【精选】正弦交流电一
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正弦交流电概念
正弦交流电是一种常见的交流电形式，其波形形状为正弦波。
正弦交流电的三要素包括幅值、频率和相位。
正弦交流电的数学描述涉及到相位和初相位的概念，以及瞬时值、最大值、有效值、平均值和峰值的计算。
在物理特性方面，电阻、电感和电容对交流电的影响不可忽视。
此外，交流电路中的功率因数和效率以及谐振现象也是正弦交流电的物理特性之一。
在工程应用方面，正弦交流电被广泛应用于电力系统的交流供电和电子设备中的交流信号处理。
1. 正弦交流电的基本概念正弦交流电是指电流的波形形状呈正弦波的交流电形式。
在直流电中，电流的大小和方向均不随时间变化。
而在交流电中，电流的大小和方向会随时间变化。
正弦波是最常见的交流电波形之一，其波形形状具有周期性变化的特点。
1.1 交流电与直流电的区别交流电与直流电的主要区别在于电流的方向是否随时间变化。
在直流电中，电流的方向始终不变，而在交流电中，电流的方向会随时间变化。
此外，交流电的电压和电流也会随时间变化，而直流电的电压和电流则相对稳定。
1.2 正弦交流电的波形形状正弦交流电的波形形状可以用数学函数表示，即y=Asin(ωt+φ)。
其中，A表示幅值，ω表示角速度，φ表示初相位。
正弦波的周期为T，频率为f=1/T。
正弦波具有对称性，即在一个周期内，电流的大小和方向会经历一次从最大值到零，再从零到最大值的循环。
1.3 正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素包括幅值、频率和相位。
幅值是指电流的最大值，即y=A时的值；频率是指电流变化的周期，即一个周期内电流变化次数；相位是指电流达到最大值的时间点，即ωt+φ=π/2时的时刻。
2. 正弦交流电的数学描述正弦交流电可以用数学函数进行描述。
其中，相位和初相位是描述电流变化的重要参数，瞬时值、最大值、有效值、平均值和峰值是描述电流大小的重要参数。
2.1 相位与初相位的概念相位是指电流达到最大值的时间点，即ωt+φ=π/2时的时刻。
初相位是指电流开始计时时的相位，即φ的值。
第4章 正弦交流电
i = I m sin(ωt + ϕ i )
u、 i
0
t
3
正弦交流电路分析中仍然使用参考方向, 正弦交流电路分析中仍然使用参考方向,当实际方向 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。
i
u
R
i
实际方向和参考方向一致
t
实际方向和参考方向相反
用小写字母表 示交流瞬时值
ωt
22
3.相量表示法 3.相量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 旋转矢量在纵轴上 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上 的投影值来表示。 投影值来表示。 来表示
u = U m sin (ω t + ϕ )
Um
ωϕ
ϕ
矢量长度 =
ωt
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
在t = 0时刻，矢量以角速度ω按逆时针方向旋转
19
复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。 复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。前 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。右图的 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 +j A1+ A2 A1+ A2 A2 A1 O +1 O A1 +1 A2
= r (cos ϕ + j sin ϕ )
复数的指数形式 复数的指数形式： 指数形式： 复数的极坐标形式 复数的极坐标形式： 极坐标形式：
A = re
jϕ
A = r∠ϕ
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。 A*表示A的共轭复数，则有 表示A的共轭复数， A=a+jb +jb A*=a-jb
第三章 正弦交流电路-1
一.电阻元件
i
根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流
成正比关系，即 i u R
图3-10
当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律
的相量表示式为 第（23）页
•
•
I
U
R
u
R
电阻元件
上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，
如图3-11所示。
设 i 2ISint
u 2USint 图3-11
电阻元件吸收的瞬时功率为
方法二: 运用矢量运算
Y I2m B
C I3m
10 50
I1m
A
5
0 60 30
X
i1 I1m OA矢量 i2 I2m OB矢量 i3 I3m OC矢量
根据矢量图
I3m 14.6
3 50 于是i3 14.6CoS(t 50)
+j
I3m
方法三.运用复数运算:
11.16
I1m 5e j30
只要有幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之
间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数 Ie ji 表
示正弦电流 i 2ISint i ，并用下列记法
•
I Ie ji I i
(3-2)
上式中I• m不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它
一个专有名称——相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，
U
的正方向如图3-13(a)所示。
u,i
(b) 0
u
i
t
i ii
i
+ -- +
p- + + 储能 放能 储能 放能
根据楞次定律得出
u
eL
正弦交流电
i
i1
i2
O i3
t
（ 3 ） Փ u> Փ i， 即Փ>0时， 称u超前i； 反之Փu<Փi，
即Փ<0时，
称u滞后i.
三、正弦量的三要素：
频率（或周期、角频率）、最大值（或有效值）、 和初相位。 频率 （或周期、角频率） 表示交流电变化的 快慢。 最大值（或有效值）表示交流电变化的强度。
初相位表示交流电变化的初始状态
正弦交流电
巨野职教中心
主讲人：吴延景
教学目标
1、理解正弦交流电的基本概念 2、理解正弦交流电的三要素
重点
正弦交流电的基本概念及 三要素
难点
正弦交流电的有效值、相 位差及初相位的概念
直流电：电流的大小和方向都不随
时间变化。
交流电：电流的大小和方向以各种不
同的形式随时间作周期性的变化。
§2.1 正弦交流电
（3）有效值
根据电流的热效应定义
让一直流电I和一交流电i分别通过阻值相 同的电阻，如果在相等的时间内产生的热 量相等，则此直流电的数值称为该交流电 的有效值。
有效值用大写字母表示，
例如：U、I、E
有效值与最大值的关系
Im I 0.707 I m 2
Um U 0.707 U m 2 Em E 0.707 Em 2
i I m sin t
O
2
i
i I m sin(t 0 )
0
O
t
Փ0反映了正弦量在计时起点的状态。
注：初相位可以为正、为负、为零，但规定其
绝对值不大于180o
（3）相位差 两个同频率正弦量的相位之差 （用Φ 表示） 设两个同频率的正弦交流电流
正弦交流电——精选推荐
一、判断题一、判断题1．大小和方向随时间变化的量称为正弦量。
（ × ）2．)30314sin( +=t u V 与直流电压1V 先后加到同一个电阻上，在相同时间内消耗的功率相等。
（ × ）3．正弦量的相位差恒等于它们的初相位之差。
（ √ ）4．正弦量)30sin(21 +=t u ω与)302sin(22 +=t u ω同相。
（ × ）5．由于电阻元件通过的电流i 值和其两端的电压u 值在一个周期内的平均值为零，所以电流、电压瞬时值的乘积ui p =也为零。
（ × ）6．感抗是电感中自感电动势对交流电流的阻碍作用。
（ √ ）7．电感元件上所加的交流电压的大小一定时，如果电压频率升高，则交流电流增大。
（ × ）8．在直流电路中，纯电感相当于短路。
（ √ ）9．在纯电感正弦交流电路中，电压超前于电流 90，或者说电流滞后电压 90。
（ √ ）10．交流电的平均功率即为交流电的瞬时功率。
（ × ）11．无功功率是表示电感元件建立磁场能量的平均功率。
（ × ）12．无功功率是表示电感元件与外电路进行能量交换的瞬时功率的最大值。
（ √ ）13．在电容元件上所加交流电压的大小一定时，如果电压频率降低，则交流电流增大。
（ × ）14．在纯电容正弦交流电路中，电压超前于电流 90，或者说电流滞后电压 90。
（ × ）15．在直流电路中，纯电容相当于开路。
（ √ ）16．纯电容和纯电感不消耗有功功率，但消耗无功功率。
（ √ ）17．RLC 串联交流电路功率因数的大小，由阻抗和负载电阻决定。
（ √ ）18．RLC 串联交流电路功率因数的大小，由有功功率和视在功率决定。
（ √ ）19．在RLC 串联电路中，只要发生串联谐振，则电路必呈阻性。
（ √ ）20．要使RLC 串联电路发生串联谐振，则感抗必大于容抗。
（ × ）21．在RLC 串联电路中，若电路已经发生谐振，增大电阻谐振就会停止。
电路 第二章 正弦交流电路(1)
11
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
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相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
正弦交流电知识
交流电的基本概念交流电可分为正弦交流电和非正弦交流电。
正弦交流电的大小和方向随时间按正弦规律周期性变化，通常所说的交流电就是指正弦交流电。
1. 正弦交流电（1）正弦交流电的产生：正弦交流电由交流发电机产生的。
（2）正弦交流电的三要素①瞬时值、最大值、有效值图1 正弦交流电波形瞬时值：正弦波上每一点的幅度称为正弦交流电的瞬时值，反映该点正弦交流电的大小，用小写字母表示，如i、u分别表示正弦交流电流和正弦交流电压的瞬时值。
峰值：正弦波上幅度最大点的值称为峰值。
峰值有两个，其中一个峰值为正，另一个峰值为负，两者大小相等。
峰-峰值：两个峰值之间的垂直量称正弦交流电的峰-峰值，如图2所示。
峰值的绝对值称正弦交流电的最大值，反映正弦交流电大小变化的范围，用大写字母加下标m表示，如I m、U m分别表示正弦交流电流和正弦交流电压的最大值。
图2 正弦波的峰-峰值有效值：相同时间内、相同电阻上，产生与交流电相同热量所需的直流电的大小。
I＝0.707I m U＝0.707U m一般电气设备上标注的额定电压、额定电流都是指有效值。
当给定或测量交流电压、交流电流时，除非特别说明，也都是指有效值。
大多数仪表都能测量显示交流电压、交流电流的有效值。
②相位角、初相角在实际应用中，正弦波的相位通常用转子线圈旋转了多长时间来表示。
如果1秒钟转子线圈旋转了ω电角度，则t时间正弦波的相位为：Φ＝ωt＋φ其中，Φ称为相位角，φ称为初相角③周期、频率、角频率周期：正弦波完成一次循环所需的时间叫周期，用T表示。
周期的单位是秒（s）。
频率：指1秒钟循环的次数，用f表示。
频率的单位是赫兹（Hz），简称赫。
角频率：指1秒钟变化的电角度，用ω表示，单位是弧度/秒（rad/s）。
关系：2πf（3）正弦交流电的表示三角函数法：u＝U m sin（ωt＋φu）＝U sin（ωt＋φu）i＝I m sin（ωt＋φi）＝I sin（ωt＋φi）波形图表示法：图3 正弦交流电的波形表示2. 三相正弦交流电正弦交流电有单相正弦交流电和三相正弦交流电两种，实际应用中的单相正弦交流电只是三相正弦交流电中的某一相。
正弦交流电
第六章
正弦交流电路
在计算电气设备的绝缘耐压水平时，要考虑 交流电压的最大值。例如，耐压为250V的电容器， 就不能接在220V的交流电压上使用。因为交流电 压的最大值 Um 2U 1.414 220 311 超过了电 容器的耐压值，极易造成电容器击穿。
第六章
正弦交流电路
3.平均值 平均值——正弦交流电在半个周期内所有瞬
Up、角频率ω、频率f、周期T和初相各为多少？ （2）当t＝0和t＝0.01s时，电压的瞬时值各 是多少？ （3）该电压的三要素是多少?
第六章
正弦交流电路
【练一练】
1．已知某正弦电压的有效值为100V，频率为
50Hz，初相为－30°，试写出该电压的解析式。 2．已知某正弦电流的初相为45°，试求同频率
正弦电压在下列情况下的初相各是多少?
（1）u与i同相；（2）u与i反相；
（3）u超前i30°；（4）u滞后i75°。
第六章
正弦交流电路
课堂小结
1．凡大小和方向都随时间变化的电动势、电 压或电流，统称为交流电。其中，按正弦规律变 化的交流电称为正弦交流电。通常讲的交流电都 是指最常用的正弦交流电。
2．表示交流电大小的物理量是有效值，分别
第六章
正弦交流电路
第六章
正弦交流电路
六、正弦交流电的三要素
最大值：反映了正弦交流电的变化范围。
角频率：反映了正弦交流电变化的快慢。
初 相：反映了正弦交流电的起始状态。
第六章
正弦交流电路
［例6—1］ 已知某正弦电压是 u 220 2 sin(100πt 30)V， 试求：
（1）电压的最大值Um、有效值U、平均值
ms（毫秒）、μs（微秒）和ns（纳秒）。
正弦交流电路PPT课件
电抗 X = XL—XC
阻抗 Z R2X2
阻抗角
arcU L t a U C narcX L t aX C n
U R
R
三、电路的电感性、电容性和电阻性
四、功率
视在功率——电压与电流有效值的乘积，用S 表示，单位为伏·安（VA）。
视在功率并不代表电路中消耗的功率，它常用 于表示电源设备的容量。
解题过程
常用电子仪器的使用
§3－2 正弦交流电的相量图表示法
旋转矢量与波形图的关系
有效值相量图
应用相量图时注意以下几点：
同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。 同一相量图中，相同单位的相量应按相同比
例画出。
一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向， 逆时针转动的角度为正，反之为负。
用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运 算可按平行四边形法则进行。
视在功率S与有功功率P和无功功率Q的关系：
S P2 Q2
PSc os QSsin
cos P 称为功率因数。
S
五、电压三角形、阻抗三角形和功率三角形
阻抗三角形
电压相量图
电压三角形
功率三角形
§3－7 提高功率因数的意义和方法
计算电感性负载的有功功率，除考虑电压、
电流的大小外，还要考虑电压、电流之间的相位
QCUII2XCU XC 2
【例3－5 】 容量为40μF的电容接在的电源上，试求： （1）电容的容抗；（2）电流的有效值；（3）电流瞬时值 表达式；（4）电路的无功功率。
解题过程
§3－6 RLC串联电路
一、电容对交流电的阻碍作用
开关SA闭合后接交流 电压，灯泡微亮。再断开 SA，灯泡突然变亮。测量 R、L、C两端电压 UR 、UL、 UC ，发现：
阻抗 Z R2X2
阻抗角
arcU L t a U C narcX L t aX C n
U R
R
三、电路的电感性、电容性和电阻性
四、功率
视在功率——电压与电流有效值的乘积，用S 表示，单位为伏·安（VA）。
视在功率并不代表电路中消耗的功率，它常用 于表示电源设备的容量。
解题过程
常用电子仪器的使用
§3－2 正弦交流电的相量图表示法
旋转矢量与波形图的关系
有效值相量图
应用相量图时注意以下几点：
同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。 同一相量图中，相同单位的相量应按相同比
例画出。
一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向， 逆时针转动的角度为正，反之为负。
用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运 算可按平行四边形法则进行。
视在功率S与有功功率P和无功功率Q的关系：
S P2 Q2
PSc os QSsin
cos P 称为功率因数。
S
五、电压三角形、阻抗三角形和功率三角形
阻抗三角形
电压相量图
电压三角形
功率三角形
§3－7 提高功率因数的意义和方法
计算电感性负载的有功功率，除考虑电压、
电流的大小外，还要考虑电压、电流之间的相位
QCUII2XCU XC 2
【例3－5 】 容量为40μF的电容接在的电源上，试求： （1）电容的容抗；（2）电流的有效值；（3）电流瞬时值 表达式；（4）电路的无功功率。
解题过程
§3－6 RLC串联电路
一、电容对交流电的阻碍作用
开关SA闭合后接交流 电压，灯泡微亮。再断开 SA，灯泡突然变亮。测量 R、L、C两端电压 UR 、UL、 UC ，发现：
电工学--正弦交流电1
南京航空航天大学
三、相位、初相位、相位差(表示变化进程) 相位、初相位、相位差(表示变化进程)
时的相位，称为初相位角 初相位角或 ： ϕ t = 0 时的相位，称为初相位角或初相位。 i
i = 2 I sin (ω t + ϕ ) ：正弦量的相位角或相位 （ωt + ϕ） 正弦量的相位角或相位
ωt
U I
效值
当 i = I m sin
(ω t +ϕ )时， 可得
Im I = 2
瞬时值i可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
i = 2I sin (ω t + ϕ )
可得
同理: 同理
u = Um sin (ω t + ϕ )
U = m U 2
瞬时值u可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
u = 2U sin (ω t +ϕ )
南京航空航天大学
正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
南京航空航天大学
正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
正弦量在某时刻的瞬时值可以由旋转有向线段在该瞬 时在纵轴上的投影值来表示。 时在纵轴上的投影值来表示。 正弦量可用旋转有向线段表示， 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用 复数表示，所以正弦量可用复数表示。 复数表示，所以正弦量可用复数表示。
南京航空航天大学
问题与讨论
的电器， 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? ~ 220V
三、相位、初相位、相位差(表示变化进程) 相位、初相位、相位差(表示变化进程)
时的相位，称为初相位角 初相位角或 ： ϕ t = 0 时的相位，称为初相位角或初相位。 i
i = 2 I sin (ω t + ϕ ) ：正弦量的相位角或相位 （ωt + ϕ） 正弦量的相位角或相位
ωt
U I
效值
当 i = I m sin
(ω t +ϕ )时， 可得
Im I = 2
瞬时值i可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
i = 2I sin (ω t + ϕ )
可得
同理: 同理
u = Um sin (ω t + ϕ )
U = m U 2
瞬时值u可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
u = 2U sin (ω t +ϕ )
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正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
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正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
正弦量在某时刻的瞬时值可以由旋转有向线段在该瞬 时在纵轴上的投影值来表示。 时在纵轴上的投影值来表示。 正弦量可用旋转有向线段表示， 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用 复数表示，所以正弦量可用复数表示。 复数表示，所以正弦量可用复数表示。
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问题与讨论
的电器， 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? ~ 220V
第四章： 正弦交流电路
= 2U sin (t+90)
i
【小结】电感两端电压和电流关系：
O
ωt
① 两者频率相同；
90
② 电压超前电流90，即相位差为：
= u i 90
③ 大小关系：U=I·L=I· XL ； XL为感抗；
20
i(t)= 2I sin t
u(t)= 2IL sin (t+90)
2. 感抗：Ω
∵ 有效值：U =I L
u
i
o
ωt
i
i
i
i
+
--
+
u uuu
-
++-
p(t)
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
∵ 储存能量和释放能量交替
进行 ∴ 电感L是储能元件。
【结论】纯电感不消耗能量， 只和电源进行能量交换（能量 的吞吐)。
ωt
储能 释能 储能 释能
24
(3)无功功率Q：
用以衡量电感电路中与电源交换能量的瞬时最大值即振幅 称作~。即：
正确写出幅、角的值。如：
+j
B 4
A
A 3 j4
第一象限
4 A 5 arctan
3
-3 0 C -4
B 3 j4
第二象限
4 B 5(180 arctan )
+1
3
3
C 3 j4
第三象限
4 C 5(arctan 180)
3
D
D 3 j4
第四象限
4 D 5( arctan )
3
式中的j 称为旋转因子，复数乘以j相当于在复平面上逆
正弦交流电
正弦交流电与电机
引言
直流电路：电流、电压的大小和方向都不随时间变化。
交流电路：电流、电压的大小和方向都随时间作周期性变化。
I(U） i(u） i(u）
Im
0 直流电
t
0 正弦波
t
0 方波
t
3.1 正弦交流电的基本概念
基本概念: 所谓正弦交流电，是指大小和方向都随时间 按正弦规律作周期性变化的电流、电压，简称交 流电。
1 f T
T
2
注意：角频率与角速度是两不同的概念，角速度是机 械上的空间的旋转角速度，而角频率泛指任何随时间作正 弦变化量的频率f与2π的乘积。
例3-1
已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。
解：
角频率为=2f=2×50=100=314rad/s 周期为T=0.02s
通常，选择初相位的绝对值小于π，可正，也可负。
(t = 0时)正弦交流电所处的电角度。
例3-2 已知u = 311sin(314t－60°)V，求幅值Um、频率 f、角频率、初相位。
解：根据表达式 u(t) = Umsin( t u)，可知 幅值为 Um = 311V 角频率为 = 314rad/s
(4) 当 12 = 时，一个正弦量到达正最大值时，另一个正弦量到达 负最大值，此时称第1个正弦量与第2个正弦量反相，如图3.2 (c)所示；
(5) 当 12 = /2时，一个正弦量到达零时，另一个正弦量到达正最 大值(或负最大值)，此时称第1个正弦量与第2个正弦量正交。如图3.2 (d) 所示。
四、正弦量的有效量
利用电流的热效应来确定电流的大小。
在热效应方面，交流电流与直流电流(i与I)是等效的。如对同一个 电阻
正弦交流电的表示法
绘制相量图时，需要确定原点、幅值和角度（相位），将正弦交流电的瞬时值与极坐标系中的点对应 起来。
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参 数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电 路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流 电的方法，通过将正弦交流电的幅度 和相位用复数（相量）表示，可以简 化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素 （幅值、频率和相位）被整合到一个 复数中，使得正弦波的数学描述更加 简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直 观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$， 其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和 利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于 维持磁场和电场，单位是乏 （var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参 数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电 路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流 电的方法，通过将正弦交流电的幅度 和相位用复数（相量）表示，可以简 化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素 （幅值、频率和相位）被整合到一个 复数中，使得正弦波的数学描述更加 简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直 观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$， 其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和 利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于 维持磁场和电场，单位是乏 （var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。
正弦交流电的基本概念
家用电器中的正弦交流电
家用电器如电灯、电视、空调等都依赖于正弦交流电来正常 工作。正弦交流电的特性使得家用电器能够实现稳定的运行 ，并提供了良好的用户体验。
家用电器的能耗和性能与正弦交流电的质量密切相关。电压 和频率的稳定对于家用电器的正常运行至关重要，而正弦交 流电的特性恰好满足了这些要求。
工业生产中的正弦交流电
大小
正弦交流电的大小不断变化，而直流电的大小保持恒定。
应用
正弦交流电主要用于电力系统、电子设备和电机控制等领域，而直流电主要用于电池供电、信号 传输和电子仪器等领域。
02
正弦交流电的产生
交流发电机的工作原理
交流发电机的基本结构
交流发电机通常由转子、定子和两个电刷组成。转子绕组 通入励磁电流后产生磁场，当转子旋转时，磁场随之旋转。
瞬时值的概念及其计算方法
瞬时值是指正弦交流电在某一时刻的数值。
瞬时值的计算方法是将正弦交流电的角频率、幅度和初相位代入正弦函数表达式中 得到。
瞬时值能够准确地反映正弦交流电在每个时刻的实际情况，因此在分析电路的瞬态 响应和波形失真等问题时，瞬时值具有重要的意义。
06
正弦交流电在日常生活和工 业中的应用
正弦交流电的基本概念
$number {01}
目 录
• 正弦交流电的概述 • 正弦交流电的产生 • 正弦交流电的参数 • 正弦交流电的波形 • 正弦交流电的分析方法 • 正弦交流电在日常生活和工业中
的应用
01
正弦交流电的概述
定义与特性
定义
正弦交流电是指电流随时间按正 弦函数规律变化的电能。
特性
正弦交流电具有周期性变化、方 向不断改变、大小不断改变等特 性。
线性动态电路等。
电工基础5.1 正弦交流电的基本概念
u Um cos(t 60) 当t=0时，所以 u(0) Um cos(60)
（１） Im 为电流i的振幅 （２）Ｕｍ为电压u的振幅 3.周期，频率和角频率 （1）周期
正弦量变化一次所用的时间称为周期，用T表 示单位为秒（s）。
（2）频率
正弦量单位时间内变化的周期数称为频率。用f表 示，单位为赫兹（Hz）. ①周期与频率的关系 f 1 T
②频率的单位
1kHZ 103 HZ
按能量等效的概念定义，以电流为例。设两个相同
电阻R，分别通过正弦电流 i 和直流电流I。
1 有效值
（1）正弦电流 I 通过R在一个周期T里消耗的能量为
Q1 T pdt T i2Rdt R T i2dt
0
0
0
（2）直流电I通过R在相同时间T内产生的能量为
Q2 PT I 2RT
图4-3 例4-1图
解:(1)有波形图可知，T 16ms
2
T
2
16103
125rad / s
f
1 T
16
1 103
62.5HZ
或
2f 2 62.5 125rad / s
由波形图可知，从时间起点到离原点最近的波
形最大值所需的时间为2ms。则初相
随时间按正弦规律变化的交流电流或电压称为 正弦电流或电压。 （2）正弦量
正弦电压、电流统称为正弦量或正弦交流电
二 正弦量的三要素
1.正弦电流i Im cos(t i )
Im ， 和 i分别称为振幅，角频率和
初相位。此三个量称为正弦量的三要素。波形 如图4-2所示。
2. 振幅
正弦量在一个周期内的最大值称为振幅。用 Am 表示
正弦交流电基本公式及表示
正弦交流电基本公式及表示一、正弦交流电的基本公式。
（一）瞬时值表达式。
1. 正弦电流。
- 对于正弦交流电流i，其瞬时值表达式为i = I_msin(ω t+φ_i)，其中I_m是电流的最大值（幅值），ω是角频率，t是时间，φ_i是电流的初相位。
2. 正弦电压。
- 正弦交流电压u的瞬时值表达式为u = U_msin(ω t+φ_u)，U_m为电压最大值，φ_u为电压的初相位。
（二）最大值、有效值关系。
1. 电流。
- 对于正弦交流电，有效值I与最大值I_m的关系为I=(I_m)/(√(2))，即I_m=√(2)I。
2. 电压。
- 正弦交流电压的有效值U和最大值U_m的关系为U = (U_m)/(√(2))，U_m=√(2)U。
（三）角频率、频率和周期的关系。
1. 定义。
- 角频率ω表示正弦量每秒变化的弧度数，单位是rad/s；频率f表示正弦量每秒变化的次数，单位是Hz；周期T表示正弦量变化一次所需要的时间，单位是s。
2. 关系公式。
- ω = 2π f，T=(1)/(f)，所以ω=(2π)/(T)。
二、正弦交流电的表示。
（一）解析式表示。
1. 如上述瞬时值表达式。
- 以电流i = I_msin(ω t+φ_i)和电压u = U_msin(ω t+φ_u)这种形式，就是正弦交流电的解析式表示。
通过解析式，可以直接计算出在任意时刻正弦交流电的瞬时值。
（二）波形图表示。
1. 绘制方法。
- 在直角坐标系中，横坐标表示时间t或角度ω t，纵坐标表示正弦量的瞬时值（如电压u或电流i）。
- 例如对于u = U_msin(ω t+φ_u)，当t = 0时，u = U_msinφ_u，随着时间t的增加，u按照正弦规律变化，画出的图形是一个正弦曲线。
- 波形图能够直观地反映出正弦交流电的最大值、周期等特征。
（三）相量表示。
1. 相量的定义。
- 相量是表示正弦交流电的复数。
对于正弦电压u = U_msin(ω t+φ_u)，其对应的相量为U=U∠φ_u，其中U是电压的有效值。
电工基础正弦交流电
05
正弦交流电的测量与仪 器
交流电压表与电流表
交流电压表
用于测量正弦交流电压的大小，通常采用电 磁感应原理，将交流电压转换为可测量的直 流电压。
交流电流表
用于测量正弦交流电流的大小，通常采用电 磁感应原理，将交流电流转换为可测量的直
流电流。
功率表与功率因数表
要点一
功率表
用于测量正弦交流电路的功率，可以测量有功功率和无功 功率。
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谐振与滤波
谐振
正弦交流电路中的一种特殊状态，当电路的感抗与容抗相等时，电流与电压相位相同， 产生共振现象。谐振时电路的阻抗最小，电流最大，可能会引起过电流和设备损坏。
滤波
通过电路中的电容、电感等元件，将特定频率的信号滤除，实现信号处理和噪声抑制。 在正弦交流电路中，滤波器可以用于分离不同频率的信号，提高电路的稳定性和可靠性。
正弦交流电的三要素
幅值、频率和相位。幅值表示正弦波 的最大值，频率表示单位时间内波动 的次数，相位表示正弦波在某一时刻 所处的位置。
正弦交流电的特点
周期性
01
正弦交流电每秒完成一个周期的波形变化，其频率和周期成反
比。
相位差
02
两个不同频率或不同相位的正弦交流电在合成时会产生相位差。
方向性
03
正弦交流电的电压和电流方向随时间变化，但平均值保持不变。
1
变压器由两个线圈（初级和次级）和一个磁芯组 成。初级线圈输入电压，在磁芯中产生磁场，次 级线圈感应出电压。
2
变压器的工作原理基于电磁感应定律，即变化的 磁场会产生感应电动势，而感应电动势的大小与 磁通量的变化率成正比。
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三相正弦交流电（一）1、交流电的优点|Ψt图一交流、直流电波形图现在我们广泛地使用着交流电，主要原因是与直流电相比，交流电在产生、输送和使用方面具有明显的优点和经济意义。
例如：（1）、电压的改变，通过变压器很方便就能实现。
a 在远距离输电时，采用较高的电压可以减少线路上的损失。
b 对于用户来说，采用较低的电压既安全又可降低电器设备的绝缘要求。
（2）、交流设备的使用优点。
如异步电动机比起直流电动机来，具有构造简单、性价比高，使用方便等优点。
(3)、在一些非用直流电不可的场合，如工业上的电解和电镀，直流马达等，也可利用整流设备，将交流电转化为直流电。
2、交流电的分类（1）正弦交流电和非正弦交流电交流电有正弦和非正弦之分。
正弦交流电的优点：a,变化平滑b.不易产生高次谐波非正弦交流电：各种非正弦交流电都可由不同频率的正弦交流电叠加而成（用傅里叶分析法），因此可用正弦交流电的分析方法来分析非正弦交流电。
（2）正弦交流电的分类：以相的数目来分，有两相，三相，六相等。
对称三相因为有很多优点，所以应用最为广泛。
例如：a,在输送电能上，输电距离，输送功率，线间电压，输电材料都相同的条件下，则三相输电所用的铜线（或铝线），比单相节约25%；b、同功率的三相发电机比单相发电机体积小，节约材料。
c、三相发电机的结构简单，维护和使用都其它为方便。
所以，目前世界上电力系统所采用的供电方式，绝大多数是属于三相制的。
3 正弦交流电的三要素：随时间按照正弦函数规律变化的电压和电流。
由于交流电的大小和方向都是随时间不断变化的,也就是说,每一瞬间电压（电动势）和电流的数值都不相同,所以在分析和计算交流电路时,必须标明它的正方向。
确定一个正弦量必须具备三个要素，即振幅值，角频率和初相。
也就是说知道了三要素，一个正弦量就可以完全确定的表现出来。
|Π|Π图二正弦电动势波形图正弦交流电的三要素:(1)最大值(振幅值)|Π2|Π图三振幅值不同的正弦量(2)角频率ω:表示在单位时间内正弦量所经历的电角度，单位为弧度/秒(rad/s)。
图四频率不同的正弦量在一个周期T内，正弦量经历的电角度为2π弧度，所以：ω=2π/T=2πf 2-3-1把角频率ω代入e=Em sina，正弦量的解析式就能以时间为变量。
当T=0时，a=ωt正弦量的解析式：e=Em sin ωt 2-3-2例1、已知工频频率是50HZ，求ω。
解：ω=2πf=2×3.14×50=314 rad/s(3)初相位(初相)从2-3-2公式中，我们可以看出，正弦交流的起点为0，即电角度a=0，这是一种特殊情况，一般情况下，起点都有一个角度，这个角度我们用ψ来表示，也就是a=ψ。
这时2-3-2式就变为：e=Em sin( ωt+ψ) 2-3-3|Ψt|Π2|Π|Χ图五 初相角不为零的感应电动势通过2-3-2式的波形图，我们可以看出：ωt+ψ这个电角度是随时间变化的。
它每增加2π，e 又重复原来的变化规律。
正弦量任一时刻的瞬时值及变化趋势都与ωt+ψ有关，这个电角度称为正弦量的相位或相位角。
相位意义：表示正弦量在某一时刻所处的状态的物理量，它不仅确定瞬时值的大小和方向，还能表现出正弦量的变化趋势。
在2-3-3式中，ψ是正弦量在计时起点即t=0时的相位，叫做初相位，简称初相。
初相的意义：确定了初相，也就知道了正弦量在计时起点的状态。
规定│ψ│不能超过π的弧度，也就是180度。
|Ψt |Ψt |Π/2I1=Im sin |Ψt I2=Imsin(|Ψt +|Π/2)|Ψt |Ψt 图六 几种不同计时起点的正弦电流|Π/6|Π/6I3=I msin(|Ψt +|Π/6)I4=Imsin(|Ψt -|Π/6)例1：已知选定参考方向下的波形图如下图所示，试写出正弦量的解析式。
|Ψt|Π/6|Π2|Π-|Π/3图七 例题1图解：e1=250sin(ωt-π/6)ve2=200sin(ωt+π/3)v例2：在选定的参考方向下，已知两正弦量的解析式为：i=-15sin ωtA,u=400sin(ωt+240°)V,求每个正弦量的振幅值和初相。
解：i=-15sin ωt= 15sin （ωt+π）A ，其振幅值Im=15A ，初相ψ=1π=180°。
注：振幅只取绝对值。
u=400sin(ωt+240°)V=400sin(ωt-120°)V,其振幅值U 吗、Um=400,初相Ψ=-120°注:在上式中,初相值为什么不是240°而是负120度呢?因为初相不能超过1π。
例3 已知电路中a,b部分的电压是正弦量，其频率F=50HZ，在选定电压参考方向由a到b的情况下，它的解析式为Uab=311sin(ωt-π/4)V。
求：1）T=2S 时，2）ωt=π时，3）ωt=90°时，电压的大小、实际方向和相位角。
解：1）当T=2S时，ω=2πF=2π×50=100π=314rad/sUab=311sin(ωt-π/4)=311sin(100π×2-π/4)=311sin(200π-π/4) =-311sinπ/4=-311×√2/2=-220VUab为负值，电压的实际方向与参考方向方向相反，即由B到A。
电压的大小为220V，相位角为（200π-π/4)。
2）当ωt=π时，Uab=311sin(ωt- sin /4)= 311sin(π-π/4)=311×（+√2/2）=220V电压实际方向为由A到B，其大小为220，相位角为(π-π/4)。
3）ωt=90°时，Uab=311sin(ωt-π/4)=311 sin（π/2-π/4）=311 sin π/4=220V电压大小为220V，实际方向是由A到B，相位角为（π/2-π/4）=π/4。
4、相位差（1）定义：两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差。
正弦量的相位是随时间变化的，但同频率正弦量的相位差是不随时间变化的，等于它们的初相之差。
一个正弦量比另一个正弦量早到零值或振幅值时，称前者超前后，或后者滞后前者。
如图示八，U1比U2超前（Ψ1-Ψ2），或者说U2比U1滞后（Ψ1-Ψ2）。
所以相位差计算式Φ12=Ψ1-Ψ2中的Φ12是一个超前或滞后的角度。
对于这个角度，我们规定其绝对值不超过180°。
例如：滞后40度用超越320度来表示就易引起表意上的混乱。
|·1|μ12|·2图八两个同频率正弦电势波形图|Π|Π|Ψt 图九例1波形图例1 试作Ur=Urm sin ωt,Ir=Irm sin ωt ,UL=ULm sin (ωt+90°),e=Em sin (ωt-180°)波形图，并说明其相位关系。
解：先画出各解析式的波形图，因为Ir的初相为零，故选它作为参考量。
正弦量Ur初相为零，所以与Ir同相。
正弦量UL较Ir的相位超前90度，所以两个正弦量的波形正交。
正弦量e较Ir的相位差为180度，所以与Ir反相。
5、交流电的有效值电功率的计量采用有效值来计算的，如果用振幅值来计算的话，前面我们有讲过，在一个周期内交流电只有两个瞬间才能达到最大值，这样的话我们就会多交1.414倍的电能费用。
下面我们来具体分析一下：（1）定义：任何交流电的有效值都是根据它的热效应确定的。
交流电流I 通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I的数值就叫这个交流电的I的有效值。
在等于交流电一个周期时间内直流通过电阻R所产生的热量为：Q=I2RT交流电能过同样电阻R，在同一周期内所产生的热量为：Q=∫i2Rdt(2)、正弦量的有效值正弦电压和电动势的有效值为：U=Um/√2=0.707UmE=Em/√2=0.707Em常用的仪器如电表等所指示的值均为有效值，我们所说的家用电器的电压是220伏，也是指有效值，如果要计算它的最大值，乘√2就可以得到。
（3）例题分析：例题1：有一电容器，耐压为250V，问能否在市电电压220V电源上使用？解：Um=220×√2=311V这超过了电容器的耐压，有可能电容被击穿，所以不能使用。
例题2：一正弦电压的初相为30°，在t=T/2时的值为-268，7V，试求它的有效值。
解：正弦电压的解析式：U=Um sin( ωt+ψu)已知ψu=30度，t=T/2时，ωt=2π/T×T/2=π代入得-268.7= Um sin(180°+30°)=-1/2 UmUm=537.4V有效值: U=537.4/√2=380V6、正弦量的复数表达式正弦量的表达式形式除了前面的波形图和简谐函数表达式之外还有第三种表达方式——相量表达法。
复数的四种表示形式：1）、代数式A=a+jb(a=r cosθ, b=r sinθ2）三角函数式A= r cosθ+r sinθ据欧拉公式Ejθ= cosθ+j sinθ可得3）指数式：A=rejθ4）极坐标式：A=r<θ。