高三数学三角函数的求值

三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。

求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步 利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为 ．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ） 当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】 试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ） 个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（ ）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。

三角函数例1：求)35cos()65sin()613cos()37sin()425(325cos625sinπππππππ-----+-++tg 的值解：213cos6sin6cos3sin43cos6sin-=⋅+--+=πππππππtg例2：已知tan(α-β)=1/2,tan β=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。

分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。

解：tan α=tan[(α-β)+β]=31171217121=⋅+-，∴α∈（0，4π） tan β=-71 ∴β∈（,2ππ），∴2α-β∈（-π，0） tan2(α-β)=341141=-∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]=713471341⋅+-=1 所以2α-β=-43π例3：已知tan2θ=-22，θ∈（24,ππ），求：)sin()sin(31sin cos 23322θθθππθ-⋅+--的值。

解：原式=43232cos sin cos +-θθθ∵tan2θ=-22,2θ∈(2π,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=22,x=1,则r=3∴cos2θ=31-,sin θ=33sin , 3622cos 1==-θθ所以原式=)21(443633633-=+--例4：化简：)tan(tan tan tan )tan(βααβαβα+⋅--+解：∵tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)ββααβαβαβααβαβαβαβααβαβαtan )tan(tan tan tan )tan()tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(=+⋅⋅⋅+=+-+-+=+⋅--+∴说明：这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+变形，把tan α+tan β用α+β的正切及tan α²tan β来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)²tan2α+tan(75°-α) ²tan2α的值等等。

三角函数方法谈三角函数是数学④的重点内容，也是高考考查的着力点，其中三角函数的概念与性质常以选择题、填空题的形式出现，三角恒等变换常以解答题的形式出现，它们多是容易题或中档题，是不应失分的题目．因为三角函数内容丰富、公式众多，考查形式灵活，其题目也绚丽多姿．本文针对三角函数的六类重、热点问题归纳总结，以巩固所学，提高能力，实现三角函数知识的升级． 一、单调性问题此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解． 例1（07湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：函数()f x 的单调增区间．解析：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=．当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z）时，函数()f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．点评：①在求单调区间时，要注意利用诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数。

②在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时还应注意ω的正、负，同学们可以自己求一下π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下．二、根据三角函数性质确定函数解析式问题这类问题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.关键是根据图象的位置求出相关参数A ，ω，θ等。

例2（江西）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；的中点，当0y =，（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．解析：（1）将0x=，y =2cos()y x ωθ=+cos θ=，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT=，且0ω>，得2π2π2T πω===． （2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，0y =P的坐标为0π22x ⎛- ⎝． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 46x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=，即02π3x =或03π4x =．解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数θ的值，根据题意图象与y 轴相交于点(0建立等式关系凭借θ的限制条件就能确定θ的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点00()Q x y ，将点P 表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可. 三、求值与证明问题此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键． 例3（2007四川）已知cos α=71,cos(α-β)＝1413，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.解析：（Ⅰ）由1cos 7α=，π02α<<，得sin 7α===．∴sin 7tan cos 1ααα===于是22tan tan 21tan ααα===-． （Ⅱ）由π02βα<<<，得02παβ<-<．又∵13cos()14αβ-=，∴sin()14αβ-===()βααβ=--，得cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317142=⨯+=，∴π3β=．点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．根据已知求解具有限制条件角的三角函数值时，首先确定所求角的范围，然后适当进行角的变换利用三角公式进行求值即可. 四、最值或值域问题这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域．解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角． 例4（2007湖北理）已知ABC △的面积为3，且满足0≤AC AB ∙≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．解析：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 点评：本题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 五、实际应用问题这类问题主要考查利用三角函数的性质及三角恒等变换解决有关实际应用问题．解题的关键是利用三角函数表示出各有关元素，从而建立起函数关系．例5（2007海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得B C D B DC C D s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．点评：本题考查正弦余弦定理应用及应用所学知识解决实际问题的能力.解三角形应按照由易到难的顺序来求解，选用边角时尽量避免复杂运算，有时需要对一些复杂图形特殊处理，平面几何知识“功不可没”.例6如图，扇形AOB 的半径为1，中心角为600,PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时， 矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。

（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。

专题07 三角函数求值【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+ 故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15 BC．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=， 故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【答案】10【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==， 因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4525210α-=+⨯=. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】一般在选择题或填空题中进行考查，分值5分，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力.【答题模板】已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．【方法总结】1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵.如1±sin2α＝(sinα±cosα)2有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2.余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的．3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4.熟知一些恒等变换的技巧（1）公式的正用、逆用及变形用．（2）熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，3α是23α的半角，2α是4α的倍角等．（3）在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝πtan4，1＝sin2α＋cos2α等．（4）在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学】A ．2- B ．2C ．12-D ．122．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学】已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为 A ．1825 B ．1825± C ．725D ．725±3．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】已知ππsin 3cos 36αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=A ．-B ．2-C ．D ．24．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（4月二模）考试】若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425- B ．725- C ．725D ．24255．【安徽省1号卷A10联盟2019()πcos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=A ．7B ．3CD6．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知平面直角坐标系下，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425 B ．2425- C ．2425或2425-D ．7257．【湖北省2019届高三4cos 2x x +=，则πcos 3x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12BC ．3D ．348．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学】若3sin cos 5αβ-=，4cos sin 5αβ+=，则s i n()αβ-=A ．3B ．2C ．13D ．129．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学】tan 20sin 20︒=︒A ．1B ．2C ．3D ．410．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学】若角α满足sin 51cos αα=-，则1cos sin αα+=A ．15B ．52C ．5或15D ．511．【山西省2019届高三百日冲刺考试数学】已知sin10cos102cos140m +=，则m =__________． 12．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷）】已知 为锐角，且，则 __________.13．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2m n +=4=___________.14．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学】平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP α∠=，若π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00x y +=__________．。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；补充：2倍角公式变形（扩角降幂）221cos 21cos 2sin cos 22αααα-+==；；知识点三．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a bb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【常见式子变形】①2221cos 22cos 1cos 22sin 1sin 2(sin cos )ααααααα+=-=±=±；；②sin cos cos cos cos 22p p αβααβæöæö=Þ-=-=ç÷ç÷èøèø，具体是选2p α-还是2p α-要看题目给出的范围③sin cos tan 1tan sin cos tan 14βββp ββββ--æöÞ=+ç÷++èø高考数学复习：三角函数恒等变换求值2023新高考二卷T7：配完全平方公式【详解】因为cos 1α=-α为锐角，解得：sin2α==2023·新高考I 卷T8——和差公式+二倍角公式【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-´=.2022·新高考II 卷T6——和差公式【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2pα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4p，排除D ；选C.[方法三])cos()]44cos sin sin 444p pβαβαβαβp p pαβαβαβ+++++++=++++（）（）（（cos sin 44p pαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044p p αβαβ+-+（）（）即sin =04pαβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444p p p αβαβαβαβαβ\-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ\----（）（）即t an(）=-1,2018全国II 卷（理）T15——一题多解【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］： 利用方程思想直接解出sin 1αα=-=-1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos sin αβìïïíïïîcos sin αβì=ïïíï=ïî，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］： 诱导公式+二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2p βααæö=-=+ç÷èø，则322k pβp α=++或32()2k k p βp p αæö=+-+Îç÷èøZ ．若32()2k k pβp α=++ÎZ ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k p ααβp αααæö=+=++=-=-=-ç÷èø．若2()2k k pβp α=--ÎZ ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-æö===-=-ç÷-èø，()2k k βαp =-ÎZ ，即22k αp β=-，则2()k k αβp α+=-ÎZ ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβp αα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k pαβp -=+ÎZ ，即()2k k pαβp =++ÎZ ．当k为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=-，则2()2k k pαβp +=-ÎZ ．则sin sin 2cos 2k p αp ββæö=--=-ç÷èø，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．题型一 知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52ααæö=Îç÷èø，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-æöæö--´-ç÷ç÷èøèø.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15，【答案】4p【分析】根据已知得4sin 5α=，sin ββ==且π02αβ<-<，应用差角正弦公式求角的大小.【详解】由题设4sin 5α=，sin ββ==π0,2βæöÎç÷èø，而sin sin αβ>，故π02βα<<<，则π02αβ<-<，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=，则π4αβ-=题型二 结合平方公式sin cos q q ±，2sin 2q ±2024届·湖南长郡中学阶段考T73．已知π0,2αæöÎç÷èøπ2sin 4ααæö=+ç÷èø，则sin 2α=（ ）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.【详解】π2sin()4αα=+Q ，)22cos )cos sin αααα=+-Q ,1(cos sin )(cos sin )02αααα\+--=，又π0,2αæöÎç÷èø，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2αæöÎç÷èø，所以2(0,π)αÎ，sin20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T7【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.πcos 2sin 4αααæö===-=-ç÷èø，且π3π,24αæöÎç÷èø，则π2π4π,4αæö-Îç÷èø，可得πsin 04αæö->ç÷èø，)π2sin sin cos 4αααæö=--ç÷èø；cos α=，且π3π,24αæöÎç÷，可得cos 0α<，α=；)sin cos αααα=-=.5．已知22ppαβ-<-<，sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=sin(3pβ+=A B C D 【答案】A【分析】先由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=αβ、的关系式，代入sin 3p βæö+ç÷èø，即可求出结果.【详解】由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=将两个等式两边平方相加，得()543sin αβ+-=，()12sin αβ-=-，22p p αβ-<-<Q ，6pαβ\-=-，即6p αβ=-，代入sin 2cos 1αβ+=，得13p βæö+=ç÷èø，即sin 3p βæö+ç÷èø故选A 2023·浙江杭州二模T15【分析】将sin cos 2sin q q α+=平方，结合2sin cos sin q q β=可得22124sin 0sin βα+=-，利用二倍角余弦公式将224cos 2cos 2αβ-化简求值，可得答案.【详解】将sin cos 2sin q q α+=平方得212sin cos 4sin q q α+=，结合2sin cos sin q q β=可得221i s n 2i 4s n αβ+=，即22124sin 0sin βα+=-，则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ-=-+()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=-++=2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.【详解】将1sin cos 5αα-=平方得112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，则π0,2αæöÎç÷èø．所以()22449sin cos 12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=．联立1sin cos 57sin cos 5ααααì-=ïïíï+=ïî，得4sin 53cos 5ααì=ïïíï=ïî．所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin5525αααæöæö=-=-=-ç÷ç÷èø．故)π247sin 2sin 2cos 242525éùæöæö-=---=ç÷ç÷êúèøèøëûααα题型三 和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角(),0,παβÎ，且()()sin cos 0,sin sin 3cos cos 0αβαβαβαβ++-=-=，则()tan αβ+=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由()()sin cos 0αβαβ++-=，可得sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ+++=，即sin cos cos sin 1cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-+，故tan tan 11tan tan αβαβ+=-+.又sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，故sin sin αβ3cos cos αβ=，即tan tan 3αβ=，代入tan tan 11tan tan αβαβ+=-+可得tan tan 4αβ+=-.故()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==-云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7A ．()sin 31αβ-=B ．()sin 31αβ+=-C ．()sin 21αβ-=D ．()sin 21αβ+=-【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到π22αβ-=，进一步即可判断正确答案.【详解】tan cos 1sin ,αββ×=+Q sin cos 1sin ,cos αββα\×=+即sin cos cos sin cos ,αβαβα×=+×sin cos sin cos cos ,αββαα×-×=即πsin()cos sin(),2αβαα-==-又0,2p αæöÎç÷èø，0,2p βæöÎç÷èø，则ππππ,0,2222αβα-<-<<-<所以π2,sin(2)1,2αβαβ-=\-=，故C 正确.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7【分析】根据题意，由同角的平方关系可得()cos αβ+，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.【详解】因为(),0,παβÎ，且1cos 7α=，所以sin α因为()sin αβ+=，所以()sin sin ααβ>+，所以()αβ+为钝角，所以()11cos 14αβ+==-，则()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++=éùû11111472-´+=，且()0,βp Î，则π3β=2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T7【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到sin 1sin tan βαα=，得到πsin sin()2βα=-，再由π,0,2αβæöÎç÷èø，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由()()()sin 2sin[()]2cos 2cos sin sin αβααβαβαβαα+++-+=-+()sin cos()cos sin()2cos sin ααβααβαβα+++=-+cos sin()cos sin()sin cos()cos()sin sin ααβααβααβαβαα++-+=-+=sin[()]sin sin sin αβαβαα+-==，所以sin 1sin tan βαα=，可得sin cos sin sin βααα=，即sin cos βα=，即πsin sin()2βα=-，因为π,0,2αβæöÎç÷èø，可得ππ0,22αæö-Îç÷èø，所以π2βα=-，所以π2αβ+=【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1：()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--Q .tan tan tan tan 1αβαβ\+=-，()()()()cos sin 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 2cos cos βααβαβαβαβαβαβ--+\=-++=--+=.2=èø题型四 2倍角公式2023届广州市一模T7【分析】由,2p αp æöÎç÷èø及二倍角的余弦公式可得()sin 1sin cos cos αβαβ+=，根据两角和的余弦公式可得()sin cos ααβ=+，由诱导公式及,αβ的范围即可求解.【详解】,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，sin 0α\¹.由()()1cos 21sin sin 2cos αβαβ-+=，可得()22sin 1sin 2sin cos cos αβααβ+=，即()sin 1sin cos cos αβαβ+=.()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ\=-=+，()cos cos 2p αβαæö\+=-ç÷èø，,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，2p αβp \<+<，且022pp α-<-<，根据函数cos y x =易知：22pαβαp +=-+，即得：522pαβ+=.【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x p p p p æöæö++--ç÷ç÷æöæöèøèø++-=+ç÷ç÷èøèø1111sin 2sin 21sin 22222x x x =-+-=-【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x 为2x，然后再由正切的二倍角公式求tan x ．【详解】2222112sin 2sin cos 2sin 2sin cos 1cos sin 22222221cos sin 2cos 2sin cos 12cos 12sin cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x æö--++ç÷-+èø-===++æö++-+ç÷èø2sin (sin cos )222tan 22cos (cos sin )222x x x x x x x +==+，∴222tan2(2)42tan 1(2)31tan 2xx x ´-===---．2024届广东实验中学校考T1516．若两个锐角α，β满足1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，则cos 23p αβæö++=ç÷èø.【答案】【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β的关系，代入cos 23p αβæö++ç÷èø即可求解.【详解】因为1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，所以()22112sin 12cos 12cos 2sin cos 2sin cos βααααββ--+-=+所以22cos sin cos sin cos sin cos αβαααββ=+，因为α，β为锐角，所以有cos sin 1sin cos αβαβ=+，所以()cos cos sin 1sin αββα=+，即cos cos sin sin sin αβββα=+，所以cos cos cos cos sin αβαββ-=，即()cos +sin αββ=，因为α，β为锐角，所以有+2pαββ+=，即+22pαβ=，所以cos 2cos sin 3233p p p p αβæöæö++=+=-=ç÷ç÷èøèø2024届·广州市越秀区高三月考（十月）T7【分析】由倍角余弦公式并整理得23sin 2sin 10αα+-=，结合角的范围得1sin 3α=，进而求tan α，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由23cos24sin 36sin 4sin 1αααα-=--=，即23sin 2sin 1(3sin 1)(sin 1)0αααα+-=-+=，所以1sin 3α=或sin 1α=-，又π,π2αæöÎç÷èø，则1sin 3α=，所以cos α=，则tanα=由22tan tan 21tan ααα==-2024届·广州市天河区高三综合测试（一）T7【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为ππtan 2tan 34αβæöæö-=-ç÷ç÷èøèø，得出ππ2π34k αβ-=-+，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由πtan tanπsin cos tan 1π4tan 2tan π3sin cos tan 141tan tan 4ββββαβββββ---æöæö-====-ç÷ç÷++èøèø+，所以ππ2π34k αβ-=-+，即π2π,Z 12k k αβ=++Î，()()2π12cos 2cos 22cos 2π12k αβαβββæö--=--=-++-ç÷èøπππcos 2πcos 2πcos 1266k k æöæö=-+=-+=-=ç÷ç÷èøèø武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15【答案】9798【分析】根据辅助角公式可得π1 sin614qæö-=ç÷èø，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】17cosq q=+即114cos12q qö-=÷÷ø，故π1sin614qæö-=ç÷èø.故2ππ97cos212sin3698q qæöæö-=--=ç÷ç÷èøèø.则97sin2sin2cos2632398p p p pq q qæöæöæö+=-+=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T15【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan9α=，7π7ππππcos cos sin sin cos sin sin cos tan tan1818999πππππsin cos cos sin sin cos cos sin tan tan99999αααααααααα---==+++3=.2023届·江苏省七市三模·T7【分析】利用和差角公式展开，得到2cos40cos cos80cos sin80sin0q q q°+°+°=，即可得到2cos40cos80tansin80q°+°=-°，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos40cos40cos800q q q°-+°++°-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0q q q q q q °+°+°-°+°+°=，所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0q q q °+°+°=，所以2cos 40cos80sin80tan 0q °+°+°=，所以2cos 40cos80tan sin 80q °+°=-°()2cos 12080cos80sin 80°-°+°=-°()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80°°+°°+°=-==°2022届·广东省汕头二模·T7【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为sin160tan 20cos 70l ++=o o o 即()(sin 18020tan 20cos 9020l -++-o o o o o所以sin 20sin 20sin 20cos 20l ++=ooo o所以sin 20cos 20sin 20sin 20cos 20l ++=o o o o o o ，所以()11sin 20cos 2020sin 20220sin 202l ö+-=-÷÷øo o o oo o ，所以()()1sin 402sin 60cos 20cos 60sin 202sin 60202sin 402l +=-=-=o o o o o o o o ，所以122l +=，所以3l =题型六 和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T15【答案】19-【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos 2αβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos 3αβ-=，根据二倍角公式即可得结果.【详解】()()sin sin cos sin cos 2sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为()1cos 3αβ+=，则()sin 0αβ+¹，因此1cos cos 2αβ=，而()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=，从而111sin sin 236αβ=-=，因此()112cos cos cos sin sin 263αβαβαβ-=+=+=，则()()21cos22cos 19αβαβ-=--=-.故答案为：19-.2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T11【分析】根据3cos25α=-，判断α的范围，再根据cos 2α，求出tan α，再由cos()αβ+=sin()αβ+，tan()βα-，cos()βα-，从而得出答案.【详解】因为0πα<<，所以022πα<<，又3cos 205α=-<，所以π3π222α<<，π3π44<<α，由3cos25α=-，得tan 2α=±.对于A 选项，若tan 2α=-，则π3π24α<<，又3ππ2β<<，所以3π9π24αβ<+<，而cos()0αβ+=<矛盾，所以tan 2α¹-.故A 错误；对于B 选项，根据A 选项知， tan 2α=，则ππ42α<<，又3ππ2β<<，所以5π2π4αβ<+<，而cos()0αβ+=<，所以5π3π42αβ<+<，这样sin()αβ+=B 正确；对于C 选项，根据A 2=，再根据B 选项中sin()αβ+=cos()αβ+=知tan()7αβ+=，从而tan()tan 1tan tan()1tan()tan 3αβαβαβααβα+-=+-==++，则tan tan tan()11tan tan βαβαβα--==-+，又3ππ2β<<，ππ24α-<-<-，π5π24βα<-<，所以3π4βα-=，故C 正确；对于D 选项，根据C 选项知3π4βα-=，所以cos()cos cos sin sinβαβααβ-=+=又cos()cos cos sinsin αβαβαβ+=-=解得cos cos αβ=D 错误2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T6A ．53-B ．【答案】C【分析】根据三角函数的定义可得πtan 4,4q æö+=-ç÷èø进而又和差角公式得5tan θ3=，又二倍角和齐次式即可求解.【详解】由图可知πtan 4,4q æö+=-ç÷èø所以ππtan tan544tan ππ31tan tan44q q q æö+-ç÷èø==æö++ç÷èø，则()()()2sin cos 1sin 2sin cos tan 14cos 2cos sin cos sin cos sin 1tan q q q q q q q q q q q q q q++++====-+---【分析】注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，后结合()0,πα，ππ,22βæöÎ-ç÷èø，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因()0,παÎ，则4333πππ，αæö+Îç÷è，又π1πsin sin 333æö+=<=ç÷èøα，则3πα+Îπ,π2æöç÷èø，得3πcos αæö+=ç÷èø.因πcos 6βæö-=ç÷èø22221663ππcos cosββéùæöæö-=--=-êúç÷ç÷èøèøëû.又ππ,22βæöÎ-ç÷èø，则π2ππ,633æö-Î-ç÷èøβ，结合π1πcos cos 623æö-=<=ç÷èøβ，则ππ,062æö-Î-ç÷èøβ，得6πsi n βæö-=-ç÷èø则22666πππsi n cos si n βββéùæöæöæö-=--=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøëû又注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，则()ππππsin 2sin cos 2cos sin 23636éùéùæöæöæöæö+=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúøøèøëûαβαβαβ1233ææö=´-+´-=çç÷çèøè.。

数学高考复习名师精品教案第30课时：第四章 三角函数——三角函数式的求值一．课题：三角函数的求值二．教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值．三．教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．四．教学过程：（一）主要知识：三角函数求值问题一般有三种基本类型：1．给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2．给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3．给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．（二）主要方法：1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．（三）例题分析：例1．已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ=（ C ）()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512- 略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =（舍），∴5sin 13θ=， ∴5tan 12θ=-．例2．已知1cos(75)3α+= ，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+- 的值． 解：∵α是第三象限角，∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+ （k Z ∈）， ∵1cos(75)3α+= ，∴75α+ 是第四象限角，∴sin(75)3α+==- ，∴原式cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)αααα=---=+-+= ．例3．已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值． 解：由题意，22sin 1sin cos θθθ=-=，∴原式223sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-，∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=，得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+，若cos()cos 0αβα+≠，则13tan()tan 3αβα+⋅=， 若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()βαβαβαα=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()αβαβα+=++等，解题过程中应充分利用这种变形． 例5．已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈，求：（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值． 解：（1）由根与系数的关系，得1sin cos 2sin cos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---． （2）由①平方得：212sin cos 2θθ+⋅=，sin cos 4θθ⋅=，即24m =，故2m =． （3）当221)02x x -+=，解得12122x x ==，∴sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵(0,2)x π∈，∴3πθ=或6π．（四）巩固练习：1．若cos130a = ，则tan 50= （ D ）()A ()B ()C ()D 2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ B ）()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16① ②。

高三数学三角函数试题答案及解析1.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值2.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.3.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性4.在锐角中，，，则的值等于；的取值范围为 .【答案】；【解析】，所以，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，则，且，即，则有，且有，所以，故有，，所以，即，故的取值范围为.【考点】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围5.已知是第二象限角,，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知是第二象限角,，所以，故选B.【考点】同角三角函数基本关系式.6.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．7.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，，而，，所以坐标变换公式为，. 故选D.【考点】均匀随机数的意义与简单应用.8.已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的最大值为C．函数在区间上是增函数D．函数的最小正周期为【答案】C【解析】令得错误；函数的最大值为，故错误；函数的最小正周期为，故错误；当时，，故函数在区间上是增函数，所以选．【考点】考查三角函数的图像及其性质．9.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。