2020届 北师大版 常用逻辑用语 单元测试

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1简单的逻辑用语单元检测试题一、选择题1．命题“对任意x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( C )A ．存在x ＞0，x 2＋x ＞0B ．任意x ＞0，x 2＋x ≤0C ．存在x ＞0，x 2＋x ≤0D ．任意x ≤0，x 2＋x ＞0【解析】先把任意“任意”改为存在“存在”，再把结论给予否定．2．命题“若,,,022R b a b a ∈=+则0==b a ”的逆否命题是( D )A ．若R b a b a ∈≠≠,,0则,022=+b a B ．若R b a b a ∈≠≠,,0则022≠+b a C ．若R b a b a ∈≠≠,,00且则022≠+b a D ．若R b a b a ∈≠≠,,00或则022≠+b a【解析】由逆否命题的构成可知答案为D ．3．命题甲：动点P 到两定点A,B 的距离之和a PB PA 2=+（0>a ，常数），命题乙：点P 的轨迹为椭圆，则命题甲是命题乙的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】甲推不出乙，乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件4.命题P:“存在实数m ，使方程012=++mx x 有实数根”，则其否定形式的命题为（ C ）A ．存在实数m ，使方程012=++mx x 无实数根B ．不存在实数m ，使方程012=++mx x 无实数根C ．对任意实数m ，使方程012=++mx x 无实数根D ．至多有一个实数m ，使方程012=++mx x 有实数根【解析】特称命题的否定为全称命题，对其否定时先改量词，后否定结论5．下列命题中，真命题是( B )A ．存在x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2B ．任意x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1 C ．存在x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．任意x ∈(π2，π)，tan x ＞sin x 【解析】对于A ，sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，因此命题不成立；对于B ，x 2－(2x ＋1)＝(x －1)2－2，显然当x ＞3时(x －1)2－2＞0，因此命题成立；对于C ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0，因此x 2＋x ＞－1对于任意实数x 成立，所以命题不成立；对于D ，当x ∈(π2，π)时，tan x ＜0，sin x ＞0，显然命题不成立．6．已知命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；命题q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使命题“p 且q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( C )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】命题“p 且q ”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点P 既在直线y ＝2x －3上，又在直线y ＝－3x ＋2上，即点P 是这两条直线的交点．7.命题“若△ABC 有一个角为3π，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( D ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题【解析】互为逆否的两个命题同真同假，故选B8.已知半径为r 的圆的圆心到直线的距离为d ，命题P:⇔<r d 直线与圆相交，命题⇔=r d q :直线与圆相切，则下列判断正确的是（ A ）A.P 或q 为真，P 且q 为真，非p 为假B.P 或q 为真，P 且q 为假，非p 为真C.P 或q 为假，P 且q 为假，非p 为假D.P 或q 为真，P 且q 为假，非p 为假【解析】因为P 为真，q 为真，所以P 或q 为真，P 且q 为真，非p 为假9．若函数f(x)＝x 2＋a x (a ∈R)，则下列结论正确的是( C )．A ．∀a ∈R ，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f(x)是偶函数D ．∃a ∈R ，f(x)是奇函数【解析】对于A 只有在a ≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f(x)＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f(x)是偶函数．10．已知集合A ＝{x ∈R|12＜2x ＜8}，B ＝{x ∈R|－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( C )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．－2＜m ＜2【解析】A ＝{x ∈R|12＜2x ＜8}＝{x|－1＜x ＜3}．∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A ⊆B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.二、填空题11．已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d 的命题否定为【解析】若p 则q 的命题否定为若p 则非q ，所以命题“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”的否定为：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ≠b ＋d12．若向量),)(3,(R x x a ∈=→则“4=x ”是“5=→a ”的条件【解析】当4=x 时，5=→a ；当5=→a 时，2592=+x ，即162=x ，所以4±=x ，所以“4=x ”是“5=→a ”的充分不必要条件13若命题“存在R x ∈，022≤++a x x ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为存在R x ∈，022≤++a x x 是假命题，即对任意R x ∈，022>++a x x 为真命题，所以x x a 22-->，即1)2(max 2=-->x x a ，所以实数a 的取值范围是1>a14．已知:p 054:,0312<--<-x x q x ，若q p 且为假命题，则x 的取值范围________． 【解析】若p 为真：则3<x ，；若q 为真，则-1<x<5，所以q p 且为真命题时，31<≤-x 又因为q p 且为假命题，∴x 的取值范围为31≥-≤x x 或三、解答题15．命题：已知b a ,为实数，若02≤++b ax x 有非空解集，则042≥-b a 。

单元质检卷一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018河北衡水中学押题二,1)设集合A={x|-2<x<3,x∈Z},B={-2,-1,0,1,2,3},则集合A∩B为()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3}2.命题“若α=,则sin α=”的逆否命题是()A.若α≠,则sin α≠B.若α=,则sin α≠C.若sin α≠,则α≠D.若sin α≠,则α=3.(2018湖南长郡中学一模,5)“|x-2|≤5”是“-3≤x≤7”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,2x∈B,则()A.p:存在x0∈A,2x0∈BB.p:存在x0∉A,2x0∈BC.p:存在x0∈A,2x0∉BD.p:任意x∉A,2x∉B5.( 2018河北石家庄一模,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={x|x≥3,x∈N},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5,6,7}C.{1,3,4,7}D.{1,4,7}6.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列结论不一定成立的是()A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<07.下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d8.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=,则集合A∩(∁U B)=()A.[-2,4)B.(-1,3]C.[-2,-1]D.[-1,3]9.(2018湖南名校联考,4)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.命题“若xy=0,则x=0”的逆否命题为真C.命题“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是:“任意x∈R,均有x2+x+1≥0”D.“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.311.已知命题p:存在x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(q)C.(p)且qD.(p)且(q)12.(2018湖南长郡中学四模,7)已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:x2-6x+9-m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.[-1,1]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-1]∪[4,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2-6x+5≤0,x∈Z},则∁U M=.14.若存在x0∈R,使得-2mx0+9≤0成立,则实数m的取值范围为.15.(2018河北衡水中学押题三,16)已知下列命题:①命题“任意x∈R,x2+3<5x”的否定是“存在x0∈R,+3<5x0”;②已知p,q为两个命题,若“p或q”为假命题,则“(p)且(q)为真命题”;③“a>2 016”是“a>2 018”的充分不必要条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中,所有真命题的序号是.16.已知命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;命题q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,且p 或q为真命题,p且q为假命题,则实数m的取值范围是.参考答案单元质检卷一集合与常用逻辑用语1.B集合A={x|-2<x<3,x∈Z}={-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={-1,0,1,2},故选B.2.C根据互为逆否命题的两个命题的特征解答,即“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.3.C由|x-2|≤5可得-5≤x-2≤5,解得-3≤x≤7,故“|x-2|≤5”是“-3≤x≤7”的充要条件,故选C.4.C原命题的否定是存在x0∈A,2x0∉B.5.A∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={x|x≥3,x∈N},∴∁U A={1,2}.故选A.6.C因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D 均正确.因为b可能等于0,也可能不等于0,所以cb2<ab2不一定成立.7.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;∵当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;∵<,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.故选C.8.D由题意知A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥4或x<-1},∁U B={x|-1≤x<4},所以A∩(∁U B)={x|-1≤x≤3},故选D.9.C A中,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,故错误;B中,命题“若xy=0,则x=0”为假命题,故其逆否命题为假命题,故错误;C中,命题“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是“任意x∈R,均有x2+x+1≥0”,正确;D中,“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件,故错误.故选C.10.A由题意得A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3,故选A.11.B当x=0时,x2-x+1=1≥0,故命题p为真命题.取a=1,b=-2,则a2<b2,但a>b,故命题q为假命题,所以p且(q)为真命题.12.C∵p:x2-3x-4≤0,∴P=[-1,4].∵q:x2-6x+9-m2≤0,当m>0时有Q=[3-m,3+m];当m<0时有q=[3+m,3-m];当m=0时有q={3}.因为p是q的充分不必要条件,所以P⊆Q且P≠Q.因此或⇒m≥4或m≤-4,选C.13.{6,7}∵集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2-6x+5≤0,x∈Z}={x|1≤x≤5,x∈Z}={1,2,3,4,5},则∁U M={6,7}.14.{m|m≥3或m≤-3}由题意知函数f(x)=x2-2mx+9的图像与x轴有交点,即Δ=4m2-36≥0,所以m≥3或m≤-3.15.②①命题“任意x∈R,x2+3<5x”的否定是“存在x0∈R,+3≥5x0”;②已知p,q为两个命题,若“p或q”为假命题,则“(p)且(q)=(p或q)为真命题”;③“a>2 016”是“a>2 018”的必要不充分条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”是假命题,则它的逆否命题为假命题.其中,所有真命题的序号是②.16.(-∞,-2]∪[-1,3)设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由题意得得m<-1,故p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,故q为真时,-2<m<3.由p或q为真命题,p且q为假命题,可知命题p,q一真一假.当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3.故实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).。

第一章常用逻辑用语测试题一、选择题（每小题4分，共32分）1 •若命题“ p q”为假，且“ 一p”为假，则（）A p或q为假B. q假C. q真 D .不能判断q的真假2.下列命题中的真命题是（）A. ... 3是有理数 B . 2 2是实数C. e是有理数 D . ：x|x是小数［二R3.有下列四个命题：①“若x ^0 ,则x, y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q乞1 ,则x22x ^0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A.①②B.②③C.①③ D .③④_ 14.设a R，则a 1是1的（）aA充分但不必要条件 B .必要但不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件2 25.命题：“若a b = 0（a, b R），则a = b =0 ”的逆否命题是（A.若a = b = 0(a,b R)，则a2 b2严0B.若a =b =0(a,b R)，则a2 b2 = 0C.若a = 0,且b = 0(a, b R)，则a2 b2 = 0D.若a=0,或b=0(a,b R)，则a2b2 = 06.若a,b・R,使a|—|b 1成立的一个充分不必要条件是（）A. a+b >1 B . a 色1 C . a >0.5,且b^0.5 D . b < —12 U7. p: x-!, x2是方程ax ■ bx ■ c =0(a = 0)的两实数根；q : x1 x2,a则p是q的________ 条件。

A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件&命题p:若a,b E R，贝y a + b| >1是a +b >1的充分而不必要条件；命题q :函数y =』x —1 — 2的定义域是（—oci, _1〕U【3, xc）则（）A. “ p或q ”为假 B . “ p且q ”为真C . p真q假 D. p假q真二、填空题（每小题4分，共32分）1.有下列四个命题：①、命题"若xy =1，则x, y互为倒数”的逆命题；②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③、命题"若m込1,则x2-2x - m = 0有实根”的逆否命题；④、命题“若A" B二B，贝U A二B ”的逆否命题。

第一章单元质量评估(一)时限：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列语句中是命题的是( C ) A ．数列都有通项公式吗？ B ．x >0 C ．直线都有斜率D ．加油！解析：选项A 是疑问句，选项D 是感叹句，选项B 不能判断真假，故选C. 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( C ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形解析：命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．故选C.3．已知命题p ：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2，下列说法正确的是( B ) A ．p 的否定是真命题 B ．p 的否命题是真命题 C ．p 的逆命题是假命题D ．p 的逆否命题是假命题解析：命题p 的否命题是：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1，且x ≠2，是真命题．又因为p 是真命题，所以p 的逆命题是真命题，逆否命题是真命题，p 的否定是假命题，故选B.4．已知a ，b 为实数，则“a <0且b <0”是“a ＋b <0且ab >0”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a <0且b <0时，有a ＋b <0且ab >0；当a ＋b <0且ab >0时，由ab >0可得a ，b 同号，再由a ＋b <0可得a <0且b <0.故选C.5．命题“对任意的x ∈R ，都有x 2－2x ＋4≤0”的否定为( C ) A ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋4≥0 B ．对任意的x ∈R ，都有x 2－2x ＋4>0 C ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋4>0 D ．存在x ∉R ，使x 2－2x ＋4>0解析：全称命题的否定是特称命题，x 2－2x ＋4≤0的否定是x 2－2x ＋4>0.故选C. 6．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由0<x <π2知0<sin x <1，若x sin x <1，则x sin 2x <1；若x sin 2x <1，而x sin x 不一定小于1.7．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a c 2>bc 2”是“a >b ”的充要条件，则( A )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假解析：由x >3能够得出x 2>9，反之不成立，故命题p 是假命题；由a c 2>bc 2能够推出a >b ，反之，因为1c 2>0，所以由a >b 能推出a c 2>bc2成立，故命题q 是真命题．因此选A.8．设p ，q 是两个命题，则新命题“綈(p 或q )为假，p 且q 为假”的充要条件是( C ) A ．p ，q 中至少有一个为真 B ．p ，q 中至少有一个为假 C ．p ，q 中有且只有一个为假D ．p 为真，q 为假解析：由綈(p 或q )为假知p 或q 为真，又p 且q 为假，故p ，q 中一真一假，故选C. 9．给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：“cos α＝cos β”成立的一个充分不必要条件是“α＝2k π＋β(k ∈Z )．” 则下列命题中的真命题为( D ) A ．p 1或p 2 B ．p 2且p 3 C ．p 1或(綈p 3)D ．(綈p 2)且p 3解析：对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝⎛⎭⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题； 对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题．所以(綈p 2)且p 3为真命题，故选D.10．下列说法正确的是( B )A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0>0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立”D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析：A ：命题的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”，∴A 错误；B ：命题的逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，易知为真命题，∴B 正确；C ：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C 错误；D ：若函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则a ＝0符合题意．当a ≠0时，Δ＝4＋4a ＝0，即a ＝－1，故逆命题是假命题，∴D 错误．11．已知命题p ：存在x ∈(－∞，0)，2x <3x ，命题q ：任意x ∈(0,1)，log 2x <0，则下列命题为真命题的是( C )A ．p 且qB ．p 或(綈q )C ．(綈p )且qD ．p 且(綈q )解析：由指数函数的图像与性质可知，命题p 是假命题，由对数函数的图像与性质可知，命题q 是真命题，则命题“p 且q ”为假命题，命题“p 或(綈q )”为假命题，命题“(綈p )且q ”为真命题，命题“p 且(綈q )”为假命题，故选C.12．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，14C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解析：当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0.当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m .由题意知f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，解得m ≥14，故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是圆的切线到圆心的距离等于半径．解析：逆否命题只需将原命题的条件与结论变换并否定即可．逆否命题为：圆的切线到圆心的距离等于半径．14．已知命题“存在x 0∈R ，x 20－5x 0＋152a ≤0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是(56，＋∞)． 解析：由“存在x 0∈R ，x 20－5x 0＋152a ≤0”的否定为真命题，可知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0恒成立，故方程x 2－5x ＋152a ＝0的判别式Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为(56，＋∞)．15．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 解析：2x －1x －1<0，即(2x －1)(x －1)<0，即12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a＋1.由题意得⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤12.16．已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，若命题“∀x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)．解析：若命题“∀x ∈(0,1)，f (x )＝a 2x －2a ＋1≠0”是假命题，则原命题的否定是“∃x 0∈(0,1)，f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)·f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，即(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b )(b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题．所以对∀a ∈(0，b ]，2π1a ≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.18．(本小题12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (2)任意x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2；(3)存在x ∈{x |x ∈Z }，log 2x >2.解：(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (2)命题中含有全称量词“任意”，是全称命题，真命题． (3)命题中含有存在量词“存在”，是特称命题，真命题．19．(本小题12分)(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)由x 2－x －2>0得x >2或x <－1；由4x ＋p <0得x <－p4.当－p 4≤－1，即p ≥4时，x <－p4≤－1，则x <－1，则x 2－x －2>0.故存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，此时，p 的取值范围是[4，＋∞)．(2)因为x 2－x －2>0⇒4x ＋p <0，所以不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．20．(本小题12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若“p 且q ”为假，綈q 为假，求a 的取值范围．解：由题意知当p 为真时，0<a <1，当q 为真时，a >52或a <12，因为“p 且q ”为假，“綈q ”为假，所以p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >52或a <12.即a >52. 21．(本小题12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)p 、q 至少有一个是真命题； (2)p 或q 是真命题且p 且q 是假命题．解：∵关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅. ∴Δ＝(a －1)2－4a 2<0即a <－1或a >13，∴p ：a <－1或a >13，綈p ：－1≤a ≤13.∵函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数，∴2a 2－a >1，即a <－12或a >1，∴q ：a <－12或a >1，綈q ：－12≤a ≤1.(1)若(綈p )且(綈q )为真，则－12≤a ≤13，∴p 、q 至少有一个是真时a <－12或a >13.(2)∵p 或q 是真命题且p 且q 是假命题，∴p 、q 一真一假，∴綈p 且q 为真时⎩⎨⎧－1≤a ≤13，a <－12或a >1，即－1≤a ＜－12，∴p 且(綈q )为真时⎩⎨⎧a <－1或a >13，－12≤a ≤1，即13<a ≤1. ∴p 或q 是真命题且p 且q 是假命题时，－1≤a <－12或13<a ≤1.22．(本小题12分)已知P ：x 2－8x －20≤0，Q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)． (1)若P 是Q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若S ：P 是Q 的充分不必要条件，T ：0<m <10，满足“S 或T ”为真，“S 且T ”为假，求实数m 的取值范围．解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，若P 是Q 的充分条件，则x 2－2x ＋1－m 2≤0在[－2,10]上恒成立，即m 2≥(x －1)2在[－2,10]上恒成立， 因为当x ＝10时(x －1)2取最大值81，所以m 2≥81，易知m 2≥81时，P 不是Q 的必要条件，又m >0，所以m 的取值范围为[9，＋∞)． (2)由(1)知S ：m ≥9.若“S 或T ”为真，“S 且T ”为假，则S 、T 一真一假．所以⎩⎨⎧ m ≥9，m ≥10或⎩⎨⎧0<m <9，0<m <10解得0<m <9或m ≥10，即m 的取值范围为(0,9)∪[10，＋∞)．。

第一章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列语句中是命题的个数(B)①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”③“一个数不是正数就是负数”；④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”．A．1 B．2 C．3 D．4解析：根据命题的概念，判断是不是命题．①不是陈述句，不是命题．②疑问句，没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题.0既不是正数也不是负数．④是假命题．如x＝3，y＝－ 3.⑤是祈使句，不是命题．解析：3．下列命题中特称命题的个数为(C)①存在一个有理数，它是无限不循环小数；②不是所有的梯形都是直角梯形；③平行四边形是矩形．A．0 B．1 C．2 D．3解析：①②是特称命题，③是全称命题．4．已知命题p：任意x∈R，x>sin x，则命题p的否定形式为(C)A．非p：存在x∈R，x<sin x B．非p：任意x∈R，x≤sin xC．非p：存在x∈R，x≤sin x D．非p：任意x∈R，x<sin x解析：命题p是全称命题，则它的否定是一个特称命题，即“存在x∈R，x≤sin x”．5．若非空集合M⊆N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ∈N ，则有可能a ∉(M ∩N )．6．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( D ) A ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数 B ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数 C ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数 D ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析：存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D.7．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )>0的一个必要而不充分条件是( C ) A ．x <0 B ．x <0或x >4 C ．|x －1|>1D ．|x －2|>3解析：A 是充分条件，B 是充要条件，D 是充分条件． 8．下列命题正确的是( A )A ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件 B ．命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0 C ．已知p ：1x ＋1>0，则綈p ：1x ＋1≤0D ．存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立解析：对于选项A ，在△ABC 中大边对大角，由a >b 得A >B ，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A <cos B ；又由A ，B ∈(0，π)，cos A <cos B 时得A >B ，故a >b ，故选项A 正确． 对于选项B ，命题p 的否定綈p 应为：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0，故选项B 不正确． 对于选项C ，p ：1x ＋1>0⇔p ：x >－1，故綈p 为x ≤－1，而不是1x ＋1≤0，故选项C 不正确．对于选项D ，sin x ＋cos x 的最大值为2，小于π2，故选项D 不正确．9．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >0>b ，则1a <1b .给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q .其中真命题的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由已知得，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故命题①④为真命题． 10．下列命题中真命题的个数是( B ) ①任意x ∈R ，x 4>x 2；②若p 且q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对于①，当x ＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题． 对于②，p ，q 有一个为假时，p 且q 也为假，故②为假命题． ③为真命题．故真命题有1个．11．已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( A )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：由已知可得p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤1，由命题q 为真，得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2或a ＝1.12．已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像过点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么y ＝f (x )的图像关于(3,0)对称，则( C )A ．p 且q 为真B ．p 或q 为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：p 真q 假，p 且q 为假，p 或q 为真．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为若a ≤b ，则2a ≤2b －1. 解析：一个命题的否命题是对条件和结论都否定．14．命题：存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立的否定是对任意实数对，2x ＋3y ＋3≥0恒成立．解析：特称命题的否定是全称命题． 15．已知命题p ：不等式xx －1<0的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是①③.解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，∴命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．16．设命题p ：点(2x ＋3－x 2，x －2)在第四象限，命题q ：x 2－(3a ＋6)x ＋2a 2＋6a <0，其中a >－6.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是[－2，－1]．解析：命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3－x 2>0，x －2<0⇔－1<x <2，所以命题綈p ：x ≤－1或x ≥2.命题q ：a <x <2a ＋6，所以命题綈q ：x ≤a 或x ≥2a ＋6.设集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，N ＝{x |x ≤a 或x ≥2a ＋6}．由题意，得N 是M 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1，2a ＋6>2或⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，2a ＋6≥2，解得－2<a ≤－1或－2≤a <－1，即－2≤a ≤－1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)把下列命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sin α＝sin β；(2)若梯形的对角线相等，则梯形为等腰梯形． 解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β； 否命题：若α≠β，则sin α≠sin β； 逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等； 否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形； 逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．18．(本小题12分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明：(1)充分性：∵0<m <13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3m >0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0，解得0<m <13. 综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.19．(本小题12分)若命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p ，若綈p 是假命题，求实数a 的取值范围．解：綈p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上不是减函数． ∵綈p 是假命题，∴p 是真命题．∴－(a －1)≥4.∴a ≤－3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－3]．20．(本小题12分)设p ：关于x 的不等式a x >1(a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求a 的取值范围．解：当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，即a >12，∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12.又p 和q 有且仅有一个为真命题．∴当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1.综上得，a ∈(0，12]∪(1，＋∞)．21．(本小题12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：∵x 2－4ax ＋3a 2＝(x －3a )(x －a )<0，又a >0， ∴命题p ：a <x <3a .∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(x ＋2)≤0，(x ＋4)(x －2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x >2或x <－4.∴命题q ：2<x ≤3.(1)当a ＝1时，p ：1<x <3，又“p 且q ”为真，∴⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3.∴2<x <3. (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴綈p ⇒綈q ，即q ⇒p .∴⎩⎨⎧a ≤2，3a >3.∴1<a ≤2.22．(本小题12分)已知命题：∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“任意x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}． (2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集．∴2＋a ≥2，此时a >1；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，满足题设条件：③当3a <a ＋2，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则有3a ≥2，此时a ∈[23，1)．综上①②③可得a ∈[23，＋∞)．。

第一章单元质量评估第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，能作为命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝0答案 A解+析根据命题的概念知，语句A，B，C，D中，只有A能做出判断．2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解+析由特称命题的否定是全称命题可知结果．3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案 B解+析一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题为已知命题的逆否命题．4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件答案 A解+析由正弦定理，知a≤b⇔2RsinA≤2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA≤sinB.故选A.5．下列命题中，真命题是()A ．存在m ∈R ，使函数f(x)＝x 2＋mx(x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f(x)＝x 2＋mx(x ∈R )是奇函数C ．任意m ∈R ，函数f(x)＝x 2＋mx(x ∈R )都是偶函数D ．任意m ∈R ，函数f(x)＝x 2＋mx(x ∈R )都是奇函数 答案 A解+析 由于当m ＝0时，函数f(x)＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f(x)＝x 2＋mx(x ∈R )为偶函数”是真命题，选A.6．若綈A ⇔綈B ，綈C ⇒綈B ，则A 是C 的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解+析 由已知可得：A ⇔B ，B ⇒C ，∴A ⇒C.7．下列各组命题中，满足“‘p 或q ’为真，‘p 且q ’为假，‘綈p ’为真”的是( ) A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；q ：y ＝sinx 在第一象限是增函数 C ．p ：a ＋b ≥2ab(a ，b ∈R )；q ：不等式|x|>x 的解集是(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1>0 答案 C解+析 A 中，p ，q 为假命题，不满足“p 或q ”为真．B 中，p 是真命题，则“綈p ”为假，不满足题意．C 中，p 是假命题，q 为真命题，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“綈p ”为真，故C 正确．D 中，p 是真命题，不满足“綈p ”为真．故选C.8．在三角形ABC 中，A>B ，给出下列命题：①sinA>sinB ；②cos 2A<cos 2B ；③tan A 2>tan B 2.其中正确的命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解+析 当A ，B 均为锐角时，由函数的单调性及不等式的性质知都成立；当B 为锐角，A 为钝角时，又有A ，B 为三角形的内角，所以π2<A<π，0<B<π2，A ＋B<π，即π4<A 2<π2，0<B2<π4，B<π－A<π2，即tan A 2>tan B2，sinB<sin(π－A)＝sinA ，cosB>cos(π－A)＝－cosA>0，所以cos2A<cos2B.9．已知命题p：“任意x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x0∈R，x02＋2ax0＋2－a ＝0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件是()A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1 D．－2≤a≤1答案 A解+析p真即a≤x2在1≤x≤2范围内恒成立，因为x2∈[1，4]，所以a≤1；q真等价于Δ＝4a2－4(2－a)≥0恒成立，即a2＋a－2≥0.所以a≥1或a≤－2.要使p且q为真，则a的取值范围为a＝1或a≤－2.故选A.10．下面说法正确的是()A．命题“存在x0∈R，使得x02＋x0＋1≥0”的否定是“任意x∈R，使得x2＋x＋1≥0”B．实数x>y是x2>y2成立的充要条件C．设p，q为简单命题，若“p或q”为假命题，则“綈p或綈q”也为假命题D．命题“若α＝0，则cosα＝1”的逆否命题为真命题答案 D解+析对于A，命题的否定是：“任意x∈R，使得x2＋x＋1<0”，故不正确，对于B，由x>y x2>y2，且x2>y2x>y，故不正确．对于C，若“p或q”为假命题，则“綈p且綈q”为真命题，故不正确．对于D，若α＝0，则cosα＝1是真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确．11．若命题“存在x0∈R，使得x02＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2，6] B．[－6，－2]C．(2，6) D．(－6，－2)答案 A解+析∵命题“存在x0∈R，使得x02＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.12．已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对任意x 1∈[0，3]，存在x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 答案 A解+析 当x ∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x ∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min≥g(x)min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若否命题为“若x ＋y ≤0，则x ≤0或y ≤0”，则相应的原命题是________________________________________________________________________． 答案 若x ＋y>0，则x>0且y>0解+析 否命题是以原命题的条件的否定作为条件，结论的否定作为结论，故原命题为：若x ＋y>0，则x>0且y>0.14．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解+析 对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )在直线y ＝2x ＋1上，所以a n ＝2n ＋1，则数列{a n }为等差数列；而{a n }为等差数列，例如a n ＝3n －5是以3为公差，以－2为首项的等差数列，点(n ，a n )却不都在直线y ＝2x ＋1上．15．在横线上分别填上由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ” “綈p ”形式的复合命题的真假：p ：3×3＝6，q ：3＋3＝6， 则p ∨q________，p ∧q________，綈p________． 答案 真 假 真16．设a 为实常数，y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝9x ＋a 2x ＋7.若“存在x ∈[0，＋∞)，f(x)<a ＋1”是假命题，则a 的取值范围为________． 答案 a ≤－87解+析 y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，故可求解+析式为f(x)＝⎩⎨⎧9x ＋a 2x－7，x>0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x<0.又“∃x ≥0，f(x)<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f(x)≥a ＋1是真命题，①当x ＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1，②当x>0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a|－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)写出命题“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解+析 原命题：“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”，为真命题． 逆命题：“若x ＋y ≥5，则x ≥2且y ≥3”，为假命题． 否命题：“若x<2或y<3，则x ＋y<5”，为假命题． 逆否命题：“若x ＋y<5，则x<2或y<3”，为真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0； (3)等圆的面积相等、周长相等．解+析 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是非p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”， 注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－14时，一元二次方程没有实数根，因为非p 是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是非p ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0； 利用配方法可以证得非p 是一个真命题，所以原命题是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是非p ：“存在一对等圆其面积不相等或周长不相等”， 由平面几何知识知非p 是一个假命题， 所以原命题是一个真命题．19．(12分)指出下列各题中p 是q 的什么条件． (1)p ：(x ＋2)(x －3)＝0，q ：x ＋2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形； (3)在△ABC 中，p ：A>B ，q ：BC>AC.解+析 (1)∵(x ＋2)(x －3)＝0x ＋2＝0(可能x －3＝0)，而x ＋2＝0⇒(x ＋2)(x －3)＝0，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等．∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (3)在△ABC 中，大边对大角，大角对大边， ∴A>B ⇔BC>AC.故p 是q 的充要条件．20．(12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解+析 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x<1或x>5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x<m －1或x>m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4. 21．(12分)设命题p ：存在x 0∈R ，使x 02＋2ax 0－a ＝0成立．命题q ：任意x ∈R ，都有ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1.如果命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解+析 当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a ≥0得a ≥0或a ≤－1，当命题q 为真时，(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴a ＋2>0且16－4(a ＋2)(a －1)≤0，即a ≥2. 由题意得，命题p 和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，得a ≤－1或0≤a<2； 当命题p 为假，命题q 为真时，得a ∈∅； ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，2)． 22．(12分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题． 解+析 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0， 即a>13或a<－1.乙命题为真时，2a 2－a>1，即a>1或a<－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a<－12或a>13. (2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a<－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |13<a ≤1或－1≤a<－12.。

第一章常用逻辑用语一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意x∈R，e x＞x2”的否定是( )A．存在x∈R，使得e x≤x2B．任意x∈R，使得e x≤x2C．存在x∈R，使得e x＞x2D．不存在x∈R，使得e x＞x2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，e x≤x2”．2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又aα，∴a⊥b.3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( ) A．(非p)或q B．p且qC．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)解析：选D.∵p真q假，∴非p假，非q真，故选D.4．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是( )A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B.l∥α，lα，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，lα，mα，则l∥α.6．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.∵p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.7．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列命题不正确的是( )A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D.对D，m与n可能平行，也可能异面，D不正确，A、B、C中命题均正确．8．下列命题中，真命题是( )A．任意x∈R，x2≥xB．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题C．存在x∈R，x2≥xD．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题解析：选C.对A，当x∈(0，1)时，A为假命题；B的逆命题为：“若x2＝1，则x＝1”，此命题为假命题，B为假命题；对C，当x＝1时成立，C为真命题；对D，D的逆否命题为：“若sin x＝sin y，则x＝y”．此命题为假，例如sin 30°＝sin 150°，但30°≠150°，D为假命题，故选C.9．已知a、b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)＝a·b x2＋(b2－a2)x－a·b，若“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”，则a·b＝0，即“a⊥b”；若“a⊥b”，当a2＝b2时，f(x)＝0，就不是一次函数，故“a⊥b”，是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的必要不充分条件．10．命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，log2x＋m＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是( )A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1解析：选C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________．解析：由题意x＝2⇒x2－2x＋c＝0，∴22－2×2＋c＝0，∴c＝0.答案：012．若命题“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，∴其否定：“对任意x＜2 014，x≤a”为真命题，∴a≥2 014.答案：[2 014，＋∞)13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b－c)，则a·(b －c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．答案：充要14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假，则实数m的取值范围是________．解析：p或q为假，则非p和非q均为真．非p：对任意x∈R，mx2＋1＞0为真时，m≥0；非q：存在x∈R，x2＋m＋1≤0为真时，Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2，故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤－2或m≥2}＝{m|m≥2}．答案：[2，＋∞)15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P­AD1­C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.其中真命题的编号是________．解析：对①，P在直线BC1上运动时，S△AD1P为定值，C到底面AD1P的距离为定值，①为真命题；对②，P在直线BC1上运动时，P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变，但线段OA的长是变化的；∴②是假命题；对③，由于BC1∥AD1，③为真命题；对④，由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等，又D1A1平面A1B1C1D1，④为真命题．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假：(1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；(3)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x∈(0，＋∞)，使x≥4或x2＋5x－24≠0显然为真命题．17．(本小题满分10分)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由非p 是非q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A 是B 的真子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.(等号不同时成立) 故所求实数a 的取值范围是[0，12]． 18．(本小题满分10分)已知命题p ：函数y ＝(a －1)x 在R 上单调递增，命题q ：不等式x ＋|x －3a |＞1的解集为R ，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则a －1＞1⇒a ＞2，q 真⇔x ＋|x －3a |＞1恒成立，设h (x )＝x ＋|x －3a |，则h (x )min ＞1.∵h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3a ，x ≥3a 3a ， x ＜3a，易知h (x )min ＝3a ， ∴3a ＞1，即a ＞13. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则a ＞2且a ≤13，矛盾． ②若p 假q 真，则a ≤2且a ＞13⇒13＜a ≤2， 综上可知，a 的取值范围是(13，2]． 19．(本小题满分12分)已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，结合集合M ，P 可得－3≤a ≤5.故－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的必要条件．下面证明这个条件也是充分的．证明：当－3≤a ≤5时，集合P ＝{x |a ≤x ≤8}，集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，故M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}． 综上可知，－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．20．(本小题满分13分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1，0)，是否存在常数a ，b ，c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？ 解：假设存在常数a ，b ，c 使题设命题成立．∵f (x )图像过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故有a ＋b ＋c ＝1.∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a ， ∴x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0，1－8a （1－2a ）≤0，a ＞0，1－2a ＞0，∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14. ∴存在一组常数a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．。