电磁场数值计算之西安交通大学电气工程学院模板

第一章 电磁场基本概念

§1－1 Maxwell 方程组

（一）maxwell 方程

微分形式 积分形式

全电流定律 t J Η∂∂+=⨯∇D

⎰⎰⎰⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅S t ds J dl H L D ( 1-1) 电磁感应定律 t B E ∂∂-

=⨯∇ ⎰⎰⎰⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-

=⋅S t ds dl E L B ( 1-2) 高斯定律 ρ=⋅∇D

⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅V S dv ρds D

( 1-3) 磁通连续性原理 0=⋅∇B

0=⋅⎰⎰S ds B (1-4)

电流连续性方程 t J ∂∂-

=⋅∇ρ ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-=⋅V S dv t

ρds J ( 1-5)

说明: 1、 ①四个方程的物理意义, 电生磁, 磁生电, 预言电磁波; ②积分形式( 环量与旋度, 通量与散度之间的关系) 、 复数形式( 可作为稳态场计算) ; ③梯度、 散度、 旋度的概念( 描述”点”上电磁场的性质) 。

2、 方程( 1-1) 、 ( 1-2) 、 ( 1-5) 是一组独立方程, 其它两个方程能够由此推出。但独立方程有6个变量( ρ、、、、、J D E H B ) , 因此, 方程数少于未知量, 是非定解方式, 必须加本构方程才为定

解形式, 对于简单媒质, 本构方程为

E D ε= H B μ= E J γ= (1-6)

3、 材料性质

材料是均匀的 const =ε, const =μ , const =γ

材料是非均匀: ()z y x ,,εε=, ()z y x ,,μμ=, ()z y x ,,γγ=

材料是各向异性: 材料参数用张量形式表示 εε=, μμ=, γγ= 材料为非线性: 材料参数是未知函数的函数 ()E εε=, ()B μμ=, ()E γγ=

dE

dJ dH dB dE dD ===γμε ( 1-7) 4、 直接求解矢量偏微分方程不易: 一般矢量方程要转化为标量方程才能求解, 另外, 在边界上不易写出场量边界条件, 因此, 常化为位函数的定解问题( 位函数容易确定边界条件) , 经过位函数与场量的关系

ϕϕϕ∇-∂∂-=-∇=⨯∇=-∇=t

m A E H A B E ( 1-8) 得到场量。

§1－2 偏微分方程的基本概念

1.2.1 偏微分方程的基本概念

微分方程分为常微分方程和偏微分方程( 又分为描述不同物理现象的椭圆型方程、 双曲型方程、 抛物型方程及其线性和非线性方程) , 电磁场问题多为偏微分方程问题。

1、 常微分方程

未知函数是一元函数( 即一个变量的函数) 的微分方程( 组) 。

如R 、 L 、 C 串联电路是两阶常系数非齐次微分方程,

s c c c u u dt du RC t

d u d CL =++22 ( 1-9) 对于一个n 阶场微分方程, 一般可将其分解为有n 个任意常数的通解形式, 根据初始条件解出常数。

2、 偏微分方程

未知函数是多元函数的微分方程, 如 ()t y x u u ,,=。又分为线性和非线性偏微分方程, 除了极有限的问题能够用分离变量法求解外, 多数问题难以用解析表示式表示。

（1） 线性偏微分方程

设 ()y ,x u u = , ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=y u x u u p p ,,( 如: ()y x E y E x y x u -=∂∂-=∂∂=ϕϕϕ , ,,, 如: ()x y B y

A B x A y x A u =∂∂-=∂∂= , ,,) , 则 022222=+∂∂+∂∂∂+∂∂f y

u c y x u b x u a ( 1-10) ()s ru y

u e x u d p y x f ++∂∂+∂∂=,, 中, 如果a,b,c,d,e,r,s 与p 无关, 只是x,y 的函数, 则称式(1-10)为线性微分方程。

（2） 非线性微分方程

a,b,c, d,e,r,s,f 中只要有一项不满足上述条件, 或未知函数及其偏导数是非线性的微分方程, 则都称为非线性微分方程。如恒定磁场中的定解问题

()

A J z A z y A y x A x μμμμμ=-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂111 如: 在电磁场中, 若c =μ, 或媒质不均匀时()z y x ,,μμ=, 均为线性方程。若()B μμ=, 或()A μμ=, 则为非线性方程。

1.2.2 偏微分方程的分类

宏观电磁场都是二阶微分方程, 下面以二阶电磁场偏微分方程为例, 看偏微分方程的不同类型所反映的物理现象。

以二元函数为例, ()y x u u ,=, y 能够是时间变量t, 那么偏微分方程的普遍形式为

022222=+∂∂+∂∂∂+∂∂f y

u c y x u b x u a ()s ru y u e x u d p y x f ++∂∂+∂∂=,, 最高阶项称为主部, 主部决定着公式所代表的物理特性:

02>-b ac 椭圆型方程, 如 ερϕϕ-=∂∂+∂∂2222y x , 1==c a , 0=b

02<-b ac 双曲型方程, 如 02222=∂∂-∂∂y

x ϕμεϕ, 1=-=c a , 0=b 02

=-b ac 抛物型方程, 如 022=∂∂-∂∂t x ϕϕ, 1=a , 0==c b

1、 椭圆型方程

如泊松方程、 拉普拉斯方程

ερϕϕϕ-=∂∂+∂∂+∂∂222222z y x ( 与椭圆方程 122

2222=++c

z b y a x 形象对比) 特点: 所有二阶偏导数的系数同符号, 描述的物理现象: