人教新课标版数学高一-数学必修5导学案 简单的线性规划问题(一)

3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务 1 阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.2．预习自测1．不等式组36020.x yx y≥⎧⎨<⎩－＋，－＋表示的平面区域是()【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B2．不等式组210.y xy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，－，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D3．若满足条件20x yx yy a-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C（二）课堂设计1．知识回顾在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：0=++CByAx；（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0>++CByAx；（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0Ax By C++<.即二元一次不等式0Ax By C++>或0Ax By C++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2．问题探究问题探究一线性规划的含义观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x想一想：在前一节二元一次不等式（组）与平面区域的学习中，如何将上述不等式组表示成平面区域？探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？想一想：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？错误！未找到引用源。

3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

3.3.2简单线性规划问题从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时安排3课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时导入新课师 前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下. （生回答）推进新课 ［合作探究］师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？生 由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 （板演）师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？ 生 则z=2x+3y.师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ ［教师精讲］师 把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z 最大.由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元. ［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=t,t ∈R. 可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x =2×5+2=12,t min =2×1+3=3.(2)(3) ［合作探究］师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额成本1 000 1 500 6 000 运费500 400 2 000 产品90 100 解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y xz=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t 过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×720=440. 答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x目标函数为z=2x+3y. 作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值.解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）. 答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.3.课本106页习题3.3A 组2.第2课时导入新课师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线l 0;(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解;(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课师 【例1】 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200）， 令t=300x+900y， 即,90031t x y +-=, 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112 500. 师 【例2】 求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000. 师 【例3】 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.可行域如右图所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t ∈R).∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知：当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min=1.师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x ［教师精讲］师 （1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线l:2x+y=t,t ∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m a x =2×2-1=3.（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817=14.［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？师 分析：将已知数据列成下表：消耗量 产品 资源甲产品（1 t ） 乙产品(1 t) 资源限额（t ） A 种矿石（t ）10 4 300 B 种矿石(t)5 4 200 煤(t) 利润（元）4 9 360 600 1 000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0,即直线:3x+5y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x 得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l 0.（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值. 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A 组3、4.第3课时导入新课师 前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题. 推进新课师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少克？师 分析：将已知数据列成下表：食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kgA 0.105 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07若设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，如何列式？生 由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0 其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生 考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z 是直线在y 轴上的截距，当28z 取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z[]28最小，即z 最小. 解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人高中 40 3 54/班 2/人师 由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元, 此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z ，随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元. 师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生 若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如下图：把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为 3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元. ［教师精讲］师 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义. 课堂小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（2）设t=0，画出直线l 0；（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值. 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3 B组1、2、3板书设计第1课时简单线性规划问题图1课堂小结线性规划问题的相关概念图2第2课时简单线性规划问题例1课堂小结例3例2第3课时简单线性规划问题例5课堂小结例7例6。

3.3.2 简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)；2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题(重、难点).知识点1线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组) 线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【预习评价】1.线性约束条件的特征是什么？提示一是关于变量x，y的不等式；二是次数为1.2.可行解、可行域和最优解之间是什么关系？提示可行解是满足约束条件的解(x，y)；可行域是由所有可行解组成的集合；最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.知识点2线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答：写出答案.【预习评价】1.最优解一般会在可行域的哪些地方取到？提示若目标函数存在一个最优解，则最优解通常在可行域的顶点处取得；若目标函数存在多个最优解，则最优解一般在可行域的边界上取得.2.在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系又是怎样的？提示z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应截距的最大值.方向1 求线性目标函数的最值问题【例1－1】 设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15 B.－9 C.1D.9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A方向2 非线性目标函数的最值【例1－2】 (1)变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322 B. 5 C.5D.92(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为()A.6B.5C.2D.－1解析 (1)作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5， 故选C.(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)， 则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.故选B.答案 (1)C (2)B方向3 由目标函数的最值求参数的值【例1－3】已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( ) A.3 B.4 C.5D.7解析 作出不等式组对应的平面区域如图： 由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝5，故选C.答案 C规律方法 1.给定约束条件的情况下，求目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路为：(1)根据约束条件作出可行域；(2)将目标函数看作经过可行域内点的直线，并将目标函数值与该直线在y轴(或x轴)上的截距建立联系；(3)平移直线确定截距最大(最小)时所对应点的位置；(4)解有关方程组求出对应点坐标，再代入目标函数求目标函数最值.2.(1)若目标函数为形如z＝y－bx－a，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率.(2)若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方.题型二线性规划的实际应用【例题】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 规律方法 解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答——对应用题提出的问题作出回答.【训练】 某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200). 所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元).所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.【训练】 某人有一幢房子，室内面积共180 m 2，拟分隔成两类房间作为游客住房.大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解 设他应隔出大房间x 间，小房间y 间，能获得收益为z 元，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ， 目标函数z ＝200x ＋150y .约束条件化简为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，可行域如图阴影部分所示.根据目标函数作一族平行直线：4x ＋3y ＝t ，这些直线中经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607的直线在y 轴上的截距最大.此时z ＝200x ＋150y 取最大值，但此时x ，y 均不为整数，故不是最优解，因此要进行调整.将直线4x ＋3y ＝2607向左下方平移至4x ＋3y ＝37，则 y ＝37－4x3，将其代入的约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×37－4x3≤60，5x ＋3×37－4x3≤40，可得52≤x ≤3.∵x 为整数，∴x ＝3，此时y 为非整数，故在直线4x ＋3y ＝37上无最优整数解. 将直线再向左下方平移一个单位，得直线4x ＋3y ＝36.则y ＝36－4x3，将其代入约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×36－4x3≤60，5x ＋3×36－4x3≤40，可得0≤x ≤4.∵x 为整数，∴x ＝0，1，2，3，4，代入求得它们对应的y ＝12，323，283，8，203. 故可得最优解为(0，12)和(3，8)，此时z max ＝1 800.即他应该隔出小房间12间或隔出大房间3间，小房间8间，才能获得最大收益.课堂达标1.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.23 B.1 C.32D.3解析 目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中A (0，1)，B (0，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，选D. 答案 D2.实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是()A.[－1，0]B.(－∞，0]C.[－1，＋∞)D.[－1，1) 解析 作出可行域，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1). 答案 D3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A.－3B.3C.－1D.1解析 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x ＋ay 取最小值，则a ＝－3. 答案 A4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析由题意，画出可行域如图阴影部分所示：由z＝3x－4y，得y＝34x－z4，作出直线y＝34x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.答案－1课堂小结1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.4.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.。

26.简单的线性规划问题（一）教学目标 班级______ 姓名____________1.了解线性规划的基本概念.2.掌握简单的线性规划问题的一般解法.教学过程一、线性规划的相关概念.1.线性规划的相关概念.（1）约束条件：关于变量x ，y 的不等式组.（2）线性约束条件：关于x ，y 的一次不等式组.（3）目标函数：要求最值的关于x ，y 的函数解析式.（4）线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式.（5）可行解：满足线性约束条件的解),(y x . （6）可行域：由所有可行解组成的集合.（7）最优解：使目标函数取最值的可行解.（8）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题.2.注意事项.（1）线性约束条件必须是关于x ，y 的二元一次不等式（或等式）.（2）在线性约束条件下，最优解可能不唯一.（3）最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.（4）线性规划问题不一定存在可行解.二、线性规划问题.1.用线性规划求最值的一般步骤：（1）画可行域；（2）分析几何意义；（3）找最优解，求最值.2.常用几何公式：（1）截距：直线b kx y +=（斜截式）与y 轴交点的纵坐标，即当0=x 时，y 的值b .（2）斜率：2121x x y y k --=，表示),(11y x ，),(22y x 两点连线的斜率. （3）两点间的距离：221221)()(y y x x d -+-=，表示),(11y x ，),(22y x 两点间的距离. （4）点到直线的距离：2200||B A C By Ax d +++=，点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离.三、例题分析：1.用线性规划求最值.32≤+y x ，例1：设变量x ，y 的线性约束条件为 32≤+y x ，求分别目标函数y x z +=1， 0≥x ，0≥y .12+=x y z ，322223+-++=y x y x z 的最大值.02≥-+y x ， 作业：若实数x ，y 满足 4≤x ， 求x y S -=的最小值.5≤y ，。

简单的线性规划问题使用说明 1.课前完成语系学案上的问题导学及例题.2.认真限时完成，规范书写，课堂小组合作探讨，答疑解惑.学习目标：（1）了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）能根据条件，建立线性目标函数；（3）了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值问题导学：1.对于关于两个变量x,y 的不等关系表示成的不等式（组），称为（ ），如果约束条件中都是关于x,y 的一次不等式，称为（ ）2.在线性约束条件下，欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量x,y 的函数解析式=f(x,y),称为（ ），当f(x,y)是关于x,y 的一次解析式时，z=f(x,y)称为（ ）3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为（ ），满足线性约束条件的解（x,y ）叫做（ ）由所有可行解组成的集合叫做（ ），使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的（ ），使x,y 均为整数的最优解叫做（ ）。

4.解线性规划应用题的一般步骤： 1.设出_________２.列出_________，确定_________ 3.画出_________4.作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与_________有交点，5.判断_________求出目标函数的_________，并回到原问题中作答。

. 典型例题：例1.（1） 求z =2x +y 的最大值，使x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使x 、y 满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩例2.某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，，生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（按每天8h 计算）基础测评： 一. 选择题.1.若x ≥0,y ≥0,且x+y ≤1,则z=x+y 的最大值为 ( )A －1B 1C 2D －22.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时，z 的意义是（ ） A,该直线的截距 B.该直线的纵截距C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距3.不等式组⎩⎨⎧ x –y +5≥0x + y ≥0 x ≤3表示的平面区域的面积等于（ ）A 、32B 、1214C 、1154D 、6324.有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 （ ） A, Z=6x+4y B z=5x+4y C z=x+y D z=4x+5y5.．如图，022<-y x表示的平面区域是（ ）6. 给出平面区域如图7-28所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（ ）A ．32B ．21 C ．2 D ．23二填空题7．z=3x+2y ，x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-1302y x y x ，在直线x=3上找出三个整点可行解为__________。