集合论初步
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第二讲 集合论初步
ì ï x Q =ï íq q = ï y ï î
（0,1）开区间的实数集：
and
ü ï x, y Î I, y ¹ 0ï ý ï ï þ
R = {0.x1 x2 xk x1 , x2 , , xk , Î {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}}
E
3.1. 集合间的关系
包含：A，B 是集合。如果
AÇ B Ì B 。
A
B
由于 A, B 是任意两个集合，所以不妨取（如文氏 图所示）
AÇ B = Æ ，
这样就有
Æ = AÇ B Ì A
同理有
Æ = AÇ B Ì B
（2） Æ1 是空集， Æ2 是集合（空集是集合的一种） 。根据（1） ，
Æ1 Ì Æ2 ；
同理
Æ2 Ì Æ1 。
这样根据集合相等的定义就有
A = {2, 4, 6,8,10} ，
又如
B = {a,e,i,o,u}
表明集合 B 中有 5 个元素：
a, e, i, o, u 。
根据以上集合的表示，我们有
2Î A , 3Ï A；
以及
eÎB , bÏ B
条件限定法：
集合
A = {2, 4, 6,8,10}
可以表示为
A = { x x Î I, 2 £ x £ 10} or
A- B
<图 1-1-C>
AÌE
A 的补集就定义为 E 中不属于 A 的元素。 补集：A 是元素取自于 E 的集合，
A
A
A = { x Î E x Ï A}
为 A 的补集。 图 1-2 给出了集合并、交、差和补运算的文氏图。 <图 1-2-D>
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
自从19世纪末由德国数学家Georg Cantor创立以来，集合论经历了多个阶段的发展。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理化建立、发展阶段等方面进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到古希腊的数学思想，如毕达哥拉斯学派的无理数概念。
然而，真正系统化的集合论始于19世纪末的德国。
1874年，Cantor首次提出了集合的概念，并开始研究无限集合的性质。
他的工作为集合论的发展奠定了基础。
三、集合论的基本概念1. 集合：集合是指由确定的对象组成的整体。
可以用描述性的方式或罗素概括法来定义一个集合。
2. 元素：集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物，包括数、字母、其他集合等。
3. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
4. 并集：两个集合的并集是指包含两个集合中所有元素的集合。
5. 交集：两个集合的交集是指包含两个集合共有元素的集合。
6. 补集：对于给定的全集，一个集合的补集是指全集中不属于该集合的元素构成的集合。
四、集合论的公理化建立为了确保集合论的严密性，20世纪初，数学家们开始尝试对集合论进行公理化建立。
在此过程中，提出了多个集合论公理系统，如Zermelo-Fraenkel公理系统和von Neumann-Bernays-Gödel公理系统。
这些公理系统为集合论提供了一套严格的逻辑基础，确保了集合论的内在一致性。
五、集合论的发展阶段1. 初步发展阶段：Cantor的工作为集合论的初步发展奠定了基础，他提出了无限集合的概念，并研究了不同无限集合之间的势（基数）的比较。
2. 公理化建立阶段：20世纪初，集合论开始进行公理化建立，确立了集合论的基本概念和公理系统。
3. 集合论的危机：20世纪初，罗素悖论的出现引发了集合论的危机。
罗素悖论是指由Bertrand Russell提出的一个关于自指的集合的悖论，揭示了集合论的潜在矛盾性。
集合论初步知识和集合运算规律
集合论初步知识和集合运算规律集合论是数学的一个基本分支，它研究了集合以及集合之间的关系和运算。
集合论的主要概念和运算规律如下：1.集合的基本概念：–集合：由明确的、相互区别的对象组成的整体，称为一个集合。
–元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。
–集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合的所有元素，如{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
2.集合的类型：–普通集合：包含任意类型的元素的集合。
–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。
–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合称为另一个集合的真子集。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
–无穷集合：包含无限多个元素的集合。
3.集合运算规律：–并集（∪）：两个集合的并集包含两个集合的所有元素，但不重复计算重复的元素。
–交集（∩）：两个集合的交集包含两个集合共有的元素。
–补集：对于一个给定的集合S和 universal set（全体集合），S的补集是全体集合中不属于S的元素组成的集合。
–相对补集：对于两个不相交的集合S和T，S在T中的补集是T中不属于S的元素组成的集合。
–幂集：集合S的所有子集组成的集合称为S的幂集。
4.集合运算的性质和定律：–交换律：对于集合运算，交换集合的位置不改变运算结果。
–结合律：对于集合运算，多个集合进行同一运算时，运算顺序不影响结果。
–分配律：集合运算中，一个集合与多个集合的并集进行运算，等于与每个集合分别进行运算的结果。
–吸收律：集合运算中，一个集合与它自己的并集等于它自己。
–同一律：集合运算中，一个集合与它自己的交集等于它自己。
以上是集合论初步知识和集合运算规律的概述，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：判断下列哪些是集合，哪些不是集合？a){1, 2, 3}b)所有质数c)高三一班的学生d)全体自然数解答：a)、b)、c)、d)都是集合。
数学分析_郇中丹_01_集合论初步
集合运算的性质 (II)
• • • • • 9. =E, E= 10. (aAa)= aAa 11. (aAa)= aAa 12. AB=(A\B)(B\A) 证明举例：3, 4, 5, 8, 10. 强调
– 如何证明集合相等 – 利用运算的定义
• 习题：6,7,9,11,12
集合的交
• 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素 组成的集合, 记为A B, 也就是 A B={x | xA且xB} • 集合交运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的交: aIAa=aAa={x | "aI, xAa} • I为自然数时的记法
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为AB, 也就是 AB={x | xA或xB} • 集合并运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的并： aIAa=aAa={x | aI, xAa} • I为自然数时的记法
与映射相关的术语
• 考虑映射f: AB. 有"xA, ! yB使得 (x,y)f.
– – – – – – 元素y叫做x在映射F下的像, 并且记为y=f(x) 元素x叫做元素y在映射f下的一个原像 A叫做映射f的定义域 f(A)={yB | xA, y=f(x)}叫做f的值域 xA叫做自变量的值(简称自变量) y=f(x)叫做函数在x处的值
现代数学方法：集合论+公理化
• 集合是定义任何数学对象的原始概念。 数学上说，任何数学概念都是用集合定 义的，简单地说，任何数学对象都是某 种类型的集合。 • 数学系统都以公理化的形式和精神来陈 述的探索的。
集合论初步
❖ 无限集: 不是有限集的集合叫做无限集 ❖ 可数集: 与自然数集N等势的集合叫做可数集 ❖ 命题1. 有理数集Q={m/n | mZ, nN+}是可
数的 ❖ 证明：利用高度h=|m|+n ❖ 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的
可数集(II)
❖ 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并集仍 然是可数的
5. 集合的势
❖ 等势的概念 ❖ 自然数和有限集 ❖ 可数集 ❖ 幂集 ❖ 不可数集
等势的概念
❖ 如何说清有限集: 自然数的构造 ❖ 数数射,就说A与B是对等的或等势的. 记做A~B. ❖ 等势的性质:
1. 自返性: A~A; 2. 对称性: A~BB~A; 3. 传递性: A~B, B~CA~C.
公理、并集公理、幂集公理、无穷公理（归 纳法）、公式F的替换公理、正则公理、选 择公理
现代数学方法：集合论+公理化
❖ 集合是定义任何数学对象的原始概念。数学 上说，任何数学概念都是用集合定义的，简 单地说，任何数学对象都是某种类型的集合。
❖ 数学系统都以公理化的形式和精神来陈述的 探索的。
数学严格性与实用的妥协
❖ 笛卡尔积是定义种种数学概念的基本手段之 一
4. 映射和函数
❖ 映射的现代定义和传统定义 ❖ 与映射相关的术语 ❖ 映射的分类
映射的现代定义和传统定义
❖ 映射的定义: 集合A, B的笛卡尔积AB的 子集f叫做集合A到集合B的映射, 如果下 列条件成立: xA, ! (x,y) f
❖ 映射、函数和变换等等说法在现代数学 的意义下是同义词，在实际使用中有所 侧重
❖ I为自然数时的记法
集合的差运算和余(补)运算
❖ 集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元 素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记 作A\B, 也就是
数的 ❖ 证明：利用高度h=|m|+n ❖ 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的
可数集(II)
❖ 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并集仍 然是可数的
5. 集合的势
❖ 等势的概念 ❖ 自然数和有限集 ❖ 可数集 ❖ 幂集 ❖ 不可数集
等势的概念
❖ 如何说清有限集: 自然数的构造 ❖ 数数射,就说A与B是对等的或等势的. 记做A~B. ❖ 等势的性质:
1. 自返性: A~A; 2. 对称性: A~BB~A; 3. 传递性: A~B, B~CA~C.
公理、并集公理、幂集公理、无穷公理（归 纳法）、公式F的替换公理、正则公理、选 择公理
现代数学方法：集合论+公理化
❖ 集合是定义任何数学对象的原始概念。数学 上说，任何数学概念都是用集合定义的，简 单地说，任何数学对象都是某种类型的集合。
❖ 数学系统都以公理化的形式和精神来陈述的 探索的。
数学严格性与实用的妥协
❖ 笛卡尔积是定义种种数学概念的基本手段之 一
4. 映射和函数
❖ 映射的现代定义和传统定义 ❖ 与映射相关的术语 ❖ 映射的分类
映射的现代定义和传统定义
❖ 映射的定义: 集合A, B的笛卡尔积AB的 子集f叫做集合A到集合B的映射, 如果下 列条件成立: xA, ! (x,y) f
❖ 映射、函数和变换等等说法在现代数学 的意义下是同义词，在实际使用中有所 侧重
❖ I为自然数时的记法
集合的差运算和余(补)运算
❖ 集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元 素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记 作A\B, 也就是
03-公理集合论初步_
其中
9
1
是
func(y)[dom(y)=3(x)-{I}[ran(y)Nx,
定义一个函数使得有给定的定义域及值域.
9
2
是
] z(zNx[\ z=I>y(z)Jz),
指定了取值特点.
□
含义
选择公理保证存在选择函数: 假设 a 是一个非空集合, 则存在一个选择函数
f: 2a-{I} > a, x s f(x).
使得 f(x)Jx .
□ 应用
□
公理的相容性
有限性质 假设 Uf 是以下集合
3(I)P3(3(I))P3(3(3(I)))Pl
它是由一些有限集合构成的, 将 J 解释为一般意义下的元素属于 集合, 则可得集合论语言的一个模型:
〈Uf, J 〉.
这一类集合满足除无穷公理之外的所有公理, 有以下性质: 这样的有限个有限集合的并集还是有限的. 这样的有限集合的子集还是有限的. 这样的有限集合的幂集还是有限的. 这样的有限集合在任意函数之下的象还是有限的.
所以这些公理: 是相容的 不能推出存在无限集合 不能推出无穷公理
□ 无穷公理 ZFC 的相容性是不可证的.
□ 非空集合 对于集合论模型
〈{I},J〉.
空集公理、外延公理、并集公理、子集公理、替换公理、正规公 理、选择公理都成立, 同时以下语句成立:
] x(x=I).
所以上述公理不能推出存在非空集合.
9
2
是公式
] uvw(<u,v>Ja[<u,w>Ja>v=w).
公式 92 表示第二坐标具有唯一性.
□
定义域 a) 表示函数 a 的定义域:
离散数学集合论初步59页PPT
离散数学集合论初步
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
集合初步
选择公理
• 类：其元素是集合的集合，记为
•
积空间和商空间
映射类型：单射、满射、双射
部分与整体
无穷大的世界里，部分可能等于整体。
“整体多于部分”这一法则被破坏， 表明无限集合具有本质上异于有限集合 的特性。从有限过渡到无限，完全符合 辩证的规律——性质的质变。
奇怪的旅店
Hilbert 旅馆
• 这(可数)无穷多位旅客想每个人可数无数 间房来安排他们的亲戚朋友。女儿想了很 久，终于想出了办法。 后来，女儿进入大学数学系。有一天， [ a, b] Cantor教授上课，他问：“要是区间 上每一点要占一个房间，是不是还能安 排？”她绞尽脑汁，也无法安排。 不可数
Hale Waihona Puke 总结：办法: 她把一号房间的旅客移至二号 房间，二号房间的旅客移至三号房间， 等等。这一来，新客就住进了已被腾空
的一号房间。
然后，店主便离开自己的办公台，很 不好意思的叫醒了旅客，并请他们换一换 房间：他要每一号房间的旅客搬到房间号 比原来高一号的房间去。
Hilbert旅馆
• 又来了(可数)无穷多位要求订房间的客人， 旅店的女儿采用如下办法: 一号房间的旅客移到二号房间，二号房间 的旅客移到四号房间，三号房间的旅客移 到六号房间，等等。现在，所有单号房间 都腾空出来了。从而新来的无穷多位客人 可住进去了。
二、集合上的拓扑结构
度量空间
有了开集的概念，就可以定义闭集、映射的连续 等等概念
直线上的开集、闭集和完备集
拓扑空间
欧式空间的重要定理
三、集合的测度
直线上集合的测度
• 可测集类就是全体Borel集和全体零测度集合的 “可加”集合类 • 的确存在不可测集合，如商集合[0,1]/Q • 在二维以上的欧式空间，也可以作类似的推广， 其上的Lebesgue测度理论与直线上的情形很相似。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，它研究的是集合的性质、集合之间的关系以及集合的运算等。
集合论的发展经历了多个阶段，从最早的朴素集合论到后来的公理化集合论，不断推动了数学的发展和深化。
本文将详细介绍集合论的发展历程及其相关概念和理论。
二、朴素集合论朴素集合论是集合论的最早形式，其核心思想是将集合看做是由一些元素组成的整体。
朴素集合论的基本概念包括集合的定义、元素的概念、属于关系以及包含关系等。
朴素集合论的发展由于存在悖论问题而受到了限制，即罗素悖论，这一问题使得朴素集合论无法成为一个严格的数学理论体系。
三、公理化集合论为了解决朴素集合论中的悖论问题，数学家们开始尝试建立一个更为严密的集合论体系，即公理化集合论。
公理化集合论的核心思想是通过一系列的公理来定义集合及其相关概念，并在这些公理的基础上进行推导和证明。
最著名的公理化集合论是由哥德尔和弗兰克尔于20世纪初提出的ZF公理系统，其中ZF分别代表了三个重要的公理：选择公理、无限公理和替代公理。
四、集合的基本运算集合论中的基本运算包括并集、交集、差集和补集等。
并集是指将两个或者多个集合中的所有元素合并成一个集合；交集是指两个或者多个集合中共有的元素构成的集合；差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的集合；补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素所构成的集合。
这些基本运算在集合论中具有重要的作用，可以用来描述和分析集合之间的关系。
五、集合的基数与无穷集合集合的基数是指集合中元素的个数，用符号|A|表示。
集合的基数可以是有限的，也可以是无限的。
无限集合是指其基数大于任何有限数的集合。
在集合论中，存在不同基数的无限集合，其中最著名的是可数无穷集合和不可数无穷集合。
可数无穷集合是指其基数与自然数集合相等，例如整数集合和有理数集合；而不可数无穷集合是指其基数大于可数无穷集合的集合，例如实数集合。
六、集合的公理化体系为了对集合进行更为严格的研究，数学家们提出了一系列的公理化体系，用来描述和推导集合论中的各种性质和定理。
第一章 集合论初步
第二篇 集合论集合代数、关系、函数、有限集与无限集是以集合概念为基础而相互关联的一个整体，同时它们也存在明显的发展过程：集合代数→关系→函数→有限集与无限集。
第一章 集合论初步“ 没有任何人能将我们从Cantor 所创造的这个乐园（集合论）中驱赶出去！”D. Hilbert重点：1 集合运算的10个规律； 2 集合成员表的构造 3 证明集合相等的方法 4 幂集的概念§ 1.1 集合的基本概念1.1.1 集合与元素一、集合的概念集合是数学中一个最基本的概念（就象几何中的点一样原始），很难用别的词来定义它。
通常只是给予一种描述，即：把确定的不同的一些对象（或元素）作为一个整体来考虑时，这个整体便称为是一个集合。
例如：英文字母中的所有字母；全国的高等学校；直线上的所有点；所有的整数（I ），正整数（+I ），负整数（-I ），有理数（Q ），实数（R ），自然数（包含0）（N ）。
集合用大写英文字母表示，集合中的元素用小写英文字母表示。
元素a 属于集合A ，记为A a ∈，若元素a 不属于集合A ，则记为A a ∉。
注释1 集合的特性。
1）集合中的元素具有确定性。
定义集合的方式不能具有二义性，即对给定的一个集合A 和元素a 而言，a 和A 的关系是确定的，a 要么属于A ，要么不属于A 。
例，所有好看的花构成的集合就具有不确定性。
2）集合中的重复元素不影响集合（即集合的元素互不相同），例如，{}b a ,余{}b b b a ,,,认为相同。
3）集合的元素具有无序性。
注释2 特殊的集合。
1）不包含任何元素的集合是空集，记为∅。
例如：}01|{2是实数且x x x =+。
2）在一定范围内，如果所有集合都是某一集合的部分，则称该集合为全集，记为E ，全集是相对的。
如在数学分析中的数，对我们讨论的问题而言，我们限定在实数范围，因此，实数是全集。
但在复分析中的数是复数，因此，复数是全集。
3）有限集合与无限集合。