湖南省五市十校2021届高三上学期第二次大联考数学试卷及答案2020.12

湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题化学可能用到元素的相对原子质量：H 1 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Te 128 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 2020年7月23日我国首个火星探测器“天问一号”发射成功。

火星车所涉及的下列材料中属于金属材料的是( )A. 用石墨纤维和硅制成的太阳能电池复合材料B. 温控涂层材料的成分聚酰胺C. 用钛合金做的车轮材料D. 探测仪镜头材料用的二氧化硅2. 设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A. 4120.0g NaHSO 与4MgSO 的固体混合物中含有的离子总数大于2N AB. 含30.1mol CH COONa 的溶液与适量的3CH COOH 混合使溶液的pH 7=，则3CH COO -的个数为0.1N AC. 0.1mol Fe 恰好溶解在100mL 某浓度的硝酸溶液中，该反应转移的电子数为0.3N AD. 标准状况下，22.24L Cl 溶于水转移电子的数目为0.1N A 3. 下列对化学用语的描述中，正确的是( ) A. 羟基与氢氧根离子的电子式都可表示为：B. 2S -的结构示意图：C. 由Na 与Cl 形成NaCl 的过程：D. HClO 的结构式：H Cl O --4. 下列对实验现象解释的方程式中，正确的是( )A. 向醋酸中加入小苏打溶液，产生无色气体：2333222CH COOH CO 2CH COO CO H O --++===↑+ B. 向4NaHSO 溶液中加入足量的2Ba(OH)溶液，得到白色沉淀：224422H SO Ba2OH BaSO 2H O ===+-+-+++↓+ C .向AgCl 悬浊液中滴入2Na S 溶液，生成黑色沉淀：22=2S ==Ag S Ag +-+↓ D. 向铬酸钾溶液中滴入少量浓硫酸，溶液变橙色：2-+2-47222O CrO ()+)2HC O (H r +色黄色橙5. 实验室提纯含少量氯化钠杂质的硝酸钾的过程如图所示，下列分析错误的是( )A. 操作Ⅰ是溶解，操作Ⅱ是蒸发浓缩B. 若从分离出固体的滤液中获得NaCl 晶体，可再降温结晶C. 操作Ⅲ是降温结晶→过滤→洗涤→干燥，使硝酸钾晶体从溶液中分离岀来D. 除去3KNO 中NaCl 的原理是二者溶解度受温度变化影响不同 6. 已知某有机物X 的结构简式如图所示，下列说法正确的是()A. X 属于芳香烃的含氧衍生物B. X 的分子式为10163C H OC. X 分子只含有两种官能团D.X 分子可发生取代、消去、加成、氧化、缩聚反应 7. 二氧化硫—空气质子交换膜燃料电池将化学能转变成电能的同时，实现了制硫酸、发电、环保三位一体的结合，降低了成本提高了效益，其原理如图所示(注：质子指H +，质子交换膜仅允许H +通过)。

2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考（12月）数学（文）试题、单选题1.已知集合A x| x 1 , B x|x3，则AI B ( )A. 1,3B. ,3C.1,D.【答案】A【解析】利用集合交集的定义及其运算即可【详解】集合A x|x 1 , B x|x 3，则AI B x| 1 x 3 .故选：A【点睛】本题考查集合交集的定义及其运算，属于基础题.2 •已知i为虚数单位，复数Z满足iz3 2i，则Z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】利用复数代数形式的除法运算化简求出z即可.【详解】复数Z 满足iz 3 2i ,••• z 口1 （3 2学"2 3i ,i i则z在复平面内对应的点的坐标为（2, -3 ）,位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算,础题.考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基3 •执行如图所示的程序框图，输出的【答案】C【解析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当 T 4 16 20 S ，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可. 【详解】按照程序框图依次执行为S 1 , n 0, T 0 ；S 9 , n 2, T 0 4 4 ；S 17,n 4, T 416 20 S ,退出循环，输出 S 17.故应选C.【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点： （1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分 程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计 算，直到达到输出条件即可 •4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示 •为了 解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A . 25C. 17D. 20B. 9详解：因为分层抽样的抽取比例为所以初中生中抽取的男生人数是 本题选择A 选项. 点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解:样本容量n 该层抽取的个体数；总体的个数N 该层的个体数 ；总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.【详解】【答案】A C. 20 D. 21【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例, 然后求解初中生中抽取的男生人数即可已知 0,，且sin3，则 tan51 7【答案】 A . B. 71 、C. 或— 77D.丄或77【解析】由题意按0,—和 2分类讨论得tan ,进而得tan已知 0, 且sin…COS a =则tansin cos3tan4tan tan34_31 43 2二 COs a= 1V 5，贝Utansin cos21 13000 0.7 而2000 0.6 “ 12人.100(1)综上：tan1或747故选：D 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的合理运用,分类讨论思想，易错点是三角函数的符号容易出错，属于基础题.是两个不同的平面，且 m , n ，则 )B .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件且n P ”，由“ m P 且n P ”不得“ //”，进而得到答案.【详解】m , n 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，且m , n ，则“ //得“ m P 且 n P ”， 根据面面平行的判定定理得“m P 且n P ”不能得“ // ”，所以“ // ”是mP 且n P ”的充分不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件、 必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断， 注意空间中线线、 线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题.7.如果函数y =f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：二 tantan tan_4 31414’ 3 ’71 tan tan — 1 - 14 46.设m , n 是两条不同的直线， ：“ // ”是“ mP 且 n P ”的( A .充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A// ”能得“ m P① 函数y = f (x )在区间(3,)内单调递增;2、 1② 函数y = f (x )在区间(一,3)内单调递减；2③ 函数y = f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④ 当x = 2时，函数y = f (x )有极小值；1⑤ 当x =时，函数y = f (x )有极大值.则上述判断中正确的是( )A .①② C.③④⑤ 【答案】D【解析】对于①，函数y=f (x )在区间(-1对于②，函数y=f (x )在区间(-,3)有增有减，故②不正确；2对于③，函数 y=f (x )当x €( 4, 5)时，恒有f '( x )> 0 .故③正确; 对于④，当x=2时，函数y=f (x )有极大值，故④不正确;1对于⑤，当x=- 时，f '( X )M 0,故⑤不正确.2故选D.8•刘徽《九章算术？商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做 阳马•如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为(【答案】B【解析】由题意可得阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面， 四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，再根据长方体的性质，即可 求解的球的半径，禾U 用体积公式，即可求解. 【详解】B .②③ D.③1 一3,-―)内有增有减，故①不正确;2C. 3D. 4由题意可知阳马为四棱锥， 且四棱锥的底面为长方体的一个底面， 四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球， 由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为 1,•••长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1, 1, 1, •••长方体的对角线为.3，•外接球的半径为 3 ,2故选B .本题主要考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用 问题，其中解答中根据三视图换原几何体，以及根据三视图的数量关系，合理利用 球的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，及运算与求解能力，属于 中档题.9•已知两点M( 1,0) , N(1,0)，若直线3x 4y m 0上存在点P 满足 眾 PN 0，d1，故 m 5,5，故选 C.32 42【点睛】•••外接球的体积为V则实数m 的取值范围是( )A ., 5 U 5,C. 5,5【答案】C【解析】P 的轨迹为圆，考虑该圆和直线 可得实数m 的取值范围. 【详解】umvnuv设 P x,y ，则 PM 1 x, y , PN ,UULU ULU/p 2 2由PM PN 得x y1，因P 在直线3xB ., 25 U 25,D.25,253x 4y m 0有公共点(即相交或相切)1 x, y ,4y m 0上，故圆心到直线的距离【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果A,B为定点，且动点M满足MA MB 1 ,则动点M的轨迹为圆；（2）如果ABC中，BC为定长，A为定值，则动点A的轨迹为一段圆弧.10 •等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2 8y的准线交于A、B两点，AB 2胎，则C的实轴长为（）A. 2B. 2 2 C 2 D. 4【答案】C【解析】设等轴双曲线C：y-x = a （a>0）, x2 8y的准线I : y = - 2，由C与抛物线的准线交于A, B两点，且AB 2J3，求出A, B的坐标能求出C的实轴长.【详解】设等轴双曲线C： y2-x? = a（a> 0）, x2 8y的准线I : y = - 2,••• C与抛物线x2 8y的准线I : y = - 2交于A, B两点，且AB 2J3 ,A （- . 3 , -2 ） ,B （. 3，- 2）,将A点坐标代入双曲线方程得a = 1 , —a= 1. 所以实轴长为2.故选：C.【点睛】本题考查双曲线、抛物线的性质和应用，合理地进行等价转化，属于基础题.11 . 一个圆锥的母线长为2 2・、2，且母线与底面所成角为，则该圆锥内切球的表4面积为（）A. 2B. 8C.耳D. 6 2.23【答案】B由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再【解析】2第8页共19页当x 0时,满足f-x 2，则 f x2由球的表面积公式得答案. 【详解】锥底面半径与高均为 22 .设内切球的半径为r ，则利用轴截面的等面积可得1 2 2 22 = 12 2 2.2 2 . 2+2 r22•- r =2，二该圆锥内切球的表面积为 4nX 2 = 8.故选：B.【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键, 属于中档题.【答案】【详解】 作出圆锥截面图如图所示,'••母线长为2 2 2，圆锥的母线与底面的夹角为,•••圆412 .已知fx 是定义在R 上的函数f的导函数，若f x3x x ，且当x 0 时，f3 22x ，则不等式2f21 2f x 3x 3x 1的解集为（A . 20B.c.1D.【解析】由已知条件，构造函数 x3，求导得g x 在0,2上递增,2f x2f x3x 2 3x 1化简为得g x 在R 上是偶函数g x ，得 x 1 x ,.不等式计算即可•所以 g x 在0,上递增 .且fx f x3x 在R 上成立，又3r xg x f x23 3所以 g x g x f xx xf x0，所以g x 在R 上是偶函数22【详解】 •••函数f(2)= f (— 1) = (— 1) 2— 2 11故答案为一 2【点睛】则 g ' x f ' x3x13 2 c—f xx 0 , 22则不等式2f x 1 2f x23x 3x 1化简为f x 13x 2 3x 12所以g x 1 g x3x 2 3x 1 21得g x 1 g x ，所以x 1 x ,计算得x -. 故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性, 考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题 13 •设函数f2 xx 2 , x 0 r，则f 5 f x 3 , x 0的值为【答案】【解析】利用函数的性质得f ( 5)= f (2)= f (-1),由此能求出f (5)的值.••• f ( 5)= f本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 【解析】由题意存在实数k 使b ka k 0，得2,m k 4m 2,6，解得m 的值即 可. 【详解】r小小 rrr已知向量a4m 2,6 , b2, m ，若向量a , b 反向，1 1解得k （舍）或k ，进而m 2.4 3 故答案为：-2 【点睛】本题考查实数值的求法，注意向量共线的性质的合理运用，属于基础题.3, 4，贝y sincos【答案】75故答案为： 75【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题 16 .若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“ m 积数列” 若各项均为正数的等比数列a n 是一个“ 2020积数列”，且a 1 1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为 _________ . 【答案】1010【解析】 利用新定义，求得数列｛a n ｝的第1009项为1，再利用a 1 > 1, q >0,即可求得14.已知向量a 4m 【答案】 22,m ，若向量a ，b 反向，贝V 实数m 的值为 _________则存在实数rka k 0，所以 2,mk 4m 2,6，即2 4km 2k m 6k15 .已知角 的顶点与坐标原点重合,始边为X 轴的正半轴，终边上有一点P 的坐标为【解析】 根据三角函数的定义，求出【详解】sin , cos ，利用诱导公式即可求解由题意有sin4 3 - cos55，则sin cossin4 3 7 cos555「・ a i a 20i9= a 2a 20i8= a 3a 20i7=・・・= a ioo9a ioii = ai oo92 = 1 ,T a > 1, q >0, …a ioo8> 1, a ioo9=1, a ioio 1, •••前n 项积最大时n 的值为1010. 故答案为：1010 【点睛】本题考查等比数列前n 项的乘积取最大值时 n 的值的求法，考查等比数列的性质等基础知识、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题.三、解答题17. ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且52cs inA a cosB bcosA .2(1) 求角A ;(2) 若3a b c ，且 ABC 外接圆的半径为1,求 ABC 的面积• 【答案】(1) A -；(2)2、3.35【解析】(1)由诱导公式和正弦定理，对 2csinA acosB bcosA 化简得2八12si n Ceos A si nC ，从而得cosA，进而得角 A ;2(2)由题意得 ABC 外接圆的半径 R 1,由正弦定理和(1)得a 2Rsi nA 、、3 ,由余弦定理得a 2 (b c)2 3bc ,,从而得bc 8，再利用三角形面积公式计算即可 • 【详解】5(1)： 2csinA a cosB bcosA , • 2ccosA acosB bcosA ,2由正弦定理得，2sin CcosA sin AcosB sin B cosA sin (A B) sinC ,• 2sin C cosA sin C ，又 0C, • sin C 0 , •cosA1 2,又0 A,•- A -.3(2)设 ABC 外接圆的半径为R ，则 R 1 ,由正弦定理和 (1)得 a 2Rsin A \ 3 ,结论. 【详解】由题意, a 2020 = a& ••£2020,…a i a 2 …a 20i9= 1,由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bccos (b c)2 3bc ,且 3a b c ,即33 27 3bc ,「. bc 8,••• ABC 的面积 S 1bcsinA 1 8 乜 2 3 .2 2 2【点睛】本题考查了正余弦定理的应用， 三角形面积公式的应用， 也考查了诱导公式和三角形外 接圆半径的转化，属于基础题 •18 •设数列a n 的前n 项和为S n ，且S n 2“一1，数列b n 满足D 2 ,b n 1 2b n 8a n .(1) 求数列 a n 的通项公式； (2) 求数列 b n 的前n 项和T n •【答案】(1) a n = 2n-1 ； (2) 2n 3 2n 1 6【解析】(1)令n 1，由印S 计算出印的值，再令n 2，由a n S n1计算出a n ，再验证a 1是否满足a n n 2的表达式，由此可得出数列 a .的通项公式;(2)由题意得出b n 1 2b n 8a n 2n 2，然后在等式两边同时除以 2n 1可得出 公式，可解出数列b n 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列 b n 的前n 项和T n .【详解】1(1)当 n 1 时，印 S 2 1 1 ； 当 n 2时，a n S n S n 12n 12n 1 1 2n 2n 1 2n 1.n 1n 1印1也适合a n = 2 -,因此，数列 a n 的通项公式为a n = 2 -；(2)Q b n 1 2b n 8a n 2 2,在等式两边同时除以 2n 1得~7T7 b 2，且—1 1.2 2 2所以，数列 b n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，bn1 2 n 1 2n 1 ,2n 2n7b n 2n 1 2n .T n 1 21 3 22 5 23 L 2n 1 2n ,b n 1 b n需 n 2，可知数列 2 2至是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n旦的通项2n【点睛】减法求和，在利用前n 项和S n 求数列通项a n 时，一般利用公式a n 计算，但需对a 1是否满足a . n 2的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等 题.19 •如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,1AB BC AD , BAD ABC 90 .2(1) 证明：BC //平面PAD ;(2) 若四棱锥P ABCD 的体积为4.3，求 PCD 的面积•【答案】(1)见解析；(2) 2-J【解析】(1)利用直线与平面平行的判定定理证明即可；(2)取AD 的中点 M 连接PM CM 证明CML AD.再由已知证明 PM L AD PML 平面 ABCD 可得 PM L CM 设 BC x ，则 AD 2x , CM x , CD V2x , PM T3x ,I -PC PD 2x ，取CD 的中点N,连接PN,得PN L CD ，且PN k 也4 x ，由四棱锥2P ABCD 的体积为，求得x = 2•进而得到 PCD 的面积•【详解】得2Tn1 22 232n 3 2n2n 1 2n1上式 下式得T n21 2 22 2 232n 2n 12* 1因此,23 1 2“ 12n2* 12n 2nT n2n 32n 1 6.本题考查由前 n 项和 S n 求数列通项 a n ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相(1)在平面ABCD内，因为BAD ABC 90，所以BC// AD.又BC 平面PAD , AD 平面PAD，故BC /平面PAD •1(2)取AD 的中点M，连接PM , CM，由AB BC —AD，及BC/ AD ,2ABC 90 ,得四边形ABCM为正方形，则CM AD ,因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD I平面ABCD AD ,所以PM AD ,因为PM 平面PAD ,所以PM 平面ABCD•因为CM 平面ABCD，所以PM CM .设BC x，则AD 2x, CM x ,CD 2X，PM 3x, PC PD 2x.因为四棱锥P ABCD的体积为4,3，所以1 11 L —V S ABCD PM x 2x x ":. 3x 4.： 3，所以x 2,3 3 2取CD的中点N，连接PN，则PN CD，所以PN丄4x • 14 •2A A _因此PCD的面积S —CD PN — 2^2辰2J72 2【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积和三角形面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.220•已知抛物线C : y 2px p 0，直线y x 1与C相交所得的长为8.1求P的值；2过原点O直线l与抛物线C交于M点，与直线x 1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点.【答案】(1) 2 (2)见证明【解析】1直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出P1y 2, y 0 ，求出点N 的坐标，利用两点式可表4【详解】y i y 2p ，y 『2 2p ，p 2,设 M 1 y 2, y o4当x 1时,4 y Hy o的值；2由1可得y 24x ，设 M 示出直线MN 的方程y『x 1y o 4，从而可求得直线过定点.弦长为■■ 1 122y 1 y4y 1y 2 、、2 , 4p 2 8p 8,解得p 2或p4（舍去）,2由1可得y 24x ,直线0M 的方程4 xy o ， 代入抛物线方程4x ，可得XN2，y o0,単L x 1y 2 ，整理可得y 上4x 1 ,y o 4 4 y o 4故直线MN 过点1,0 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于中档题•判断直线过定点主要形式有： (1 )斜截式，y kx y 0，直线过定点 0,y 0 ； (2)点斜式y k x x o ,直线过定点 X o ,O .21 .已知函数f x e cosx •(1)求f x 在点o, f 0处的切线方程;⑺求证:fx 在上仅有2个零点.【答案】(1) x y 0 ； (2)证明见解析【解析】(1)求出f 0和f 0，然后利用点斜式写出所求切线的方程;(2)利用当x 0时，e x cosx 来说明函数y f x 在0, 上没有零点，并利 用函数y f x 的单调性和零点存在定理证明出函数y f x 在区间上有且只有一个零点，并结合f 0 0，可证明出函数yf x 在区间J2上有两个零点•【详解】x x(1) Q f x e cosx ，则 f x e sin x , f 0 0, f 0 1.因此，函数y f x 在点0, f 0处的切线方程为 y x ，即 x y 0;(2)当 x 0时，e x 1 cosx ,此时，f x e xcosx 0，所以， 函数yf xY 0 y ° 4y °2Y16 2 y °42 Y直线MN 的斜率k 4 y 。

湖南省五市十校教研教改共同体2020届高三12月联考文科数学试题本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设为虚数单位，，则（）A. B. C. D.3.在一次千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（）A. B. C. D.4.已知双曲线的离心率为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.5.在直角中，，，，若，则（）A. B. C. D.6.某四棱锥的三视图如图所示，某侧视图是等腰直角三角形，俯视图轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面中，面积的最大值为（）A. B. C. D.7.已知函数，则（）A. 的最小正周期为，最大值为B. 的最小正周期为，最大值为C. 的最小正周期为，最大值为D. 的最小正周期为，最大值为8.执行如图所示程序框图，其中.若输入的，则输出的结果为（）A. B. C. D.9.已知函数在区间上单调递减，则的最小值是（）A. B. C. D.10.已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知函数，若，且，则取最大值时的值为（）A. B.C. D.12.若为奇函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省五市十校教研教改共同体2020届高三12月联考数学（理）试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.2.设集合，，则（）A. B.C. D.3.已知向量，满足，，，（）A. B. C. D.4.已知数列满足，，，则（）A. B. C. D.5.已知，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.6.—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为（）A. B. C. D.7.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. B. C. D.8.函数的部分图象大致为A. B. C. D.9.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A. B. C. D.10.已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.11.已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题。

13.若实数，满足约朿条件，则的最大值为____________.14.的展开式中的系数为____________.15.函数的部分图像如图所示，则的值为_______________.16.将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当且是正整数的最佳分解时我们定义函数，例如.则的值为___________，数列的前项的和为____________.三、解答题。

2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题 1．设集合|01x M x x ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭…，{}|02N x x =<<，则M N =（ ）A ．{}|01x x <…B ．{}|02x x ≤<C ．{}1|0x x <<D ．{}|02x x <<【答案】C【解析】首先确定集合M 中的元素，然后求交集． 【详解】 由01xx ≤-得(1)010x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得01x ≤<，即{|01}M x x =≤<，∴{|01}MN x x =<<．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础．在解分式不等式时要注意分母不为0．2．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负． 3．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）A ．43π B ．3π C ．2πD ．83π 【答案】B【解析】由三视图还原出原几何体，再由球的体积公式和圆锥体积公式计算． 【详解】由三视图知，该几何体是半球中间挖去一个圆锥（圆锥底面就是半球的底面）．由三视图知1r =，∴321411112333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查由三视图还原几何体．都是球和圆锥的体积公式．解题关键是由三视图还原出几何体． 4．以下说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”． B ． “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件． C ．若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题．D ．若命题p:x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥． 【答案】C【解析】若p q ∧为假命题,则只需p q 、至少有一个为假命题即可. 5．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标．【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 6．湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：设球半径为，则,解得：所以球面上的点到冰面的最大距离为故选B.【考点】空间几何体的结构特征.7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称， ∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.【考点】1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()2log y f x x =-的零点个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】函数()2log y f x x =-的零点个数即为函数y ＝f （x ）与函数2log y x =图象的交点个数，由题意，作出函数图象观察即可得出零点个数． 【详解】解：由题意，函数f （x ）的周期为2，且关于y 轴对称，函数()2log y f x x =-的零点个数即为函数y ＝f （x ）与函数2log y x =图象的交点个数，在同一坐标系中作出两函数图象如下，由图象观察可知，共有两个交点． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数零点个数判断，解决这类题的方法一般是转化为两个简单函数，通过数形结合，观察两函数图象的交点个数，进而得到零点个数，属于基础题．9．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2241x y x +++的取值范围是（ ）A ．[]4,12B ．[]4,11C ．[]2,6D ．[]1,5【答案】A【解析】作出可行域，22412211x y y x x +++=+⨯++，利用11y x ++的几何意义求解．【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），22412211x y y x x +++=+⨯++，11y x ++表示(1,1)--P 与可行域内点(,)M x y 连线的斜率，(0,4)B ，14510PB k --==--，由图中知1[1,5]1y x +∈+，∴122[4,12]1y x ++⨯∈+．故选：A ． 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查简单的非线性规划问题，解题关键是作出可行域，正确理解代数式11y x ++的几何意义． 10．若函数()()()21212ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+⎪⎩…在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】分段函数单调递减，要求每一段都递减的，且各段之间的函数值存在大小关系． 【详解】由题意012242121a aa <⎧⎪⎪-≤⎨⎪+-≤-+⎪⎩，解得12a ≤-．故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在整个定义域是单调，则每一段上的单调性一致，每段顶点处的函数值也满足一定的大小关系（根据增减而定）．11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，2c =，O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅=（ ） A ．132B ．52C ．52-D ．6【答案】B【解析】取BC 的中点D ，可得0OD CB ⋅=，这样AO BC ⋅AD BC =⋅，然后都用,AC AB 表示后运算即可．【详解】取BC 的中点D ，连接,OD AD ，∵O 是ABC ∆外心，∴OD BC ^，0OD CB ⋅=，()AO BC AD DO BC AD BC DO BC⋅=+⋅=⋅+⋅1()()2AD BC AC AB AC AB =⋅=+⋅-2222115()(32)222AC AB =-=-=．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC 的中点D ，把AO BC ⋅转化为AD BC ⋅，再选取,AC AB 为基底，用基底进行运算．12．已知函数()()2ln x x t f x x+-=，t R ∈，若存在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),3-∞【答案】C【解析】先构造函数()()g x xf x =,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数t 的取值范围. 【详解】令()()()2ln g x xf x x x t ==+-，则存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()0g x f x xf x =+'>',即()11120,22x t t x x x ⎛⎫+-><+ ⎪⎝⎭的最大值，因为11y 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1[,22上单调递减，在2]上单调递增，所以11y 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最大值为11922224⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,因此94t <，选C. 【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等二、填空题13．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若212n n S n T n +=+，则88a b =______. 【答案】3117【解析】利用等差数列的性质21(21)n n S n a -=-可把项的比转化为前n 项和的比． 【详解】∵数列{}n a ，{}n b 都是等差数列， ∴88158815152151311515217a a Sb b T ⨯+====+． 故答案为：3117． 【点睛】本题考查等差数列的性质：等差数列{}n a 中，2(,,*)m n p m n p N +=∈⇔2m n p a a a +=．由此有12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-．14．观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】2F V E +-=【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,1F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,1F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-=【考点】归纳推理. 15．已知函数x 4f(x)=x+,g(x)=2+a x ，若[]121,1,2,3,2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(,1]-∞【解析】满足题意时应有：f （x ）在11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于g （x ）在x 2∈[2，3]的最小值，由对勾函数的性质可知函数4f(x)=x+x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， f （x ）在 11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f （1）=5，当x 2∈[2，3]时，g （x ）=2x+a 为增函数，g （x ）在x 2∈[2，3]的最小值为g （2）=a+4， 据此可得：5⩾a+4，解得：a ⩽1， 实数a 的取值范围是（﹣∞，1]， 故结果为：(],1-∞。

2021-2022学年湖南省五市十校高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2|320,,{1,3}A x x x x R B =-+=∈=，则A B =（ ） A ．{1}B ．{1,2,3}C ．{1,2}D ．{1,3}，答案：A 解一元二次方程求出集合A ，然后由集合的交运算即可求解.解：∵{}2|320,{1,2},{1,3}A x x x x R B =-+=∈==， ∴{1}A B ⋂=.故选：A.2．已知角α的终边过点(P -，则3sin()2απ-=（ ）A ．12-BC ．12D ． 答案：C由已知终边上的点坐标求cos α的值，再由诱导公式得答案.解：角α的终边过点(P -，2OP ∴=，则1cos 2α=-， ∴31sin()cos 22παα-=-=. 故选：C.3．不等式220ax x ++>的解集为{|12}x x -<<1=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2- 答案：B结合二次方程的根与二次不等式的解集端点关系求a ，进而可求目标式的值.解：由题意得，20,20a ax x <++=的根为1x =-，2x =，∴1a =-10=.故选：B.4．设0a >，则22a a a++的最小值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．5答案：D 由已知结合基本不等式即可直接求解.解：因为0a >， 所以2222212215a a a a a a a++=++⋅=， 当且仅当22a a =，即1a =时取等号，此时22a a a ++取得最小值. 故选：D5．函数1()()2021x f x =的值域是（ ） A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞ 答案：A由||0x ≥及1()2021x y =的单调性，即可确定()f x 的值域. 解：由||0x ≥，又1()2021x y =为减函数， ∴由指数函数性质知：()(0,1]f x ∈.故选：A.6．已知定义在R 上的函数()(f x x m m =-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<答案：C由已知结合偶函数定义可求m ，再结合函数的单调性比较函数值大小.解：定义在R 上的函数()||f x x m =-为偶函数，即||||x m x m -=--，∴0m =，此时()||f x x =在(0,)+∞上单调递增，0.52(log 3)(log 3)a f f ==，2(log 5)b f =，(2)(0)c f m f ==，而22log 5log 30>>， ∴22(log 5)(log 3)(0)f f f >>，即b a c >>.故选：C.7．定义在(0,)+∞上的函数f (x )满足()()2112120x f x x f x x x -<-，且12,(2)42f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则不等式()20f x x ->的解集为（ ）A ．(2,)+∞B ．(0,2)C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：B构造新函数()()f x g x x =，根据题意得出函数()()f x g x x=在(0,)+∞内单调递减；把不等式()20f x x ->转化为()(2)g x g >，结合单调性和定义域即可求解.解：不妨设任意的120x x >>，()()f x g x x=， 因为()()2112120x f x x f x x x -<-，则()()21120x f x x f x -<， 所以()()()()()122112121212()0f x f x x f x x f x g x g x x x x x --=-=<， 所以()()f x g x x=在(0,)+∞内单调递减. 不等式()20f x x ->等价于()2f x x>，又()()2222f g ==， 所以等价于()(2)g x g >，因为()()f x g x x=在(0,)+∞内单调递减，所以02x <<， 即不等式()20f x x ->的解集为(0,2).故选：B.8．已知函数3()e e 355x x f x x x -=---+.若()f a (4)10f a +-<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >答案：D构造()()5g x f x =-，并根据解析式直接判断奇偶性、单调性，进而利用其单调性及奇偶性求解不等式.解：令3()()5e e 35x x g x f x x x -=-=---，∴3()e e 35()x x g x x x f x --=-++=-，即()g x 为奇函数，又3e e ,35x x y x y x --=--=在R 上均为减函数，∴()g x 为减函数，由()f a (4)10f a +-<得：()g a 5(4)510g a ++-+<，∴()g a (4)(4)g a g a <--=-，即4a a >-，解得2a >.故选：D.二、多选题9．下列命题中为真命题的是（ ）A ．若a b >，则1a b> B ．若22a b c c >，则a b > C ．若0c a b >>>，则c a c b a b --< D ．若a b >.则33a b >答案：BCD 利用反例可判断A 错误，利用不等式的性质可判断B 的正误，利用作差法可判断CD 的正误. 解：对于A ，取1,1a b ==-，则a b >，但11a b =-<，故A 错误； 对于B ，因为22a b c c >，故0c ≠，故20c >，故a b >，故B 正确； 对于C ，()c b a c a c b a b ab----=， 而0c a b >>>，故()0c b a ab-<即c a c b a b --<，故C 正确； 对于D ，()23321324a b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为a b >，故22130,024a b a b b ⎛⎫->++> ⎪⎝⎭，故33a b >，故D 正确. 故选：BCD.10．已知(0,)θπ∈，7sin cos 5θθ-=，则下列结论正确的是（ ） A ．(2πθ∈,)π B ．3cos 5θ=- C ．3tan 4θ=- D ．2tan 121tan 25θθ=-+ 答案：AD由已知得sin 0θ>，cos 0θ<，确定θ的范围判断A ；求解cos θ与tan θ值判断B 与C ；把tan θ代入2tan 1tan θθ+，化简判断D. 解：由(0,)θπ∈，7sin cos 15θθ-=>，得sin 0θ>，cos 0θ<，则(2πθ∈,)π，故A 正确； 由7sin cos 5θθ-=，两边平方得：4912sin cos 25θθ-=，则242sin cos 25θθ=-. ∵(2πθ∈,)π，则3(,)444πππθ-∈，∴sin cos )4πθθθ-=-∈，又1sin cos 5θθ+===±，当1sin cos 5θθ+=时，联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 5θ=，3cos 5θ=-， ∴sin 4tan cos 3θθθ==-，24tan 123161tan 2519θθ-==-++； 当1sin cos 5θθ+=-时，联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-， ∴sin 3tan cos 4θθθ==-，23tan 12491tan 25116θθ-==-++. 故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.11．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）A ．野生水葫芦的面积每月增长率为1B ．野生水葫芦从24m 蔓延到212m 历时超过1.5个月C ．设野生水葫芦蔓延到210m ，220m ，230m 所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，则有1322t t t +<D ．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度答案：ABC根据已知条件可得指数函数为()2x y f x ==，再结合指对数的关系，以及平均速度的公式，判断各选项的正误.解：由题意得，所求函数为指数函数且过点(1,2)，可得函数()2x y f x ==，A ：设第n 个月的野生水葫芦面积为()f n ，则第1n +个月的野生水葫芦面积为(1)f n +， ∴野生水葫芦的面积每月增长率1(1)()221()2n nnf n f n f n ++--==，故正确， B ：设野生水葫芦从24m 蔓延到212m 历时超过x 个月，∴4212x ⋅=，解得223log 3log 1.52x =>=，故正确， C ：野生水葫芦蔓延到210m ，220m ，230m 所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，13222log 10log 30log 300t t ∴+=+=，22222log 20log 400t ==，1322t t t ∴+<，故正确，D ：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为82331-=-， 野生水葫芦在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度为164642-=-，故错误. 故选：ABC. 12．设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数(),(),(),(),p f x f x p f x p f x p ⎧=⎨>⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =--，则下列结论：①2f （2）2=；②2()f x 的值域为[2-,2]；③2()f x 在[1-,1]上单调递减；④函数2(1)y f x =+为偶函数.其中正确的结论有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④答案：BCD由2212x x --，解得13x -，故2221,13()2,12,3x x x f x x x ⎧---⎪=<-⎨⎪>⎩，再结合二次函数的性质，即可依次求解.解：由2212x x --，解得13x -，故2221,13()2,12,3x x x f x x x ⎧---⎪=<-⎨⎪>⎩， 对于①，22(2)22211f =-⨯-=-，故①错误，对于②，当13x -时，22212x x ---，当1x <-或3x >时，2()2f x =，故2()f x 的值域为[2-,2]，故②正确，对于③，当11x -时，22()21f x x x =--，图象开口向上，对称轴为1x =，故2()f x 在[1-,1]上单调递减，故③正确，对于④，222,22(1)2,22,2x x y f x x x ⎧--⎪=+=<-⎨⎪>⎩， 故函数2(1)y f x =+为偶函数，故④正确，故正确的结论为②③④.故选：BCD .三、填空题13．亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为___________. 答案：3π- 结合弧度制概念直接求解即可. 解：由题意知22123ππ⨯=， 因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为3π-. 故答案为：3π-. 14．已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m m a a +>-成立的实数a 的取值范围为___________. 答案：2(,4)3利用幂函数的定义及性质求出m 值，再解一元二次不等式即可得解.解：因函数()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，2()f x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称，与已知()f x 的图象关于原点对称矛盾， 当2m =时，3()f x x =是奇函数，其图象关于原点对称，于是得2m =，不等式()()132m m a a +>-化为：()()22132a a +>-，即(32)(4)0a a --<，解得：243a <<， 所以实数a 的取值范围为2(,4)3. 故答案为：2(,4)3 15．设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，q ：实数x 满足302x x ++.当0a <时，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是___________.答案：[)2,1-- 分别求分式不等式及二次不等式可求p ，q 所对应的范围，然后结合充分、必要条件与集合的包含关系可求. 解：由302x x ++得(3)(2)020x x x ++⎧⎨+≠⎩， 解得，32x， 即:{|32}q B x x =-<-，因为0a <，由(3)()0x a x a --<得3a x a <<，即:{|3}p A x a x a =<<，若p 是q 的必要条件，则q p ⇒，所以B A ⊆，所以332a a <-⎧⎨-⎩，即21a -<-. 故答案为：[)2,1--.16．设函数2222,(0),()log (2)1,(20),x x x f x x x ⎧-+=⎨++-<<⎩若实数1x ，2x ，3x 满足123x x x <<，使得123()()()f x f x f x ==，则1232x x x ++的取值范围是___________.答案：(0,2)根据已知条件，画出函数()f x 的图象，再结合二次函数的对称性，即可求解.解：由题意得，当0x 时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，其图象是开口向上，以(1,1)为顶点的抛物线的一部分，当20x -<<时，2()log (2)1f x x =++，其图象是由对数函数2log y x =向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的图的一部分，作出的图象，如图所示：实数1x ，2x ，3x 满足123x x x <<，使得123()()()f x f x f x ==，∴根据二次函数图象的对称性可得，232x x +=，当2log (2)11x ++=时，解得1x =-，∴结合图象可得，110x -<<，123022x x x ∴<++<，故1232x x x ++的取值范围是(0,2).故答案为：(0,2).四、解答题17．已知1cos 1cos ()1cos 1cos f ααααα-+=+-α是第三象限角. (1)化简()f α；(2)若()4f α=，求sin α，cos α.答案：(1)2()sin f αα=-； (2)1sin 2α=-，3cos α=. （1）由已知得sin 0α<，1cos 0α->，1cos 0α+>，再由同角三角函数基本关系式去绝对值得答案；（2）由()4f α=，求得sin α，进一步可得cos α的值.(1) α是第三象限角，sin 0α∴<，1cos 0α->，1cos 0α+>， ∴22221cos 1cos (1cos )(1cos )()1cos 1cos 1cos 1cos f ααααααααα-+-+==+---1cos 1cos 2sin sin sin ααααα-+=+=-， ∴2()sin f αα=-. (2)2()4sin f αα=-=，1sin 2α∴=-，则cos α=18．已知集合{|1A x x k ==+，2k <，}k N ∈，集合22{|2(1)50B x x a x a =-++-=，}x R ∈.(1)若集合{2}A B =，求实数a 的值；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.答案：(1)5a =或1a =-(2)(,3)-∞-（1）利用集合交集的定义得到2B ∈，1B ∉，代入方程求解即可；（2）利用子集的定义，分B =∅，{2}B =，{1}B =，{1B =，2}，由根与系数的关系，列式求解即可.(1)因为集合{|1A x x k ==+，2k <，}{1k N ∈=，2}，又集合{2}A B =，所以2B ∈，1B ∉，将2x =代入方程222(1)50x a x a -++-=，可得2450a a --=，解得5a =或1a =-，当5a =时，{2B =，10}，符合题意；当1a =-时，{2B =，2}-，符合题意.综上所述，5a =或1a =-；(2)若A B A ⋃=，则B A ⊆，当B =∅时，方程222(1)50x a x a -++-=无解，则224(1)4(5)0a a ∆=+--<，解得3a <-；当{2}B =时，则2222(1)225a a +=+⎧⎨⨯=-⎩，无解； 当{1}B =时，则2112(1)115a a +=+⎧⎨⨯=-⎩，无解； 当{1B =，2}时，则2122(1)125a a +=+⎧⎨⨯=-⎩，无解. 综上所述，实数a 的取值范围为(,3)-∞-.19．已知函数23()4x b f x ax +=+是定义在区间(2,2)-上的奇函数，且3(1)5f =. (1)用定义法证明函数()f x 在区间(2,2)-上单调递增；(2)设()()1g x f x =+，求证：()()g x g x +-是偶函数，()()g x g x --是奇函数.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析（1）由已知结合奇函数性质可先求出a ，b ，然后设1222x x -<<<，结合比较法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断；（2）结合奇偶性的定义即可分别判断两函数奇偶性.(1) 因为23()4x b f x ax +=+是定义在区间(2,2)-上的奇函数，且3(1)5f =， 所以(0)04bf ==，f （1）3345b a +==+， 所以1a =，0b =，检验，当1a =，0b =时，23()4x f x x =+， 23()()4x f x f x x -=-=-+，满足题意， 设1222x x -<<<，则120x x -<，124x x <，2140x +>，2240x +>， 所以1212121222221212333()(4)()()044(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=<++++， 所以12()()f x f x <，所以()f x 在(2,2)-上单调递增；(2)证明：由题意得()g x 的定义域(2,2)-，令()()()F x g x g x =+-，则()()()()F x g x g x F x -=-+=，且()F x 的定义域(2,2)-，所以()F x 为偶函数，令()()()H x g x g x =--，则()H x 的定义域(2,2)-，且()()()()H x g x g x H x -=--=-，所以()H x 为奇函数.20．已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在区间[0,1]上的最大值比最小值大3，且(2)3f =-.(1)求a ，b 的值；(2)若在区间[1,1]-上，不等式()f x x m >-+恒成立，求实数m 的取值范围.答案：(1)1a b ==；(2)(,1)-∞-.（1）依题意，()f x 在[0,1]单调递减，max min ()()f x f x -=3及(2)3f =-，联立可求得a ，b 的值；（2）方法一：分离参数m ，则[1x ∀∈-,1]，231m x x <-+恒成立，求当[1x ∈-,1]时2min (31)x x -+，可得实数m 的取值范围；方法二：问题转化为[1x ∀∈-,1]，2()310g x x x m =-+->恒成立，利用二次函数的性质可求得min ()(1)0g x g =>，求m 的取值范围.(1)令22()(4)(2)4f x a x x b a x b a =-+=-+-，又0a >，∴()f x 的开口向上，对称轴方程为2x =，()f x ∴在[0,1]单调递减，max min ()()(0)(1)f x f x f f ∴-=-(3)33b b a a =--==，又(2)f 43b a =-=-，1a b ∴==.(2)方法一：[1x ∀∈-,1]，2()41f x x m x x x m >-+⇔-+>-+恒成立，∴[1x ∀∈-,1]，231m x x <-+恒成立，只需2min (31)m x x <-+，[1x ∈-,1]，因此，满足条件的实数m 的取值范围是(,1)-∞-.方法二：[1x ∀∈-,1]，2()41f x x m x x x m >-+⇔-+>-+恒成立,∴2310x x m -+->在[1-,1]上恒成立，只需使2()310g x x x m =-+->在[1-,1]上恒成立，2()31g x x x m =-+-的开口向上，对称轴方程为32x =， ()g x ∴在[1-,1]上单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得最小值，即min ()(1)g x g =10m =-->，解得1m <-，因此，满足条件的实数m 的取值范围是(,1)-∞-.21．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为2640m 的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下．根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2m ，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m 的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区北边长m x ．(1)在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为北边长x 的函数()f x ，并写出x 的取值范围；(2)若平均每个人隔离所需病区面积为22.5m ，那么北边长如何设计才能使得病区同时隔离的人数最多，并求出同时隔离的最多人数．2 1.4≈，结果精确到整数）答案：(1)()64007208f x x x=--，1080x << (2)28x ≈；最多为108人(1)根据题意表示出矩形的长和宽，进而表示出面积即可；（2）利用基本不等式即可求出其最值.(1)由题可知()()640108f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()64007208f x x x=--，1080x << (2)()64006400720872087203202272f x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-≈ ⎪⎝⎭当且仅当28x ≈时等号成立，且272 2.5108.8÷=，故最多为108人22．已知函数()21()log 4122x x f x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦. (1)是否存在0k <，使得函数()f x 取最大值1-？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.答案：(1)存在，1k =- (2)13()2 （1）令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++，根据二次函数的性质计算可得结论；（2）令2(1)x t t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++， 即可判断函数的单调性，函数()f x 的定义域为[a ，]b 时，()f x 的值域为[1a +，1]b +， 可转化为函数21()log [4(1)2]2x x f x k k k =⋅--++与1y x =+有两个正交点，即21log [4(1)2]12x x k k k x ⋅--++=+有两个正根a ，b ，a b ， 即21(1)02kt k t k -+++=有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根分布得到不等式组，即可求解.(1)存在1k =-，使得函数()f x 取最大值1-，理由如下： 令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++， 设2(0)x t t =>，则21(1)2y kt k t k =--++， 当0k <时，此时()g x 的对称轴102k t k -=>， 函数()f x 的最大值是1-，所以()()211111122222max k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解答1k =-或13k =（舍)， 所以1k =-；(2)当01k <<时，设2(1)x t t =>， 则21()(1)2g t kt k t k =--++的对称轴102k t k-=<， 所以当1t >时，()g t 为增函数，所以()f x 为增函数，所以函数()f x 的定义域为[a ，]b 时，()f x 的值域为[1a +，1]b +， 可转化为函数21()log [4(1)2]2x x f x k k k =⋅--++与1y x =+有两个正交点， 即21log [4(1)2]12x x k k k x ⋅--++=+有两个根a ，b ，0a >，0b >，a b ， 即114(1)222x x x k k k +⋅--++=，设2(1)x t t =>， 所以21(1)22kt k t k t --++=， 即21(1)02kt k t k -+++=有两个大于1的根，所以()()2011Δ1402112111102k k k k k kk k k <<⎧⎪⎛⎫⎪=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨+>⎪⎪⎪⋅-+⋅++>⎪⎩，解得12k <<， 所以实数k的取值范围是12⎛ ⎝⎭.。

2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考数学试题一、单选题1．设复数12iz i i-=+，则||z =（）A ．0B ．1C D ．2【答案】C【分析】化简已知复数有1z i =-，根据复数模的几何含义求||z 即可.【详解】12(1)21iz i i i i i-=+=-++=-∴||z =故选：C2．已知sin 0θ>，cos()0θπ->，则θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【分析】根据三角函数的符号，可直接确定角所在的象限.【详解】由cos()0θπ->得cos()cos()cos 0θππθθ-=-=->，则cos 0θ<，又sin 0θ>，所以θ是第二象限角.故选：B.3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<，所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<，必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.4．陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C .温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海､北京､莫斯科､莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（）A ．0.784B ．0.84C ．0.904D ．0.936【答案】D【分析】根据题意，设“该运动员进入下轮比赛”为事件A ，则其对立事件A 为“该运动员没有进入下轮比赛”，由相互独立事件概率计算公式可得()p A ，进而由对立事件的概率性质计算可得答案.【详解】解：设“该运动员进入下轮比赛”为事件A ，其对立事件A 为“该运动员没有进入下轮比赛”，事件A 即该运动员3次试举都失败，则()()310.60.064p A =-=，则()()110.0640.936p A p A =-=-=.故选：D.5．已知直线:10l x y +-=，圆22:(1)(2)8C x y -+-=，则圆C 上到直线l 的距离的点共有（）A ．1B ．2个C ．3D ．4【答案】C【分析】根据圆心到直线:10l x y +-=的距离d =r =.【详解】如图所示：由圆22:(1)(2)8C x y -+-=，得圆心()1,2C，半径r =又圆心到直线:10l x y +-=的距离为d ==，因为半径为r =所以圆C 上到直线l的距离为的点共有3个，故选：C6．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（）A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定【答案】B【分析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论.【详解】设小李这两次加油的油价分别为x 元/升､y 元/升，则：方案一：两次加油平均价格为4040802x y x y++=≥方案二：两次加油平均价格为4002200200xy x yxy =≤++，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.故选：B .7．如图，在半径为2的扇形AOB 中，34AOB π∠=，P 是弧AB 上的一个三等分点，,M N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM PN ⋅的最大值为（）A B ．2C ．4D ．【答案】C【分析】根据向量的线性运算得,PM PO OM PN PO ON =+=+，再利用向量数量积公式整理得4(2)PM PN ON ⋅=-⋅+，当||0= OM 时，PM PN ⋅ 取最大值4.【详解】解析：34AOB π∠=，P 是弧AB 上的一个三等分点，故2POB π∠=，4POA π∠=，2()()PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ 332402||cos ||||cos 4||(2||)4442OM OM ON OM ON ππ=++⋅+=-⋅+≤故当||0=OM 时，PM PN ⋅取最大值4.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8．函数1()2cos 12f x x x π⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在区间[2,4]-上的所有零点的和为（）A ．4B ．6C ．4πD ．6π【答案】A【分析】函数()f x 的零点就是函数11y x =-与函数2cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象交点的横坐标，只需画出函数11y x =-和函数2cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在同一坐标系中的图象，根据图象的对称性确定交点的横坐标之和.【详解】令()0f x =，得12cos()12x x π=--，函数()f x 的零点就是函数11y x =-与函数2cos()2y x π=-图象交点的横坐标.又函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称，函数2cos()2y x π=-的周期为4，其图象也关于点(1,0)对称，画出两函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在[2,4]-上共有4个交点，这4个点两两关于点(1,0)对称，故其横坐标的和为4.故选：A【点睛】求解函数零点的和的一般方法有：（1）直接法：令()0f x =，求解函数()f x 的所有零点的值，然后确定所有零点的和；（2）数形结合：令()0f x =，然后将方程灵活变形，转化为函数()()g x h x =的模型，画出()g x 和()h x 的图象，根据量函数图象的单调性、奇偶性、对称性及周期性等，确定交点的个数及交点的横坐标关系，然后求和即可.二、多选题9．某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A ．0.008=a B ．该校学生数学竞赛成绩落在[)60,70内的考生人数为24C ．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80D ．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[)70,80内【答案】BD【分析】根据频率分布直方图性质可判断A 的正误；根据频率分布直方图，求得[)60,70的概率，即可求得该组人数，即可判断B 的正误；根据频率分布直方图中位数的求法，可判断C 的正误；根据频率分布直方图中平均数的求法，求得平均数，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ，由频率分布直方图性质得：()0.020.0350.025101a a ++++⨯=，解得0.01a =，故A 错误；对于B ，由频率分布直方图得成绩落在[)60,70的概率为0.2，人数为0.212024⨯=，故B 正确；对于C ，由频率分布直方图得：[)50,70的频率为()0.010.02100.3+⨯=，[)70,80的频率为0.035100.35⨯=，所以成绩的中位数位于[)70,80内，故C 错误；对于D ，估计成绩的平均数为：550.0110650.0210750.03510850.02510950.011075.5x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以成绩的平均数落在[)70,80内，故D 正确.故选：BD.10．已知实数,x y 满足3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．11x y>B ．33x y <C ．21x y -<D ．ln()0y x ->【分析】构造函数31()log ()3xf x x =-，判断其在()0,∞+上单调递增，可得0x y <<，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.【详解】因为3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以,x y R +∈，由3311log log ()()33xyx y -<-变形得3311log ()log ()33xyx y -<-，令函数31()log ()3xf x x =-，因为31log ,()3xy x y ==-都在()0,∞+递增，所以函数31()log ()3x f x x =-在()0,∞+上单调递增，3311log ()log ()33x y x y -<-即()()f x f y <，所以0x y <<，因为函数1y x =在()0,∞+上单调递减，所以11x y>，A 正确；因为函数3y x =在()0,∞+上单调递增，所以33x y <，B 正确；因为0x y -<，函数2x y =在(),-∞+∞上单调递增，所以0221x y -<=，C 正确；0y x ->，ln()y x -的符号可正可负，D 错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数31()log (3xf x x =-，并判断其单调性，再根据单调性得到0x y <<.11．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数B ．直线38x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴C ．函数()y f x =的图像可由函数sin 2y x =的图像向右平移8π个单位得到D ．函数()y f x =的图像关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称【分析】先将函数变形为()()sin ωφf x A x B =++的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断．【详解】解：()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，对于A 选项，当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,044x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()y f x =为增函数，A 正确；令242x k πππ-=+，k ∈Z ，得382k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，38x π=，所以直线38x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位得到函数sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，C 错误；211884y f πππ⎛⎫=⨯⎛⎫= ⎪⎝-- ⎪⎭⎭=-⎝，故函数()y f x =的图像关于,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 错误，故选：AB.12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11AD DD ==，AB =，E 、F 、G 分别是AB ，BC ，11C D 的中点，则下列说法正确的是（）A ．11BCDE ⊥B ．1//D C 平面GEFC ．若点P 在平面ABCD 内，且1//D P 平面GEF ，则线段1D PD ．若点Q 在平面ABCD 内，且11D Q B C ⊥，则线段1D Q 【答案】ABD【分析】连接AC ，1D A ，1BC ，根据线面垂直的判定定理，先证明1B C ⊥面11ABC D ，即可得到11B C D E ⊥；判断A 正确；根据A 选项，可判断D 选项中点Q 的轨迹是直线AB ，求出1D Q 的最小值，进而可判断D 正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及性质，可证明B 正确，结合B 选项，得到C 选项中，P 的轨迹是直线AC ，求出1D P 的最小值，即可判定C 错.【详解】连接AC ，1D A ，1BC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，所以侧面11ADD A 与侧面11BCC B 都为正方形，AB ⊥平面11BCC B ，因此11B C BC ⊥，1B C AB ⊥，又1BC AB B =，1BC ⊂面11ABC D ，AB Ì面11ABC D ，∴1B C ⊥面11ABC D ，又 1D E ⊂面11ABC D ，∴11B C D E ⊥，故A 选项正确；1B C ⊥ 面11ABC D ，且11D Q B C ⊥，∴点Q 的轨迹是直线AB ，∴为使1D Q 取得最小值，只需1D Q AB ⊥，即Q 与A 重合，此时，1D A =D选择项正确；E 、F 、G 分别是AB ，BC ，11C D 的中点，所以//EF AC ，1//AD GE ，又EF ⊂平面GEF ，GE Ì平面GEF ，AC ⊂平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，∴面1//AD C 面GEF ，又1D C ⊂ 面1AD C ，1//D C ∴面GEF ，故B 选项正确；若P 在平面ABCD 内，且1//D P 面GEF ，则由B 选项可知：P 的轨迹是直线AC ，为使线段1D P 长度最小，只需1D P AC ⊥，此时在1D AC 中，1AD =，12D C =，2AC =， 1D P AC ⊥，∴111147sin 42D P AD D AC =∠==，故C 选项错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明空间中位置关系时，通常需要根据空间中线面、面面垂直或平行的判定定理及性质，进行证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示即可证明.三、填空题13．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________．【答案】2π【分析】由圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥的底面圆的直径、母线长均为2，求得底面圆半径，进而根据圆锥侧面积公式S rl π=求得结果。

姓名__________ 准考证号____________________（在此卷上答题无效）绝密★启用前湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题2020.12命题：宁乡一中雷锋学校东山学校本试卷共4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动•用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时•将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数Z= 亍+2i,则IZl =Λ.0 B. 1 C.√2 D. 22.已知 SinG＞0,COS（@—兀）＞0,则 0是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.设等差数列仏＞的公差为厶仇=2■则是为递减数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充耍条件D.既不充分也不必耍条件4.陈镜开（1935〜2010）,新中国举重运动员.1956年在上海举行的“中苏举垂友谊赛”中，他以133 公斤的成绩，打破美国运动员C・温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录. 1956〜1964年期间•在上海、北京、英斯科、莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破眾轻量级和次轻量级挺举世界纪录.举重比赛挺举项目中，运动员对所要重虽冇3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重员的比赛，才冇资格进人下轮所耍更大重量的比赛.结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0. 6（每次试举之间互不影响）・则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的槪率是A.0. 784B. 0. 84C. 0. 904D. 0. 9365.已知直线Z：^+J-I=0,圆C S（^-I）2 + ⅛-2）2 = 8,则圆C上到直线/的距离为√T的点共有A. 1个 B 2个 C. 3个 D. 4个6.原油作为“工业血液”、“黑色黃金”,其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油网次,这段时间燃油价格有升有降.现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升,第二种方案是每次加油200元、则下列说法正确的是A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定7. 如图，在半径为2的扇形AOB 中，ZA0B = ¥，P 是弧∕∖B 上的一 个三等分点.M ∙N 分别是线段OA,OB±的动点.则页？ •两的最 大值为 A.√2 B. 2 C.4D.4√28. 函数/(-2∙) = 7⅛T+ 2COS (^)在区间［一2.4］上的所有零点的和为二、多项选择题：本题共4小題，每小题5分，共20分。

绝密★启用前湖南名校2021届高三第二次（12月）联考数学试卷学校：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}2 2 0 ,0{|}| 3A x x x B x x =-->=<< , 则A B ⋂=（ ） A. ()0,2 B.()1,2C. (0,3)D. ()2,32.若i32ia -+为纯虚数,则实数a 的值为（ ） A.32-B.23-C.23D.323.平面向量 1,2 ,()||3,6==⋅=-a b a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A. B. C.15D.454.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A.18B.14 C. 38D.125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()nii i ybx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+, 使上述代数式取值最小的,a b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为（ ）A.ˆ2y x =-+B.ˆ2y x =--C.ˆ2yx =+D.ˆ2yx =- 6.某单位有 6 名员工,2020 年国庆节期间,决定从 6人中留 2人值班,另外 4人分别去张家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游.要求每个景点有 1 人游览,每个人只游览一个景点 ,且这 6 个人中甲、乙不去衡山,则不同的选择方案共有（ ） A.120种B.180种C.240种D.320种7.已知数列{}n a 前 n 项和为n S ,命题()1:2n n n a p S α+=,命题:{}n q a 为等差数列 ,则p 是 q 成立的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 ,A B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右顶 点 ,P 为椭圆 C 上一动点,, PA PB 与直线3x =交于 , M N 两点,PMN △与PAB △的外接圆的周长分别为12,L L ,则12L L 的最小值为（ ）D.14二、填空题9.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．10.某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．11.已知三棱锥 P ABC -外接球的表面积为 100π,PB ⊥平面,8 120ABC PB HAC =∠=︒，, 则三 棱锥 P ABC -体积的最大值为 ．12.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A B ，两点．若120AOB OAB ∠=︒，△内切圆的半径r=5b-，则双曲线的离心率为 ．三、多项选择题13.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[][][][][] 0, 5051, 100101, 200 , 201, .300 , 301,500，， 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重 )污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（ ）A.这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B.这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日14.设动点 P 在正方体1111ABCD A B C D -上(含内部),且11D P D B λ= ,当APC ∠为锐角时,实数λ可能的取值是（ ） A.12B.13C.14 D.1515.在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A.若 A B >, 则 sin sin A B >B. 存在ABC △满 足cos cos 0A B +≤C.若 sin cos A B <, 则ABC △为钝角三角形D.若π2C >，则22sin sin sin C A B >+ 16.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若()f x 存在唯一零点，下列说法正确的有（ ）A.()m x 在 R 上递增B.()m x 图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数12,x x R ∈ 均有1212()()()22m x m x x xm ++<D.2a π≥四、解答题17.在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)nn S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{}n a 的 前 n 项 和为 1,1n S a =， ，若确定{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式，否则，说明理由．18.在ABC △中，,153B AB π∠==，点 D 在边BC 上，11,cos 26CD ADC =∠=.(1) 求 sin BAD ∠; (2) 求ABC △的面积.19.四棱锥 P ABCD - 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形， 120,BAD PA ∠=︒⊥底面,ABCD PA=, E F 分别是,PC PD 的中点．(1 ) 已知BG BC λ=, 若平面 //EFG 平面PAB ,求l 的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.已知 ,A B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点()2,0M 任作一条非水平直线交椭圆于 ,P Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 ,AP BQ 的斜率分别为12k k ，，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21.有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立． (1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率； (3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX . 22.已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论()f x 的单调性；(2) 若0x ≥时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：D解析：{2A x x =>∣或1}x <-，则(2,3)A B =∩. 2.答案：C 解析：(i)(32i)(32)(23)i i 32i (32i)(32i)13a a a a ----+-==++-,则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 3.答案：B解析：cos ||||θ⋅===a b a b 4.答案：C 解析：38m p n ==. 5.答案：D解析：222231312233(2)(1)2a b ab b a b b ++-+=++-+,当2010a b b +=⎧⎨-=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩时上式最小，故ˆ2yx =-. 6.答案：C解析：以地点为对象，依次考虑各景点可能人数：4543240N =⨯⨯⨯=. 7.答案：C解析：若p 成立，则()12n n n a a S +=，则()111(1)2n n n a a S ++++=，两式相减得：()()1111(1)22n n n n a a n a a a +++++=-，即11(1)0n n n a na a +--+=，于是，211(1)0n n na n a a ++-++=，再将以上两式相减得：2120n n n na na na ++-+=， 即2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 为等差数列，故命题q 成立；而q 成立，p 显然成立. 8.答案：A解析：容易知道14PA PB k k ⋅=-，设1:(2),:(2)4PA PB l y k x l y x k=+=--，令3x =得15,4M N y k y k ==-，不妨设0k >，则154MN k k=+，设PMN △和PAB △外接圆的半径分别为12,r r ，由正弦定理得122,2sin sin MN ABr r MPN APB ==∠∠，又180MPN APB ︒∠+∠=，所以111222125524424k k L r r MN kL r r ABππ⋅+=====9.答案：4解析：(1)2111log 1,(1)224222f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10.答案：解析：圆锥底面半径2,r h ===11.答案：解析：设ABC △三边的长分别为11,,,sin120832a b c V bc ︒=⋅⋅=，设球的半径为R ，由24100R π=π，得225R =，设ABC △外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin120a r ︒=，即222,425r R ⎫==+⎪⎪=⎝⎭，所以22272cos120a b c bc ︒==+-⋅，即222723b c bc bc bc bc =+++=，故23239,963bc V bc =⨯=，当且仅当3b c ==时取等号. 12.解析：由焦点F 到渐近线的距离为,120b OAB ︒∠=知AF =， 在OAF △中，由余弦定理得2222cos120OF OA AFOA AF ︒=+-⋅⋅⋅，即2222cos120c OA OA ︒⎫=+-⋅⋅⎪⎪⎝⎭，解得OA a =-， 设OAB △内心为M ，作MN OA ⊥于N ，显然60,MAO MN r ︒∠===， 则AN ==ON OA AN a=-=-，tan MNMON ON ∠===b e a ==. 13.答案：ACD解析：14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A 对； 14天中的中位数为86121103.52+=，故B 错误；从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C 对；D 答案显然成立. 14.答案：CD解析：设1,AP x D P t ==，设正方体的棱长为1，则AC APC △中，由余弦定理得2222221cos 2x x x APC x x +--∠==，若APC ∠为锐角，则2210x x ->，则21x >，在1AD P △中，11cos AD AD P =∠=2222x t t =+-⋅于是2221t t +->，即2330t -+>，解之得：t >t <，由1D B =1λ>（舍）或103λ<<.15.答案：ACD 解析： 16.答案：ABD 解析：17.答案：若选①，由()2121n n n S S S --+=+成立，则必须n ≥3， 此时1122n n n n S S S S ----=-+，即12(3)n n a a n -=+， 这只能说明数列{}n a 从第2项开始构成等差数列， 数列通项公式无法确定。