新版北师大九年级数学上册期中测试卷

2023-2024学年数学北师大版九年级上册期中题型专练—填空题B卷1.下面三个方程：，，，它们有什么共同点？特点：（1）都是___________方程；（2）只含有___________个未知数；（3）未知数的最高次数是___________.2.动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25多的概率为0.5，据此若刚出生的这种动物共有1000只，则估计活到20岁的有___________只.3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，请添加一个条件______________（只需添加一个即可），使矩形ABCD是正方形.4.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为20m的住房墙,另外三边用27m 长的建筑材料围成.为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,则所围矩形猪舍的长为__________时面积为.5.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若，，则菱形ABCD的面积为________.6.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，.若，则x 的值为__________.7.如图a，ABCD是一矩形纸片，，，E是AD上一点，且.操作：(1)将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；(2)将以BF为折痕向右折过去，得图c.则的面积是_____________.8.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有_________个. 9.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点P是对角线上的一个动点，，则的最小值为_____.10.我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________.11.阅读材料：材料1:若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，材料2:已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值.解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，，，则.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________._________.（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，则的值为_________.（3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，则的值为_________.12.已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：①若，则；②，则x需要满足的条件是；③若，则关于x的方程无实数根；④若x为正整数，且为整数，则，2，4，5.上面说法正确的有_________.13.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合.过P作于E，于F，连结EF，则EF的最小值等于__________.答案以及解析1.答案：（1）整式（2）一（3）22.答案：800解析：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到20岁的有只，故答案为：800.3.答案：，答案不唯一解析：邻边相等的矩形是正方形，可以添加的条件为：.故答案为：.4.答案：12或16;解析:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m,则平行于墙的边长为m,由题意得:,解得:,.当时,,符合题意;当时,,符合题意.即当所围矩形猪舍的长为16m或12m时面积为.故答案为:16m或12m.5.答案：16解析：因为菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，，，，故答案为：16.6.答案：解析：，，又，，，，，即，，解得，经检验是方程的解，故答案为：.7.答案：解析：由题意得：，，，.，，.故答案为：.8.答案：15解析：共试验400次，其中有240次摸到白球，白球所占的比例为设盒子中共有白球x个，则解得：9.答案：解析：连接，，如下图所示：点O的对称点是点B，，是的最短距离，又四边形是菱形，顶点，，，，，故答案为：.10.答案：解析：画树状图如下：所以一共有12种等可能的结果，又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：，，，恒成立，k为正整数，满足条件的x，y有：，，，，，，，，共9种情况，所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：.故答案为：.11.答案：（1），（2）（3）解析：（2），，；（3），，.12.答案：②③④解析：①，，，解得：，故①错误；②，，整理得：，当时，，解得(舍)，当时，恒成立，当时，，解得(舍)，故②正确；③，，则或两个方程无解，关于x的方程无实数根，③正确；④，又为整数，x为正整数，，2，4，5，故④正确.综上所述，正确的有②③④，共3个.13.答案：4.8解析：连接OP，四边形ABCD是菱形，，，，，，四边形OEPF为矩形，，当时，OP有最小值，此时，，EF的最小值为4.8，故答案为：4.8.。

期中测试卷(满分120分,时间120分钟)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.一元二次方程 x²−3x +2=0的两根为x ₁,x ₂,则. x₁+x₂的值是( )A.2B.-2C.3D.-32.下列说法中正确的是( )A.所有的等腰三角形都相似B.有一对锐角相等的两个三角形相似C.相似三角形都是全等的D.所有的等边三角开都相似3.如果2 是方程 x²−3x +c =0的一个根，那么c 的值是( )A.4B.-4C.2D.-24.如图在平行四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是( ) A.2cm <OA<5cm B.2cm <OA<8cm C.1 cm<OA<4 cm D.3cm<OA<8cm5.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为( ) A. 16B. 13C. 12D.236.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是( )A. 25B. 35C. 34D.157.关于x 的一元二次方程( (m−2)x²+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是( )A. m≤3 B. m<3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠28.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A. 15B. 14C. 13D.3109.如图,正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点 E 、F 分别在BC 、CD 上,则∠B 的度数是( )A.70° B.75° C.80° D.95°10.如图,E,F,G,H 分别是BD,BC,AC,AD 的中点,且AB=CD,下列结论:①EG⊥FH;②四边形 EFGH 是矩形;③HF 平分∠EH HG;④EG =12(BC−AD );⑤四边形EFGH 是菱形，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.一元二次方程 x²+x =0的解是 .12.某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部(两男两女)中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是 .13.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=.14.如图，把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1，2，3，自由转运转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x，y，5 的三条线段能构成三角形的概率为 .15.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交 DC 于点 E,若点 P,Q分别是AD 和AE 上的动点,则DQ+PQ的最小值是 .16.若方程((m+3)x|m|−1+3mx=0是关于x的一元二次方程，则m=.三、解答题(本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6 分)(1)用配方法解方程:x²−6x−7=0;(2)用因式分解法解方程：2x(x--7)=x--7.18.(6分)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.19.(6分)一只不透明的袋子中装有红球2个和白球2个，这些球除颜色外其余都相同，小明从袋子中任意摸出一球，记下颜色后不放回，若小明再从剩余的球中任取一球，请你用列表法或树状图的方法，求小明两次都摸出红球的概率.20.(8分)如图,在正方形 ABCD 中,点M 是对角线BD 上的一点,过点 M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD 于点F.求证:AM=EF.21.(8分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验.实验数据如下表摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是 .(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值.22.(8分)(1)如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积；(2)如图②,正方形 ABCD 的边长为3,正方形CEFG 的边长为1,求三角形 DBF 的面积;(3)如图③,正方形 ABCD 的边长为a,正方形CEFG 的边长为b,求三角形DBF 的面积.23.(12分)晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程.x(x+4)=6.解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6,(x+2)²−2²=6,(x+2)²=6+2²,(x+2)²=10,直接开平方并整理，得x1=−2+10,x2=−2−10.我们称晓东这种解法为“平均数法”.(1)下面是晓东用“平均数法”解方程((x+2)(x+6)=5时写的解题方程：解：原方程可变形，得[(x+□−◯][(x+□)+◯]=5,(x+□)²−◯²=5,(x+□)²=5+◯²,直接开平方并整理，得x₁=☆,x₂=∇.(1)上述过程中“□”,“◯”,“☆”,“▽”表示的数分别是, , , .(2)请用“平均数法”解方程：(x−3)(x+1)=5.24.(12分)已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD 的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根.(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?期中测试卷1. C2. D3. C4. C5. B6. A7. D8. B9. C 10. C11. x₁=0,x₂=-1 12.2313.5 14.4/9 15.22 16.317.解(1)移项得x²−6x=7,配方得x²−6x+3²=7+9,即(x−3)²=16,开方得x-3=±4,∴原方程的解是x₁=7,x₂=−1;(2)移项得2x(x−7)−(x−7)=0,提公因式得(x--7)(2x-1)=0,∴x-7=0或2x-1=0,∴原方程的解是x1=7,x2=12.18.解设这个增长率为x.依题意得20(1+x)²−20(1+x)=4.8.解得x₁=0.2,x₂=−1.2(不合题意,舍去).0.2=20%.答：这个增长率是20%.19.解设红球分别为 H₁、H₂,白球分别为.B₁、B₂,列表得：第二球第一球H₁H₂B₁B₂H₁(H₁,H₂)(H₁,B₁)(H₁,B₂)H₂(H₂,H₁)(H₂,B₁)(H₂,B₂)B₁(B₁,H₁)(B₁,H₂)(B₁,B₂)B₂(B₂,H₁)(B₂,H₂)(B₂,B₁)总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到红球的结果有两种.故 P(两次都摸到红球)=212=16.20.证明连接MC.∵在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADM=∠CDM,又∵DM=DM,∴△ADM≅△CDM.∴AM=CM.∵ME‖CD,MF‖BC,∴四边形CEMF 是平行四边形.又∵∠ECF=90°,∴BCEMF是矩形.∴EF=MC.又∵AM=CM,∴AM=EF.21.解(1)利用图表得出:实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33.(2)当x=7时,3455378847995891058910则两个小球上数字之和为9的概率是：212=16,故x 的值不可以取7，3455378847995891058910∵出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，∴3+x=9或5+x=9或4+x=9解得x=4,x=5,x=6,当x=6时，出现9的概率为 16,故x=6舍去，故x 的值可以为4，5其中一个.22.解(1)△DBF 的面积 =12×3×3=92;(2)△DBF 的面积 =3×3+3×1−12×3×3=12×(3+1)×1−12(3−1)×1=92;(3)△DBF 的面积 =a ×a +b ×b−12×a ×a−12×(a + b)×b−12(b−a )×b =a 22.23.解(1)4 2 —1 --7(2)原方程可变形，得[(x--1)-2][(x--1)+2]=5,整理，得( (x−1)²−2²=5, (x−)²=5+2², (x−1)²=9,x--1=±3,∴x₁=4,x₂=−2.24.解(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∴Δ=m2−4(m2−14)=m2−2m+1=(m−1)2,当(m−1)²=0时,即m=1时,四边形ABCD是菱形.把m=1代入x2−mx+m2−14=0,得x2−x+14=0.解得x1=x2=12.∴菱形ABCD的边长是1 2 .(2)把AB=2代入x2−mx+m2−14=0,得4−2m+m2−14=0.解得m=52.把m=52代入x2−mx+m2−14=0,得x²−52x+1=0.解得x1=2,x2=12.∴AD=1 2 .∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD的周长是2(2+12)=5.。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷2022年7月一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．22312x x -=-B ．()2231x x x -=-C ．2110x x +-=D ．20ax bx c ++=2．方程294230x x -+=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行且相等B ．两组对角分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等4．用配方法解方程22103x x --=，正确的是（）A ．2181,3933x x ⎛⎫-==±⎪⎝⎭B ．2252,3933x x ⎛⎫-==±⎪⎝⎭C ．22132,393x x ⎛⎫-==±⎪⎝⎭D ．21101,393x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭5．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，若∠BAO=55°，则∠AOD 等于（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°6．根据下列表格的对应值：x… 5.17 5.18 5.19 5.2…2ax bx c++…－0.03－0.010.010.04…判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c 为常数）一个解x 的取值范围是（）A ．5 5.17x <<B ．5.17 5.18x <<C ．5.18 5.19x <<D ．5.19 5.20x <<7．如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 满足的条件是（）A ．1a <B ．1a <且0a ≠C ．1a ≥且0a ≠D ．1a ≤8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，则DN =（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题9．方程()224x +=的解是______．10．把方程()22331x x +-=化成一般形式______．11．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是______．12．若关于x 的一元二次方程20x mx n -+=有一个根是1，则m n -=______．13．如图在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，2CD =，则点D 到AB 的距离是______．14．某种水果的原价为30元/箱，经过连续两次降价后的售价为15元/箱．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程是______．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝，则△CEF 的周长为____．16．已知方程2560x mx +-=的两根为a 和b ，且1a b +=-，则m =______．三、解答题17．解方程：（用适当的方法解方程）（1）2420x x -+=．（2）()()352350x x x +-+=（3）2312x x=18．新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？19．小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．(1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．20．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，求作菱形DEFG ，使点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在BC 上．小明的作法：①如图2，在边AC 上取一点D ，过点D 作//DG AB 交BC 于点G ．②以点D 为圆心，DG 长为半径画弧，交AB 于点E ．③在EB 上截取EF ED =，连接FG ，则四边形DEFG 为所求作的菱形．证明：小明所作的四边形DEFG 是菱形21．.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ；（1）如图1，求证：AE CF =；（2）如图2，当30ADB ∠=︒时，连接AF .CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.22．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F 、H 在菱形ABCD 的对角线BD 上.（1）求证：BG DE =；（2）若E 为AD 中点，2FH =，求菱形ABCD 的周长．23．如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 边上，点M 是AE 与BF 的交点，且AE BF =；（1）求证：BE CF =；（2）如图2，以CF 为边作正方形CFGH ，H 在BC 的延长线上，连接DH ，判断BF 与DH的数量关系和位置关系并证明；（3）如图3，连接AG ，交DH 于点P ，求APD ∠的度数．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：A 、22312x x -=-变形为2510x -=，是一元二次方程；B 、()2231x x x -=-变形为10x +=，不是一元二次方程；C 、2110x x +-=分母中含有未知数，不是一元二次方程；D 、当a=0时，20ax bx c ++=不是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断．2．C 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断方程根的情况．【详解】解：∵△=()29342904--⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．D【解析】根据正方形的性质以及菱形的性质，即可判断．【详解】解：A、两组对边分别平行且相等，正方形和菱形都具有，故不符合；B、两组对角分别相等，正方形和菱形都具有，故不符合；C、相邻两角互补，正方形和菱形都具有，故不符合；D、对角线相等，正方形具有，菱形不具有，故符合；故选：D．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．4．D【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．【详解】解：2210 3x x--=，∴221 3x x-=，∴22111 399x x-+=+，∴211039x⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴133x=±，故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．B【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠BAO=∠ABO=55°，再依据三角形外角性质可知∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线互相平分且分成的四条线段都相等．6．C【解析】【分析】根据在5.18和5.19之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，于是可判断方程ax2+bx+c=0一个解x的范围．【详解】解：由y=ax2+bx+c，得x＞5.17时y随x的增大而增大，得x=5.18时，y=-0.01，x=5.19时，y=0.01，∴ax2+bx+c=0的近似根是5.18＜x＜5.19，故选：C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用函数的增减性是解题关键．7．B【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，∴202410a a ≠⎧⎨=-⨯>⎩△，解得：a ＜1且a≠0，故选B ．8．A 【解析】连接CM ，根据直角三角形的性质求出CM ，证明四边形DCMN 是平行四边形，根据平行四边形的性质解答．【详解】解：连接CM ，∵∠ACB=90°，M 是AB 的中点，∴CM=12AB=3，∵M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN=12BC ，MN ∥BC ，∵BC=2CD ，∴MN=CD ，又MN ∥BC ，∴四边形DCMN 是平行四边形，∴DN=CM=3，故选A ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．9．x 1=0，x 2=-4【解析】【分析】利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】解：（x+2）2=4，开方得：x+2=2或x+2=-2，解得：x 1=0，x 2=-4．故答案为：x 1=0，x 2=-4．【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用此方法解方程时，方程左边整理为完全平方式，右边合并为一个常数，利用平方根定义开方即可求出解．10．24980x x ++=【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义变形即可．【详解】解：()22331x x +-=，∴2491231x x x ++-=，∴24980x x ++=，故答案为：24980x x ++=．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．11．310【解析】【分析】由一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是：333710=+，故答案为：310．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．1【解析】【分析】将x=1代入方程，变形可得m-n 的值．【详解】解：∵方程20x mx n -+=有一个根是1，则10m n -+=，∴1m n -=，故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．13．2【解析】【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB 的距离=点D 到AC 的距离=CD=2．【详解】解：由角平分线的性质，得点D 到AB 的距离=CD=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D 到AB 的距离即为CD 长是解决的关键．14．30（1-x ）2=15【解析】【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降低的百分率）=15，把相应数值代入即可求解．【详解】解：第一次降价后的价格为30×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，则：30×（1-x）×（1-x），则列出的方程是30（1-x）2=15．故答案为：30（1-x）2=15．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．15．8【解析】【详解】试题解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE．∴EC=FC=9-6=3，∴AB=BE．∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，可得：AG=2，又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD，∴△CEF ∽△BEA ，相似比为1：2，∴△CEF 的周长为816．5【解析】【分析】根据根与系数的关系得到5m -=-1，然后解关于m 的方程即可得到满足条件的m 的值．【详解】解：根据题意得：a+b=5m -=-1，解得：m=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a．17．（1）x1=2x 2=2（2）x 1=12，x 2=53-；（3）x 1=6，x 2=6【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解；（3）先化为一般式，然后利用公式法求解．【详解】解：（1）2420x x -+=，∵a=1，b=-4，c=2，∴△=()24412--⨯⨯=8，∴x=42±，∴x 1=2x 2=2（2）()()352350x x x +-+=，∴()()12350x x -+=，∴1-2x=0，3x+5=0，∴x 1=12，x 2=53-；（3）231x =，变形可得：2310x -=，∵a=3，c=-1，∴△=()2431-⨯⨯-=14，∴x=23⨯，∴x 1x 2【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．18．2750元【解析】【分析】设每台冰箱降价x 元，根据题目中的等量关系“每台冰箱的利润×销售的数量=总利润”可列方程2900250084500050x x --+⨯=（）（），解得x 即可．【详解】解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得2900250084500050x x --+⨯=（）（）解这个方程，得12 150x x ==，定价=2900-150=2750（元）因此，每台冰箱的定价应为2750元．19．(1)见解析，23；(2)不公平，见解析【解析】【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可；（2）求出小明、小亮获胜的概率即可．(1)解：根据题意可列表或树状图如下：第一次第二次12341(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)(2，3)(2，4)3(3，1)(3，2)(3，4)4(4，1)(4，2)(4，3)从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P（和为奇数）2 3 =；(2)解：不公平．∵小明先挑选的概率是P（和为奇数）2 3=，小亮先挑选的概率是P（和为偶数）1 3=，21 33≠，∴不公平．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．20．见解析【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】证明：由作图可知：DE=DG，EF=DE，∴DG=EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，作图-复杂作图等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理．21．（1）详见解析；（2）ABE △的面积CDF =△的面积BCE =△的面积ADF =△的面积=矩形ABCD 面积的18．【解析】【分析】（1）结合矩形的性质和已知条件可证ABE CDF △≌△，根据全等三角形对应边相等即知AE CF =，此题得证；（2）可利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半确定三角形的面积与矩形的面积之间的等量关系..【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AB CD ∥，AD BC ∥，∴ABE CDF ∠=∠，∵AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，ABE CDF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE CDF AAS △≌△，∴AE CF =；（2）解：ABE △的面积CDF =△的面积BCE =△的面积ADF =△的面积=矩形ABCD 面积的18．理由如下：∵AD BC ∥，∴30CBD ADB ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴60ABE ∠=︒，∴30BAE ∠=︒，∴12BE AB =，12AE AD =，∴ABE △的面积111111222288BE AE AB AD AB AD =⨯=⨯⨯=⨯=矩形ABCD 的面积，∵ABE CDF △≌△，∴CDF 的面积18=矩形ABCD 的面积；作EG BC ⊥于G ，如图所示：∵30CBD ∠=︒，∴11112224EG BE AB AB ==⨯=，∴BCE 的面积1111122488BC EG BC AB BC AB =⨯=⨯=⨯=矩形ABCD 的面积，同理：ADF 的面积18=矩形ABCD 的面积．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形30°角的性质是解题的关键.22．（1）证明见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG ，EH ∥FG ，得到∠GFH=∠EHF ，求得∠BFG=∠DHE ，根据菱形的性质得到AD ∥BC ，得到∠GBF=∠EDH ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG ，根据菱形的性质得到AD=BC ，AD ∥BC ，求得AE=BG ，AE ∥BG ，得到四边形ABGE 是平行四边形，得到AB=EG ，于是得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．23．（1）见解析；（2）BF=DH ，BF ⊥DH ，理由见解析；（3）45°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知AB=BC ，∠ABE=∠C=90°，利用“HL”证Rt △ABE ≌Rt △BCF 即可得；（2）延长BF 交DH 于点K ，先证△BCF ≌△DCH 得BF=DH ，∠CBF=∠CDH ，由∠CDH+∠CHD=90°知∠CBF+∠CHD=90°，即∠BKH=90°，从而得证；（3）连接EG ，先证四边形BEGF 是平行四边形得GE ∥BF ，GE=BF ，由△ABE ≌△BCF 知∠CBF=∠BAE ，BF=AE=GE ，再证∠AEG=∠BME=90°可得∠EAG=45°，证四边形ADHE 是平行四边形得DH ∥AE ，从而得∠APD=∠GAE=45°．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABE=∠C=90°，在Rt △ABE 和Rt △BCF 中，AE BF AB BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （HL ），∴BE=CF ；（2）BF=DH ，且BF ⊥DH ，延长BF 交DH 于点K ，∵四边形ABCD 和四边形CFGH 是正方形，∴BC=DC ，CF=CH ，∠BCF=∠DCH=90°，∴△BCF≌△DCH（SAS），∴BF=DH，∠CBF=∠CDH，∵∠CDH+∠CHD=90°，∴∠CBF+∠CHD=90°，∴∠BKH=90°，∴BK⊥DH，即BF⊥DH，综上，BF=DH，且BF⊥DH；（3）如图②，连接EG，∵FG=CH=CF=BE，且FG∥CH，即FG∥BE，∴四边形BEGF是平行四边形，∴GE∥BF，GE=BF，∵△ABE≌△BCF，∴∠CBF=∠BAE，BF=AE，∴GE=AE，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠AEG=∠BME=90°，∵AE=GE，∴∠EAG=45°，∵BE=CH，∴AD=BC=BE+CE=CH+CE=EH，又AD∥EH，∴四边形ADHE是平行四边形，∴DH∥AE，∴∠APD=∠GAE=45°．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2x 2+y ＝1B ．9y ＝3y ﹣1C ．3x﹣2x 2＝8 D ．2x 2＝1 2．如图，在△ABC 中，已知△ADE ＝△B ，则下列等式成立的是（ ）A ．AE AD AB AC = B ．AD AE AB AC = C ．DE AE BC AB= D ．DE AD BC AC = 3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（ ）A ．0.3B ．0.7C ．0.4D ．0.24．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-5．在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0上的数为无理数的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．16 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或－3 C ．－1 D ．－1或37．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，过点D 分别作BC 和AB 的平行线，交AB 于点E ，交BC 于点H ，连接EH 交BD 于点G ，在AE 上截取EF BE =，连接DF ．下列说法中正确的是（ ）△:1:2GH FD =；△2BD BF BC =⋅；△四边形EBHD 是菱形；△29ADF ABC S S =△△A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE△AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：△△ABC=2△ABF ；△EF=BF ；△S 四边形DEBC =2S △EFB ；△△CFE=3△DEF,其中正确结论的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则AM MD等于（ ）A．35B．23C．38D．4510．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH△AB于点H，连接OH，若△DHO＝20°，则△ADC的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°二、填空题11．已知13a cb d==，则a cb d++的值是_____．12．关于x的方程20x mx+=的一个根是−1，则m的值为______．13．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，试添加一个条件使四边形ABCD成为矩形．你添加的条件是__．（只填一个即可）14．关于x的方程2(5)410a x x---=有实数根，则a的取值范围是_______．15．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为_____．16．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为____．17．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于________米．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．三、解答题19．解方程：（1）22284x x x ++=+（2）()()23230x x x -+-=20．如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF.求证：AE ＝AF.21．如图，AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，BAF DAG ∠=∠．（1）求证：AABC DE∽△△；（2）若3DE=，25ADAB=，求BC的长．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求每次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，若每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？23．如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作//CF BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：ODE FCE≌；（2）求证：四边形ODFC是菱形．24．如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．25．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3、4）、C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：ACAM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2．B【解析】【详解】△△A=△A，△ADE=△B，△△AED△△ACB，△AD AEAB AC=，故选B．3．A【解析】【分析】用频率估计概率即可得到答案．【详解】某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是6000.3 2000=．故选：A．【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握大量的重复试验时频率可视为事件发生概率的估计值．4．B【解析】【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1△△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：△△A1OB1与△A2OB2位似，△△A1OB1△△A2OB2，△△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，△△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，△A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，△点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．C【解析】【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，227-，3.1415，π，0π2个，△从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是21 63 =，故选：C．【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．6．C【解析】【分析】解出一元二次方程，将根代入分式方程即可求出a 的值.【详解】解：解方程2230x x +-=，得：x 1=1，x 2=﹣3，△x=﹣3是方程213x x a=+-的增根， △当x=1时，代入方程213x x a =+-，得：21131a=+-， 解得a=﹣1．故选：C ．【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．7．C【解析】【分析】△由题意可证四边形EBHD 是平行四边形，可得GH EG =，BG DG =，由三角形中位线定理可得EG DF ∥，12GE DF =，可得12GH DF =； △通过证明BDF BCD ，可得BD BF BC BD =，可证2BD BF BC =⋅； △由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；△条件不足，无法证明．【详解】ED BC ∥，DH AB ∥，∴四边形EBHD 是平行四边形，GH EG ∴=，BG DG =，EF BE =，EG DF ∴∥，12GE DF =， 12GH DF ∴=，即:1:2GH FD =，故△正确； BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，ED BC ∥，EDB DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE DE EF ∴==，90BDF C ∴∠=︒=∠，BDF BCD ∴，BD BF BC BD∴=，即2BD BF BC =⋅，故△正确； BE DE =，∴平行四边形EBHD 是菱形，故△正确； 条件不足，无法证明29ADF ABC S S =△△，故△错误． 故选：C ．8．D【解析】 如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE△△FCG 得EF=FG ，BE△BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于点G ，取AB 的中点H ，连接FH ．△CD=2AD ，DF=FC ，△CF=CB ，△△CFB=△CBF ，△CD△AB ，△△CFB=△FBH ，△△CBF=△FBH，△△ABC=2△ABF．故△正确，△DE△CG，△△D=△FCG，△DF=FC，△DFE=△CFG，△△DFE△△FCG，△FE=FG，△BE△AD，△△AEB=90°，△AD△BC，△△AEB=△EBG=90°，△BF=EF=FG，故△正确，△S△DFE=S△CFG，△S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故△正确，△AH=HB，DF=CF，AB=CD，△CF=BH，△CF△BH，△四边形BCFH是平行四边形，△CF=BC，△四边形BCFH是菱形，△△BFC=△BFH，△FE=FB，FH△AD，BE△AD，△FH△BE，△△BFH=△EFH=△DEF，△△EFC=3△DEF，故△正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．A【解析】【详解】解：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：△四边形MBND是菱形，△MD=MB．△四边形ABCD是矩形，△△A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，△MD=MB=2a-b=53 b，△3553AM bMD b==.故选A．10．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC△BD，又由DH△AB，△DHO＝20°，可求得△OHB 的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得△ABD的度数，然后求得△ADC的度数．【详解】△四边形ABCD是菱形，△OB＝OD，AC△BD，△ADC＝△ABC，△DH△AB，△OH＝OB＝12BD，△△DHO＝20°，△△OHB＝90°﹣△DHO＝70°，△△ABD＝△OHB＝70°，△△ADC ＝△ABC ＝2△ABD ＝140°，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH 是等腰三角形是关键．11．13【解析】【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】 解：由13a cb d ==，得3a b =，3c d =，1333a ca cb d ac ++==++， 故答案为13．【点睛】本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．12．1【解析】【分析】把1x =-代入方程20x mx +=，即可求出m 的值．【详解】20x mx +=的一个根是1-，∴把1x =-代入方程20x mx +=得：10m -=，1m ∴=．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解,了解方程解的含义是解题的关键.13．AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）【解析】【分析】根据矩形的判定即可得出答案．【详解】解：根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得△ABC=90°，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得AC=BD ，故答案为：AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握平行四边形和矩形的区别和联系是解决本题的关键． 14．1a ≥【解析】【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：△关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，当50a -=时，即5a =时，原方程为410x --=有实数根；当50a -≠时，即5a ≠时，则240b ac -≥，即2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得：1a ≥，综上，a 的取值范围是1a ≥，故答案为：1a ≥．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．15．24【解析】【分析】连接AC ，根据三角形中位线定理得到EH△AC ，EH=12AC ，得到△BEH△△BAC ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，△E、H分别为边AB、BC的中点，△EH△AC，EH＝12AC，△△BEH△△BAC，△S△BEH＝14S△BAC＝18S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积＝12×6×8＝24，故答案为：24．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．12，16，17【解析】【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：28120x x-+=()()260x x--=，解得12x=，26x=，若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是6，因为2不能构成三角形，此时周长是17，若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底可以是2或6，那么周长是12或16．故答案是：12，16，17．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．17．12【解析】【分析】先利用△BDC△△FGE 得到3.6BC =21.2，可计算出BC=6，然后在Rt△ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．【详解】解：如图，CD=3.6m ，△△BDC△△FGE ， △BC CD =EF GE， 即3.6BC =21.2， △BC=6，在Rt△ABC 中，△△A=30°，△AB=2BC=12，即树长AB 是12米．故答案为12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18 【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解:如图,作OK△BC ，垂足为点K ，△正方形边长为4，△OK=2，KC=2，△KC=CE ，△CH 是△OKE 的中位线 △112CH OK ==， 作GM△CD ，垂足为点M ，△G 点为EF 中点，△GM 是△FCE 的中位线， △112GM CE ==，()()1115412222MC FC CD DF ==+=⨯+=， △53122MH MC HC =-=-=，在Rt△MHG 中，GH ==【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．19．（1）13x =23x =（2）13x =-或23x =【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）22284x x x ++=+，262x x -=，2226323x x -+=+，2(3)11x -=，3x ∴-=13x ∴=23x =（2）()()23230x x x -+-=，(32)(3)0x x x ---=，(3)(3)0x x ---=，30x ∴--=或30x -=，13x ∴=-或23x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程是解题的关键． 20．证明见解析【解析】【分析】由四边形ABCD 为菱形，可得AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又因为CE=CF ，所以CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．可证△ADE△△ABF ，所以AE=AF ．【详解】证明：△四边形ABCD 为菱形，△AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又△CE=CF ，△CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．在△ADE 和△ABF 中AD AB D B DE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADE△△ABF （SAS ）．△AE=AF ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．21．（1）见解析；（2）152BC =【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质得出B ADE ∠=∠，可证明ABC ADE ； （2）由相似三角形的性质可得到答案．【详解】（1）AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，AF BC ∴⊥，AG DE ⊥，90AFB ∴∠=︒，90AGD ∠=︒，BAF DAG ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，BAC DAE ∴∠=∠，ABC ADE ；（2）ABC ADE △△，AD DE AB BC∴=， 25AD AB =，3DE =， 235BC∴=， 152BC ∴=． 22．（1）两次下降的百分率为20％；（2）每件应降价3元【解析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据两次降价，从40降至25.6列方程求解即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解即可．【详解】（1）设两次下降的百分率为x ，由题意得：240(1)25.6x -=，解得：10.220x ==％，2 1.8x =（不符合题意，舍去），答：两次下降的百分率为20％；（2）设每件应降价y 元，由题意得：(4030)(488)504y y --+=，整理得：y 2－4y ＋3＝0，解得：11y =，23y =,因为要尽快减少库存，所以3y =，答：每件应降价3元．23．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得△ODE=△FCE ，根据线段中点的定义可得CE=DE ，然后利用“角边角”证明△ODE 和△FCE 全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：证明：（1）△CF△BD ，△△ODE=△FCE ，△E 是CD 中点，△CE=DE ，在△ODE 和△FCE 中，ODE FCE CE DEDEO CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ODE△△FCE （ASA ）；（2）△△ODE△△FCE ，△OD=FC ，△CF△BD ，△四边形ODFC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，OC=OD ，△四边形ODFC 是菱形．24．(1)答案见解析；(2)1.5米/秒【解析】(1) 利用影长为AD ，进而得出延长AC ，HG 得到O 点，进而求出答案；(2)首先设速度为x 米/秒，然后利用△COG 和△OAH 相似，△EOG 和△OMH 相似得出答案． 【详解】解： (1)如图(2)设速度为x 米/秒根据题意得CG//AH△△COG△△OAH △CG OG AH OH =即：OG63 OH105xx==又△CG//AH，△△EOG△△OMH△CG OG AH OH=即：2x3 2+2x5=△ 1.5x=答：小明沿AB方向匀速前进的速度为1.5米/秒．【点睛】本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，注意从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长是解题关键．25．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，根据对称性质可得A″B即为PA+PB的最小值，根据A″和B点坐标可得直线A″B的解析式，令y=0即可得P点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）△A′B2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B2=42+22=20，△A′B2=A′C′2+C′B2，△△A′BC′是直角三角形，△△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，△PA=PA″，△PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB的最小值，设A″B直线解析式为：y＝kx+b，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝97，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.26．（1）AO=5；（2）证明过程见解析；（3）【解析】【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，△M=△AFM=60°，再求出△MAC=90°，在Rt△ACM中tan△M=ACAM，求出AC；（3）求出△AEM△△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=△AFM的周长为【详解】解：（1）△四边形ABCD是菱形，△AC△BD，OB=OD=12BD，△BD=24，△OB=12，在Rt△OAB中，△AB=13，．（2）如图2，△四边形ABCD是菱形，△BD垂直平分AC，△FA=FC，△FAC=△FCA，由已知AF=AM，△MAF=60°，△△AFM为等边三角形，△△M=△AFM=60°，△点M，F，C三点在同一条直线上，△△FAC+△FCA=△AFM=60°，△△FAC=△FCA=30°，△△MAC=△MAF+△FAC=60°+30°=90°，在Rt△ACM中△tan△M=AC AM，△tan60°=AC AM，．（3）如图，连接EM ，△△ABE 是等边三角形， △AE=AB ，△EAB=60°，由（2）知△AFM 为等边三角形， △AM=AF ，△MAF=60°， △△EAM=△BAF ，在△AEM 和△ABF 中， AE ABEAM BAF AM AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEM△△ABF （SAS ）， △△AEM 的面积为40，△ABF 的高为AO △12BF•AO=40，BF=16， △FO=BF ﹣BO=16﹣12=4△△AFM 的周长为。