山东省济南市历城第二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题 答案和解析
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【详解】
解： 三点共线， 存在实数 使得 ，
又 ，
，解得： ．故选A．
【点睛】
本题考查了向量共线定理，共面向量基本定理，属于中档题．
11．D
【详解】
解：设 ，
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若 ，则 ___________.
14．已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在 方向上的投影为______．
15．已知 ，则 ______.
16．已知函数 ，若 满足 ，则下列结论正确的是_______.
①函数 的图象关于直线 对称
②函数 的图象关于点 对称
③函数 在区间 上单调递增
A．2，4B．4，4C．2，8D．4，8
4．化简 的结果为
A． B． C． D．
5．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ,且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 +1的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量 ， ，且两向量夹 ，则 （ ）
A．1B． C． D．
【详解】
解：角α的终边经过点 ，
则sinα ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．C
【分析】
根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值．
【详解】
解： ， ，故选C．
【点睛】
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，是道基础题/
3．A
【分析】
由弧长公式及扇形面积公式得到结果.
7．A
【解析】
【分析】
根据同角三角函数关系式及 ，可求得 ，代入即可求解。
【详解】
由同角三角函数关系式，
，解得
所以
所以选A
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题。
8．B
【分析】
要求 ，由题意先计算出 ，然后由 计算出结果
【详解】
，
，
又 ，且两向量夹角为 20
，
故选
【点睛】
本题考查了由向量坐标计算向量的模，熟练运用公式进行求解，较为简单
④存在 ，使函数 为偶函数
三、解答题
17．已知函数 .
(1)求函数 得单调增区间；
(2)求函数 在区间 的最值.
18．已知向量 ， .
(1)当 时，求向量 与 的夹角的余弦值；
(2)当 可时，求 .
19．已知函数 （A>0， ， ）的图象如图所示． 是函数 图象上的两点，
（1）求函数 的解析式；
（2）若点 是平面上的一点，且 ⊥ ，求实数k的值.
山东省济南市历城第二中学【最新】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角 的终边经过点 ，则
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，若 ，则m=( )
A． B． C．3D．-3
3．已知一扇形的半径为2，弧长为4，则此扇形的圆心角的弧度数和此扇形的面积分别为
【详解】
y＝sinxcosx＝ sin2x，
由 2kπ≤2x≤2kπ ，
即 kπ≤x≤kπ ，k∈Z，
所以函数 的单调递减区间是 ，
故选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
6．A
【分析】
由三角函数的诱导公式，求得 ，再由三角函数的基本关系式，求得 ，
【详解】
∵一扇形的半径为2，弧长为4，
∴此扇形的圆心角的弧度数为 ，
此扇形的面积为 ，
故选A
【点睛】
本题考查扇形面积公式及弧长公式，考查熟练掌握公式及灵活转化运算的能力，属于中档题．
4．B
【分析】
3弧度的角是第二象限角，利用它的正弦为正、余弦为负可得化简结果.
【详解】
因为3弧度的角是第二象限角，故 ，
（2）分别过 向 轴作垂线，垂足分别为 ，记△ ，△ 的面积分别为 .若 ，求角 的大小.
22．已知向量 ， ，函数 ， .
(1)若 的最小值为11，求实数m的值；
(2)是否存在实数m，使函数 ， 有四个不同的零点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
20．已知向量 ， 满足 ， .
(1)求 关于 的解析式 ；
(2)求向量 与 夹角的最大值；
(3)若 ∥ 且方向相同，试求 的值.
21．如图，在平面直角坐标系 中，角 的顶点是坐标原点，始边为 轴的非源自文库半轴，终边与单位圆 交于点 ，将角 的终边绕原点逆时针方向旋转 ，交单位圆 于点
（1）若 ，求 的值；
所以原式 ，故选B.
【点睛】
同角的三角函数的基本关系式有平方关系和商数关系，平方关系式是 ，它是一个恒等式，体现了三角函数式中二次与常数的转化，因此在化简中可以把高次的代数式降次，可以把低次数的代数式升高次数.另外，基本关系式体现了方程的思想即“知一求二”.
5．B
【分析】
利用三角函数的倍角公式，将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．
9．C
【分析】
利用 ，所以 ，利用两角和的余弦公式展开即可求得．
【详解】
， ，且 ， ，
， ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦公式，主动观察发现已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，再用公式展开求解即可，是一道基础题．
10．A
【分析】
由于 三点共线，利用向量共线定理可得：
存在实数 使得 ，又 ，利用共面向量基本定理即可得出．
最后利用三角函数的基本关系式，即可求解 的值，得到答案.
【详解】
由三角函数的诱导公式，可得 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．已知 ， ，且 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
10．如图，在ΔABC中，已知 ，P是BN上一点，若 ，则实数m的值是( )
A． B． C． D．
11．已知向量 与 的夹角为120°， ， 与 同向，则当 最小时， 为( )
A．1B． C． D．
12．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三解形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积 关于时间 的函数为 ，则下列图中与函数 图象最近似的是（）
解： 三点共线， 存在实数 使得 ，
又 ，
，解得： ．故选A．
【点睛】
本题考查了向量共线定理，共面向量基本定理，属于中档题．
11．D
【详解】
解：设 ，
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若 ，则 ___________.
14．已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在 方向上的投影为______．
15．已知 ，则 ______.
16．已知函数 ，若 满足 ，则下列结论正确的是_______.
①函数 的图象关于直线 对称
②函数 的图象关于点 对称
③函数 在区间 上单调递增
A．2，4B．4，4C．2，8D．4，8
4．化简 的结果为
A． B． C． D．
5．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ,且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 +1的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量 ， ，且两向量夹 ，则 （ ）
A．1B． C． D．
【详解】
解：角α的终边经过点 ，
则sinα ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．C
【分析】
根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值．
【详解】
解： ， ，故选C．
【点睛】
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，是道基础题/
3．A
【分析】
由弧长公式及扇形面积公式得到结果.
7．A
【解析】
【分析】
根据同角三角函数关系式及 ，可求得 ，代入即可求解。
【详解】
由同角三角函数关系式，
，解得
所以
所以选A
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题。
8．B
【分析】
要求 ，由题意先计算出 ，然后由 计算出结果
【详解】
，
，
又 ，且两向量夹角为 20
，
故选
【点睛】
本题考查了由向量坐标计算向量的模，熟练运用公式进行求解，较为简单
④存在 ，使函数 为偶函数
三、解答题
17．已知函数 .
(1)求函数 得单调增区间；
(2)求函数 在区间 的最值.
18．已知向量 ， .
(1)当 时，求向量 与 的夹角的余弦值；
(2)当 可时，求 .
19．已知函数 （A>0， ， ）的图象如图所示． 是函数 图象上的两点，
（1）求函数 的解析式；
（2）若点 是平面上的一点，且 ⊥ ，求实数k的值.
山东省济南市历城第二中学【最新】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角 的终边经过点 ，则
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，若 ，则m=( )
A． B． C．3D．-3
3．已知一扇形的半径为2，弧长为4，则此扇形的圆心角的弧度数和此扇形的面积分别为
【详解】
y＝sinxcosx＝ sin2x，
由 2kπ≤2x≤2kπ ，
即 kπ≤x≤kπ ，k∈Z，
所以函数 的单调递减区间是 ，
故选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
6．A
【分析】
由三角函数的诱导公式，求得 ，再由三角函数的基本关系式，求得 ，
【详解】
∵一扇形的半径为2，弧长为4，
∴此扇形的圆心角的弧度数为 ，
此扇形的面积为 ，
故选A
【点睛】
本题考查扇形面积公式及弧长公式，考查熟练掌握公式及灵活转化运算的能力，属于中档题．
4．B
【分析】
3弧度的角是第二象限角，利用它的正弦为正、余弦为负可得化简结果.
【详解】
因为3弧度的角是第二象限角，故 ，
（2）分别过 向 轴作垂线，垂足分别为 ，记△ ，△ 的面积分别为 .若 ，求角 的大小.
22．已知向量 ， ，函数 ， .
(1)若 的最小值为11，求实数m的值；
(2)是否存在实数m，使函数 ， 有四个不同的零点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
20．已知向量 ， 满足 ， .
(1)求 关于 的解析式 ；
(2)求向量 与 夹角的最大值；
(3)若 ∥ 且方向相同，试求 的值.
21．如图，在平面直角坐标系 中，角 的顶点是坐标原点，始边为 轴的非源自文库半轴，终边与单位圆 交于点 ，将角 的终边绕原点逆时针方向旋转 ，交单位圆 于点
（1）若 ，求 的值；
所以原式 ，故选B.
【点睛】
同角的三角函数的基本关系式有平方关系和商数关系，平方关系式是 ，它是一个恒等式，体现了三角函数式中二次与常数的转化，因此在化简中可以把高次的代数式降次，可以把低次数的代数式升高次数.另外，基本关系式体现了方程的思想即“知一求二”.
5．B
【分析】
利用三角函数的倍角公式，将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．
9．C
【分析】
利用 ，所以 ，利用两角和的余弦公式展开即可求得．
【详解】
， ，且 ， ，
， ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦公式，主动观察发现已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，再用公式展开求解即可，是一道基础题．
10．A
【分析】
由于 三点共线，利用向量共线定理可得：
存在实数 使得 ，又 ，利用共面向量基本定理即可得出．
最后利用三角函数的基本关系式，即可求解 的值，得到答案.
【详解】
由三角函数的诱导公式，可得 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．已知 ， ，且 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
10．如图，在ΔABC中，已知 ，P是BN上一点，若 ，则实数m的值是( )
A． B． C． D．
11．已知向量 与 的夹角为120°， ， 与 同向，则当 最小时， 为( )
A．1B． C． D．
12．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三解形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积 关于时间 的函数为 ，则下列图中与函数 图象最近似的是（）