初中几何中常见辅助线的作法

初中几何中常见辅助线的作法在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。

在老师的帮助下，我根据自己的学习经验把初中几何中常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。

人人都说几何难，难就难在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线：例1．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，F 是BE AC 的交点，求证：AF=FC 21分析：题设中含有D 是BC 中点，E 是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D 点作DN ∥CA ，交BF 于N ，可得N 为BF 中点，由中位线定理得DN=FC 21，再证△AEF ≌△DEN ，则有AF=DN ，进而有AF=FC 21（2）过D 点作DM ∥BF ，交AC 于M ，可得FM=CM ，FM=AF ，则有AF=FC 21方法二：分析结论，作出辅助线例2：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径， 求证：AB ·AC=AE ·AD分析：要证AB ·AC=AE ·AD ，需证AD AB =（或AC ADAE AB =），需证△ABE ∽△ADC ）， 这就需要连结BE （或CE ）∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C （或∠B=∠E ） 因而得证。

方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例3：过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ； 求证：AE ∶ED=2AF ∶FB分析：已知D 是BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE ∶ED ，则应有一条与EF 平行的直线。

所以，过D 点作DM ∥EF 交AB 于M ，可得FMAFFM AF ED AE 22==，再证BF=2FM 即可。

方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。

例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线： （1）有弦，作“垂直于弦的直径”例4：已知，如图，在以O AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC=BD分析：过O 点作OE ⊥AB 于E ，则 AE=BE ，CE=DE ，即可证得AC=BD（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角） 例5：已知：如图，以△ABC 的AC 边为直径， 作⊙O 交BC 、BA 于D 、E 两点，且⋂⋂=DE CD ， 求证：∠B=∠C分析：连结AD ，由于AC 为直径，则有AD ⊥BC ，又⋂⋂=DE CD ，有∠1=∠2，由内角和定理得∠B=∠C （3）见切线，连半径，证垂直例6：如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 分析：连结OC ，由于CD 为切线，可知 OC ⊥CD ，易证：∠1=∠2，又因为∠2=∠3， 所以∠1=∠3，则可得AC 平分∠DAB（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 例7：已知，直线AB 经过⊙O 上的一点，并且OA=OB ，CA=CB ； 求证：直线AB 是⊙O 的切线分析：连结OC ，要证AB 是⊙O 的切线， 需证OC ⊥AB ，由已知可证△OAC ≌△OBC ， 可得∠OCA=∠OCB=900，结论得证。

例8：已知，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，BC 是⊙O 径，BC=CD+AB ， 求证：AD 是⊙O 的切线分析：过O 点作OE ⊥AD ，垂足为E ，要证AD 是⊙O 的切线，只要证OE 是⊙O 也就是说需要证OE=BC 21，由于∠A=900，AB ∥AB ∥CD ∥OE ，再由平行线等分线段定理得DE=EA 定理得OE=BC CD AB 21)(21=+，所以E 点在⊙O上，AD是⊙O 的切线。

（二）练习1、已知： 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ． 求证： DE ∥BC ，DE ＝21BC ．2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）． 3、已知：如图27.3.13所示,在△ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC. 求证：AE 、DF 互相平分。

4、如图：已知：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，M 为⋂AC 上一点，AM 的延长线交DC 的延长线于F ， 求证：∠AMD=∠FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。

为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。

为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考——一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以Rt △ABC 的直角顶点A 为圆心，直角边AB 为半径的⊙A 分别交BC 、AC 于点D 、E, 若BD=10cm ，DC=6cm ，求⊙A 的半径。

解：过A 作AH ⊥BD 于H ，则1BH BD 5cm 2==。

∵BA ⊥AC ，∴∠CAB=∠AHB=90°。

又∵∠ABH=∠CBA ，∴△ABH ∽EDACB△CBA ，∴AB CBBH AB=，∴2AB BC BH (BD DC)BH 16580cm =⋅=+⋅=⨯=，∴r AB 8045cm ===。

例2.如图，AB 是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于点P ，弦PN 与AB 相交于点M ，求证：2PM PN 2PO ⋅=。

证明：过O 作OC ⊥NP 于点C ，则1PC PN 2=。

∵OC ⊥NP ，PO ⊥AB ，∴∠POM=∠PCO=90°。

又∵∠OPM=∠CPO ，∴△OPM ∽△CPO ，∴PO PMPC PO=，∴21PO PM PC PM (PN)2=⋅=⋅，即2PM PN 2PO ⋅=。

评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。

二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角） 例3.如图，AB 为半圆的直径，OH ⊥AC 于H ，BH 与OC 交于E ，若BH=12，求BE 的长。

解：连结BC 。

∵ AB 为直径，∴ AC ⊥BC 。

又∵OH ⊥AC ，AO=BO ，∴ OH 12BC ，∴ ∠OHE=∠CBE ，∠HOE=∠BCE ，∴△OHE ∽△CBE ，∴HE OH 1BE BC 2==，∴22BE BH 12833==⨯=。

例4.如图,AB 是半圆的直径, C 为圆上的一点, CD ⊥AB 于D, 求证:2CD AD BD =⋅。

证明：连结AC 、BC 。

∵ AB 为直径，∴ ∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°。

又∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠CDB=90°，∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，∴△BCD ∽△CAD ，∴AD CDCD BD=，即2CD AD BD =⋅。

评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。

三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN 为⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，P 为切点，点A 在MN 的延长线上，若 PA=PM ，求∠A 的度数。

解：连结OP ，设∠A 的度数为x 。

∵PA=PM ，∴∠M=∠A ，同理可得∠OPM=∠M ，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x 。

又∵AP 切⊙O 于点P ，∴AP ⊥OP ，∴∠A+∠POA=90°，即x +2x =90°，解之得x =30°，∴∠A=30°。

例6.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD 和过C 点的切线垂直,垂足为D ，求证∠1=∠2。

证明：连结OC 。

∵DC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥DC 。

又∵AD ⊥DC ，∴OC ∥AD ，∴∠1=∠3。

∵OA=OC,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。

评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。

四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A 、B 、C 在⊙O 上（AC 不过O 点），若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O 半径的长。

解：作直径AD ，连结BD 。

∵∠ACB 与∠D 都是»AB所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°。

又∵AD 是直径，∴∠ABD=90°，∴AB 6AD 43sin D sin 60︒===，∴1r AD 232==。