高三第一轮复习：复数

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第26练复数（精练）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.2．（2021·全国·统考高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i+D ．42i+【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3．（2021·全国·高考真题）已知()21i 32i z -=+，则z =（）A ．31i2--B ．31i2-+C ．3i2-+D ．3i2--【答案】B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+，()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅.故选：B.4．（2022·全国·统考高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12z i=-【A组在基础中考查功底】一、单选题根据复数模的几何意义可知，如图可知，i z +的最小值是点故选：B.26．（2022·全国·高三专题练习）设A ．13i22-C ．31i 22--【答案】C【分析】首先利用诱导公式将复数出其共轭复数；【详解】解：因为sin15z =+ 所以()22sin15i cos15z =+= 22sin 15cos 152sin15cos15=-+ cos30sin 30i =-+ 31i 22=-+所以2z 的共轭复数是3122--故选：C【B 组在综合中考查能力】一、单选题1．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知A ．3±B ．3【答案】C。

课时作业1．(2022·西安质检)已知复数z＝1＋2i2－i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )A．－1 B．0 C．1 D．i【解析】　因为z＝1＋2i2－i＝（1＋2i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5i5＝i，故虚部为1．【答案】　C2．(2022·唐山二模)已知复数z＝1＋a i3＋i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数a＝( )A．－3 B．3C．－13D．13【解析】　由题意，复数z＝1＋a i3＋i＝（1＋a i）（3－i）（3＋i）（3－i）＝3＋a10＋3a－110i．因为复数z为纯虚数，可得{3＋a＝03a－1≠0，解得a＝－3．【答案】　A3．(2022·山东临沂一模)复数1－i2－i对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】　1－i2－i＝（1－i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝35－15i，其对应的点为(35，－15)，位于第四象限，故选D．【答案】　D4．(2022·山东日照二模)已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于( )A．34B．43C．－43D．－34【解析】　因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－34，故选D．【答案】　D5．(2022·潍坊三模)若复数z＝x＋（x2－x）ii(x∈R)为纯虚数，则x等于( )A．1 B．0C．－1 D．0或1【答案】　A6．(2022·青岛二模)任意复数z＝a＋b i(a，b∈R，i为虚数单位)都可以z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r＝a2＋b2，(0≤θ<2π) 该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数z＝2i1－3i，则z的辐角主值为( )A．π6B．π3C．2π3D．5π6【解析】　因为z＝2i 1－3i＝2i（1＋3i）（1－3i）（1＋3i）＝－32＋12i．所以z＝cos 5π6＋isin5π6．所以z的辐角主值为5π6．【答案】　D7．(2022·丹东二模)复数z为纯虚数，复数z＋21－i为实数，则z＝( )A．－2i B．－i C．i D．2i 【解析】　设z＝b i(b∈R)，则z＋21－i＝2＋b i1－i＝（2＋b i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝（2－b）＋（2＋b）i2．∵复数z＋21－i为实数，∴2＋b＝0，解得b＝－2．∴z＝－2i．故选A．【答案】　A8．(2022·深圳市育才中学)复数z ＝1＋3i 3－i ＋21－i (i 为虚数单位)的共轭复数z ＝( ) A ．1－iB ．1＋iC ．1＋2iD ．1－2i 【解析】　依题意得z ＝i （3－i ）3－i ＋2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ．故选D ．【答案】　D 9．(2022·衡水一模)z － 是z 的共轭复数，若z ＋z － ＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位) ，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i【解析】　设z ＝a ＋b i ，z －＝a －b i ，a ，b ∈R ，依题意有2a ＝2，－2b ＝2，故a ＝1，b ＝－1，z ＝1－i ．【答案】　D10．(2022·威海二模)已知纯虚数z 满足(1－2i)z ＝2＋a i ，其中i 虚数单位，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【解析】　因为(1－2i)z ＝2＋a i ，所以z ＝2＋a i 1－2i＝（2＋a i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝2－2a ＋（4＋a ）i 5， 又因为z 是纯虚数，所以2－2a ＝0，所以a ＝1．故选B ．【答案】　B11．(2022·石家庄五校联考)设复数z 满足z －i 2－i ＝i ，则|z |＝( )A ．10B ．5C ．3D ．1【解析】　∵复数z满足z－i2－i＝i，∴z＝i(2－i)＋i＝1＋3i，则|z|＝12＋32＝10故选A．【答案】　A12．(2022·潍坊二模)设复数z与1＋3i1－i在复平面内对应的点关于实轴对称，则z等于( )A．－1＋2i　B．1＋2i C．1－2i D．－1－2i【解析】　∵1＋3i1－i＝（1＋3i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝－2＋4i2＝－1＋2i，∴1＋3i1－i在复平面内对应的点的坐标为：(－1，2)．∵复数z与1＋3i1－i在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为：(－1，－2)．则z＝－1－2i．故选：D．【答案】　D13．(2022·银川一中月考)已知|z－1－i|＝1，则|z－i|的取值范围是________．【解析】　因为在复平面内，|z－1－i|＝1表示复平面内到点(1，1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z对应的点都在以(1，1)为圆心，半径为1的圆上；|z＋i|表示复平面内的点到点(0，－1)的距离，最小值为（0－1）2＋（－1－1）2－1＝5－1，最大值为（0－1）2＋（－1－1）2＋1＝5＋1，所以|z＋i|的取值范围是[5－1，5＋1]．【答案】　[5－1，5＋1]14．(2022·耀华中学二模)复数z＝a＋2i，a∈R，若zi＋1－3i为实数，则a＝________．【解析】　∵zi＋1－3i＝a＋2ii＋1－3i＝－i（a＋2i）i·（－i）＋1－3i＝3－(a＋3)i，∵zi＋1－3i∈R∴a＋3＝0，即a＝－3．【答案】　－3。

考向03 复数【2022年全国甲卷】1. 若1z =-，则1zzz =-（ ）A. 1-+B. 1-C. 13-D. 13-【答案】C【解析】1(1113 4.z zz =--=--=+=113z zz ==-+-.故选 ：C 【2022年全国甲卷】2. 已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ）A. 1,2a b ==- B. 1,2a b =-= C. 1,2a b == D. 1,2a b =-=-【答案】A【解析】12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩.故选:A【2022年新高考1卷】3. 2. 若i(1)1z -=，则z z +=（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 【2022年新高考2卷】4. 2. (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i -+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.【2022年浙江卷】2. 已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ）A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-= C. 1,3a b =-=- D. 1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.【2022年北京卷】2. 若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ）A. 1 B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．易错题【01】对服饰的相关概念理解不清易错题【02】对复数的模的定义理解不透易错题【03】复数相等的条件应用出错易错题【04】复数的模与绝对值混淆1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则a b +=（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（ ）A ．132i + B ．132i - C ．32i + D ．32i -3．已知复数212iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,0-4．设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于（ ）A ．0B ．4C ．2D 5．若z 为纯虚数，且2z =，则11z=+（ ）6．已知2(1)(1)z m m i =-++为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．11或- D ．-1或0一、单选题1．（2022·辽宁·育明高中一模）若复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（ ）A ．2x y = B ．y ＝12x x+ C ．y x = D ．221y x =--2．（2021·云南昆明·三模（理））给出下列三个结论：①若复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则1a =②若复数21iz i=+，则复数z 在复平面内对应的点在第二象限③若复数z 满足||1z =，则z 在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知a 为正整数，且42i 25a +=，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·江西南昌·三模（理））若复数z 的实部和虚部均为整数，则称复数z 为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数z ，使1z也是高斯整数其中正确的命题有（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①②D ．②③④5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=-，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ）A ．12i -+B ．2i --C ．12i -±D ．2i-±二、多选题6．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）已知123z i =+，()2z m i m R =-∈，则下列说法正确的有（ ）A ．若12z z 为实数，则23m =-；B ．12z z ⋅的共轭复数是()()2332m m i ++-；C ．12z z -的最小值是4；D ．满足11z z -=的复数z 在复平面上的对应点Z 的集合是以()2,3--为圆心，以1为半径的圆．7．（2021·重庆八中模拟预测）设复数z 的共辄复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A ．若0z z ⋅=，则0z =B ．若z z -∈R ，则z ∈R C ．若2cosisin 55ππz =+，则1z =D ．若i 1z -=，则z 的最大值为28．（2021·江苏泰州·模拟预测）设z 为复数，在复平面内z 、z 对应的点分别为P 、Q ，坐标原点为O ，则下列命题中正确的有（ ）A ．当z 为纯虚数时，,,P O Q 三点共线B ．当1z i =+时，POQ △为等腰直角三角形C ．对任意复数z ，OP OQ ≠D ．当z 为实数时，OP OQ=9．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）A ．若A ，B ，C 为任意集合，则()()⋂⋂= A B C A B C B ．若a ，b ，c为任意向量，则()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b cC ．若1Z ，2Z ，3Z 为任意复数，则()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅D ．若A ，B ，C 为任意事件，则()()()()⋃⋂=⋂+⋂P A B C P A C P B C 三、填空题10．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b -=__________．1．(2021年新高考1卷)已知2i z =-，则(i)z z +=A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+2.(2021年新高考2卷) (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i-+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-3．(2021年高考全国甲卷理科)已知2(1)32i z i -=+，则z =( )A 312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．(2021年高考全国乙卷理科)设()()2346z z z z i ++-=+，则z =( )A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-.5．(2021年高考浙江卷)已知a ∈R ，()1i i 3i a +=+（i 为虚数单位）， 则a =（）.A ． 1-B ． 1C ． 3-D ． 36．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i ，则|z 2–2z |=( )A ．0B ．1CD ．27．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数113i-虚部是( )A ．310-B ．110-C ．110D ．3108．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若(1i)2i z +=，则z =( )A ．1i--B ．1+i-C ．1i-D ．1+i9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数z 满足i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A.22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=11．(2021年上海卷)已知121i,23i z z =+=+，12z z +=．12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________．的1.【答案】D【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.2．【答案】A 【解析】选A ，21+3=12i iz i -=+.3．【答案】D 【解析】选D ，2=112iz i-=-+，所以对应点坐标为（-1,0）.4．【答案】D【解析】选D,2(1)1i i i--=+=【解析】选A.由题意有2110m m -=+≠，所以m=1.一、单选题1．【答案】D 【解析】因为53i --＝()()()53i 3i 3i -+=---+＝－32＋12i ，所以a ＝－32，b ＝12，所以A 13(,22-，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足.故选：D.2．【答案】C【解析】①因为复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则200a a a ⎧-=⎨≠⎩，解得1a =，故正确；②复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z 满足||1z =，所以z 在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；所以正确结论的个数是2个，故选：C 3．【答案】A【解析】因为a +，所以442i 25a +==，即245a +=，21a =，a 为正整数，所以1a =，故选：A 4．【答案】A【解析】①令i(a,b Z)z a b =+∈，当0b =时，z a =，即z 为整数，根据题意，z 是高斯整数，故①正确；②令1i(a,b Z)z a b =+∈，2i(c,d Z)z c d =+∈，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++，则ac bd -为整数，ad bc +为整数，故12z z ⋅为高斯整数，故②正确；③令i(a 0,b 0)z a b =+≠≠，且3z =，故229a b +=，所以,a b 至少有一个数为非整数，故z 不是高斯整数，③错误；④令1i(a,b Z)z a b =+∈，且0z ≠，则22222211i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++，若1z为高斯整数，故2222,a ba b a b ++为整数，即存在有限个，例如i z =，故④正确.故选：A.5．【答案】C【解析】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a -++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=±⎩，所以12i z =-±.故选：C 二、多选题6．【答案】AC 【解析】1222223(23)()2(23)3(23)(23)=()()1z i i m i m m i m m iz m i m i m i m i m +++++--++===--+-+12z z为实数，230m ∴+=，23m =-，故A 正确；12(23)()(23)(32)z z i m i m m i ⋅=+-=++-，其共轭复数为()()2332m m i +--，故B 错误；12(2)4z z m i -=-+表示点(2,4)m -到原点的距离，12min minz z ∴-=，当2m =时，取最小值为4，故C 正确；设,,z x yi x y R =+∈，由11z z -=得(2)(3)1x y i -+-=，即222(2)(3)1x y -+-=，∴对应点Z 的集合是以()2,3为圆心，以1为半径的圆，故D 错误；故选：AC7．【答案】ABD【解析】若0z z ⋅=，即20z =，0z =，则0z =，A 正确；若z z -∈R ，即z 的虚部为0，则z ∈R ，B 正确；若2cosisin 55ππz =+1≠，C 错误；若i 1z -=，设i z x y =+（,x y ∈R ），即()2211x y +-=，则z 表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D 正确，故选：ABD ．8．【答案】ABD【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，对A ：当z 为纯虚数时，()0z bi b =≠，z bi =-对应的点分别为(0,)P b 、(0,)Q b -，,,O P Q 均在y 轴上，所以,,P O Q 三点共线，故A 正确；对B: 当1z i =+时，1z i =-，所以(1,1)P ，(1,1)Q -，所以||||OP OQ ==||2PQ =，所以222||||||OP OQ PQ +=，所以POQ △为等腰直角三角形，故B 正确；对C ：(,)OP a b = ,(,)OQ a b =-,当0b =时，OP OQ = ，故C 错误；对D ：当z 为实数时，z z a ==，此时(,0)OP OQ a ==，故D 正确.故选：ABD 9．【答案】AC【解析】对于A ，集合运算有结合律，任意集合A ，B ，C 都有()()A B C A B C ⋂⋂= ，故A 正确；对于B ，向量的数量积不满足结合律，即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c 故B 错误；，对于C ，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数1Z ，2Z ，3Z ，有()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅，故C 正确；对于D ，若A B C ==，(())()()⋃⋂≠⋂+⋂P A B C P A C P B C ，故D 错误.故选：AC.三、填空题10．【答案】96i+【解析】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b -=+-=++++--=+ ；故答案为：96i + .1．【答案】C 【解析】2(i)(2i)(2i i)(2i)(22i)44i 2i 2i 62i z z +=-++=-+=+--=+，故答案选C ．2.【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3．【答案】B【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选：B ．4．【答案】C【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+．故选：C ．5．【答案】C【解析】由题意，得3i a i -+=+，复数相等定义，知3a =-，故选C ．6．【答案】D【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故2222z z -=-=．故选：D ．7．【答案】D【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310．故选：D ．8．【答案】D 【解析】根据复数运算法则，()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，故选D ．另解：由常用结论22i=(1+i)，得2(1i)(1i)z +=+，则1i z =+，故选D ．【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．9．【答案】C【解析】∵32z i =-+，∴32z i =--，对应坐标()3,2--，是第三象限．【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．10．【答案】C【解析】设i z x y =+，则22i (1)i 1,(1)1z x y x y -=+-==∴+-=．11．【答案】34i+【解析】由题意得:1234iz z +=+12．【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，又12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====．故答案为：．方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==．【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解。

复数教案一轮复习教案标题：复数教案一轮复习教案目标：1. 通过一轮复习，帮助学生巩固和掌握复数形式的基本规则。

2. 培养学生对于复数形式的正确运用能力。

3. 提高学生的听说读写能力，培养他们对于复数形式的敏感度。

教学重点：1. 复习复数形式的基本规则。

2. 练习运用复数形式进行口头和书面表达。

3. 培养学生的听说读写能力。

教学难点：1. 区分不规则复数形式和规则复数形式。

2. 运用正确的复数形式进行交流和表达。

教学准备：1. 复数形式的规则总结表格。

2. 复数形式的练习题和答案。

3. 多媒体设备和投影仪。

教学过程：步骤一：复习复数形式的基本规则（10分钟）1. 使用多媒体设备展示复数形式的规则总结表格，包括一般名词、不规则名词和特殊名词的复数形式规则。

2. 与学生一起快速回顾并复习这些规则，提醒他们注意不同类型名词的复数形式规则。

步骤二：练习运用复数形式进行口头表达（15分钟）1. 将学生分成小组，每组选择一个话题，例如“家庭成员”、“学校设施”等。

2. 要求学生在小组内轮流用正确的复数形式表达自己的观点、意见和建议。

3. 教师在小组之间巡视，纠正学生的发音和语法错误，并给予必要的指导和建议。

步骤三：练习运用复数形式进行书面表达（20分钟）1. 分发练习题和答案，要求学生根据题目要求填写正确的复数形式。

2. 学生独立完成练习题，教师提供必要的辅导和解答。

3. 学生交换答案并互相检查，教师进行梳理和总结。

步骤四：听说读写综合训练（15分钟）1. 教师朗读一段包含复数形式的短文，要求学生仔细听，并回答相关问题。

2. 学生进行小组讨论，分享听到的信息和自己的理解。

3. 学生个别完成一篇关于自己喜欢的事物的短文，要求使用正确的复数形式进行书写。

4. 学生互相交换短文，进行修改和改进。

步骤五：课堂总结与反思（5分钟）1. 教师与学生一起总结复数形式的基本规则和运用技巧。

2. 学生回答教师提出的问题，分享自己的学习心得和体会。

第五章 第四节 复数基础夯实练1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 解析：选B ∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B.2．已知复数z ＝2i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD.12－12i 解析：选B ∵复数z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(i ＋1)2＝1＋i ，∴复数z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.3．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1D. 2解析：选C ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.4．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为z ＝3i 1＋i ＝32＋32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，32，在第一象限，故选A.5．已知α∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3D ．3解析：选C 法一：因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3.故选C.法二：因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋ii＝1－3i ，所以a ＝－3.故选C.6．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若1－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝(2a ＋1)＋2i 的模等于( )A. 2B. 3C. 6D.11解析：选D 因为1－i a ＋i ＝(1－i )(a －i )a 2＋1＝a －1a 2＋1－a ＋1a 2＋1i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.所以|z |＝|(2a ＋1)＋2i|＝|3＋2i|＝32＋(2)2＝11.故选D.7．(多选题)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( ) A ．|z |＝ 2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限解析：选AD 因为z (1－i)＝2，所以z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝2，所以A 正确；z ＝1＋i 的虚部为1，所以B 错误；z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ，所以C 错误；z ＝1＋i 在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限，所以D 正确．故选AD.8．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝______.解析：a ＋b i i ＝i (a ＋b i )i 2＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.答案：－79．已知复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是__________.解析：复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)＝(2＋i)(a －2i)＝2a ＋2＋(a －4)i ，其在复平面内对应的点(2a ＋2，a －4)在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是(－1，4)．答案：(－1,4)10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.解析：∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3. 答案：－2 3综合提升练11．(多选题)已知复数z ＝8＋i1＋2i ，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．z 的模等于13B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限C ．z 的共轭复数为－2－3iD ．若z (m ＋4i)是纯虚数，则m ＝－6解析：选BD 因为z ＝8＋i1＋2i ＝2－3i ，所以|z |＝13，因此A 项错误；复数z 在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，B 项正确；z 的共轭复数z －＝2＋3i ，C 项错误；因为z (m ＋4i)＝(2－3i)(m ＋4i)＝(2m ＋12)＋(8－3m )i 为纯虚数，所以2m ＋12＝0,8－3m ≠0，得m ＝－6，故D 项正确．故选BD.12．(多选题)设复数z ＝－12＋32i ，则以下结论正确的是( )A ．z 2≥0B ．z 2＝z －C ．z 3＝1D ．z 2020＝z解析：选BCD 本题考查复数的运算．因为z 2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝－12－32i ，故A 错误，B 正确；z 3＝z 2·⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1，故C 正确；因为z ＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，z 3＝1，z 4＝－12＋32i =z ，所以z 2020＝z 3×673＋1＝z ，故D 正确．故选BCD.13．设复数z 满足|z －i|＝|z ＋i|，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为Z (x ，y )，则下列结论一定正确的是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C．x＝0 D．y＝0解析：选D因为满足|z－i|＝|z＋i|的点Z为复平面内到点(0，－1)和(0,1)的距离相等的点的集合，所以Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.故选D.14．(2021·河北唐山二模)设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A．1 B. 3C. 5 D．3解析：选D设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以x2＋(y－2)2＝1，即x2＋(y－2)2＝1，所以复数z对应的点的轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，所以|z|max＝2＋1＝3，所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.故选D.15．(多选题)设z为复数，则下列命题中正确的是()A．|z|2＝z·zB．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2解析：选ACD对于A，设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，所以|z|2＝a2＋b2，z·z ＝a2＋b2，所以|z|2＝z z成立；对于B，z＝a＋b i(a，b∈R)，当a，b均不为0时，z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；对于C，|z|＝1可以看成以O(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P 到Q(0，－1)的距离，所以当P(0,1)时，可取|z＋i|的最大值为2；对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O、N重合时，|z|＝0最小，当O、M、N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故选ACD.16．(多选题)(2021·山东济南十一学校联考)欧拉公式e x i＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是()A．复数e2i对应的点位于第三象限B ．e π2i 为纯虚数C ．复数e x i 3＋i 的模长等于12D ．e π6i 的共轭复数为12－32i解析：选BC 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， ∵2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos 2∈(－1,0)，sin 2∈(0,1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故A 错误；对于B ，e π2i ＝cos π2＋isin π2＝i ，可得e π2i 为纯虚数，故B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i ＝(cos x ＋isin x )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ，可得其模长为⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42＝12，故C 正确；对于D ，e π6i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，可得e π6i 的共轭复数为32－12i ，故D 错误，故选BC.17．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为__________.解析：∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝3＋2b 5＋(6－b )i5，z 1z 2是实数，∴6－b 5＝0，∴b ＝6. 答案：618．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z ＋z ＝2；乙：z －z ＝23i ；丙：z ·z ＝4；丁：zz ＝z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z ＝________.解析：设z＝a＋b i(a＞0，b＞0)，则z＝a－b i，∴z＋z＝2a，z－z＝2b i，z·z＝a2＋b2，zz ＝z2a2＋b2.∵z·z＝4与zz ＝z22不可能同时成立，∴丙、丁两人的陈述不能同时正确；当z－z＝23i时，b2＝3＞2，∴zz ＝z22不成立，∴乙、丁两人的陈述不能同时正确；当甲乙两人的陈述正确时，a＝1，b＝3，则丙也正确，不合题意；当甲丙两人的陈述正确时，a＝1，b＝3，则乙也正确，不合题意；当乙丙两人的陈述正确时，b＝3，a＝1，则甲也正确，不合题意；∴甲丁两人的陈述正确，此时a＝b＝1，∴z＝1＋i.答案：1＋i。