22．1.1 二次函数
1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式． 2．会利用二次函数的概念解决问题． 3．列二次函数表达式解决实际问题．
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y (米2
)，窗户宽为x (米)，你能写出y 与x 之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的有关概念 【类型一】二次函数的识别
下列函数哪些是二次函数？
(1)y ＝2－x 2;
(2)y ＝
1
x 2
－1
； (3)y ＝2x (1＋4x ); (4)y ＝x 2
－(1＋x )2
. 解析：(1)是二次函数；(2)1
x 2
－1
是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y ＝
1x 2
－1
不是二次函数；(3)把y ＝2x (1＋4x )化简为y ＝8x 2＋2x ，显然是二次函数；(4)y ＝x 2
－(1＋x )2
化简后变为y ＝－2x －1，它不是二次函数而是一个一次函数．
解：二次函数有(1)和(3)． 方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.
【类型二】确定二次函数中待定字母的取值
如果函数y ＝(k ＋2)xk －2是y 关于x 的二次函数，则k 的值为多少？ 解析：紧扣二次函数的定义求解．注意易错点为忽视k ＋2≠0的条件．
解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k 2
－2＝2，k ＋2≠0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝±2，
k ≠－2，∴k ＝2.
方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a ≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax
2
＋bx＋c.
【类型三】求函数值
当x＝－3时，函数y＝2－3x－x2的值为________．
解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2.
方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变．
【类型四】确定自变量的取值
当x＝________时，函数y＝x2＋5x－5的函数值为1.
解析：令y＝1，即x2＋5x－5＝1，解这个一元二次方程得x1＝－6，x2＝1.即x＝－6或1.
方法总结：求二次函数自变量的值实际上就是解一元二次方程．直接转化为关于自变量的一元二次方程，通过解方程确定自变量的取值．
探究点二：列二次函数的解析式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？
解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．
解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144，∴y是x的二次函数．
(2)当x＝2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2.
方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型.
某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
解析：根据题意可知：实际商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)，化简，注意要求出自变量x的取值范围．
解：由题意，得：y＝(60－x－40)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000，自变量x的取值范围为0≤x<20.
方法总结：销售利润＝单位商品利润×销售数量；商品利润＝售价－进价．
三、板书设计
教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识.
22.1.1 二次函数
教学目标：
（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯
重点难点：
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：
一、试一试
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，
2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，
对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。
对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
[利润=(售价－进价)×销售量]
2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?
[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?
[(10－8－x)；(100＋100x)]
4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，
[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]
5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
[y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]
将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：
