八年级数学下册 17 勾股定理本章小结与复习 新人教版 (2)
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新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元知识点小结
新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理 》单元知识点小结1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ·CD=AC ·BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题 假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
人教版数学初二下第十七章勾股定理知识点总结
人教版数学初二下第十七章勾股定理知识点总结17.1 勾股定理1、勾股定理：假设直角三角形两直角边长区分为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：假设三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念假设一个命题的题设和结论区分是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.假设把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数罕见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．错解由勾股定理，得诊断 这里默许了∠C 为直角．其实，标题中没有明白哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故此题解答遗漏了这一种状况．bacbac cabcab cba HG FEDCBAa bc c baED CBA当∠B为直角时，例、Rt△ABC中，∠B=RT∠，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在自觉地套用勾股定理〝a2＋b2=c2”．殊不知，只要当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才干成立，而当∠B=Rt∠时，那么勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、假定直角三角形的两条边长为6cm、8cm，那么第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在应用勾股定理计算时，误以为第三边为斜边，其实题设中并没有说明的两边为直角边，∴第三边能够是斜边，也能够是直角边．正确解法设第三边长为xcm．假定第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)假定第三边长为直角边，那么8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得=因此，第三边的长度是10cm或许例、如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=233AD.又RT △ABC 的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=33+，AB=412(6+23)=623+，BC=512(6+23)=1553+ 又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=33623231553++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，〝勾三股四弦五〞是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表普通的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊替代普通的错误．正确解法∵AM=23AD ∴MD=222(3)3AD AD -=3AD又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．∴∠B=30°，AC=12BC ，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=23AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道〝假设一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形〞．而下面解答错在没有分辨清楚最长边的状况下，就自觉套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明白指出△ABC的外形，又没给出图形，因此，这个三角形有能够是锐角三角形，也能够是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种状况都契合题意．而这里仅只证明了其中的一种状况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种状况如下图.正确证明由读者自己完成．例、在△ABC中，三条边长区分为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代普通．。
最新人教版八年级数学下册 第十七章 小结与复习 精品课件
AC1 29.
5＜ 29＜ 37，
∴沿路径走路径最短，最短路径长为5.
11
方法总结
化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开 方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.
针对训练
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们 的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到 达建筑物的高度是___4___米．
23
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝 角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在 △ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
2
二、勾股定理的逆定理
A
1.勾股定理的逆定理
c b
如果三角形的三边长a，b，c满足 Ca B
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
24
转化思想 例9 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如
图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最
短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1= 12×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得
5＜ 29＜ 37，
∴沿路径走路径最短，最短路径长为5.
11
方法总结
化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开 方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.
针对训练
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们 的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到 达建筑物的高度是___4___米．
23
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝 角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在 △ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
2
二、勾股定理的逆定理
A
1.勾股定理的逆定理
c b
如果三角形的三边长a，b，c满足 Ca B
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
24
转化思想 例9 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如
图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最
短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1= 12×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习优秀教学案例
针对本节课的内容，我设置了丰富的课后作业，旨在巩固学生对勾股定理的理解和应用。在作业设计上，我注重分层布置，既保证了全体学生的基本学习需求，又满足了学有余力学生的进一步提高。此外，我还注重引导学生关注生活中的数学问题，将所学知识与实际生活紧密结合，提高学生的数学应用能力。
在教学评价方面，我将以学生的课堂表现、作业完成情况和课后实践成果为主要评价依据，全面评价学生对勾股定理的掌握程度。通过这一系列的教学设计，我相信学生们在复习和巩固勾股定理的过程中，能够提高自己的数学素养，为后续学习奠定坚实的基础。
3. 对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略。
作业小结环节是课堂教学的延伸和巩固。我布置具有针对性、多样性的作业，巩固学生对勾股定理的理解和应用。设置课后实践任务，让学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。同时，我还对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略，以保证教学效果的最大化。通过这一系列的教学内容与过程，我相信学生能够更好地理解和掌握勾股定理，提高自己的数学素养和问题解决能力。
（二）过程与方法
1. 通过自主探究、合作交流的方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。
2. 引导学生运用多媒体教学资源，提高信息技术与数学学科的整合能力。
3. 培养学生关注生活中的数学问题，提高数学应用能力。
在过程与方法目标部分，我注重引导学生积极参与课堂活动，通过自主探究、合作交流等方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。同时，我还充分利用多媒体教学资源，将信息技术与数学学科相结合，提高学生的学习兴趣和效果。此外，我还注重培养学生的数学应用能力，使学生能够将所学知识运用到实际生活中。
（四）总结归纳
引导学生对所学知识进行总结，巩固学习成果。
在教学评价方面，我将以学生的课堂表现、作业完成情况和课后实践成果为主要评价依据，全面评价学生对勾股定理的掌握程度。通过这一系列的教学设计，我相信学生们在复习和巩固勾股定理的过程中，能够提高自己的数学素养，为后续学习奠定坚实的基础。
3. 对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略。
作业小结环节是课堂教学的延伸和巩固。我布置具有针对性、多样性的作业，巩固学生对勾股定理的理解和应用。设置课后实践任务，让学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。同时，我还对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略，以保证教学效果的最大化。通过这一系列的教学内容与过程，我相信学生能够更好地理解和掌握勾股定理，提高自己的数学素养和问题解决能力。
（二）过程与方法
1. 通过自主探究、合作交流的方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。
2. 引导学生运用多媒体教学资源，提高信息技术与数学学科的整合能力。
3. 培养学生关注生活中的数学问题，提高数学应用能力。
在过程与方法目标部分，我注重引导学生积极参与课堂活动，通过自主探究、合作交流等方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。同时，我还充分利用多媒体教学资源，将信息技术与数学学科相结合，提高学生的学习兴趣和效果。此外，我还注重培养学生的数学应用能力，使学生能够将所学知识运用到实际生活中。
（四）总结归纳
引导学生对所学知识进行总结，巩固学习成果。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习说课稿
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.部分学生对勾股定理的理解不够深入，可能在应用时出现错误。
2.学生在小组合作过程中可能出现分工不均、讨论效率低下等问题。
应对策略：
1.针对学生理解不足的问题，及时进行个别辅导，强化勾股定理的知识点。
2.在小组合作中，加强组织和引导，确保每个学生都能积极参与。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.设计有趣的数学游戏和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的合作意识。
3.鼓励学生主动参与课堂讨论，引导学生发现勾股定理的规律，提高学生的自主学习能力。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备的前置知识有：勾股定理的基本概念、证明方法以及一些简单的应用。可能存在的学习障碍有：
1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用勾股定理解决问题。
2.勾股数的辨识能力较弱，容易与其他三角形的三边关系混淆。
3.在解决实际问题时，不能将问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。
4.创设问题情境，引导学生通过探究、合作交流等方式解决问题，让学生在解决问题中体验成功，增强学习信心。
5.结合学生的年龄特点和兴趣，运用多媒体教学手段，直观展示勾股定理的图形和实例，提高学生的学习兴趣和动机。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括：启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：教师提问，学生回答；教师引导学生进行探究，给予指导和反馈。
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.部分学生对勾股定理的理解不够深入，可能在应用时出现错误。
2.学生在小组合作过程中可能出现分工不均、讨论效率低下等问题。
应对策略：
1.针对学生理解不足的问题，及时进行个别辅导，强化勾股定理的知识点。
2.在小组合作中，加强组织和引导，确保每个学生都能积极参与。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.设计有趣的数学游戏和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的合作意识。
3.鼓励学生主动参与课堂讨论，引导学生发现勾股定理的规律，提高学生的自主学习能力。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备的前置知识有：勾股定理的基本概念、证明方法以及一些简单的应用。可能存在的学习障碍有：
1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用勾股定理解决问题。
2.勾股数的辨识能力较弱，容易与其他三角形的三边关系混淆。
3.在解决实际问题时，不能将问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。
4.创设问题情境，引导学生通过探究、合作交流等方式解决问题，让学生在解决问题中体验成功，增强学习信心。
5.结合学生的年龄特点和兴趣，运用多媒体教学手段，直观展示勾股定理的图形和实例，提高学生的学习兴趣和动机。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括：启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：教师提问，学生回答；教师引导学生进行探究，给予指导和反馈。
八年级数学下册教学课件第17章《勾股定理》小结与复习
A.0
B.1 C.2 D.3
A
B
C
第2题图
第3题图
❖ 4. 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， AD=4，AB=3，BC=12，
❖ 求正方形DCEF的面积．
❖ 5. 如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得 ∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km， 若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
A时 B时
图1
图2
4. 如图3所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距 离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子 的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
B
B′
O
A′
A
图3
❖ 【学习体会】 ❖ 1.本节课你又那些收获？ ❖ 2.复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些困惑？
❖ 【变式练习】
❖ 1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长 的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7 D.7或25
❖ 2. 如图1阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 .
❖ 3. 如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又
测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为_____m.
2、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
❖ 【知识回顾】
❖ 1. 判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1， 则a+b>2；③全等三角形对应角的平分线相等； ④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
人教版初中数学八年级下册《第17章勾股定理小结与复习》
要求：以小组为单位，借助课本，把 本章的知识内容进行整理。
练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，
则第三边c的长为 2 2．
变式 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c
的长为 2 2或 10 ．
练习2、线段a=7，b=24，c=25，能否搭建一个直角 三角形吗？72 + 242 = 625,252 = 625
A 12cm B 13cm C 2 61 cm D 24cm
B
C
A
练习4 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上 的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后， 发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ C ）．
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使 它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。
D C
A
B
B
E
D
C
A
利用勾股定理建立方程解决问题
例2 在△ABC中，AB=20, AC=13, BC边上的高 为12，求△ABC的面积是多少？
当已知条件中没有明确高在三角形内部 或外部时，要注意分类讨论。
例3、如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
第17章勾股定理小结与复习
创设情境 引出课题
人们为了纪念毕达哥拉斯 这位伟大的科学家，在他的家 乡建了这个雕像．这是矗立在 萨摩斯岛上的雕像. 这个雕像给你怎样的数学联想？
毕达 哥拉 斯拼 图
（2）
（1）
由图（1）得到大正方形 的面积 =c2+4*1/2ab 与图（2）的面积 =a2+b2+4*1/2ab, 比较两式得出c2=a2+b2
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高他们在面对数学问题时勇于挑战、善于克服困难的信心。
4.借助勾股定理这一数学工具，引导学生发现数学与生活、艺术的紧密联系，培养他们的审美情趣和跨学科素养。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理之前，已经具备了平面几何的基础知识，掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别直角三角形，并对直角三角形的边长关系有初步的了解。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，学生在运用勾股定理解决问题时，可能会遇到以下困难：对勾股定理的理解不够深刻，不能灵活运用定理解决实际问题；对勾股数的性质掌握不牢固，容易混淆；在解决复杂问题时，缺乏解题思路和方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，引导他们通过合作学习、自主探究等方式，逐步克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到勾股定理的学习中，为后续数学知识的学习打下坚实基础。
-设计意图：巩固学生的基础知识，为解决复杂问题打下基础。
4.例题解析：选择不同类型的例题，包括简单应用和综合应用，逐步引导学生掌握勾股定理的运用。
-设计意图：通过梯度性练习，使学生在解决问题的过程中逐步提高解题能力。
5.课堂互动：鼓励学生主动提问，开展小组讨论，分享解题思路，促进师生之间、生生之间的互动交流。
-设计意图：激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识实用性的认识。
2.新课呈现：采用探究式教学方法，引导学生通过观察、猜想、验证等步骤，发现并理解勾股定理。
-设计意图：培养学生的逻辑思维能力和探索精神，加深对勾股定理的理解。
3.课堂讲解：结合教材，详细讲解勾股定理的证明过程，以及勾股数的性质和判定方法。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
4.借助勾股定理这一数学工具，引导学生发现数学与生活、艺术的紧密联系，培养他们的审美情趣和跨学科素养。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理之前，已经具备了平面几何的基础知识，掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别直角三角形，并对直角三角形的边长关系有初步的了解。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，学生在运用勾股定理解决问题时，可能会遇到以下困难：对勾股定理的理解不够深刻，不能灵活运用定理解决实际问题；对勾股数的性质掌握不牢固，容易混淆；在解决复杂问题时，缺乏解题思路和方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，引导他们通过合作学习、自主探究等方式，逐步克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到勾股定理的学习中，为后续数学知识的学习打下坚实基础。
-设计意图：巩固学生的基础知识，为解决复杂问题打下基础。
4.例题解析：选择不同类型的例题，包括简单应用和综合应用，逐步引导学生掌握勾股定理的运用。
-设计意图：通过梯度性练习，使学生在解决问题的过程中逐步提高解题能力。
5.课堂互动：鼓励学生主动提问，开展小组讨论，分享解题思路，促进师生之间、生生之间的互动交流。
-设计意图：激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识实用性的认识。
2.新课呈现：采用探究式教学方法，引导学生通过观察、猜想、验证等步骤，发现并理解勾股定理。
-设计意图：培养学生的逻辑思维能力和探索精神，加深对勾股定理的理解。
3.课堂讲解：结合教材，详细讲解勾股定理的证明过程，以及勾股数的性质和判定方法。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
八年级数学下册 第十七章 勾股定理 勾股定理的整理、拓展、归纳辅导 (新版)新人教版
学习资料第十七章、勾股定理一、知识精读（一)、 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五"形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方（二)。
勾股定理的应用。
勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形"的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．（三）。
勾股定理的证法。
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．c ba HG FEDC B A b ac b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证（四).勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =,a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题（五)。
人教版数学八年级下 第十七章勾股定理知识点总结
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．错解由勾股定理，得bacbac cabcab cbaHG F EDCBAa bccbaE D CBA诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得=(cm)因此，第三边的长度是10cm或者例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=233AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332+，AB=412(6+23)=6233+，BC=512(6+23)=15536+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=336232315536++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD ∴MD=222(3)3AD AD -=33AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．∴∠B=30°，AC=12BC ，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。