【数学】2021年上海市中考模拟(解析版)

2021年上海市黄浦区中考数学模拟试卷解析版一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ） A ．8B ．6C ．2√2D ．2【解答】解：若b 是a 、c 的比例中项， 即b 2＝ac ． 42＝2c ， 解得c ＝8， 故选：A ．2．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么AC 的长为（ ） A ．m •sin αB ．m •cos αC ．m •tan αD ．m •cot α【解答】解：由题意，得 cos A =ACAB， AC ＝AB •cos A ＝m •cos α， 故选：B ．3．（4分）已知一个单位向量e →，设a →、b →是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A ．1|a →|a →=e →B ．|e →|a →=a →C ．|b →|e →=b →D ．1|a →|a →=1|b →|b →【解答】解：A 、1|a →|•a →与e →的模相等，方向不一定相同．故错误．B 、正确．C 、|b|→e →与b →的模相等，方向不一定相同，故错误． D 、1|a →|•a →与1|b →|•b →的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B ．4．（4分）已知二次函数y ＝x 2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（ ） A ．y ＝（x +1）2+2B ．y ＝（x +1）2﹣2C ．y ＝（x ﹣1）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2【解答】解：二次函数y ＝x 2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y ＝（x +1）2﹣2． 故选：B ．5．（4分）在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ＝60°，AB DF=AC DE，如果∠B ＝50°，那么∠E的度数是（ ） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【解答】解：∵∠A ＝∠D ＝60°，AB DF=AC DE，∴△ABC ∽△DFE ，∴∠B ＝∠F ＝50°，∠C ＝∠E ＝180°﹣60°﹣50°＝70° 故选：C ．6．（4分）如图，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）A ．AD AB=DE BCB ．AD AC=AE ABC ．AD •AB ＝DE •BCD ．AD •AC ＝AB •AE【解答】解：∵∠EAD ＝∠CAB ， ∴当AE AC=AD AB，即AD •AC ＝AB •AE ， ∴ED ∥BC ， 故选：D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：2（3b →−2a →）+（a →−2b →）＝ ﹣3a →+4b →．【解答】解：2（3b →−2a →）+（a →−2b →）＝6b →−4a →+a →−2b →=−3a →+4b →， 故答案为﹣3a →+4b →．8．（4分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果AE ＝5，EC ＝3，DE ＝4，那么线段BC 的长是325．【解答】解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC =AE AC ，∴4BC=58，∴BC =325， 故答案为325．9．（4分）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果AB BC=23，DF ＝15，那么线段DE 的长是 6 ．【解答】解：∵AD ∥BE ∥CF ， ∴AB BC=DE EF=23，∵DF ＝15， ∴DE EF=DE DF−DE=DE 15−DE=23，解得：DE ＝6， 故答案为：610．（4分）如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），那么BPAP 的值是 √5−12．【解答】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），∴BP AP=AP AB=√5−12． 故答案为√5−12． 11．（4分）写出一个对称轴是直线x ＝1，且经过原点的抛物线的表达式 答案不唯一（如 y ＝x 2﹣2x ） ．【解答】解：符合的表达式是 y ＝x 2﹣2x ， 故答案为 y ＝x 2﹣2x ．12．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC =23，那么线段AB 的长是 2√5 ．【解答】解：在Rt △BDC 中， ∵BC ＝4，sin ∠DBC =23，∴CD ＝BC ×sin ∠DBC ＝4×23=83， ∴BD =√BC 2−CD 2=4√53， ∵∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ， ∴∠A ＝∠DBC ， 在Rt △ABD 中， ∴AB =BD sin∠A =4√53×32=2√5， 故答案为：2√5．13．（4分）如果等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠B =13，那么cos ∠A ＝79．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴∠ADB ＝90°∴在△ADC 中，cos ∠B =BD AB =13， ∴BD =13AB ＝1．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ∴BD ＝DC ， ∴BC ＝2，∴AD =√AB 2−BD 2=√32−12=2√2 ∵12AB •CE =12BC ⋅AD ，∴CE =BC⋅AD AB=2×2√23=4√23， ∴AE =√AC 2−CE 2=73∴cos ∠A =AE AC =733=79，故答案为79．14．（4分）如图，在△ABC 中，BC ＝12，BC 上的高AH ＝8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 y =−32x 2+12x ．（不需写出x 的取值范围）．【解答】解：∵四边形DEFG 是矩形，BC ＝12，BC 上的高AH ＝8，DE ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ， ∴DG ∥EF ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴8−x 8=DG 12，得DG =3(8−x)2，∴y ＝x ⋅3(8−x)2=−32x 2+12x ， 故答案为：y =−32x 2+12x ．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD ＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 9.6 厘米．【解答】解：如图所示：作BE ⊥AE 于点E ， 由题意可得，BC ＝6cm ，CF =12DC ＝8cm ， 故BF =√FC 2+BC 2=√62+82=10（cm ）， 可得：∠CFB ＝∠BAE ，∠C ＝∠AEB ， 故△BFC ∽△BAE ， ∴BC EB =FB AB ，∴6BE=1016，解得：BE ＝9.6． 故答案为：9.6．16．（4分）在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 相似，如果AE ＝6，那么线段AD 的长是 8或92 ．【解答】解：如图 ∵∠DAE ＝∠BAC ，∴当△ADE ∽△ABC ， ∴AB AC =AD AE ，即129=AD 6，解得：AD ＝8， ∴当△AED ∽△ABC ， ∴AB AC =AE AD ，即129=6AD，解得：AD =92， 故答案为：8或9217．（4分）如图，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果AG ＝5，BF ＝6，那么线段CE 的长是92．【解答】解：如图，延长AG 交BC 于K ．∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝2GK ，BG ＝2GF ，CG ＝2EG ，∵AG ＝5，BF ＝6， ∴GK =52，BG ＝4， ∵CE ⊥BF ， ∴∠BGC ＝90°，∴BC ＝2GK ＝5，CG =√BC 2−BG 2=√52−42=3， ∴EG =12CG =32， ∴EC ＝3+32=92． 故答案为92．18．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE ＝∠B ＝30°，且AD AE=32，那么DE BC的值是13√318−1 ．【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B ＝30°， ∵∠DAE ＝∠B ＝30°， ∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ， ∵∠AED ＝∠BEA ， ∴△ADE ∽△BAE ， ∴AD AB=AE BE=DE AE，∴AE 2＝DE ×BE ， 同理：△ADE ∽△CDA ， ∴AD CD=DE AD，∴AD 2＝DE ×CD ， ∴AD 2AE =CD BE=（32）2=94，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AB=AE BE，∴AB =AD AE ×BE =32×4x ＝6x ， 作AM ⊥BC 于M ，如图所示： ∵AB ＝AC ， ∴BM ＝CM =12BC ， ∵∠B ＝30°，∴AM =12AB ＝3x ，BM =√3AM ＝3√3x ， ∴BC ＝2BM ＝6√3x ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣6√3x ， ∴DE BC=√3x 6√3x =13√318−1；故答案为：13√318−1．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：cos30°tan60°−sin60°−cot45°．【解答】解：原式=√32√3−√321＝0．20．（10分）已知，如图，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且DE CE=12，设AB →=a →，AD →=b →．（1）用a →、b →表示AE →；（直接写出答案）（2）设AE →=c →，在答题卷中所给的图上画出a →−3c →的结果．【解答】解：（1）∵DE CE=12，即DE =12CE ，DE =13DC ，AE →=13a →+b →（2）如图所示：延长AE 、BC 交于G ，则即为a →−3c →的结果．∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ∴DE CE=AE EG=12∴AG ＝3AE 又∵AE →=c →∴＝3 ∴=a →−3c →．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即AD ＝BE ＝1米），两台测角仪相距50米（即AB ＝50米）．在某一时刻无人机位于点C （点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30°，B 处测得其仰角为45°．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）【解答】解：（1）如图，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，∵∠CBA ＝45°，∴BH ＝CH ，设CH ＝x ，则BH ＝x ．∵在Rt △ACH 中，∠CAB ＝30°，∴AH =√3CH =√3x ．∴x +√3x =50．解得：x =3+1≈18， ∴18+1＝19．答：计算得到的无人机的高约为19m ；（2）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为点G ，在Rt △AGF 中，tan∠FAG =FG AG ，∴AG =FG tan40°≈180.84≈21.4，又AH =√3CH ≈31.14．∴31.14−21.42≈5，或31.14+21.42≈26答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =−14x 2−x +2，其顶点为A ．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot ∠ABC＝2，求点B坐标．【解答】解：（1）抛物线y=−14x2−x+2=−14（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），代入y=−14x2−x+2，得3−m=−14(−2m−2)2−(−2m−2)+2．解得m1＝0（舍），m2＝1，∴点B的坐标为（﹣4，2）．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果CFDE =ACCD，求证：AC2BC2=AFBF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DAB ，∠CBF ＝∠DAB ，∴∠CDE ＝∠CBF ，∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，∴∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴BC BF =CD DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，CD ＝AB ，∴AD BF =AB DE ，∴AD •DE ＝AB •BF ．（2）∵CF DE =AC CD ，∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△ACF ∽△CDE ，又∵△CDE ∽△CBF ，∴△ACF ∽△CBF ，∴S △ACFS △CBF=AC 2BC ， ∵△ACF 与△CBF 等高， ∴S △ACFS △CBF=AF BF ， ∴AC 2BC =AF BF ．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y ＝﹣x 2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5＝（x ﹣1）2+4∴原抛物线顶点是（1，4），设影子抛物线表达式是y ＝x 2+n ，将（1，4）代入y ＝x 2+n ，解得n ＝3，所以“影子抛物线”的表达式是y ＝x 2+3；（2）设原抛物线表达式是y ＝﹣（x +m ）2+k ，则原抛物线顶点是（﹣m ，k ），将（﹣m ，k ）代入y ＝﹣x 2+5，得﹣（﹣m ）2+5＝k ①，将（1，0）代入y ＝﹣（x +m ）2+k ，0＝﹣（1+m ）2+k ②，由①、②解得 {m 1=1k 1=4，{m 2=−2k 2=1． 所以，原抛物线表达式是y ＝﹣（x +1）2+4或y ＝﹣（x ﹣2）2+1；（3）结论成立．设影子抛物线表达式是y ＝ax 2+n ．原抛物线于y 轴交点坐标为（0，c ）则两条原抛物线可表示为y1＝ax2+b1x+c与抛物线y2＝ax2+b2x+c（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是P1(−b12a，4ac−b124a)、P2(−b22a，4ac−b224a)将P1、P2分别代入y＝ax2+n，得{a(−b12a)2+n=4ac−b124a a(−b22a)2+n=4ac−b224a消去n得b12＝b22，∵b1≠b2，∴b1＝﹣b2∴P1(b22a，4ac−b224a)，P2(−b22a，4ac−b224a)，∴P1、P2关于y轴对称．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y=S△BCES△AEF（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当S△BCES△AEF=7时，请直接写出线段AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴EG=EC⋅sin∠ACB=√32(2−x)，CG=EC⋅cos∠ACB=1−12x，∴BG＝2﹣CG＝1+12x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴1+12x=√32(2−x)，解得x=4−2√3．所以线段AE的长是4−2√3．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴∠CAF=12∠DAC=60°−α，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴S△BCES△AEF =BE2AE，由（1）得在Rt△CGE中，BG=1+12x，EG=√32(2−x)，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴y=x2−2x+42（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7=x2−2x+42，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x=23或﹣1（舍弃），AE=23．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y=x2+2x+4x2当y＝7时，7=x2+2x+4x2，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x=−23（舍弃）或1，∴AE＝1．。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题03 三角形一、单选题1．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知点G 是ABC 的重心，如果连接AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A ．BD CD =B ．AG GD =C ．2AG GD = D ．2BC BD =【答案】B【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可．【详解】解：∵点G 是ABC 的重心，∵BD CD =，2AG GD =，2BC BD =，∵A 、C 、D 正确，B 错误，故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．2．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∵ACD △，从而得到EG AG CD AD=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =， 8CB =，∴142CD BD BC ===，GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∵ACD △， ∴EG AGCD AD =，21AG GD =，∴23AG AD =，∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．【答案】4【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC ，ACB CAD ∠=∠，继而可证//BC AD ，根据等腰三角形三线合一性质可得CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，∵AFC ＝∵FAE ＝90°，继而在Rt∵AFC 中，根据勾股定理可得AF ，继而在Rt∵AEF 中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DA DC =，∵ABC DAC △∽△∵2AC BC AD =⋅，ACB CAD ∠=∠，∵AB AC ==32AD CD ==， ∵2BC =，又ACB CAD ∠=∠，∵//BC AD ，∵AB ＝AC又点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．∵AF∵BC ，AF∵AD ，CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =， 即∵AFC ＝∵FAE ＝90°，在Rt∵AFC 中，由勾股定理，得：AF ===∵在Rt∵AEF 中，由勾股定理，得：4EF ===．【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC ，AF 的长度．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．【分析】根据题意，画出图形，如解图所示，连接CO 并延长交AB 于点D ，利用勾股定理求出AB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD ，再利用三角形重心的性质即可求出结论．【详解】解：Rt∵ABC 中，∵ACB=90°，AC=6，BC=3，点O 为三角形的重心，连接CO 并延长交AB 于点D ，，CD 为∵ABC 的中线，∵CD=12AB∵O 为∵ABC 的重心，∵该三角形的重心到其直角顶点的距离CO=23 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和重心的定义及性质，掌握勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和重心的定义及性质是解题关键．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知AD 、BE 是ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，如果AD=3，那么AF=______．【答案】2【分析】由三角形的重心的概念和性质，由AD 、BE 为∵ABC 的中线，且AD 与BE 相交于点F ，可知F 点是三角形ABC 的重心，根据重心的特点即可求解．【详解】∵AD 、BE 是ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，∵F 点是三角形ABC 的重心， ∵AF=23AD=23×3=2。

2021 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键． 3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED ∥BC 的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断ED ∥BC ； B. 当时，能判断ED ∥BC ； C. 当时，不能判断ED ∥BC ； D. 当时，能判断ED ∥BC ；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。

2021年上海市宝山区中考数学三模试卷一、选择题（共6小题）.1．下列计算正确的是（）A．（2a）2＝2a2B．a6÷a3＝a3C．a3•a2＝a6D．3a2+2a3＝5a52．下列方程有实数根的是（）A．B．C．x2﹣x+1＝0D．2x2+x﹣1＝0 3．如果函数y＝3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（）A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤04．如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（）A．九（1）班外出的学生共有42人B．九（1）班外出步行的学生有8人C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人5．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形6．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的梯形是等腰梯形B．有两个角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形一定是梯形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：＝．8．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝．9．化简：﹣＝．10．函数的定义域是．11．已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么k＝．12．将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为．13．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为．14．如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是（只需写出一个满足要求的数）．15．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝（用向量、的式子表示）．16．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一种情况）．17．某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是（用m的代数式表示）．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中．20．解方程组：．21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，对角线BD平分∠ABC，cos C＝．（1）求边BC的长；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．22．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：（1）y关于x的函数关系式；（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？23．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．（1）求证：FC⊥BC；（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．24．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB ＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．25．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．下列计算正确的是（）A．（2a）2＝2a2B．a6÷a3＝a3C．a3•a2＝a6D．3a2+2a3＝5a5【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解：A、（2a）2＝4a2，故本选项错误．B、a6÷a3＝a3，故本选项正确．C、a3•a2＝a5，故本选项错误．D、3a2与2a3，不能合并同类项故本选项错误．故选：B．2．下列方程有实数根的是（）A．B．C．x2﹣x+1＝0D．2x2+x﹣1＝0【分析】根据分式方程和无理方程的解法如果能求得方程的解说明方程有实数解，一元二次方程有实数根只需得到其根的判别式为非负数．解：A、分式方程＝0，去分母得：x2+2＝0∵x2≥0，∴原方程无解；B、∵≥0∴无理方程无解；C、∵x2﹣x+1＝0中b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0∴x2﹣x+1＝0无实数根；D、∵2x2+x﹣1＝0中b2﹣4ac＝1+8＝9＞0，∴此方程有实数根，故选：D．3．如果函数y＝3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（）A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0【分析】图象一定经过第二象限，则函数一定与y轴的正半轴相交，因而m＞0．解：根据题意得：m＞0，故选：A．4．如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（）A．九（1）班外出的学生共有42人B．九（1）班外出步行的学生有8人C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人【分析】先求出九（1）班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，最后即可作出判断．解：由扇形图知乘车的人数是20人，占总人数的50%，所以九（1）班有20÷50%＝40人，所以骑车的占12÷40＝30%，步行人数＝40﹣12﹣20＝8人，所占的圆心角度数为360°×20%＝72°，如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有150人．故选：B．5．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【分析】先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，360°÷45°＝8，∴这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：C．6．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的梯形是等腰梯形B．有两个角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形一定是梯形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形【分析】根据等腰梯形的判定定理对各个选项逐一分析即可．解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，由全等三角形的判定与性质可证明出是等腰梯形，故本选项正确；B、有两个角相等的梯形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为没说明另一组对边的关系，有可能也平行，那么就有可能是平行四边形，故本选项错误；D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：＝3．【分析】＝，即是求9的算术平方根．解：根据题意：＝＝3．故答案为：3．8．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝a2（a﹣9）．【分析】按照因式分解的定义，提取公因式即可求解．解：a3﹣9a2＝a2（a﹣9）．故答案为：a2（a﹣9）．9．化简：﹣＝．【分析】根据分式加减的运算法则，将分式通分、化简即可．解：原式＝﹣＝＝＝．10．函数的定义域是x≤2．【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数可：4﹣2x≥0，求解即可．解：根据题意得：4﹣2x≥0，解得x≤2．故答案为x≤2．11．已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么k＝﹣6．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A（2，﹣3）代入反比例函数，然后解关于k的方程即可．解：根据题意，得﹣3＝，解得，k＝﹣6．故答案是：﹣6．12．将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为y＝x﹣2．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位所得函数解析式为：y＝x+3﹣5，即y＝x﹣2．故答案为：y＝x﹣2．13．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为．【分析】由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答．解：∵布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，∴P（摸到黄球）＝＝．故答案为：．14．如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是4（所填答案满足a≥4即可）（只需写出一个满足要求的数）．【分析】由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可．解：∵这组数据有5个数，且中位数是4，∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a，∴a≥4或a≥5，故答案是4（答案不唯一）．15．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝﹣﹣（用向量、的式子表示）．【分析】由在平行四边形ABCD中，可得＝＝，即可得＝﹣，＝﹣，又由＝+，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝，∵＝，∴＝﹣，＝﹣，∴＝+＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．16．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是AB＝CD或AD∥BC（只需写出一种情况）．【分析】用反推法，如果四边形ABCD是平行四边形，会推出什么结论，那么这些结论就是我们要添加的条件．解：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形；或添AD∥BC，根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形．17．某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是（用m的代数式表示）．【分析】让汽车上一共可坐的人数除以每辆汽车可坐的人数即为租用大客车的辆数．解：共有2个空座位，那么一共可以坐（m+2）人，∴租用大客车的辆数是，故答案为：．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为．【分析】根据切线的性质得到∠A′DC＝90°，根据旋转变换的性质得到CA′＝CA＝3，根据余弦的定义计算，得到答案．解：设将⊙A绕着点C顺时针旋转，点A至点A′时，⊙A′与直线BC相切相切于点D，连接A′D，则∠A′DC＝90°，A′D＝1，由旋转的性质可知，CA′＝CA＝3，∴cos∠CA′D＝＝，∵AC∥A′D，∴α＝∠CA′D，∴∠α的余弦值为，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中．【分析】首先对括号内的分式进行通分，计算分式的加减，然后把除法转化成乘法，然后计算分式的乘法即可化简，然后代入数值进行计算即可求解．解：原式＝•＝．当x＝2+时，原式＝＝＝．20．解方程组：．【分析】先由②得到关于y，并代入①，从而求得．解：由②得y＝2x﹣1．③（1分）把③代入①，得3x2﹣（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）+3＝0．整理后，得x2﹣2x﹣3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3．把x1＝﹣1代入③，得y1＝﹣3．把x2＝3代入③，得y2＝5．所以，原方程组的解是（1分）21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，对角线BD平分∠ABC，cos C＝．（1）求边BC的长；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．【分析】（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．在Rt△CDH中，由，可求得CH，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，得∠ABD＝∠ADB．则AD＝AB＝5．即可求出BC；（2）在Rt△CDH中，可求得DH，进而得出BH，将角∠DAE转化成∠BDH，即可得出答案．解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．在Rt△CDH中，由∠CHD＝90°，CD＝5，，得．（1分）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．（1分）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC．∴∠ABD＝∠ADB．即得AD＝AB＝5．于是，由等腰梯形ABCD，可知BC＝AD+2CH＝13．（1分）（2）∵AE⊥BD，DH⊥BC，∴∠BHD＝∠AED＝90°．∵∠ADB＝∠DBC，∴∠DAE＝∠BDH．（1分）在Rt△CDH中，．（1分）在Rt△BDH中，BH＝BC﹣CH＝13﹣4＝9．（1分）∴．（1分）∴cot∠DAE＝cot∠BDH＝．（1分）22．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：（1）y关于x的函数关系式；（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？【分析】（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租可列出函数式．（2）38400是利润，根据价格和住房的关系可列方程求出解解：（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据题意，得：y＝200﹣4×，∴．（2）设每间客房每天的定价增加x元根据题意，得．整理后，得x2﹣320x+6000＝0．解得x1＝20，x2＝300．当x＝20时，x+180＝200（元）．当x＝300时，x+180＝480（元）．答：这天的每间客房的价格是200元或480元．23．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．（1）求证：FC⊥BC；（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，求出∠FAC＝∠BAD，证出△ABD≌△ACF，推出∠B＝∠FCA即可；（2）根据△ABD≌△ACF，推出BD＝CF＝AC，求出∠DAC＝∠EFC，根据SAS推出△DAC≌△EFC即可．【解答】证明：（1）∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，∴∠FAD﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠FAC＝∠BAD，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠B＝∠FCA，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠ACF＝90°，∴FC⊥BC．（2）∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BD＝AC，∴AC＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF，∠DAF＝∠EFA＝90°，∴∠DAF﹣∠CAF＝∠EFA﹣∠CFA，∴∠DAC＝∠EFC，在△DAC和△EFC中，∴△DAC≌△EFC（SAS），∴CD＝CE．24．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB ＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴．∴A（，0）．（1分）∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，∴．解得．∴二次函数的解析式为．顶点C的坐标是（，3）．（1分）（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB＝2．（1分）由DE是二次函数的图象的对称轴，可知DE∥AB，OE＝AE．∴．即得DE＝1．（1分）又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．（1分）∴．（1分）（3）根据题意，可设P（，n）．∵，CE＝3，∴．（1分）∴．解得．（1分）∴点P的坐标为P1（，）、P2（，）．25．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．【分析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．又∵，AH⊥BC，∴．即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．利用勾股定理即可证明；（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．从而可求出答案；（3）△PHD与△ABH相似，则有，代入各线段的长短即可求出x的值．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．又∵，AH⊥BC，∴．即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．在Rt△PHD中，HD＝2，利用勾股定理，得．∴当x＝3时，⊙P的半径长为．（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．利用勾股定理，得．∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，∴∠BAH＝30°．即得．在⊙P中，PE＝PD．∵PM⊥EF，P为圆心，∴．于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．即得．∴所求函数的解析式为，定义域为．（3）∵①△PHD∽△ABH，则有，，解得：PH＝，∴x＝AP＝6﹣，当P在AH的延长线上时，x＝6+；②当△PHD∽△AHB时，，即，解得：PH＝2，∴x＝AP＝6﹣2，当P在AH的延长线上时，x＝6+2；，，，．。

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数解答1．（2021•嘉定区三模）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；（2）当x满足﹣2≤x≤3时，函数值y满足﹣4≤y≤5，试求a的值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图象，求a的取值范围．2．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．3．（2021•奉贤区三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向下平移m个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC上，求m的值；（3）如果点P是抛物线位于第一象限上的点，联结PA，交线段BC于点E，当PE：AE＝4：5时，求点P的坐标．4．（2021•上海模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．5．（2021•浦东新区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．6．（2021•上海模拟）已知直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P对应点P′落在y轴上时，求点P的坐标．7．（2021•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A （﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．8．（2021•青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．9．（2021•金山区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y ＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．10．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．11．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y 轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△PAC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．12．（2021•长宁区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．13．（2021•徐汇区二模）如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．14．（2021•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO 的余切值．15．（2021•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB 上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．16．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．17．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；（2）求sin∠BAM的值；（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．18．（2021•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．19．（2021•宝山区三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．参考答案1．【分析】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）根据整点的定义，结合图象中x取0，1，2，时对应y的值即可判断．【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，∵当﹣2≤x≤3时，数值y满足﹣4≤y≤5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上，∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大5，x＝1时，y的值最小﹣4，∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1，∴a＝1；（3）如图：根据（1）、（2）及抛物线对称性可知：∵抛物线与x轴所围成的区域内只有五个整点，即（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（0，﹣1），（2，﹣1），∴x＝﹣1时，﹣2≤a﹣4≤﹣1，解得：2≤a≤3．2．【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；（2）抛物线与y轴的交点，横坐标为0，即A坐标为（0，a﹣1），根据已知条件|a﹣1|＜3，即可求a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）根据已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为直线x＝1开口向上，可以得出f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），根据f（4）＞0，f（3）≤0可以求a的范围，＜a≤，即可以写出符合条件的函数解析式．【解答】解：（1）抛物线的方程为f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；（2）A为抛物线与y轴的交点，∴A点坐标为（0，a﹣1），∵线段OA上的整点个数小于4，且开口向上，则可知|a﹣1|＜3且a＞0，﹣2＜a＜4，故a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为直线x＝1，开口方向向上，故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），∴f（4）＞0，∴得16a﹣8a+a﹣1＞0，得a＞，f（3）≤0，得9a﹣6a+a﹣1≤0，得a≤，取a＝，f（x）＝x2﹣x﹣，∴a的取值范围为＜a≤．3．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；（3）通过证明△AEF∽△APH，可证＝，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，），∵y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，∴0＝﹣x2+x+2，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴点B（4，0），设直线BC解析式为y＝kx+n，，解得：，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，当x＝时，y＝，∴m＝＝；（3）如图，过点E作EF⊥AB于F，过点P作PH⊥AB于H，∴EF∥PH，∴△AEF∽△APH，∴，∵PE：AE＝4：5，∴＝，∴AF＝5x，AH＝9x，∴OF＝5x﹣1，OH＝9x﹣1，∴点E坐标为[5x﹣1，﹣（5x﹣1）+2]，点P坐标为[9x﹣1，﹣（9x﹣1）2+（9x ﹣1）+2]，∴EF＝﹣（5x﹣1）+2，PH＝﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2，∴＝，∴x＝，∴点P（2，3）．4．【分析】（1）直接代入A、B两点坐标求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据P、M两点的坐标即可表示出PM 的长度；②可设点N坐标为，再由MN∥BC可知当MN＝BC时可判定四边形BCMN为平行四边形，分点P在OC上、点P在OC延长线上两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，∴，∴解得：，∴．∴该抛物线表达式为．（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，∴P（m，0），，∴．②由题意可得：，MN∥BC，∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．1°当点P在线段OC上时，，又∵BC＝，∴．得m1＝1，m2＝2．2°当点P在线段OC的延长线上时，．∴，解得（不合题意，舍去），．综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．5．【分析】（1）由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）圆Q与直线AP相切的临界点，进而求解．【解答】解：（1）∵点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），且到点M（﹣3，0）的距离为5，∴点A坐标为（﹣8，0），点B坐标为（2，0），∵点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y）．由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．∵点C在y轴正半轴上，∴点C的坐标为（0，4）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣8，0）、B（2，0）、C（0，4）．∴，解得，∴抛物线的表达式是，∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣3，）；（3）过点A作AQ1⊥AP与抛物线的对称轴相交于点Q1．此时以Q1为圆心，Q1A为半径的圆与线段AP相切于点A．∵∠MPA+∠MAP＝90°，∠MAP+∠MAQ1＝90°．∴∠MPA＝∠MAQ1．∴tan∠MPA＝tan∠MAQ1．∴．∵AM＝5，PM＝，∴Q1M＝4．即点Q1坐标为（0，﹣4）；作AP的中垂线与AP相交于点N，与对称轴x＝﹣3相交于点Q2，则PN＝PA．此时以Q2为圆心，Q2A为半径的圆经过点A、点P．∵AQ1⊥AP，NQ2⊥AP，∴∠Q1AP＝∠Q2NP＝90°．∴AQ1∥NQ2．∴．∵点P的坐标为（﹣3，），点Q1的坐标为（﹣3，﹣4），∴PQ1＝，∴PQ2＝．∴Q2M＝PM﹣PQ2＝﹣＝．即点Q2坐标为（0，），∴当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，点Q纵坐标取值范围是．6．【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，分两种情况进行讨论：①当点P在直线BD上方时，②当点P在直线BD下方时，分别建立方程求解即可；（3）分点P在y轴右侧，△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时或△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，若点P在y轴左侧，分别进行讨论，【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y＝﹣x+n上，∴n＝4，∴y＝﹣x+4，令y＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），∴c＝﹣2，6+3b﹣2＝0，∴b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵P的横坐标为m（m＞0），且点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣m﹣2），∵PD⊥x轴，BD⊥PD，∴点D坐标为（m，﹣2），若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，①当点P在直线BD上方时，PD＝m2﹣m﹣2﹣（﹣2）＝m2﹣m，如图1，BD＝m．∴m2﹣m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；②当点P在直线BD下方时，如图2，m＞0，BD＝m，PD＝﹣m2+m，∴﹣m2+m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；综上所述，m＝或；即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或．（3）∵∠PBP'＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP'＝，cos∠PBP'＝，若点P在y轴右侧，①当△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P′D′＝PD＝m2﹣m，在Rt△P′D′N中，sin∠ND′P′＝＝sin∠PBP′＝，∴P′N＝P′D′＝（m2﹣m），在Rt△BD′M中，BD′＝m，cos∠DBD′＝＝cos∠PBP′＝，∴BM＝BD′＝m，∵P′N＝BM，∴（m2﹣m）＝m，∴m＝，∴P（，）；②当△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图4，过点P作PT⊥y轴于点T，∴PT＝m，BT＝OT﹣OB＝﹣（m2﹣m﹣2）﹣2＝﹣m2+m，∵∠PBP′＝∠OAC，∴tan∠PBP′＝tan∠OAC＝＝，∴＝，∴PT＝BT，∴m＝（﹣m2+m），解得：m＝0（舍去）或m＝，∴P（，﹣）；若点P在y轴左侧，仿照上述方法讨论均不存在满足条件的点P；综上所述，点P的坐标为（，）或（，﹣）．7．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），＝9﹣﹣＝；∴S△ODE（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC＝9，∴P（0，8）．∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．8．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值；（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（2）如图1，由y＝﹣x2+2x+3，得C（0，3），B（3，0）．设直线CD的解析式为y＝kx+3，则k+3＝4，解得k＝1，∴y＝x+3；当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，设直线PB的解析式为y＝x+m，则3+m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由，得，，∴P（﹣2，﹣5）．（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF．由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°+∠FPB；∵tan（∠PBO+∠PEO）＝，∴45°+∠PEO＝45°+∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴＝，BE•BF＝PB2，∵HF＝PH＝×5＝，∴BF＝﹣2﹣3＝，又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52+52＝50，∴BE＝50，解得BE＝，∴OE＝3+＝．9．【分析】（1）直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出PN列方程即可得答案．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；（2）∵b＝2，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴顶点是（2，2﹣4a），∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，∴顶点在第四象限或在x轴上，∴2﹣4a≤0，即a≥；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），∴开口向下，∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，∴D（0，2），∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，∴∠MDO＝30°，Rt△MDO中，tan∠MDO＝，∴tan30°＝，解得OM＝，∵对称轴与x轴交于N，∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，∴，即＝，∴PN＝2+2，而P（2，2﹣4a），∴2﹣4a＝2+2，∴a＝﹣，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．10．【分析】（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴顶点坐标为（2，﹣9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．11．【分析】（1）根据一次函数y＝x﹣3可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c即可求出抛物线的表达式；（2）利用勾股定理分别求出AB、AD、BD的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明△ABD 是直角三角形，从而可以求出∠BAD的正切值；（3）先通过计算得出∠AED＝135°，则P点在x轴上方，然后分或两种情况进行讨论即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，x＝0时，y＝﹣3，y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），又∵A（3，0），B（0，﹣3），∴AD＝，BD＝，AB＝，∵，，∴AB 2+BD 2＝AD 2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°，∴tan ∠BAD ＝；（3）∵OA ＝OB ＝3，∠AOB ＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，又∵DE ∥OB ，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠AED ＝135°，又∵△PAC 与△AED 相似，∠1＝45°，∴点P 在x 轴上方， 且或，在y ＝x ﹣3中，x ＝1时，y ＝﹣2，在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴E （1，﹣2），C （﹣1，0），∴AC ＝3﹣（﹣1）＝4，DE ＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，AE ＝，∴或，解得：AP＝2或，过点P作PQ⊥x轴于点Q，又∵∠4＝∠1＝45°，∴△PAQ是等腰直角三角形，当AP＝2时，AQ＝2，此时P（5，2），当AP＝4时，AQ＝4，此时P（7，4），综上所述，P点坐标为（5，2）或（7，4）．12．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，﹣t+4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，t2﹣t+4），设直线PA的表达式为y＝kx+b，则，解得，故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：y P＝（y C+y E），即t2﹣t+4＝（4﹣t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为（，）．13．【分析】（1）在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y 轴，且DE＝CF，进而求解；（3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y ＝4，故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，连接BC，如下图，∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，故点C的坐标为（0，），则抛物线的表达式为y＝x2+；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠DHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠AHC，则tan∠DCH＝，故直线CD的表达式为y＝x+②，联立①②并解得，故点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝y D＝，则y F＝y C+DE＝+＝，故点F的坐标为（0，）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，联立①③并解得，点D的坐标为（，），而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．14．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），对称轴为直线x＝3，∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（3，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，2），把点E（3，2）和点A（5，0）代入y＝kx+b得，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，如图，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D1坐标为（0，2），连接D1A，∴cot∠D1AO＝＝，②若BD不平行OE，如图D2，则四边形OEBD2为等腰梯形，做BF⊥y轴于F，则D1F＝D2F＝2，∴点D2坐标为（0，6），连接D2A，AO＝＝，∴cot∠D1综上所述，此时∠DAO的余切值为或．15．【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2+bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【解答】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2+bx得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）设直线AB的解析式是y＝mx+n，将A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+2，∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），∴C′（1+m，﹣），∵C′（1+m，﹣）在直线AB上，∴﹣＝﹣（1+m）+2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直线AB′为x＝4，点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：①F在A上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH∥x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝2GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n+1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n+1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C（1，﹣1.5），∴直线GC解析式为：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF∥x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF∥x轴，∴F（4，﹣1.5）．综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．16．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．17．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，求出B（0，3），而AO＝BO求出A（3，0），进而求解；（2）证明∠MBA＝90°，则；（3）证明∠BAM＝∠OAQ，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），∵AO＝BO，∴A（3，0），把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，∴∠MBA＝90°，∴；（3）∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°∵∠MAQ＝45°，∴∠BAM＝∠OAQ，由（2）得，∴，∴，∴，∴OQ＝1，∴Q（0，1）．18．【分析】（1）根据题意得出A（m，m2），将m＝1代入得出其坐标，继而可得答案；（2）根据A（m，m2）知“子抛物线”的解析式为．求出x＝0时y的值可知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，证△AED≌△DFO得AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，知DF＝n，BE＝m+n ＝OF＝ED．结合OB＝EF得m2＝m+2n．再由∠BCA＝∠ADE知，联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）由题得，A（m，m2），当m＝1时，A（1，1），∴这条“子抛物线”的解析式：；（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2．∴“子抛物线”的解析式为．令x＝0，则，∴点C的坐标（0，），，∴．在Rt△ABC中，．（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，∵∠OAC＝135°，∴∠OAD＝45°，又∵OD⊥CA，∴∠OAD＝∠AOD＝45°，∴AD＝OD，∴△AED≌△DFO（AAS），∴AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．又∵OB＝EF，∴m2＝m+2n．又∵∠BCA＝∠ADE，∴，解方程组，得m＝2，（舍去），1∴m的值为2．19．【分析】（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．【解答】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴．∴A（，0）．∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，∴．解得．∴二次函数的解析式为．顶点C的坐标是（，3）．（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB＝2．由DE是二次函数的图象的对称轴，可知DE∥AB，OE＝AE．∴．即得DE＝1．又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．∴．（3）根据题意，可设P（，n）．∵，CE＝3，∴．∴．解得．∴点P的坐标为P1（，）、P2（，）．。

2021年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 已知a =√x +√y ，b =√x −√y ，那么ab 的值为（ ）A.2√xB.2√yC.x −yD.x +y2. 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB ＝2:3，那么AB:PB 为（ ）A.3:2B.3:5C.5:2D.5:33. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE // BC ，AD:DB ＝4:5，下列结论中正确的是（ ）A.DE BC =45 B.BC DE =94 C.AE AC =45 D.EC AC =544. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a ＝3b ，那么∠A 的余切值为（ ）A.13B.3C.√24D.√10105. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA →=a →，OB →=b →，下列式子中正确的是（ ）A.DC →=a →+b →B.DC →=a →−b →C.DC →=−a →+b →D.DC →=−a →−b →6. 如果将抛物线y ＝x 2−2平移，使平移后的抛物线与抛物线y ＝x 2−8x +9重合，那么它平移的过程可以是（ ）A.向右平移4个单位，向上平移11个单位B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）因式分解：x2−5x＝________．已知f(x)=√3x+1，那么f(3)＝________．方程x−1x+1=12的根为________．已知：xy =34，且y≠4，那么x−3y−4=________．在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝6，那么AG＝________．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________．如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x>0)，六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解式是________．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为________．已知二次函数y＝a2x2+8a2x+a(a是常数，a≠0)，当自变量x分别取−6、−4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1>y2（填“>”、“<”或“＝”）．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD // BC，AD＝4，BC＝9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么DFFC=________．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60∘，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）先化简，再求值：x−y x+2y ÷x 2−y 2x 2+4xy+4y 2，其中x ＝sin 45∘，y ＝cos 60∘．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，AC ＝20，sin A =34，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求BD 的长；（2）设AC →=a →，BC →=b →，用a →、b →表示AD →．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +1（b 为常数）的对称轴是直线x ＝1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A(8, m)在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A′，求点A′的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45∘方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22∘方向上．（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M沿着南偏东30∘的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin22∘≈0.375，cos22∘≈0.927，tan22∘≈0.404，√3≈1.732．）如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB⋅OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE⋅AF＝AD⋅BF，求证：△ABE∽△ACD．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)，联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD:S△BCD＝3:2，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE⋅DC，DE:EC＝3:1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90∘，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．参考答案与试题解析2021年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.【答案】C【考点】二次根式的化简求值【解析】将a、b直接代入ab，利用平方差公式求值即可．【解答】∵a=√x+√y，b=√x−√y，∴ab＝(√x+√y)(√x−√y)＝x−y，2.【答案】D【考点】比例线段【解析】根据比例的合比性质直接求解即可．【解答】由题意AP:PB＝2:3，AB:PB＝(AP+PB)：PB＝(2+3)：3＝5:3；3.【答案】B【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由平行线证出△ADE∽△ABC，得出AEAC =DEBC=ADAB=49，即可得出答案．【解答】故选：B．4.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据余切函数的定义即可求解．【解答】∵ 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，a ＝3b ， ∴ cot A =b a =13．5.【答案】C【考点】*平面向量平行四边形的性质【解析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB →即可解决问题．【解答】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB // CD ，AB ＝CD ，∵ AB →=AO →+OB →∴ DC →=AB →=−a →+b →，6.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．【解答】∵ 抛物线y ＝x 2−8x +9＝(x −4)2−7的顶点坐标为(4, −7)，抛物线y ＝x 2−2的顶点坐标为(0, −2)，∴ 顶点由(0, −2)到(4, −7)需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【答案】x(x −5)【考点】因式分解-提公因式法因式分解【解析】根据提公因式法，可分解因式．【解答】x 2−5x ＝x(x −5)．【答案】 √10【考点】函数值【解析】将x＝3代入f(x)=√3x+1计算即可．【解答】当x＝3是，f(3)=√3×3+1=√10，【答案】x＝3【考点】解分式方程【解析】根据分式方程的解法，方程两边同时乘以2(x+1)，将分式方程化为整式方程求解即可．【解答】方程两边同时乘以2(x+1)，得2(x−1)＝x+1，解得x＝3，经检验，x＝3是原方程的根，∴原方程的解为x＝3，【答案】34【考点】比例的性质【解析】根据分比性质可得答案．【解答】∵xy =34，且y≠4，∴x−3y−4=34．【答案】4【考点】三角形的重心三角形中位线定理相似三角形的性质与判定【解析】由三角形的重心的概念和性质求解．【解答】∵AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点G，∴G点是三角形ABC的重心，∴AG=23AD=23×6=4，【答案】16:25【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【解答】两个相似三角形面积的比是(4:5)2＝16:25．【答案】15√3【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】解直角三角形即可得到结论．【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴AB=√3AC＝15√3，【答案】y＝200x2+400x+200【考点】二次函数的应用【解析】根据增长率问题公式列出函数解析式即可．【解答】根据题意，得y＝200(1+x)2＝200x2+400x+200．【答案】240【考点】矩形的性质解直角三角形【解析】由矩形的性质和三角函数求出CD，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【解答】如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90∘，AC＝BD＝26，∵tan∠DAC=CDAC =513，∴CD＝10，∴AD=√AC2−CD2=√262−102=24，∴矩形的面积＝AD×CD＝24×20＝240，故答案为：240．【答案】>【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解析】求出二次函数的对称轴x＝−4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即可求解．【解答】y＝a2x2+8a2x+a＝a2(x2+8x)+a＝a2(x+4)2+a−16a2，∴对称轴x＝−4，∵x分别取−6、−4时，在对称轴左侧，∴y随x的增大而减小，∴y1>y2，【答案】23【考点】梯形相似三角形的性质与判定【解析】连接BD交EF于G，由EF是梯形ABCD的“比例中线”，得出EF2＝AD×BC＝36，EF＝6，由平行线证出△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EGAD =BGBD，DFDC=GFBC=DGBD，求出EG AD +GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1，即EG4+6−EG9=1，解得EG=125，得出GF＝6−EG=185，即可得出答案．【解答】故答案为：23．【答案】17【考点】等边三角形的性质与判定翻折变换（折叠问题）解直角三角形菱形的性质如图，连接BD ．设BC ＝2a ．在Rt △BEF 中，求出EF ，BF 即可解决问题． 【解答】如图，连接BD ．设BC ＝2a ．∵ 四边形ABC 都是菱形，∴ AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2a ，∠A ＝∠C ＝60∘， ∴ △BDC 是等边三角形， ∵ DE ＝EC ＝a ， ∴ BE ⊥CD ，∴ BE =√BC 2−EC 2=√3a ， ∵ AB // CD ，BE ⊥CD ， ∴ BE ⊥AB ， ∴ ∠EBF ＝90∘，设AF ＝EF ＝x ，在Rt △EFB 中，则有x 2＝(2a −x)2+(√3a)2， ∴ x =7a 4，∴ AF ＝EF =7a4，BF ＝AB −AF =a4， ∴ cos ∠EFB =BF EF=a47a 4=17，三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【答案】 原式=x−yx+2y ÷(x+y)(x−y)(x+2y)2=x−yx+2y ⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)=x+2y x+y，当x ＝sin 45∘=√22，y ＝cos 60∘=12时，原式=√22+2×12√22+12=√2．【考点】特殊角的三角函数值 分式的化简求值 【解析】现将原式化简为x+2yx+y ，再将x ＝sin 45∘=√22，y ＝cos 60∘=12代入计算即可．【解答】 原式=x−yx+2y ÷(x+y)(x−y)(x+2y)2=x−yx+2y ⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)=x+2y x+y，当x ＝sin 45∘=√22，y ＝cos 60∘=12时，原式=√22+2×12√22+12=√2．∵ CD ⊥AB ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90∘， 在Rt △ACD 中，sin A =CDAC ， ∴ CD ＝AC ⋅sin A ＝20×35=12，∴ AD =√AC 2−CD 2=√202−122=16， ∴ tan A =CDAD =34，∵ ∠ACB ＝90∘，∴ ∠DCB +∠B ＝∠A +∠B ＝90∘， ∴ ∠DCB ＝∠A ．∴ BD ＝CD ⋅tan ∠DCB ＝CD ⋅tan A ＝12×34=9． ∵ AB ＝AD +DB ＝16+9＝25， ∴ ADAB =1625，又∵ AB →=AC →+CB →=a →−b →， ∴ AD →=1625AB →=1625a →−1625b →．【考点】 *平面向量 解直角三角形【解析】（1）解直角三角形求出CD ，AD ，再在Rt △CDB 中求出BD 即可． （2）利用三角形法则求解即可． 【解答】∵ CD ⊥AB ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90∘， 在Rt △ACD 中，sin A =CD AC，∴ CD ＝AC ⋅sin A ＝20×35=12，∴ AD =√AC 2−CD 2=√202−122=16， ∴ tan A =CDAD =34，∵ ∠ACB ＝90∘，∴ ∠DCB +∠B ＝∠A +∠B ＝90∘， ∴ ∠DCB ＝∠A ．∴ BD ＝CD ⋅tan ∠DCB ＝CD ⋅tan A ＝12×34=9． ∵ AB ＝AD +DB ＝16+9＝25，∴AD AB=1625，又∵ AB →=AC →+CB →=a →−b →， ∴ AD →=1625AB →=1625a →−1625b →．【答案】∵ 对称轴为x =−b2，∴ −b2=1，∴ b ＝−2，∴ 抛物线的表达式为y ＝x 2−2x +1； ∵ 点A(8, m)在该抛物线的图象上，∴ 当x ＝8时，y ＝x 2−2x +1＝82−2×8+1＝49． ∴ 点A(8, 49)，∴ 点A(8, 49)关于对称轴对称的点A ′的坐标为(−6, 49)； −1,0,1,2,3,4,1,0,1,4 【考点】二次函数的性质二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）根据对称轴公式求得b 的值，即可求得抛物线的解析式；（2）把点A(8, m)代入解析式求得m 的值，然后根据轴对称的性质即可求得A′的坐标； （3）列表、连线，画出函数的图象即可． 【解答】∵ 对称轴为x =−b2，∴ −b2=1，∴ b ＝−2，∴ 抛物线的表达式为y ＝x 2−2x +1； ∵ 点A(8, m)在该抛物线的图象上，∴ 当x ＝8时，y ＝x 2−2x +1＝82−2×8+1＝49． ∴ 点A(8, 49)，∴ 点A(8, 49)关于对称轴对称的点A ′的坐标为(−6, 49)； 列表：y…41014…描点、连线，画出图象如图：【答案】过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，∵在Rt△CDM中，CD＝DM⋅tan∠CMD＝x⋅tan22∘，又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45∘，∴AD＝DM，∵AD＝AC+CD＝100+x⋅tan22∘，∴100+x⋅tan22∘＝x，∴x=1001−tan22≈1001−0.404≈167.79，答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．作∠DMF＝30∘，交l于点F．在Rt△DMF中，DF＝DM⋅tan∠FMD＝DM⋅tan30∘=√33DM≈√33×167.79≈96.87米，∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87＝264.66<300，所以该轮船能行至码头靠岸．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，解直角三角形即可得到结论；（2）作∠DMF＝30∘，交l于点F．解直角三角形即可得到结论．【解答】过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，∵在Rt△CDM中，CD＝DM⋅tan∠CMD＝x⋅tan22∘，又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45∘，∴AD＝DM，∵AD＝AC+CD＝100+x⋅tan22∘，∴100+x⋅tan22∘＝x，∴x=1001−tan22≈1001−0.404≈167.79，答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．作∠DMF＝30∘，交l于点F．在Rt△DMF中，DF＝DM⋅tan∠FMD＝DM⋅tan30∘=√33DM≈√33×167.79≈96.87米，∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87＝264.66<300，所以该轮船能行至码头靠岸．【答案】证明：∵OD2＝OE⋅OB，∴OEOD =ODOB，∵AD // BC，∴△AOD∽△COB，∴OAOC =ODOB∴OAOC =OEOD∴AF // CD，∴四边形AFCD是平行四边形；证明：∵AF // CD，∴∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，∴BEBD =BFBC，∵BC＝BD，∴BE＝BF，∠BDC＝∠BCD，∴∠AED＝∠BCD．∵∠AEB＝180∘−∠AED，∠ADC＝180∘−∠BCD，∴∠AEB＝∠ADC．∵AE⋅AF＝AD⋅BF，∴AEBF =ADAF，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD，∴AEBE =ADDC，∴△ABE∽△ADC．【考点】梯形相似三角形的判定平行四边形的性质与判定【解析】（1）由已知得出OEOD =ODOB，由平行线得出△AOD∽△COB，得出OAOC=ODOB，证出OAOC=OEOD，得出AF // CD，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，得出BEBD =BFBC，证出∠AEB＝∠ADC．由已知得出AEBF =ADAF，由平行四边形的性质得出AF＝CD，得出AEBE=ADDC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】证明：∵OD2＝OE⋅OB，∴OEOD =ODOB，∵AD // BC，∴△AOD∽△COB，∴OAOC =ODOB∴OAOC =OEOD∴AF // CD，∴四边形AFCD是平行四边形；证明：∵AF // CD，∴∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，∴BEBD =BFBC，∵BC＝BD，∴BE＝BF，∠BDC＝∠BCD，∴∠AED＝∠BCD．∵∠AEB＝180∘−∠AED，∠ADC＝180∘−∠BCD，∴∠AEB＝∠ADC．∵AE⋅AF＝AD⋅BF，∴AEBF =ADAF，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD，∴AEBE =ADDC，∴ △ABE ∽△ADC ．【答案】将A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)代入y ＝ax 2+bx +c ， 得，{c =−3a +b +c =09a +3b +c =0 ，解得，{a =−1b =4c =−3，∴ 此抛物线的表达式是y ＝−x 2+4x −3； 过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，则S △ABDS △BCD=12AD⋅ℎ12DC⋅ℎ=AD DC =32，又∵ DH // y 轴， ∴ △CHD ∽△COA ， ∴ CHOC =DCAC =DH OA =25，∴ CH ＝DH =25×3=65， ∴ BH ＝BC −CH ＝2−65=45， ∴ tan ∠DBC =DHBH =32；∵ y ＝−x 2+4x −3＝−(x −2)2+1，∴ 对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ，∵ OA ＝OC ＝3， ∠AOC ＝90∘，∴ ∠OAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AF // x 轴，∴ ∠FAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AC 平分∠BAE ， ∴ ∠BAC ＝∠EAC ，∵ ∠BAO ＝∠OAC −∠BAC ，∠EAF ＝∠FAC −∠EAC ， ∴ ∠BAO ＝∠EAF ，∵ ∠AOB ＝∠AFE ＝90∘， ∴ △OAB ∽△FEA ， ∴ OBOA =EFAF =13， ∵ AF ＝2， ∴ EF =23，∴ EG ＝GF −EF ＝AO −EF ＝3−23=73， ∴ E(2, −73)．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）将A 、B 、C 的坐标直接代入y ＝ax 2+bx +c 即可；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，求出AD 与DC 的比，证△CHD ∽△COA ，可求出CH ，DH ，BH 的长，可根据正切定义求出结果；（3）求出抛物线对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ，证∠OAC ＝∠OCA ＝45∘，∠FAC ＝∠OCA ＝45∘，推出∠BAO ＝∠EAF ，证△OAB ∽△FEA ，即可求出AF 的长，EF 的长，EG 的长，即可写出点E 的坐标． 【解答】将A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)代入y ＝ax 2+bx +c ， 得，{c =−3a +b +c =09a +3b +c =0 ，解得，{a =−1b =4c =−3，∴ 此抛物线的表达式是y ＝−x 2+4x −3； 过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，则S △ABDS △BCD=12AD⋅ℎ12DC⋅ℎ=AD DC =32，又∵ DH // y 轴，∴△CHD∽△COA，∴CHOC =DCAC=DHOA=25，∴CH＝DH=25×3=65，∴BH＝BC−CH＝2−65=45，∴tan∠DBC=DHBH =32；∵y＝−x2+4x−3＝−(x−2)2+1，∴对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90∘，∴∠OAC＝∠OCA＝45∘，∵AF // x轴，∴∠FAC＝∠OCA＝45∘，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵∠BAO＝∠OAC−∠BAC，∠EAF＝∠FAC−∠EAC，∴∠BAO＝∠EAF，∵∠AOB＝∠AFE＝90∘，∴△OAB∽△FEA，∴OBOA =EFAF=13，∵AF＝2，∴EF=23，∴EG＝GF−EF＝AO−EF＝3−23=73，∴E(2, −73)．【答案】与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2＝BE⋅DC，∴BEAB =ABDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴3aAD =AD4a，解得：AD＝2√3a，∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45∘，∴∠DAE＝∠C＝45∘∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45∘，∴AG＝DG=√22AD=√22×2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√(3a)2−(√6a)2=√3a，∴AE＝AG+EG＝(√6+√3)a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE =√3a)2(√6+√3)a=4(√6−√3)a，∴DGDF =√6a4(√6−√3)a=2+√24．【考点】相似三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【解析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2＝BE⋅DC，∴BEAB =ABDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴3aAD =AD4a，解得：AD＝2√3a，∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45∘，∴∠DAE＝∠C＝45∘∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45∘，∴AG＝DG=√22AD=√22×2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√(3a)2−(√6a)2=√3a，∴AE＝AG+EG＝(√6+√3)a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE =√3a)2(√6+√3)a=4(√6−√3)a，∴DGDF =√6a4(√6−√3)a=2+√24．。

2020-2021学年上海市松江区九年级中考一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：162．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2 4．已知＝2，下列说法中不正确的是（）A．﹣2＝0B．与方向相同C．∥D．||＝2||5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题）.7．已知，则＝．8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是cm．9．计算：sin30°•cot60°＝．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为．11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为．12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝．14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，＝，四边形DBCE 的面积等于7，则△ADE的面积为．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量＝，＝，用向量、表示为．17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为cm．18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．三、解答题（共7题，满分78分）19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC．（1）求线段CD的长；（2）如果AE＝3，求线段AC的长．21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE 相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC 相似，求线段BD的长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，∴它们的周长比是：1：4．故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．解：∵cot A＝，BC＝2，∴AC＝BC•cotα＝2cotα，故选：D．3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．故选：D．4．已知＝2，下列说法中不正确的是（）A．﹣2＝0B．与方向相同C．∥D．||＝2||解：A、由＝2得到：﹣2＝，故本选项说法不正确．B、由＝2知，与方向相同，故本选项说法正确．C、由＝2知，与方向相同，则∥，故本选项说法正确．D、由＝2知，||＝2||，故本选项说法正确．故选：A．5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10米，∴BE＝5米，AE＝5米，∴CE＝BC﹣CE＝20﹣5＝15（米），∴AC＝（米），故选：C．6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A．B．C．D．解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，而∠C＝90°，∴GE∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴＝＝＝，∴EG＝CD＝×4＝．故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，则＝．解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是（2﹣2）cm．解：∵P是线段MN的黄金分割点，∴MP＝MN，而MN＝4cm，∴MP＝4×＝（2﹣2）cm．故答案为（2﹣2）．9．计算：sin30°•cot60°＝．解：原式＝×＝．故答案为：．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为8．解：∵cos A＝＝，AC＝6，∴AB＝＝8，故答案为：8．11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为y＝x2+4x．解：由题意得，y＝（2+x）2﹣22＝x2+4x，故答案为：y＝x2+4x．12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．解：∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DE＝．故答案为．14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝，故答案为：．15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，＝，四边形DBCE 的面积等于7，则△ADE的面积为9．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，∵四边形DBCE的面积等于7，∴S△ADE＝9．故答案为：9．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量＝，＝，用向量、表示为+2．解：如图，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD，＝，∴＝2＝2，∴＝+＝+2，故答案是：+2．17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为cm．解：如图，设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，∴AP＝AH﹣PH＝（10﹣x）cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝（cm），故答案为．18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，∠CEB＝∠CEF，∵矩形ABCD中，DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEF＝∠DCE，∴DC＝DE，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴，解得x＝或x＝（舍去），∴AE＝．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝3x2﹣6x+5＝3（x2﹣2x）+5＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5＝3（x﹣1）2+2，开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，2）．20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC．（1）求线段CD的长；（2）如果AE＝3，求线段AC的长．解：（1）∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵AB＝6，BE＝4，BC＝9，∴，∴CD＝；（2）∵AE＝3，△ABE∽△DCE，∴，∴，∴DE＝，∵，＝，∴，∵AB∥DC，∴∠ECD＝∠ABC，∴△ABC∽△ECD，∴，∴，∴AC＝．21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD 的值．解：（1）设AC＝3x，∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，∴AB＝5x，BC＝4x，∵tan∠DAC＝，∴CD＝2x，∵BD＝4，BC＝CD+BD，∴4x＝2x+4，解得x＝2，∴AC＝3x＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴cot∠BAD＝＝＝，即cot∠BAD的值是．22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EH＝x，则DH＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；（2）结合（1）得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM 是矩形，故可得出EM＝HC，CM＝EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，∴设EH＝x，则DH＝2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，解得，x＝25（米）（负值舍去），∴EH＝25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；（2）∵DH＝2.4x＝60（米），∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝37°，∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米），∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．答：信号塔AB的高度为23米．23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE 相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴，∴BE•EF＝BE•AE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于E，∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C，∴点C（0，﹣2），∴OC＝2，∵PE∥OC，∴＝，∴PE＝，∴＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣2或x＝（不合题意舍去），∴点P（﹣2，）；②如图2，过点B作BH⊥CO于H，由①可知DO＝＝，∵B（﹣1，﹣1），点C（0，﹣2），A（2，0）∴OA＝OC＝2，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°＝∠OCA，∴∠BCA＝90°，当点Q在线段AO上时，∵∠QCA＝∠PCB，∴∠DCO＝∠QCO，又∵CO＝CO，∠DOC＝∠QOC＝90°，∴△DOC≌△QOC（ASA），∴DO＝QO＝，∴点Q坐标为（，0），当点Q'在射线OA上时，∵∠Q'CA＝∠PCB，∴∠DCQ'＝90°，∴∠CDO+∠DQ'C＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠DQ'C＝∠DCO，又∵∠DOC＝∠Q'OC＝90°，∴△DOC∽△COQ'，∴，∴4＝×Q'O，∴Q'O＝，∴点Q'（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC 相似，求线段BD的长．【解答】解（1）如图1，过点A作DH⊥BC于H，∴∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，∴BC＝2BH，在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝2，∴AH＝2BH，根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（5）2，∴BH＝5，∴BC＝2BH＝10；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵tan∠ABC＝2，∴tan∠ACB＝2，由（1）知，BC＝10，∵BF⊥AC，∴∠BFC＝90°，在Rt△BFC中，tan∠ACB＝＝2，∴BF＝2CF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴（2CF）2+CF2＝102，∴CF＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣2＝3，如图2，过点C作CK∥AB交FG于K，∴△CFK∽△AFD，∴，∴＝，∴△CGK∽△BGD，∴，∴CG＝4，∴＝，∴，∴，∴AD＝AB＝×5＝；（3）如备用图，在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF＝＝＝4，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°＝∠BFC，∵∠EBQ＝∠FBC，∴△BEQ∽△BFC，∴，∵CF＝2，BC＝10，∴，∴，∴设EQ＝m，则BQ＝5m，根据勾股定理得，BE＝2m，在Rt△BEQ中，tan∠ABC＝＝2，∴DE＝2BE＝4m，根据勾股定理得，BD＝10m，∴DQ＝DE﹣EQ＝3m，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°，∴∠CBF+∠BQE＝90°，∵∠BQE＝∠DQF，∴∠CBF+∠DQF＝90°，∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠C＝90°，∴∠DQF＝∠C，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠DQF，∵△DQF和△ABC相似，∴①当△DQF∽△ACB时，∴，∴，∴QF＝6m，∵BF＝4，∴5m+6m＝4，∴m＝，∴BD＝10m＝，②当△DQF∽△BCA时，，∴，∴FQ＝m，∴m+5m＝4，∴m＝，∴BD＝10m＝，即BD的长为或．。

2021年上海市徐汇区中考一模数学试卷（含详细解析）2021年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1．以下两个图形一定相近的就是（）a．两个菱形b．两个矩形c．两个正方形d．两个等腰梯形2．例如图，如果ab∥cd∥ef，那么以下结论恰当的就是（）a．3．将抛物线y=2（x+1）2向右位移2个单位，再向上位移2个单位税金崭新抛物线的表达式就是（）2222a．y=2（x+3）b．y=（x+3）c．y=（x1）d．y=2（x1）4．点g是△abc的重心，如果ab=ac=5，bc=8，那么ag的长是（）a．1b．2c．3d．45．如果从甲船看看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看看甲船，甲船在乙船的（）a．南偏西30°方向b．南偏西60°方向c．南偏东30°方向d．南偏东60°方向6．如图，梯形abcd中，ad∥bc，∠bac=90°，ab=ac，点e是边ab上的一点，∠ecd=45°，那么下列结论错误的是（）2=b．=c．=d．=a．∠aed=∠ecbb．∠ade=∠acec．be=二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)7．计算：2（2+3）8．如果=，那么=．+=．add．bc=ce9．已知二次函数y=2x1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是．10．如果两个相近三角形的面积比是4：9，那么它们对应低的比是．11．如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是米．12．未知点m（1，4）在抛物线y=ax4ax+1上，如果点n和点m关于该抛物线的对称轴等距，那么点n的座标就是．13．点d在△abc的边ab上，ac=3，ab=4，∠acd=∠b，那么ad的长是．14．例如图，在?abcd中，ab=6，ad=4，∠bad的平分线ae分别交bd、cd于f、e，那么=．2215．如图，在△abc中，ah⊥bc于h，正方形defg内接于△abc，点d、e分别在边ab、ac上，点g、f在边bc上．如果bc=20，正方形defg的面积为25，那么ah的长是．16．例如图，在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab，像距为d，tan∠acd=，ab=5，那么cd的短就是．17．如图，在梯形abcd中，ad∥bc，bc=2ad，点e是cd的中点，ac与be交于点f，那么△abf和△cef的面积比是．18．例如图，在rt△abc中，∠bac=90°，ab=3，cosb=，将△abc绕着点a转动得△ade，点b的对应点d落到边bc上，连结ce，那么ce的短就是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：4sin45°2tan30°cos30°+20．抛物线y=x2x+c经过点（2，1）．（1）谋抛物线的顶点座标；2（2）将抛物线y=x2x+c沿y轴向上位移后，税金崭新抛物线与x轴处设a、b两点，如果ab=2，力争上游抛物线的表达式．21．如图，在△abc中，点d、e分别在边ab、ac上，（1）求de的长；（2）过点d作df∥ac交bc于f，设立=，=，谋向量（用向量、表示）=，ae=3，ce=1，bc=6．2．22．例如图，热气球在距地面800米的a处为，在a处测得两大楼顶c的俯角就是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行器400米后达至b处为，从b处为再次测出此大楼楼顶c的俯角就是45°，求该大楼cd的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．23．例如图，在△abc中，ac=bc，点d在边ac上，ab=bd，be=ed，且∠cbe=∠abd，de与cb处设点f．澄清：（1）bd=ad?be；（2）cd?bf=bc?df．224．例如图，在rt△aob中，∠aob=90°，未知点a（1，1），点b在第二象限，ob=2物线y=x+bx+c经过点a和b．（1）谋点b的座标；（2）求抛物线y=x+bx+c的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边ao、bo的延长线处设点c、d，设点e在直线ab上，当△b oe和△bcd相近时，轻易写下点e的座标．22，抛25．例如图，四边形abcd中，∠c=60°，ab=ad=5，cb=cd=8，点p、q分别就是边ad、bc上的动点，aq和bp处设点e，且∠beq=90°∠bad，设a、p两点的距离为x．（1）谋∠beq的正弦值；（2）设立=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△aep就是等腰三角形时，谋b、q两点的距离．。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（ ）A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°【答案】C 【解析】由∠AOC ＝126°，可求得∠BOC 的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB 的度数．【详解】解：∵∠AOC ＝126°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝54°，∵∠CDB ＝12∠BOC ＝27° 故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B 【解析】仔细观察图象，①k 的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a ，b 看y 2=x+a ，y 1=kx+b 与y 轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．【详解】①∵y 1=kx+b 的图象从左向右呈下降趋势，∴k ＜0正确；②∵y 2=x+a ，与y 轴的交点在负半轴上，∴a<0，故②错误；③当x<3时，y1>y2错误；故正确的判断是①．故选B．【点睛】本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b （k≠0）y随x的变化趋势：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.3．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠αB．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠αC．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠αD．两个角互为邻补角【答案】C【解析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．故选C．4．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣3表示的点最接近的是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B-≈-，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可.【解析】3 1.732-≈-，【详解】3 1.732()---≈，1.7323 1.268()---≈，1.73220.268()---≈，1.73210.732因为0.268＜0.732＜1.268，-表示的点与点B最接近，所以3故选B.5．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为33m ，则鱼竿转过的角度是（ ）A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°【答案】C 【解析】试题解析：∵sin ∠CAB=32262BC AC == ∴∠CAB=45°．∵33362B C sin C AB AC '''∠==='， ∴∠C′AB′=60°．∴∠CAC′=60°-45°=15°，鱼竿转过的角度是15°． 故选C ．考点：解直角三角形的应用．6．下列计算正确的是（ ）A 235=B ．a a a +=222C ．(1)x y x xy +=+D ．236()mn mn =【答案】C 【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ．7．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（ ）A．正方体B．球C．圆锥D．圆柱体【答案】D【解析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．故选D．【点睛】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．8．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )A．该班总人数为50 B．步行人数为30C．乘车人数是骑车人数的2.5倍D．骑车人数占20%【答案】B【解析】根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．【详解】A、总人数是：25÷50%=50（人），故A正确；B、步行的人数是：50×30%=15（人），故B错误；C、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确；D、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D正确．由于该题选择错误的，故选B．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．9．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．23 3π-B．233π-C．3π-D．3π-【答案】B【解析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【详解】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD3，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，2{34AAB BD∠=∠=∠=∠，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=26021233602π⨯-⨯=23 3π-．故选B．10．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】D【解析】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x﹣1)，得：m+1x=x﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D．二、填空题（本题包括8个小题）11．在实数范围内分解因式：226x-=_________【答案】2（x+3）（x-3）．【解析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2-（3）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．【详解】2x2-6=2（x2-3）=2（x+3）（x-3）．故答案为2（x+3）（x-3）．【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．12．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=__________°．【答案】1【解析】试题分析：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=1°，故答案为1．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．13．有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为_____．【答案】3 5【解析】判断出即是中心对称，又是轴对称图形的个数，然后结合概率计算公式，计算，即可．【详解】解：等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是：正方形、矩形、正六边形共3种， 故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：． 故答案为．【点睛】考查中心对称图形和轴对称图形的判定，考查概率计算公式，难度中等．14．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点'D 处.则重叠部分AFC ∆的面积为______.【答案】10【解析】根据翻折的特点得到'AD F CBF ∆≅∆，AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，解出x,再根据三角形的面积进行求解.【详解】∵翻折，∴'4AD AD BC ===，'90D B ∠=∠=︒，又∵'AFD CFB ∠=∠，∴'AD F CBF ∆≅∆，∴AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，解得3x =，∴5AF =， ∴11541022AFC S AF BC ∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.15．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ．设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）【答案】C【解析】先证明△BPE∽△CDP，再根据相似三角形对应边成比例列出式子变形可得. 【详解】由已知可知∠EPD=90°，∴∠BPE+∠DPC=90°，∵∠DPC+∠PDC=90°，∴∠CDP=∠BPE，∵∠B=∠C=90°，∴△BPE∽△CDP，∴BP：CD＝BE：CP，即ｘ：3＝ｙ：（5-ｘ），∴ｙ＝253x x-+（0＜ｘ＜5）；故选C．考点：1．折叠问题；2．相似三角形的判定和性质；3．二次函数的图象．16．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．【答案】1【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，∴△AEB≌△AFD，∴S△AEB=S△AFD，∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF 的面积=正方形的面积=1．17．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．【答案】四【解析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n 边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】解：设边数为n ，根据题意，得（n-2）•180=360，解得n=4，则它是四边形．故填：四.【点睛】此题主要考查已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．18．如图，用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm ．【答案】42 【解析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高.【详解】圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长为1206180π⨯=4πcm ∴圆锥的底面半径为2，故圆锥的高为2262-=42cm【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.三、解答题（本题包括8个小题）19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()4,5-，(1,3)-．请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；请作出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆；点'B 的坐标为 ．ABC ∆的面积为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）'(2,1)B ；（4）4.【解析】（1）根据C 点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可；（2）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴对称的点的位置，再连接即可；（3）根据点B'在坐标系中的位置写出其坐标即可（4）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）结合图形可得：()B'2,1；（4）ΔABC 111S 34231224222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 123144=---=.【点睛】此题主要考查了作图−−轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．20．如图，已知▱ABCD ．作∠B 的平分线交AD 于E 点。