间的关系2.确定集合中元素的三个注意点1判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性. 2集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性. 3 若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.[跟踪训练2] (1)用符号“∈”或“?”填空．①0________N *；②1________N ；③1.5________Z ；④22________Q ；⑤4＋5________R ；⑥若x 2＋1＝0，则x ________R . (2)设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . ①求实数x 应满足的条件；②若－2∈A ，求实数x 的值．答案(1)①? ②∈ ③? ④? ⑤∈ ⑥? (2)见解析解析(1)①∵0不是正整数，∴0?N *. ②∵1是自然数，∴1∈N .③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5?Z . ④∵22是无理数，∴22?Q .⑤∵4＋5是无理数，无理数是实数，∴4＋5∈R . ⑥∵满足x 2＋1＝0的实数不存在，∴x 为非实数，∴x ?R .(2)①根据集合元素的互异性，可知x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0，且x ≠3且x ≠－1.②∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，∴x ＝－2. 题型三集合中元素的特性例3 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值；(2)若x 2∈B ，求实数x 的值．[解] (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．得a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. 金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3] 已知集合A 包含三个元素：a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，求a 的值．解因为A 包含三个元素a －2,2a 2 ＋5a,12，且－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，解得a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，A 中三个元素为：－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．当a ＝－32时，A 中三个元素为：－72，－3,12，满足题意．故a ＝－32.题型四集合的分类例4 下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集． (1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x 2－1)(x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(5)在实数范围内方程组?x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1的解构成的集合．[解] (1)能构成集合，是无限集．(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集．(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集．(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集． (5)由x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1无解，能构成集合，是空集．金版点睛集合的分类方法判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数．[跟踪训练4] 指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集．(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数．解 (1)中对象能组成集合，它是一个有限集；(2)中对象能组成集合，它是一个无限集；(3)中对象能组成集合，它是一个无限集；(4)中对象能组成集合，它是一个无限集；(5)中对象能组成集合，它是一个空集；(6)中对象能组成集合，它是一个有限集.题型五用列举法表示集合例5 用列举法表示下列集合：(1)方程x 2－4x ＋2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的质数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－4x ＋2＝0的实数根为2，故其实数根组成的集合为{2}．(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为{2,3,5,7}．(3)由?y ＝x ，y ＝2x －1，解得?x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．金版点睛用列举法表示集合应注意的三点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复．(3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．[跟踪训练5] 用列举法表示下列集合：(1)不等式组?2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合；(2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合．解 (1)由?2x －6>0，1＋2x ≥3x －5得3<="">又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}．(2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，则：①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2；③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有值组成的集合为{－2,0,2}. 题型六用描述法表示集合例6 用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合； (3)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合．[解] (1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }．(2)因为被3除余1的整数可表示为3n ＋1，n ∈Z ，所以所有被3除余1的整数的集合为{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }．(3)要使y ＝1x 2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0.由x 2＋x －6＝0，得x 1＝2，x 2＝－3. 所以使y ＝1x 2有意义的实数x 的集合为{x |x ≠2且x ≠－3，x ∈R }．金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．[跟踪训练6] 试用描述法表示下列集合：(1)方程x 2－x －2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解 (1)方程x 2－x －2＝0的解可以用x 表示，它满足的条件是x 2－x －2＝0，因此，方程的解集用描述法表示为{x ∈R |x 2－x －2＝0}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x 表示，它满足的条件是x ∈Z ，且－1<7，<="" bdsfid="371" p=""> 因此，该集合用描述法表示为{x ∈Z |－1<="" 题型七="">例7 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .[解] ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0，∴x ＝2，此时A ＝{2}，符合题意．②当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根．即Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1，从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．[条件探究] 把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合．解由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等的实根．∴?k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1且k ≠0.∴k 的取值范围的集合为{k |k ＜1且k ≠0}．金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)①本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．②由kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0两种情况，注意做到不重不漏．(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点．[跟踪训练7] (1)设集合B ＝?x ∈N62＋x∈N .①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．解(1)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N .当x ＝2时，62＋2＝32?N .所以1∈B,2?B .②∵62＋x ∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6，∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．(2)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系，得2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6.题型八集合中的新定义问题例8 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 根据已知条件，列表如下：由上表可知，B 中的元素有9个，故选D. [答案] D 金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表含树形图使用.[跟踪训练8]定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为( )A．0 B．2C．3 D．6答案 D解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知A*B＝{0,2,4}，故集合A*B 中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.1．下列所给的对象不能组成集合的是( )A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．我班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点答案 C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C.2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0答案 B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A时，6－a ＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a ＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0?A，综上所述，a＝2或4.故选B.3．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.4．用适当符号(∈，?)填空．(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．答案(1)∈(2)∈解析(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，当a＝1时，A＝{1}；当a≠1时，A ＝{1，a}．。

第一章集合与常用逻辑用语知识系统整合规律方法收藏1．集合中元素的三大特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．2．集合的表示方法集合的表示方法的适用条件：(1)列举法：是对有限集且在元素不太多的情况下或元素个数较多且成一定规律时采用的，元素之间用“，”分隔开．(2)描述法：注意集合的代表元素及元素具备的性质．3．集合间的关系处理集合间的关系时需要注意：(1)涉及某些数集是不等式的解集时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系；(2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况；(3)以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想，等价变形思想的灵活运用．4．子集、全集、补集的概念及交集、并集、补集运算的性质子集、全集、补集的概念实质上是生活中的“部分”“全体”“剩余”的概念在数学中的抽象与反应．(1)交集运算的性质A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；如果A⊆B，则A∩B＝A.(2)并集运算的性质A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A；(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；如果A⊆B，则A∪B＝B.(3)补集运算的性质∁U(∁U A)＝A；A∩(∁U A)＝∅；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．5．命题(1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法是：①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明．②从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B 是全体能使条件q 成立的对象x 所构成的集合，此时，命题“若p ，则q ”为真(意思就是“使p 成立的对象也使q 成立”)，当且仅当A ⊆B 时满足．(3)命题的否定：若p 表示命题，则“非p ”表示命题的否定．如果命题是“若p ，则q ”，那么该命题的否定是“若p ，则綈q ”，即只否定结论．6．全称量词、存在量词与全称量词命题、存在量词命题(1)要判定全称量词命题是真命题，需对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．(3)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称量词命题．7．充分条件、必要条件、充要条件关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系进行判断．学科思想培优一、集合问题中三个需注意的问题1．注意集合中的代表元素集合中元素的表现形式是多种多样的，可以是实数x ，实数y ，有序数对(x ，y )，图形等，我们要仔细观察集合中的代表元素．[典例1] 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2＋6x ＋16，x ∈R }，求A ∩B . 解 ∵A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }＝{y |y ＝(x －1)2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}， B ＝{y |y ＝x 2＋6x ＋16，x ∈R }＝{y |y ＝(x ＋3)2＋7，x ∈R }＝{y |y ≥7}，∴A ∩B ＝{y |y ≥7}．2．注意空集的特殊性当B ⊆A 时，B 集合可能为∅，也可能为非空集合，注意不要漏掉B 为空集的情况；另外空集在解集中也非常重要，在题目解答出来后，要检查一下是否漏掉了“空集”这种情况．[典例2] 已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x 2－x ＋p ＝0}，且B ⊆A ，求实数p 的范围． 解 ①当B ＝∅时，B ⊆A ，由Δ＝(－1)2－4p <0，解得p >14. ②当B ≠∅，且B ⊆A 时，方程x 2－x ＋p ＝0存在两个正实根．由x 1＋x 2＝1>0，Δ＝(－1)2－4p ≥0.且x 1x 2＝p >0，得0<p ≤14. 由①②可得p 的取值范围为{p |p >0}．3．注意集合中元素的互异性根据两集合之间的关系进行分类讨论，在求参数取值的过程中，应时刻检验元素的互异性，在确定集合时，尤其是当集合的元素中含有字母时，也要进行检验．[典例3] 已知集合M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t ＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合． 解 ∵M ∪N ＝M ，∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M ，①若t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，而当t ＝1时，M 中两元素不符合互异性，∴t ＝0.②若t 2－t ＋1＝t ，即t 2－2t ＋1＝0，解得t ＝1，由①知不符合题意．综上所述，t 的取值集合为{0}．二、集合中的创新题型创新型试题的特点是：通过给出新数学概念或新运算方法，在新的情境下完成某种推理证明或指定要求．在一一列举时，我们要做到不重不漏．[典例4] 设集合P ＝{3,4}，Q ＝{4,5,6,7}，定义PQ ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则PQ 中元素的个数为________．解析 在集合P 中取一个数作为a 的值，有2种可能；在集合Q 中取一个数作为b 的值，有4种可能．列举如下：(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)．因此PQ 中元素的个数为8.答案 8[典例5] 若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的1种分拆，并规定：当且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆．则集合A ＝{a ，b }的不同分拆有________种．解析 ①当A 1＝∅时，A 2＝A ＝{a ，b }，此时只有1种分拆；②当A 1为单元素集时：A 1＝{a }，A 2＝{b }或A 2＝{a ，b }；A 1＝{b }，A 2＝{a }或A 2＝{a ，b }．此时有4种分拆；③当A 1为双元素集时，A 1＝A ＝{a ，b }，A 2可取A 的任何子集，此时有4种分拆．综上，共有9种分拆．答案 9三、充分条件与必要条件的判定1．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)把复杂的条件(结论)化简；(3)尝试从条件推结论，从结论推条件；(4)确定是什么条件．2．判定充分条件、必要条件常用的方法(1)直接用定义判定；(2)利用集合的关系判定①若A ⊆B ，就是x ∈A 则x ∈B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分条件，x ∈B 是x ∈A 的必要条件； ②若A B ，就是x ∈A 则x ∈B ，且B 中至少有一个元素不属于A ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件；③若A ＝B ，就是A ⊆B 且A ⊇B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分条件，同时x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即x ∈A 是x ∈B 的充要条件；④若A B ，A ⊉B ，则x ∈A 是x ∈B 的既不充分也不必要条件．(3)利用双箭头的传递判定(或称图像法)由于符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递判断所要判断的两个条件之间的依存关系．[典例6] 已知p ：－2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1且互不相等的正实根，试判断p 是q 的什么条件．解 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1且互不相等的正实根，则Δ＝m 2－4n >0，即m 2>4n .设方程的两根为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1，x 1≠x 2，有0<x 1＋x 2<2，且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n .解得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－m <2，0<n <1.所以－2<m <0,0<n <1，且m 2>4n ，即有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12， 那么方程变为x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12<0. 此时方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p ⇒/q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．[典例7] 已知p ：x ∈{x |－2<x －1<2}，q ：x ∈{x |－2<x <3}，问p 是q 的什么条件？ 解 令A ＝{x |－2<x －1<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－2<x <3}．∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件．[典例8] 已知α是β的充要条件，δ是γ的必要条件，同时又是β的充要条件，试求α与γ的关系．解 由已知α⇔β，γ⇒δ，δ⇔β，所以γ⇒δ⇔β⇔α，因此γ⇒α，所以γ是α的充分条件或α是γ的必要条件．四、数学思想方法1．数形结合思想集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助维恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．[典例9] 设A ＝{x |－2<x <－1或x >1}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}．已知A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |1<x ≤3}，试求a ，b 的值．解 可利用数轴分析解答，如图．设想集合B 所表示的范围在数轴上移动，根据A ∪B 和A ∩B 可知集合B 必覆盖住数轴上－1≤x ≤3这一部分．所以当－1≤x ≤3时，由二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图像可知－1与3应是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系可得a ＝－(－1＋3)＝－2，b ＝(－1)×3＝－3.2．分类讨论思想利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题．这是因为，其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对学生能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．[典例10] 已知集合A ＝{x ∈R |kx 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数k 的取值范围；(2)若A 是单元素集合，求k 的值及集合A .解 (1)若A ＝∅，即方程kx 2－3x ＋2＝0无解，若k ＝0，方程有一根x ＝23，不符合题意；若k ≠0，要使方程kx 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8k <0，即k >98，故使A ＝∅的k 的取值范围是k >98. (2)当k ＝0时，由(1)可知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；当k ≠0 时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8k ＝0，所以k ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43. 综上所述，当k ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23；当k ＝98时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43. 3．等价转化思想将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个数学问题难度较大或过于抽象时可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化．[典例11] 已知全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪ y 1－x ＝1.求(∁U B )∩A . 解 全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }是平面上所有点的集合，集合A 是直线x ＋y ＝1上的点的集合，集合B 是直线x ＋y ＝1上除去点(1,0)的所有点的集合，而∁U B 表示平面上除了直线x ＋y ＝1上的所有点以外的点和点(1,0)构成的集合，所以(∁U B )∩A ＝{(1,0)}．4．反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论．从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p ，则綈q ”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，达到证明的目的．反证法是高中数学解题的一种基本方法．[典例12] 如果a，b，c，d为实数，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个负数．证明假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，则a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.因为a＋b＝1，c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0，故由上式可以知道ac＋bd≤1，这与已知条件的ac＋bd>1矛盾，所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数．。

1.2基本逻辑联结词一、学习目标：1、通过数学实例了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

2、通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑在表述和论证中的作用二、学习重点：了解“或”“且”“非”的含义三、教学难点：对“或”的理解及对命题的否定。

四、新知探究1．用逻辑联结词“且”“或”(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“”．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“”．2．如何用集合的观点理解“且”和“或”3．含有逻辑联结词“且”与“或”的命题的真假规律(真值表)：假4.逻辑联结词“非”(1)一般地,对一个命题p加以否定,就得到一个新命题,记作读作(2) 命题“非p”的真假：￢(￢p)= (3)从集合的角度怎样定义“非” (4)关于存在性命题和全称命题的否定为例1．把下列各组命题用“且”联结组成新命题，并判断其真假： （1）p ：10=10， q ：10<10；（2）p ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根， q ：方程0122=++x x 两根的绝对值相等。

（3）p ：lg0.1>0 ， q ：lg11<0（4）p ：x y cos =是周期函数 q ：x y cos =是奇函数例2. 写出下列各命题的非（否定），并判断真假： （1）:p x y tan =是奇函数； （2）2)2(:2-=-q ；（3）:r 抛物线2)1(-=x y 的顶点坐标是（1,0）例3 .写出下列各命题的非，并判断其真假(1)21:,04p x Rx x ∀∈-+≥； (2)s: 至少有一个实数x ，使310x += (3)2:,220r x R x x ∃∈++≤ ；(4)s: 至少有一个实数x ，使310x +=六、当堂检测1.命题“对∀x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对∀x R ∈,都有20x <B ．不存在x R ∈,都有20x <C ．∃0x R ∈,使得200x ≥D ．∃0x R ∈,使得200x <2.已知命题p ：∃x ∈R ，co sx ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()()p q ⌝∧⌝是真命题D ．命题()()p q ⌝∨⌝是真命题★3.对命题p ：“1是集合{}a x x <2|中的元素”，q ：“2是集合{}a x x <2|中的元素”，则a为何值时，“p 或q ”是真命题？a 为何值时，“p 且q ”是真命题？。