最新北师版初中数学九年级下册3.3 垂径定理过关习题

北京师范大学版九年级下数学3.3垂径定理练习一．选择题1．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．7 B．1 C．1或7 D．3或42．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（）A．4 B．3 C．2 D．13．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米4．如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝，那么BC＝（）A．3 B．C．D．5．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（）A．2B．3 C．D．36．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为（）A．4 B．5 C．8 D．107．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝6，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．A．350 B．700 C．800 D．4009．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．3210．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17 B．18 C．19 D．20二．填空题11．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为．12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为cm．13．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．14．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有个．15．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧，例如，图中是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分别是FO，FH的中点，△FOH的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标m 的取值范围是．三．解答题16．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB ＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．17．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．18．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O 分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．参考答案一．选择题1．解：①当AB、CD在圆心两侧时；过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE＝＝3，在Rt△OFA中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF＝＝4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB与CD的距离为7；②当AB、CD在圆心同侧时；同①可得：OE＝3，OF＝4；则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；综上所述：AB与CD间的距离为1或7．故选：C．2．解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．故选：C．3．解：∵车宽2.4米，∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝1.6（m），CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，∴卡车的外形高必须低于4.1米．故选：A．4．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM过O，ON过O，∴AN＝CN，AM＝BM，∴BC＝2MN，∵MN＝，∴BC＝2，故选：C．5．解：过点O作OE⊥AB于E，如图：∵O为圆心，∴AE＝BE，∴OE＝BC，∵OE≤OP，∴BC≤2OP，∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，最大值为2OP＝2．故选：A．6．解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的⊙O的最短的弦，连接OB，则由垂径定理得：AB＝2AP＝2BP，在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得：PB＝4，则AB＝2PB＝8，故选：C．7．解：∵点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴根据垂径定理知，∴AE＝EP、BF＝PF，即E为AP中点，F为PB中点，∴EF为△APB中位线；又AB＝6，∴EF＝AB＝×6＝3（三角形中位线定理）；故选：A．8．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，解得，x＝400，∴2x＝800，答：车轱辘的直径为800mm．故选：C．9．解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH＝OA，∴∠HAO＝30°，∴∠AOH＝60°，同理∠DOG＝60°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOD+∠AOB＝180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，∴四边形ABCD的面积是16，故选：B．10．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选：C．二．填空题11．解：分两种情况：①如图1所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，则AE＝CE＝AC＝，∴OE＝＝＝1＝OA，∴∠OAE＝30°，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴OA＝OB＝AB，∴∠OAB＝60°，∴∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA＝4；②如图2所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，同①得：∠OAE＝30°，∵OA＝OB＝AB，∴∠AOB＝60°，∴∠BAC＝30°，∠ACB＝∠AOB＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝2；故答案为：4或2．12．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝12，设OF＝xcm，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（12﹣x）2+62＝x2解得：x＝7.5，故答案为：7.5．13．解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．14．解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，∴点B的坐标为（0，﹣4），又∵点P的坐标为（0，﹣7），∴BP＝3，①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，连接BC，在Rt△BCP中，CP＝＝4；故CD＝2CP＝8，②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10；所以，8≤CD≤10，所以符合的弦有4条，整数值是8（一条弦），9（两条弦），10（一条弦），综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个，故答案为：3．15．解：如图，连接MN，由垂径定理可知，圆心P一定在线段MN的垂直平分线上，作MN的垂直平分线QP，∵M，N分别是FO，FH的中点，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），若圆心在线段MN上方时，设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心P在线段MN上方射线QP上均可，∴m≥2，当圆心在线段MN下方时，∵OF＝OH，∠FOH＝90°∴∠FHO＝45°，∵MN∥OH，∴∠FNM＝∠FHO＝45°，作NG⊥FH交直线QP于G，QG＝NQ＝1，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）的直线QP上时也符合要求；∴m≤1，综上所述，m≤1或m≥2，故答案为m≤1或m≥2．三．解答题16．解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，17．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．18．解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．。

北师大版九年级数学下册第三章圆（3.3 垂径定理-垂径定理的应用）同步练习一、选择题1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12 米，拱高CD=4 米，则拱桥的半径为（）A．6.5 米B．9 米C．13 米D．15 米2、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8 米，最深处水深0.2 米，则此输水管道的直径是（）A．0.4 米B．0.5 米C．0.8 米D．1 米3、如图，底面半径为5cm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）A．2cm B．3cm C．2cm 或3cm D．2cm 或8cm4、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB⊥CD 于E，CE=1 寸，AB=10 寸，则直径CD 的长为（）A．12.5 寸B．13 寸C．25 寸D．26 寸5、每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B 两点，他测得“图上”圆的半径为5 厘米，AB=8 厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16 分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．0.4 厘米/分B．0.5 厘米/分C．0.6 厘米/分D．0.7 厘米/分6、在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为6 分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1 分米，油面宽变为8 分米，圆柱形油槽直径MN 为（）A．6 分米B．8 分米C．10 分米D．12 分米7、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=10 米，净高CD=7 米，则此圆的半径OA=（）A．5 B．7 D．8、如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（）A ．aB ．a C．（﹣1）a D．（2﹣）a9、如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OB 的长度为2 米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD 恰好为60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC 是（）A．（2﹣）米B ．米C．（2﹣）米D ．米10、如图是一个俱乐部的徽章．徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为2cm，则徽章内的菱形的边长为（）cm．A．5 B．4 C．2 D．1 二、填空题11、如图，有一圆弧形门拱的拱高AB 为1m，跨度CD 为4m，则这个门拱的半径为m．12、如图所示，一根水平放置的圆柱形输水管道横截面，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2 米，则此输水管道的直径是．13、当宽为3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为cm．14、如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA=10m，桥拱的跨度AB=16m，则拱高CD= m．15、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C 是AB 上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为m．16、“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB ⊥CD 于点 E ，CE=1，AB=10，求 CD 的长”．根据题意可得 CD的长为 ．三、解答题 17、一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是 13cm ，水面宽 AB=24cm ，则水管中水深？．18、一辆装满货物的卡车，高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．19、我们在园林游玩时，常见到如图所示的圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面 BC 相切于 E 点，四边形 ABCD 是一个矩形．已知米，BC=1 米．（1）求圆弧形门最高点到地面的距离；（2）求弧 AMD 的长．20、本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与 A 、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．42．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm3．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．204．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为（）A．B．C．1D．25．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（）A．3B．4C．6D．96．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．57．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，﹣1），则点N的坐标是（）A．（2，﹣4）B．（2，﹣4.5）C．（2，﹣5）D．（2，﹣5.5）8．小明想知道一块扇形铁片OAB中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如图方式摆放，点O，A，B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（）A．10cm B．20cm C．D．9．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能二．填空题10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的长是．11．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O 为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．13．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝．14．已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为．15．在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是cm．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是．三．解答题17．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．18．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．19．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．20．如图1是小明制作的一副弓箭，点A、D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC ＝60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．在自然状态下，弓臂BAC的长为cm；（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓箭B2AC2为半圆，求D1D2的长．21．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．22．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？23．车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O 为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON 的最小值．24．李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝40cm，BD＝320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？25．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．参考答案一．选择题1．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．2．解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．3．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选：C．4．解：作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB＝QP+PB ＝QB，根据两点之间线段最短，P A+PB的最小值为QB的长度，连接AO，OB，OQ，∵B为中点，∴∠BON＝∠AMN＝30°，∴∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．∵直径MN＝2，∴OB＝1，∴BQ＝＝．则P A+PB的最小值为．故选：B．5．解：设PC＝r，AO＝R，连接PC，⊙O的弦AB切⊙P于点C，故AB⊥PC，作OD⊥AB，则OD∥PC．又∵AB∥OP，∴OD＝PC＝r，∵阴影部分的面积为9π，∴πR2﹣πr2＝9π，即R2﹣r2＝9，于是AD＝＝3．∵OD⊥AB，∴AB＝3×2＝6．故选：C．6．解：连接OD．由垂径定理得HD＝，由勾股定理得HB＝1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，OH＝R﹣1，DH＝则R2＝（）2+（R﹣1）2，由此得2R＝3，或由相交弦定理得（）2＝1×（2R﹣1），由此得2R＝3，所以AB＝3故选：B．7．解：过点M作MA⊥OP，垂足为A设PM＝x，P A＝x﹣1，MA＝2则x2＝（x﹣1）2+4，解得x＝，∵OP＝PM＝，P A＝﹣1＝，∴OP+P A＝4，所以点N的坐标是（2，﹣4）故选：A．8．解：连接AB，过O作OC⊥AB于C，交于D，则AC＝BC＝AB＝20（cm），OC＝30cm，由勾股定理得：OD＝OA＝＝＝10（cm），∴CD＝OD﹣OC＝（10﹣30）（cm），即的拱高约是（10﹣30）cm，故选：D．9．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．二．填空题10．解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB＝AB＝4，AE＝EF，∴OE是△AFC的中位线，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO＝＝＝5，∴CF＝2OE＝10，故答案为：10．11．解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．12．解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE＝AB＝2cm，DE＝CD﹣CE＝4﹣2＝2cm，∵∠AOD＝90°，AO＝OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO＝OD，∠OAD＝∠ADO＝45°，BO＝CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°∴∠ODC+∠OAB＝90°，∵∠ODC+∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BAO，∵∠B＝∠C＝90°∴△ABO≌△OCD，∴OC＝AB＝2cm，OB＝CD＝4cm，BC＝BO+OC＝AE＝6cm，由勾股定理知，AD2＝AE2+DE2，得AD＝2cm，∴AO＝OD＝2cm，S△AOD＝AO•DO＝AD•OF，∴OF＝cm．13．解：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB中位线．根据三角形中位线定理，EF＝AB＝×10＝5．14．解：①连接OA，如图所示：∵⊙O的直径CD＝10，∴OA＝5，∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝AB＝×8＝4，在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；②连接OA，如图所示：同①得：OM＝3，∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2；综上所述，DM的长为8或2，故答案为：8或2．15．解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8，在Rt△AOC中，OC＝＝＝6，即点O到弦AB的距离为6cm．故答案为6．16．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝．故答案为：．三．解答题17．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．18．（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32．19．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O 点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF＝＝16，∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．20．解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15，∴B1C1＝30∴弓臂两端B1，C1的距离为30，∴弓臂BAC的长为L扇形B1D1C1＝＝20πcm；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr＝，∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2＝＝10∴D1D2＝10﹣10．故答案为30，20π．21．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．∴DM＝DE．∵DE＝8（cm）∴DM＝4（cm）在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），∴OM＝＝＝3（cm）∴直尺的宽度为3cm．22．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，∵要使高为3米的船通过，∴y＝3，则3＝﹣x2+4，解得：x＝±5，∴EF＝10米；（2）设圆半径r米，圆心为W，∵BW2＝BC2+CW2，∴r2＝（r﹣4）2+102，解得：r＝14.5；在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，即GF2＝14.52﹣13.52＝28，所以GF＝2，此时宽度EF＝4米．23．解：（1）消防车不能通过该直角转弯．理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，∵FH＝EH＝4，∴EF＝4，且∠GEC＝45°，∵GC＝4，∴GE＝GC＝4，∴GF＝4﹣4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角转弯；（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，∴OG＝4，OM＝4，∴OF＝ON＝OM﹣MN＝4﹣4，∴FG＝OG﹣OF＝×8﹣（4﹣4）＝8﹣4＜3，∴C、D在上，设ON＝x，连接OC，在Rt△OCG中，OG＝x+3，OC＝x+4，CG＝4，由勾股定理得，OG2+CG2＝OC2，即（x+3）2+42＝（x+4）2，解得x＝4.5．答：ON至少为4.5米．24．解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD∵AB＝CD∴ABCD为矩形∴AC＝BD＝320cm，GN＝AB＝CD＝40cm∴AG＝GC＝160cm，设⊙O的半径为R，得R2＝（R﹣40）2+1602，解得R＝340cm，340×2＝680（cm）．答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．25．解：过A、B、C三点作⊙O，连接OB．∵AD垂直平分BC∴点O必在AD上，BD＝CD＝24设⊙O的半径为r，则OD＝48﹣r∵OD2+BD2＝OB2∴（48﹣r）2+242＝r2解得，r＝30∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm．。

3.3 垂径定理同步测试一、选择题1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm2..下列下列说法中，正确的是（）A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心3.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．54.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.2335.如图，一圆弧形钢梁的拱高CD为8m，跨径AB为40m，则这钢梁圆弧的半径是（）A. 28mB. 29mC. 30mD. 31m6.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O 的半径为( )A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm7.在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．168..已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（）A. 17cmB. 7cmC. 12cmD. 17cm或7cm9.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分的水面宽为0．8米，最深处水深0．2米，则此输水管道的直径是（）A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米D．1米10.数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段（DE）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O的半径为（）A. 3厘米B. 厘米C. 厘米D. 2厘米二、填空题11.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.12.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________ cm．13.如图将半径为4米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________ 米．14.已知⊙O的半径为30mm，弦AB＝36mm，求点O到AB的距离为______，∠OAB的余弦值为_____．15.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为4，圆心P坐标是（4，a）（a＞4），函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4 ，则a的值是________．三、综合题16.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.17.如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．18.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？19.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．3.3 垂径定理同步测试答案一、选择题1.A2.D3.A4.B5.B6.A7.B8.D9.D 10.A二、填空题⌒⌒⌒⌒11.OM=ON AC=BC, AM=BM AN=BN12.4813.43314.24cm515.4+22三、综合题16.6cm17.证明：∵OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，∴OE和OF是圆的两条弦的弦心距，∵AB，CD是⊙O的两条弦，AB=CD，∴OE=OF．18.解：设秋千链子的上端固定于A处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A,B的铅垂线分别为AD,BE,点D,E在地面上,过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中,AB=3,∠CAB=53°,∴AC=3cos53°≈3×0.6=1.8（m）,∴CD≈3+0.5-1.8=1.7（m）,∴BE=CD≈1.7（m）,答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．19.连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=4，设AO=x，则OC=OD-CD=x-2，。

课时作业(二十一)[第三章 *3 垂径定理]一、选择题1．如图K －21－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是()图K －21－1A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD2．如图K －21－2，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是听课例1归纳总结()图K －21－2A ．4B ．6C ．8D ．103．某某是著名的桥乡，如图K －21－3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5 m ，则水面宽AB 为()听课例3归纳总结图K －21－3A ．4 mB ．5 mC ．6 mD ．8 m4．2018·临安区如图K －21－4，⊙O 的半径OA ＝6，以A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为()图K －21－4A ．6 3B ．6 2C ．3 3D ．3 25．如图K －21－5，正方形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，⊙O 的直径为2分米，若在这个圆内随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是()图K－21－5A.2πB.π9C.12πD．2π6．如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA 长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()图K－21－6A.95B.215C.185D.527．2018·某某已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB ＝8 cm，则AC的长为()A．2 5 cm B．4 5 cmC．2 5 cm或4 5 cm D．2 5 cm或4 3 cm二、填空题8．过⊙O内一点M的最长的弦长为10 cm，最短的弦长为8 cm，那么OM的长为________．9．如图K－21－7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限内，⊙P 与x轴交于点O，A，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为________．图K－21－710.如图K－21－8所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________．图K－21－811．如图K－21－9，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为________.听课例1归纳总结图K－21－912．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K－21－10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.听课例3归纳总结图K－21－10三、解答题13．2018·浦东新区二模如图K－21－11，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5 3，求弦CD的长及圆O的半径.听课例1归纳总结图K－21－1114．如图K－21－12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图K －21－1215．一个半圆形桥洞截面如图K －21－13所示，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝16 m ，OE ⊥CD 于点E .已测得sin ∠DOE ＝45.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？听课例3归纳总结图K －21－13探索存在题如图K －21－14，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是弧AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K －21－14详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3， ∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4， ∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] D 连接OA ，∵桥拱半径OC 为5 m ，∴OA ＝5 m ．∵CD ＝8 m ，∴OD ＝8－5＝3(m)，∴AD ＝OA 2－OD 2＝4 m ，∴AB ＝2AD ＝2×4＝8(m)．4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，∴OD ＝AD ＝3，在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] A6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如图(1)所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝3 cm ，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝4 5(cm)．当点C 的位置如图(2)所示时，同理可得OM ＝3 cm ，∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝2 5(cm)．综上所述，AC 的长为4 5 cm 或2 5 cm.故选C.8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 最长的弦，CD 为过点M 最短的弦，连接OD ，则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)． 9．[答案] (3，2)[解析] 过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP . ∵A (6，0)，PD ⊥OA ，∴OD ＝3.在Rt △OPD 中，∵OP ＝13，OD ＝3，∴PD ＝OP 2－OD 2＝（13）2－32＝2，∴P (3，2)．10．[答案] 6[解析] 由AB ，AC 都是⊙O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，根据垂径定理可知M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴BC ＝2MN ＝6.11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1，在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3，∴AB ＝2AD ＝2 3.故答案为2 3.12．[答案] 25[解析] 如图，设圆的圆心为O ，连接OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 的半径为R cm.由题意得OC ⊥AB ，∴AD ＝DB ＝12AB ＝20 cm.在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝90°，∴OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25.故答案为25.13．解：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接OD ， ∵∠CEA ＝30°，∴∠OEM ＝∠CEA ＝30°. 在Rt △OEM 中，∵OE ＝4，∴OM ＝12OE ＝2，EM ＝OE ·cos30°＝4×32＝2 3.∵DE ＝5 3， ∴DM ＝DE －EM ＝3 3.∵OM 过圆心，OM ⊥CD ，∴CD ＝2DM ＝6 3. ∵在Rt △DOM 中，OM ＝2，DM ＝3 3， ∴OD ＝OM 2＋DM 2＝22＋（3 3）2＝31. 故弦CD 的长为6 3，⊙O 的半径为31.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM ＝ON .在Rt △OMB 和Rt △ONC 中，OM ＝ON ，OB ＝OC ，∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ，∴BM ＝. ∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AB ＝2BM ，CD ＝2，∴AB ＝CD .15．[解析] (1)由OE ⊥CD ，根据垂径定理求出DE ，解Rt △DOE 可求半径OD ； (2)在Rt △DOE 中，由勾股定理求出OE ，再用OE 除以水面下降的速度，即可求出时间． 解：(1)∵OE ⊥CD 于点E ，CD ＝16 m ， ∴ED ＝12CD ＝8 m.在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE ＝ED OD ＝45，∴OD ＝10 m.(2)在Rt △DOE 中，OE ＝OD 2－ED 2＝102－82＝6(m)，6÷＝12(时)，故水面以每小时0.5 m 的速度下降，经过12小时才能将水排干．[素养提升][解析] (1)根据垂径定理可得BD ＝12BC ，然后只需利用勾股定理即可求出线段OD 的长；(2)连接AB ，如图，利用勾股定理可求出AB 的长，根据垂径定理可得D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE ＝12AB ，即DE 的长度保持不变．解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4， 即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变． 连接AB ，如图，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步达标训练（附答案）1．如图，在⊙O中AB为直径，CD为弦，AB⊥CD于点E，CD＝6，EB＝1，则AE的长为（）A．5B．7C．8D．92．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm3．P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（）A．5B．6C．8D．104．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，OF＝cm，则OE的长度是（）A．2cm B．4cm C．5cm D．3cm5．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．86．如图，AB为⊙O的直径，弦CN与AB交于点D，AC＝AD，OE⊥CD，垂足为E，若CE＝4ED，OA＝2，则DN的长为（）A．1B．C．D．7．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（）A．48B．45C．42D．408．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（）A．40cm2B．20cm2C．10cm2D．5cm29．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P 的半径为（）A．3B．4C．5D．610．如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（）A．4B．4C．3D．311．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（）A．6B．2C．6或2D．以上说法都不对12．如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．13．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．14．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是．15．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作▱PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE 长的最大值与最小值的积等于．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为．17．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．18．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD ＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点．20．如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？21．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．参考答案1．解：连接OC，如图所示：∵AB⊥CD，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣1，在Rt△OEC中，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（r﹣1）2+32＝r2，解得：r＝5，∴OA＝5，OE＝4，∴AE＝OA+OE＝9，故选：D．2．解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC＝AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．3．解：如图，过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，则∠OP A＝90°，由勾股定理得：AP＝＝＝4，∵OP⊥AB，OP过圆心O，∴BP＝AP＝4，即AB＝4+4＝8，故选：C．4．解：连接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8cm，∴BE＝ED＝BD＝4（cm），∵OF⊥BC，∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝cm，∴AB＝2OF＝2（cm），由勾股定理得：AE＝＝2（cm），在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3（cm），故选：D．5．解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，∵MO＝6，∠OMA＝30°，∴OC＝MO＝3，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，OC过O，∴BC＝AC，即AB＝2AC＝2×4＝8，故选：D．6．解：过A点作AF⊥CN于F，连接ON，如图，∵AC＝AD，∴CF＝DF，∵OE⊥CN，∴CE＝NE，设DE＝x，则CE＝NE＝4x，CD＝5x，∴CF＝FD＝x，∴EF＝x﹣x＝x，∵OE∥AF，∴DO：OA＝DE：EF，即DO：2＝x：x，解得DO＝，在Rt△ODE中，OE2＝OD2﹣DE2＝（）2﹣x2，在Rt△ONE中，OE2＝ON2﹣NE2＝22﹣（4x）2，∴（）2﹣x2＝22﹣（4x）2，解得x＝，∴DN＝EN﹣DE＝3x＝3×＝．故选：C．7．解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，在Rt△ABD中，BD＝＝＝75，∵×AH×BD＝×AD×AB，∴AH＝＝36，∵⊙O的半径为26，∴点O在AH上时，OH最短，∵HM＝，∴此时HM有最大值，最大值为＝24，∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×24＝48．故选：A．8．解：连接OB，如图所示：设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，∴BE＝DE＝4（cm），在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，∴（r﹣2）2+42＝r2解得：r＝5，∵△BOC的面积＝OC×BE＝×4×5＝10（cm2），∵OF⊥BC，∴BF＝CF，∴△OFC的面积＝△BOC的面积＝5（cm2），故选：D．9．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，∴OM＝4，ON＝10，∴MN＝6，∵PD⊥MN，∴DM＝DN＝MN＝3，∴OD＝7，∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，∴PM＝＝＝5，即⊙P的半径为5，故选：C．10．解：过点O作OF⊥CD于点F，设CE＝3x，DE＝5x，∴OD＝DE＝5x，CD＝8x，∴由垂径定理可知：DF＝4x，∴EF＝x，由勾股定理可知：OF＝3x，在Rt△OEF中，由勾股定理可知：（3x）2+x2＝52，∴x＝，∴CD＝8x＝4，故选：A．11．解：如图，①若CD＝8，则CF＝CD＝4，∵OC＝OA＝5，∴OF＝3，∵EF＝1，∴OE＝2，则AE＝，∴AB＝2AE＝2；②若AB＝8，则AE＝AB＝4，∵OA＝OC＝5，∴OE＝3，∵EF＝1，∴OF＝4，则CF＝3，∴CD＝2CF＝6；综上，另一弦长为6或2，故选：C．12．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y＝﹣x﹣5与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（﹣12，0），E（0，﹣5），∴OD＝12，OE＝5，∴DE＝＝＝13，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△MNE∽△DOE，∴＝，∴＝，∴MN＝，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×13×（﹣）＝，故答案为：．13．解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：∵GO⊥AB，∴OA＝OB，∵G（0，2），∴OG＝2，在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，∴AG＝2OG，OA＝＝2，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA＝4，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，故答案为：2﹣2．14．解：连接OB，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝2，在Rt△OBC中，OC＝＝＝11，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，∵OD＝＝5，∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．故答案为6．15．解：连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．∵四边形PCED是平行四边形，∴EK＝PK，CK＝DK，∴OK⊥CD，在Rt△COK中，∵OC＝5，CK＝3，∴OK＝＝4，∵OP＝OB+PB＝6，∴6﹣4≤PK≤6+4，∴2≤PK≤10，∴PK的最小值为2，最大值为10，∵PE＝2PK，∴PE的最小值为4，最大值为20，∴线段PE长的最大值与最小值的积等于80．故答案为80．16．解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2．故答案为：217．解：作OD⊥AB于D，连接OA．∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，在Rt△OAD中AD＝＝＝，∴AB＝2AD＝2．故答案为：2．18．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，P A，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝．故答案为：．19．解：（1）过点O作OH⊥EF于H，由勾股定理得，AC＝＝4，∵DE⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，∵∠C＝∠C，∴△ACB∽△ADE，∴＝，即＝，解得，DE＝6，∴⊙O的半径为3，AE＝＝10，∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED，∴△EHO∽△EDA，∴＝，即＝，解得，OH＝，∴点O到EF距离为；（2）连接EG，∵AE＝10，AC＝4，∴EC＝6，∴EC＝ED，∵DE是⊙O的直径，∴EG⊥CD，∴G是CD的中点．20．解：∵车宽1.6米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝0.6（m），CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5，∴卡车能通过此门．21．（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．。

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《圆的对称性》分层练习◆基础题1．如图,在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD 的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．12．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是( ）A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm3．⊙O的半径是13,弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（）A．7 B．17 C．7或17 D．344．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材,埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）A．25寸B．13寸C．25寸D．26寸25．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是．6．在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为7,直线y=mx﹣3m+4交⊙O于A、B两点,则线段AB的最小值为．7．如图，点P在半径为3的⊙O内，OP=3,点A为⊙O上一动点，弦AB过点P，则AB最长为，AB最短为．8．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm．9．已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．10．已知：如图,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．◆能力题1．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．23cm B．43cm C．3cm D．2cm2．据史料记载,雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m,河面宽AB为24m，则桥高CD为（）A．15m B．17m C．18m D．20m3．如图，在⊙O中,弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（）A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm4．如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°,DE=6cm,CE=2cm,则弦AB的长为．5．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD= ．6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC,若AB=4，CD=1，则EC的长为．7．如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB，垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,CE=2．（1）求AB的长;（2）求⊙O的半径．8．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥?请说明理由．◆提升题1．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上,点A在⊙O内,其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为( ）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a)（a＞3）,半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是( )A．4 B．32++C．32D．333．如图，在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A，B,C三点，已知点A 的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1,2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是．4．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC,垂足分别为M、N．如果MN=2.5,那么BC= ．5．如图，⊙O中,直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．(1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1,求⊙O的半径．6．如图,AB是半圆O的直径,AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．（1）求弦AC的长；(2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．答案和解析◆基础题1．【解答】C解:连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB,∴由垂径定理可知:AB=4，由勾股定理可知:52=42+（5﹣x)2∴x=2，∴CD=2．2．A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm【解答】D解：连接OC，设OE=3x，EB=2x，∴OB=OC=5x,∵AB=20，∴10x=20，∴x=2,∴由勾股定理可知：CE=4x=8，∴CD=2CE=16．3．【解答】C解：如图，AE=12AB=12×24=12，CF=12CD=12×10=5,OE==5，OF=12，①当两弦在圆心同侧时，距离=OF﹣OE=12﹣5=7;②当两弦在圆心异侧时，距离=OE+OF=12+5=17．所以距离为7或17．4．【解答】D解：连接OA．设圆的半径是x尺,在直角△OAE中，OA=x,OE=x﹣1,∵OA2=OE2+AE2，则x2=（x﹣1)2+25，解得:x=13．则CD=2×13=26（cm)．5．【解答】3≤OP≤5解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M,∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M,∴AM=BM，∵AB=8，∴AM=4，在Rt△AOM 中,OM=3，OM的长即为OP的最小值，∴3≤OP≤5．6．【解答】46解:∵直线y=mx﹣3m+4必过点D（3，4）,∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦,∵点D的坐标是（3，4）,∴OD=5，∵⊙O的半径为7，∴C(7，0），∴OA=OC=7，∴AD=26，∴AB的长的最小值为46．7．【解答】6，26解：AB为过P点的直径时，则AB最长为6，当OP⊥AB时，AB为过P点的最短弦，∵OP⊥AB，在Rt△APO中，AP=PB=12AB=6,∴AB=26．8．【解答】3解：∵OD⊥AC于点D，∴AD=CD，又∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=12BC，∵BC=6cm，∴OD=3cm．9．解：环形的面积为9π,根据圆的面积公式可得:π×OA2﹣π×OM2=9π,解得OA2﹣OM2=9，再根据勾股定理可知：9就是AM的平方，所以AM=3，AB=6．10．证明：如图,过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．又∵OE=OF，∴EM=FM,∴AE=BF．◆能力题1．【解答】B解:如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交AB于点D，交弦AB于点E，∵AB折叠后恰好经过圆心,∴OE=DE,∵⊙O的半径为4，∴OE=12OD=12×4=2，∵OD⊥AB，∴AE=12AB，在Rt△AOE中，AE=23．∴AB=2AE=43．2．A．15m B．17m C．18m D．20m 【解答】C解:连结OA，如图，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=12×24=12，在Rt△OAD中，OA=5，OD=5，∴CD=OC+CD=13+5=18（m)．3．A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm【解答】B解:过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm,圆心O到AB的距离为6cm,∴OE=6cm，AE=12AB=8cm，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=10cm．4．【解答】215cm解：作OM⊥AB于点M，连接OA，圆半径OA=12（DE+EC）=4cm OE=DE﹣OD=2cm,在直角△OEM中，∠CEB=30°，则OM=12OE=1cm，在直角△OAM中，根据勾股定理：AM=15（cm）,∴AB=2AM=215cm．5．【解答】50 13解:过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵∠C=90°,AC=5,CB=12，∴由勾股定理，得AB=13，∵5×12=13•CE，∴CE=6013，∴由勾股定理，得AE=2513，∴由垂径定理得AD=50 13．6．【解答】13解:连接BE ，∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB =2，∴AC =BC =2，设OA =x ，∵CD =1,∴OC =x ﹣1,在Rt △AOC 中，AC 2+OC 2=OA 2,∴22+(x ﹣1)2=x 2，解得：x =52，∴OA =OE =52，OC =32，∴BE =2OC =3，∵AE 是直径,∴∠B =90°,∴CE =13．7．解：（1）∵CD ⊥AB ,AO ⊥BC ，∴∠AFO =∠CEO =90°，在△AOF 和△COE 中，AFO CEO AOF COE AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF ≌△COE ,∴CE =AF ，∵CE =2，∴AF =2，∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴12AF BF AB ==,∴AB =4． (2)∵AO 是⊙O 的半径，AO ⊥BC ，∴CE =BE =2，∵AB =4，∴12BE AB =，∵∠AEB =90°，∴∠A =30°，又∵∠AFO =90°,∴cosA =AF AO =2AO=32,∴433AO =,即⊙O 的半径是433．8．解:不能通过．设OA=R,在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2,R2=900+R2﹣36R+324,解得R=34m，连接OM,在Rt△MOE中，ME=16,OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．◆提升题1．【解答】B解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，设AB的长为xcm，∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=x；∵OA=4cm，BC=10cm，∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm,OD=（x﹣4）cm，又∵∠ADB=60°，∴DE=12 OD,∴x﹣5=12（x﹣4）,解得：x=6．2．【解答】B解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E,连结PB,如图，∵⊙P 的圆心坐标是（3，a），∴OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=12AB=12×42=22，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=1，∴PD=2PE=2，∴a=3+2．3．【解答】（﹣1，1）解:如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是(﹣1,1）．4．【解答】5解:∵AB，AC都是⊙O的弦,OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN=2。

*3.3 垂径定理1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.。