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2012海峡两岸数学邀请赛八年级

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八年级 第1页 八年级 第2页
绝密★启用前
2012年奥林匹克数学竞赛海峡两岸邀请赛试题
（2012年6月）
八年级（复赛）
（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）
一、填空。

（该大题共15小题，每题5分，共计75分）
1、使2
1
-+x
x 有意义的x 的取值范围是___________。

2、若y x ,为实数，且0)2012(322=-+++-m b a ，则=+m b a )(______________。

3、已知2-=x 是一元二次方程032
=++bx ax 的解，求代数式201248+-b a 的值是____________。

4、已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是________________。

5、在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，若∠A=55°，则∠EDF 的度数为_____________。

6、一次会议上，每两个参加会议的人都互相握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是___________________人。

7、在平面直角坐标中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0、0），（3、0）（4，2）则顶点D 的坐标为______________。

8、已知y x x x )2(622222-=+-+-，则
=+y
x 1
__________________。

9、若不等式组⎩
⎨
⎧+++-m x x m x ＞＜110
4 的解集是4＞x ，则m 的值为________________.。

10、如图，ABCD 是面积为1的正方形，△PBC 为正三角形，则△BPD 的面积等于______________。

11、如图，在△ABC 中，BD ，CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F ，G 分别是BO ，CO 的
中点，连结AO 。

若AO=6cm ，BC=8cm ，则四边形DEFG 的周长是________________cm 。

12、If the equations 372=+x and 210-=-bx have the same solution for x ，then
b =____________。

13、已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第2个三角形，再连结第2个三角形的三边中点构成第3个三角形，以此类推，第2012个三角形的周长是________________。

14、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程
0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是_____________。

15、观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是_______________。

分值 75 得分
写在前面的话： 亲爱的同学，祝贺你进入复赛！大哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙”，毕达哥拉斯说：“数学支配着宇宙”，数学对我们的生活简直太重要了。

希望每位选手在数学的广阔天地中去学好数学，用好数学，同时也享受数学竞赛给自己带来的快乐。

温馨提示：
1、 本卷共两部分，第一部分：填空题，共计75分；第二部分：综合题，共计45分，总分120分。

2、 答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、 比赛时不能使用计算工具。

4、 比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题
八年级 第3页 八年级 第4页
二、综合题。

（该大题共5小题，共计45分）
16、当a 、b 为何值时，方程0)2443()1(22
2
2
=++++++b ab a x a x 有实数根。

17、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E 为AB 的中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长。

18、2012年伦敦奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元。

（1）该商场两次购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（%100⨯=成本
利润利润率）
19、如图①，在凸四边形中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC 。

图① 图②
(1)如图②,若连结AC,则⊿ADC的形状是___________三角形.你是根据哪个判定定理? 答:_______________________________________________.(请写出定理的具体内容)
(2)如图③,若在四边形ABCD 的外部以BC 为一边作等边三角形BCE,,并连结AE,请问:BD 与AE 相等吗? 若相等,请加以证明;若不相等,请说明理由.
图③
20、在矩形ABCD 中，A D ﹥AB ，O 为对角线交点，过O 作直线分别交BC 、AD 于点M 、N 。

（1）求证CD NM ABMN S S =
（2）将矩形ABCD 以MN 为折痕翻折后能使点C 恰好与点A 重合，判断AC 与MN 的位置关系。

（3）在（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分的
21，求MC
BM 的值。

分值 6 得分
分值 7 得分
分值 10 得分
分值 10
得分
分值
12 得分
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内
不 要 答 题。

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2012年全国初中数学联赛试题详解

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2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<解答：1a ===b ==，2c ===1显然：b a c <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 解答：222222223232()234x xy y x xy y y x y y ++=+++=++=由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+2⨯9=34故5555544444x y x y x y x y x y y y y y y +=-+=+=+=-⎧⎧⎧⎧+=±=±⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩、，由、、、得 4444=9=1=9=1y y y y x x x x ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--⎩⎩⎩⎩、、、共4组解。

3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3 D．3EBD解答：如图，做G H ⊥BE 于H ，易证Rt △AB E ∽Rt △GHB ，设GH=a ，则HE=a ，BH=2-a ， 由GH BH a 2-a 2==a=AB BE 123得解得，故BG=3。

4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 解答：44222222219=2=21=2()48a ab b a b a b ab a b ab ab +++-+-++--+2（） 考查以ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab --+其对称轴为14ab = 由22222020a b ab a b ab +-≥++≥和知1122ab -≤≤ 又1111()4242-->-，故当12ab =-时，函数取最小值0。

2012年奥林匹克数学竞赛海峡两岸邀请赛试题

2012年奥林匹克数学竞赛海峡两岸邀请赛试题

绝密★启用前
2012 年奥林匹克数学竞赛海峡两岸邀请赛
（ 2012 年 5 月）
试题
写在前面的话 ：
亲爱的同学 ， 当你接到这份试卷的时候 ， 也许还在抱怨吧 ，“ 数学学习本来就枯燥
无味 ， 还要搞什么竞赛 ， 真没劲！ ”“千
万别急 ， 做完这份试题 ， 你也许会发现数
学学习时间和空间都非常广阔 ， 它不光有趣还非常有用 ， 即使不能获奖 ， 也会觉得其乐无
分值
10
得分
3
∕
20、河的左岸有 4 艘船，横渡到对岸的时间分别为： A 需要 2 分钟， B 需要 4 分钟， C 需要 8
∕
∕
∕
分钟， D 需要 16 分钟。
∕
∕
目前只有一位船夫，一条船的后面可以再拴一条船，而且此时渡河所费时间为拴在一起的两
〇
∕
∕
条船中较慢的那条船所用的时间。
∕
∕
∕
现在船夫每次用一条船牵一条船渡河到右岸，然后再开一条船回到左岸。如此反复，直到把
分值
75
得分
1、莹莹和小伙伴一起玩 “猜身份” 的游戏， 莹莹先面朝东用丝带蒙住眼睛， 先向左转，又向左转，再向右转，才可以猜身份。那么此时正对莹莹的小伙伴面朝
然后按游戏规则： 方。
2、《水浒传》 108 将中，男将人数是女将的 35 倍，男将共有
名，女将共有
名。
3、 3800 千克 -3 吨 =
千克 65 平方米 50 平方分米 =
子的重量，问 3 个橘子的重量等于
个荔枝的重量。
10、 2012 年 3 月 15 日的《都市快报》第 5 页和第 16 页在同一张的同一面，那么这期报纸共 有 张。
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2012年四川初中数学竞赛 初二决赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、Ｂ2、Ｂ3、Ｄ4、Ｃ5、A6、Ｃ 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、24o2、７3、2-4、35三、（本大题满分20分）已知2(351)|31|0a b a b +-+++=，求关于x 的不等式63x ax b ->+的解集．解：由条件知3510310a b a b +-=⎧⎨++=⎩， ………5分解得2,1a b ==-． ………10分 于是2163x x +>+，即553x >， ………15分解得3x >．故所求的解集为3x >． ………20分 四、（本大题满分25分） 设函数2y x =与4y x=的两个交点为11(,)A x y 、22(,)B x y ，其中12()x x >，点C -．求A B C ∆的面积ABC S ∆．解：联立24y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y 得，42x x =， ………5分即22x =，解得x = ………10分所以，A,(B -. ………15分因为C -．所以，A B C ∆为直角三角形，且90ACB ∠=.显然AC BC ==………20分故11822A CB S AC B C ∆=⋅⋅=⨯=． ………25分五、（本大题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，H 为AEF ∆的垂心． 求证：222EF AH AC +=．证明：连接EH 、HF ．因EH ⊥AF ，AF ⊥CD ，故EH ∥CD ，同理HF ∥BC ， 故ECFH 是平行四边形． ………5分 作AEH ∆沿HF 平移得CF A '∆，则'A 在AD 上． ………10分则F A AH '=，FE A '∆为直角三角形，且222''EF F A E A +=．………15分 又因为AE ⊥BC ，故'A E C A 为矩形， ………20分 故'A C E A =． 所以,222EF AH AC +=． ………25分。

2012年少年奥林匹克数学竞赛海峡两岸邀请赛复赛参考答案

2012年少年奥林匹克数学竞赛海峡两岸邀请赛复赛参考答案

2012年奥林匹克数学竞赛海峡两岸邀请赛试题参考答案三年级：一、填空。

1、7 31 13 8、22、北400 9、243、6 5 10、644、20 32 11、4505、35 12、浙A79366、5 13、1607、.丙14、58015、4064二、解答题。

16、=42÷2-55÷5-48÷6=21-11-8=10-8=２17、（241+3×90）÷7=73（页）18、19、（97+2）×4=396（分）97×3=291（分）396-291=105（分）20、80-20=60（元）60+2×10=80(元）赔了80元四年级：一、填空1、695007.6万2、45或503、8.04 7.954、10 1005、125×（100-2）6、827、52 8、6 60 5.79、普通票32 10、2011、0.38 12、803000.313、17 9 14、2815、60二、解答题。

16、=46.53-6.53-4.96+427-27×10=40-4.96+427-270=35.04+157=192.0417、∠6=∠1+∠4=41°+29°=70°∠2=120°—∠6=120°—70°=50°18、（450.5—30.7×7—30.5）÷7=29.3（米/分）19、800÷4=200（棵）200×3=600（棵）20、周、钱、赵、孙、李依次入住106、109、105、107、103，所以ABCDE是69573一、填空题1、20072、93、84、65、246、43 7、6 8、9043 9、1911 10、3 81 11、5 12、2413、11 14、12、36、77和18、56、33 15、31216、21＋61＋121＋201＋301＋……＋99001 =1－21＋21－31＋31－41＋41－51＋51－61＋……＋991－1001=1－1001=10099二、解答题 17、 45.6÷4=11.4（平方厘米） 11.4÷3.8=3（厘米） 3＋3.8=6.8（厘米） （3×3＋3×6.8＋3×6.8）×2=99.6（平方厘米）18、 1×2÷4=0.5（平方厘米） 0.5÷（4×2）=16119、 乙车：（1800＋200）÷（2＋1＋1）=500（千克） 甲车：500×2=1000（千克） 丙车：500－200=300（千克）20、 一头牛和一只羊每天共吃：（136＋106）÷（8＋3）=22（千克） 三头牛和三只羊每天共吃：22×3=66（千克） 一头牛一天吃：（136－66）÷（8－3）=14（千克） 一只羊一天吃：22－14=8（千克）一、填空题：1、432、83、404、4005、366、5：67、45.5 25.5 8、39、95 10、8：6：15 11、8 12、3：1 13、40 14、360 15、20二、解答题：16、设每包书X本。