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16．1 二次根式
李度一中陈海思
镇海中学陈志海
第1课时二次根式的概念
1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)
2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)
一、情境导入
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为
________．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．
问题2：上面得到的式子3，S，65，h
5
分别表示什么意义？它们有
什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：二次根式的定义
下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；
(4)3
13；(5)
1
5
－
1
6
；(6)3－x(x≤3)；
(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；
(10)（a－b）2(ab≥0)．
解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．
解：因为11，（－7）2，1
5
－
1
6
＝
1
30
，3－x(x≤3)，（a－1）2，
（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.的根指不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．
方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．
探究点二：二次根式有意义的条件
【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围
求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1)
1
4－3x
；(2f(3－x,x－2)；(3)
x＋5
x
.
解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．
解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜4
3
.当x＜
4
3
时，
1
4－3x
有意义；
(2)由题意得错误!解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义；
(3)由题意得错误!解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，错误!有意义．
方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多二次根式，那么它们有义的条件是各个二次根式中的被开方都必须是非负数；(2如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a 1；
(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －＋3－x ＋4，求yx 的平方根．
解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出yx 的平方根．
解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩
⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；
(2)根据题意得⎩
⎨⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故yx ＝43＝64，±64＝±8，∴yx 的平方根为±8.
方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题
先观察下列等式，再回答下列问题．
①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112
； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116
； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112
. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出
1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．
解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)
找的规律写出表示这个规律的式子．
解：(1)1＋
1
42
＋
1
52
＝1＋
1
4
－
1
4＋1
＝1
1
20
；
(2)1＋
1
n2
＋
1
（n＋1）2
＝1＋
1
n
－
1
n＋1
＝1
1
n（n＋1）
(n为正整数)．
方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
三、板书设计
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.
通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．
【素材积累】
1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。
２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；
