二年级奥数 第十讲

第十讲一半问题哪吒智闯水晶宫--二郎神帮忙哪吒正在继续寻宝的路上，突然听到从桃树林里传出一阵急促的“汪、汪……”狗叫声，哪吒心想：难道又有埋伏急忙倒退几步，一只体型彪悍的猎狗从眼前一跃而过，转眼就不见了踪影。

哪吒：“这不是二郎神的哮天犬吗，怎么跑到这里来了”这时二郎神从桃树林里钻了出来说道：“哪吒你好啊，好久不见又长高了！”哪吒：“二郎神，你到这里来干什么”二郎神：“前几天东海龙王请我过来赴宴”哪吒急于想拿自己的宝贝，说道：“那祝你玩的开心，我就不打扰了”说完就想走。

二郎神：“慢！我知道你此次闯水晶宫的目的，我跟你父亲也算是朋友，你帮我回答一个东海龙王为难我的问题。

如果你答出来了，我就帮你把乾坤圈找回来”这时哮天犬嘴里叼着一根骨头跑了过来，二郎神笑着说道：“东海龙王给我的孝天犬很多根美味的骨头，第一天他吃掉了总数的一半少2根，第二天吃掉了剩下的一半多1根，最后还剩2根，东海龙王问我他一共给我家孝天犬多少根骨头”哪吒说道：“很简单，8根“，二郎神喜出望外，为了感激小哪吒，他带着小哪吒到了东海龙王藏乾坤圈的地方，和哪吒一起大战虾兵蟹将，最终帮着哪吒夺回了他的宝贝乾坤圈。

例题精讲：例1 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6个，爸爸买了多少个草莓分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下6个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是6个。

因而原来一共有6+6=12（个）。

所以，爸爸买了12个草莓。

例2 妈妈分给小静8块巧克力，剩下的分给小英。

小静分得的块数正好是小英的一半，分给小英几块巧克力分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和小静一样多，小英的一半是8块巧克力，那么小英就有两个一半，即8+8=16（块）。

例3一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个。

篮里原来有几个苹果分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3个，爸爸也就得3个，妈妈和爸爸一共6个。

第十讲间隔趣谈（二）
在实际生活中，像植树这种特殊问题应用广泛，学会以植树问题的解题方法，我们就可以把这种方法运用到实际生活中，多角度，多方位地去思考新的问题。

1.两端都种树，种的棵数比间隔数多1；
2.两端都不种树，种的数比间隔数少1；
3.如果围成一个圆，棵数与间隔数相同。

4.如果要求种的棵数最少，公用的棵数应该越多越好；
5.要求种的棵数最多，应该没有公用的棵数。

动用之些关系，看清题意，就能算出正确的结果。

例1.小红把10个黄圆片摆成一行，如果每两个黄圆片之间再插进1个红圆片。

想一想，一共需要多少个红圆片？
1.在一排12个女生的队伍中，每两个女生中插进一个男生，想一想，一共插进
了几个男生？
2.在学校门口摆了一排菊花，共20盆，每两盆菊花之间插入2盆玫瑰，一共需
要多少盆玫瑰？
3.学校门口左右两边插彩旗，每边先插14面红旗，再在每两面红旗之间插1
面黄旗，一共插了多少面黄旗？
例2.8个同学围成一个圈，每两个同学这间相距2米，这个圈长多少米？
1.圆形花园上每隔4米栽一棵树，一共栽了6棵，这个花园周长是多少米？
2.一个正方形的鱼池，在它的四周每隔6米插一根柱子，一共插了10根，这个
鱼池的周长是多少米？
例3.学校有一个长方形的花坛，要使每条边放5盆花，那么最少在放多少盆花？
1.在一个正方形的池塘边栽树，每边栽4棵，最少要栽多少棵？
2.小明用小圆片摆一个正方形，每边摆6个，最少要用多少个小圆片？最多要
用多少个小圆片？
3.二（7）班的同学排成4行做操，每行人数相等，小明站在一行中，从左往右
数是第7，从右往左数是第6。

你知道二（7）班共有多少人吗？。

二年级创新思维春季班讲义：第十讲重叠问题（二）姓名：【例4】（1）如果将两块同样长的木条钉在一起共长15厘米，中间钉在一起的长度是3厘米，问：原来每块木条长多少厘米？答：原来每块木条长（）厘米。

（2）两块木条各有8厘米，如果把他们钉在一起时，中间重合部分是3厘米，钉成后这块木条有多少厘米？答：钉成后这块木条有（）厘米。

（3）两块木条各有9厘米，钉成一块长14厘米的木条，中间重合的部分是几厘米？答：中间重合的部分是（）厘米。

练一练（四）1、（1）两块木条各长40厘米，把它们钉在一起，中间钉在一起的地方是10厘米，这块钉起来的木条长多少厘米？答：这块钉起来的木条长（）厘米。

（2）两块木条各长40厘米，钉在一起的木条长70厘米，中间钉在一起的地方长多少厘米？答：中间钉在一起的地方长（）厘米。

2、有两块同样长的木条，钉成了一块长13分米的长木条，中间顶在一起的重叠部分长1分米，这两块木条原来各有多少分米？答：这两块木条原来各有（）分米。

【例5】王老师出了两组数学兴趣题给18名同学做，做对第一组的有10名同学，做队第二组的有12名同学，两题都做对的有多少名同学？答：两题都做对的有（）名同学。

练一练（五）1、有一个班英语、数学期终考试得100分的共有8人，其中英语100分的有5人，数学100分的有6人，两门学科都得100分的有几人？答：两门学科都得100分的有（）人。

2、有100个同学带矿泉水和水果去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有71人，两样都带有至少有多少人？答：两样都带有至少有（）人。

3、二（3）班有39人，全班都订了报，订《少年报》的有35人，订《拼音报》有8人，两样报纸都订的有多少人？答：两样报纸都订的有（）人。

4、三年级学生中，音乐爱好者有38名，电脑爱好者有64名，两项都爱好的有27名，这个年级有多少名学生？答：这个年级有（）名学生。

5、在1～30中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的数有多少个？答：又不是5的倍数的数有（）个。

把一个自然数（0除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分.在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题.希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法.知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举.【教学思路】小松鼠把9个松果分成不一样多的三份，6=1+2+3，所以可以分成.小白兔说它把9个蘑菇分成个数不同的4份.这是不对的.因为1+2+3+4=10.9个蘑菇是分不出个数不同的4份的.① 小松鼠和小白兔上学迟到了.熊猫老师问：“你俩今天为什么迟到了?” 小松鼠说：“我在上学的路上遇到三个小弟弟，他们饿(e)得很，我就采了6个松果.分成数量不同的3份，送给他们每人一份.”② 小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹．她们饿得很，我就采了9个蘑菇.分成数量不同的4份，送给她们每人一份.” 熊猫老师说：“松鼠说的是实话.小白兔说的是谎话.”③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师，我错了，今后我一定做个诚实的孩子.” 小朋友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话?把一个自然数（0除外）分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然数的分拆.下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法.强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象).强强两发共打了12环，明明两发共打了8环.又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环?【教学思路】要求强强和明明各打中的环数，即是把12，8按环数进行拆分的问题.也就是要把12和8拆分成两个数相加.因为靶子中的环数只有2、4、6、8、10环.所以这两个数只能从这些数中选择.因为12=8+4=10+2，8=6+2.根据“没有哪两发子弹打在同一环中’’的条件，可以知道甲打中的是8环和4环，乙打中的是6环和2环.把5拆成几个自然数相加的形式，共有多少种不同的拆分方法?(0除外)【教学思路】要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚举法.例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成五部分.拆分过程是：5=1+4=2+35=1+1+3=1+2+25=1+1+1+25=1+1+1+1+1答：共有6种不同的拆分方法.按下面的要求，把自然数6进行拆分.（1）把6拆成几个自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？（2）把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？（3）把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？【教学思路】（1）6=1+5=2+4=3+3 ；6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ；6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；6=1+1+1+1+2 ；6=1+1+1+1+1+1 共10种方法.（2）从（1）中，把完全相同的3种方法剔除6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩7种.（3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同.那么就只有6=1+5=2+4=1+2+3 ，3种拆分方法.猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法?【教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10拆成3个不完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘2个，所以0，1除外，共有多少种拆分方法呢.拆分过程是：lO=2+2+610=2+3+510=2+4+410=3+3+4答：共有4种不同的分组方法.巩固拓展体育课上，10个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？【教学思路】10个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有1个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成1的部分.具体拆分过程如下：10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+2+6=2+3+5=2+4+410=3+3+4答：一共有8种不同的分组方法.兔妈妈拔了12个萝卜，它要把这些萝卜分给三个兔宝宝吃，每个小兔至少要有1个，并且它们分到的萝卜数量都不同.可以怎样分呢？【教学思路】这道题也就是要我们把12拆分成3个不同的自然数，可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12＝1+2+9．下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得：12＝1+3+8．继续按类似方法变化，可得下列各式：12＝1+4+7＝2+3+7，12＝1+5+6＝2+4+6，12＝3+4+5．共有7种不同的分拆方式．巩固拓展4个小朋友去学校图书室一共借了12本书.图书室规定，每个人最多只能借9本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不一样多.想一想，他们手中各有几本书？【教学思路】把12拆分成4个不同的自然数只有唯一一种方法：12=5+4+2+1，所以这几个小朋友手中的书分别是5本、4本、2本、1本。

第十讲趣味数学（二）例1 25个人过一条河，只有一条船，每次只能坐5个人，至少要渡几次，才能使大家全部过河？【思路导航】虽然小船每次能坐5个人，但在船返回时，必须有一个人驾船返回。

因此，每次只能有5－1=4（人）上岸。

最后一次不必返回，因此最后一次有5人上岸。

前面20人必须渡20÷4=5（次），加上最后一次，一共要渡6次。

列式如下：（25－5）÷（5－1）＋1=20÷4＋1=5＋1=6（次）答：至少要渡6次才能使大家全部过河。

练习11．19名战士要过河，只有一条船，每只船上只能坐4名战士，至少要渡几次，才能使全体战士过河？2．51个人要过一条河，只有一条船，每次只能载6人，至少要渡几次，才能使大家全部过河？3．33个小朋友要坐船过河，河边只有一条小船，船上每次只能坐5人，至少几次才能使大家全部过河？例2、25人要去参观展览，有两种车，一种是面包车，每辆可乘8人，另一种是小轿车，每辆可乘3人，可怎样派车？哪种方案最好？【思路导航】如果只派面包车：25÷8=3（辆）……1（人），要派4辆；如果只派小轿车：25÷3=8（辆）……1人（人），要派9辆；如果又派面包车又派小轿车，正好一次把25人送完，就是最好的方案。

从派面包车的情况看出，少派1辆面包车，就多9人，这9人正好用3辆轿车送。

2×8＋3×5=25（人）派2辆面包车，3辆小轿车正好一次送完，每辆车上都没有空位，这是最好的方案。

练习21．一个旅游团共有62人，现在有两种车，面包车每辆最多坐10人，小轿车每辆最多坐3人，问派几辆面包车几辆小轿车能一次把他们送到火车站？2．一个人用一只小船过河，他带了三样东西，一只狗、一只鸡、一蓝青菜。

他每次只能带一样东西过河，而且没人的时候狗会吃鸡，鸡会吃菜。

这个人应该怎样过河才能保证三样东西都完整。

3．一个和尚带着两个小和尚去河对岸的寺院，河上没有桥，他们又都不会游泳。

把一个自然数（ 0 除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分 . 在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题 . 希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法 .知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举 .们每人一份小朋小松鼠说： 友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹 量不同的 4 份，送给她们每人一份① 小松鼠和小白兔上学迟到了 . 熊猫老师问： “你俩今天为什么迟到了 她们饿得很，我就采了 9 个蘑菇 .分成数 熊猫老师说：“松鼠说的是实话 .小白兔说的是谎话 .”③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师 我在上学 的路上遇到三个小弟弟，他们饿 (e)得很，我就采了 6 个松果 .分成数量不同的 3 份，送给他 教学思路】 小松鼠把 9 个松果分成不一样多的三份， 6=1+2+3，所以可以分成 .小白兔说它把 9 个蘑菇 分成个数不同的 4 份. 这是不对的 . 因为 1+2+3+4=10.9 个蘑菇是分不出个数不同的 4 份的 .把一个自然数( 0 除外)分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然 数的分拆 .下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法如下图他们每人打了两发子弹， 均击中了靶子 ( 即无脱靶现象 ). 强强两发共打了 12 环，明明两发共打了 8 环. 又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请 你推算一下他俩打中的是哪几环?教学思路】 要求强强和明明各打中的环数，即是把 12，8按环数进行拆分的问题 .也就是要把 12和 8拆分成两个数相加 . 因为靶子中的环数只有 2、4、6、8、10环. 所以这两个数只能从这些数 中选择 . 因为 12=8+4=10+2， 8=6+2. 根据“没有哪两发子弹打在同一环中' '的条件，可以 知道甲打中的是 8环和 4环，乙打中的是 6环和 2环.把 5 拆成几个自然数相加的形式， 共有多少种不同的拆分方法教学思路】 要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚 举法 . 例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成 五部分 . 拆分过程是： 5=1+4=2+3 5=1+1+3=1+2+2 5=1+1+1+2 ?（0 除外 ）5=1+1+1+1+1答：共有 6 种不同的拆分按下面的要求，把自然数 6 进行拆分 .1）把 6 拆成几个自然数相加的形式（ 0 除外），共有多少种不同的拆分方法？2）把 6 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0 除外），共有多少种不同的拆分方法？3）把 6 拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0 除教学思路】（ 1 ） 6=1+5=2+4=3+3 ； 6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ； 6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；6=1+1+1+1+2 ； 6=1+1+1+1+1+1 共 10 种方法 .（2）从（ 1）中，把完全相同的 3 种方法剔除 6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩7 种. （3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同 . 那么就猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘 10 个，每只小猪至少摘 2 个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法 ?教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10 拆成3个不完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘 2个，所以 0，1 除外，共有多少种拆分方法呢 . 拆分过程是： lO=2+2+6 10=2+3+510=2+4+410=3+3+4答：共有 4 种不同的分组方法体育课上， 10 个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？1教学思路】 10 个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有 个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成 的部分 . 具体拆分过程如下： 10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5 10=2+2+6=2+3+5=2+4+4 10=3+3+4 答：一共有 8 种不同的分组方法 .分到的萝卜数量都不同 . 可以怎样分呢？教学思路】 这道题也就是要我们把 12 拆分成 3 个不同的自然数， 可以做如下考虑：若将 12 分拆成三个不同的自然数 之和，三个数中最小的数应为 1，其次是 2，那么第 三个数就应是 9 得：12＝ 1+2+9．下面进行变化，如从 9中取 1 加到 2上，又得： 12＝ 1+3+8． 继续按类似方法变化，可得下列各式： 12 ＝1+4+7＝ 2+3+7， 12 ＝1+5+6＝ 2+4+6， 12 ＝ 3+4+5．共有 7 种不同的分拆方式．巩固拓展4个小朋友去学校图书室一共借了 12本书. 图书室规定，人最多只能借 9 本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不 一样多 . 想一想，他们手中各有几本书？【教学思路】 把 12 拆分成 4 个不同的自然数只有唯一一种方法： 12=5+4+2+1，所以这几个小朋友手中的 书分别是 5本、 4本、2本、1 本。

第十讲一半问题哪吒智闯水晶宫--二郎神帮忙哪吒正在继续寻宝的路上，突然听到从桃树林里传出一阵急促的“汪、汪……”狗叫声，哪吒心想：难道又有埋伏？急忙倒退几步，一只体型彪悍的猎狗从眼前一跃而过，转眼就不见了踪影。

哪吒：“这不是二郎神的哮天犬吗，怎么跑到这里来了？”这时二郎神从桃树林里钻了出来说道：“哪吒你好啊，好久不见又长高了！”哪吒：“二郎神，你到这里来干什么？”二郎神：“前几天东海龙王请我过来赴宴”哪吒急于想拿自己的宝贝，说道：“那祝你玩的开心，我就不打扰了”说完就想走。

二郎神：“慢！我知道你此次闯水晶宫的目的，我跟你父亲也算是朋友，你帮我回答一个东海龙王为难我的问题。

如果你答出来了，我就帮你把乾坤圈找回来”这时哮天犬嘴里叼着一根骨头跑了过来，二郎神笑着说道：“东海龙王给我的孝天犬很多根美味的骨头，第一天他吃掉了总数的一半少2根，第二天吃掉了剩下的一半多1根，最后还剩2根，东海龙王问我他一共给我家孝天犬多少根骨头？”哪吒说道：“很简单，8根“，二郎神喜出望外，为了感激小哪吒，他带着小哪吒到了东海龙王藏乾坤圈的地方，和哪吒一起大战虾兵蟹将，最终帮着哪吒夺回了他的宝贝乾坤圈。

例题精讲：例1 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6个，爸爸买了多少个草莓？分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下6个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是6个。

因而原来一共有6+6=12（个）。

所以，爸爸买了12个草莓。

例2 妈妈分给小静8块巧克力，剩下的分给小英。

小静分得的块数正好是小英的一半，分给小英几块巧克力？分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和小静一样多，小英的一半是8块巧克力，那么小英就有两个一半，即8+8=16（块）。

例3 一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个。

篮里原来有几个苹果？分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3个，爸爸也就得3个，妈妈和爸爸一共6个。

191第十讲 一笔画成(数学游戏)ʌ知识概述ɔ一笔画 是一种常见的数学游戏㊂一笔画是指笔不离开纸,并且每条线只能画一次又不重复的平面图形㊂一笔能写成的字还真不少㊂如:1㊁2㊁3㊁6㊁7㊁8㊁9㊁0㊁一㊁乙㊁ 一笔能画成的图形也不少,如:那么究竟哪些图形能一笔画成呢?我们先来认识 双数点 和 单数点 ㊂双数点:就是从某一点出发,引出来的线的条数是双数(2,4,6,8,10, ),这样的点就叫双数点㊂如下面的 ㊃ 都是双数点㊂单数点,就是从某一点出发,引出的线的条数是单数(1,3,5,7,9, ),这样的点就叫单数点,如下面的 ㊃ 都是单数点㊂凡是图形中的点都是双数点,这个图形就一定能一笔画成㊂如:凡是图形中有双数点也有单数点,但只有两个单数点,也可以一笔画192成㊂如:凡是图形的单数点的个数多于2个,就不能一笔画成㊂如:例题精学例1 下面的图形能不能一笔画成?如果能,应怎样画?ʌ思路点拨ɔ 图中共有7个交点,其中有6个点是2条线段的交点,1个点是4条线段的交点,因此都是双数点,可以一笔画成㊂画法如下图㊂同步精练1.下面两个图形能一笔画成吗?如果能,请一笔画成功㊂2.下面的图形能不能一笔画成?如果能,应怎样画?3.下面的图形能不能一笔画成?为什么?193194例2 下面的图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?ʌ思路点拨ɔ 这个图形中有6个交点,其中A ,B ,C ,D 四个点都是双数点,都有4条线相交;E ,F 这两个点都是单数点,都有3条线相交㊂这个图形的单数点不多于2个,所以能一笔画成㊂画法:从一个单数点开始,到另一个单数点结束㊂E ңD ңA ңB ңC ңD ңC ңF ңB ңA ңE ңF F ңB ңC ңD ңA ңB ңA ңE ңD ңC ңF ңE同步精练1.下面的图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?如果不能,请说明理由㊂2.下面的图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?3.下面的图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?195例3 有一条河,河中有两个小岛,河上有7座桥,把这两个岛与河岸联系起来,能不能不重复地走遍七座桥,最后又回到出发点?ʌ思路点拨ɔ 我们可以把这个七桥图形中的岸和岛看作点,而桥可以看作连接这些点的一条线㊂问题 能不能不重复地走遍这七座桥 ,实际上是 下面的图形能不能一笔画成功㊂A 点是左边的岛,D 点是右边的岛,C 点是北岸,B 点是南岸,C D 上有两座桥,B D 上有两座桥㊂图中的4个点都是单数点,不能一笔画成,所以不能不重复地走遍这七座桥㊂同步精练1.下图是一个迷阵图,箭头指出了迷阵的入口和出口㊂请你画线表示从入口进入迷阵,从出口走出来㊂能不能走通?1962.下图是某展览馆的平面图,相邻两个展室之间有一个门相通,每个展室都有一扇门通往馆外㊂一个参观者怎样走才能不重复地走过每一扇门?如果这种走法不存在,应关闭展览室的哪扇门才能实现上述走法?3.下图中有11个邮递员的投递点,邮递员叔叔要向这11个地点送信,邮递员能不能重复地一次走遍各个点?如果能应怎样走?197例4 下面的图形中有6个单数点,因此不能一笔画成功㊂但只要给下图加两条线,这个图形就能一笔画成功了㊂怎样加线?ʌ思路点拨ɔ 由于图中有6个单数点,因此不能一笔画成,如果只有两个单数点就能一笔画成了㊂在两个单数点之间连线,这两个单数点就成为双数点,画两条线就可以使4个单数点变为4个双数点,只剩下两个单数点了㊂加线方法如下:同步精练1.下图中九个点代表9棵果树,一个园丁推着水车从A 点出发,能不能给每一棵树浇上水而不走重复路线?(B 点㊁C 点为灌水的地点)2.下面的图形能不能用一笔画成功?如果能,应该怎样画?3.奥运会五环图能不能一笔画成功?如果能,可以怎样画?198练习卷一㊁填空题㊂1.下面的交点是单数点还是双数点?2.下图中有( )个交点,( )个双数点,( )个单数点,( )一笔画出(填 能 或 不能 )㊂3.下图中有( )个交点,( )个双数点,( )个单数点,( )一笔画出(填 能 或 不能 )㊂二㊁问答题㊂1.下图能不能一笔画出?如果能,应该怎样画?2.一只小虫从A 点出发,能不能不走重复路线一次走到B 点?如果能,应该怎样走?1993.小华和爸爸分别从公园的两个入口进入,谁能一次不重复地走完所有的路?4.下面的图形能不能一笔画成?为什么?如果能一笔画成,请标出起点和终点㊂三㊁解决问题㊂1.一个居民小区有四幢楼房,围墙把四幢楼房围起来,只有东㊁南㊁西㊁北四个门进出小区,小区的路有3横3竖,有一幢楼还有一条过道,把这幢楼分成两部分,人可以从过道通过㊂一个人能不能从东门进入小区,不走重复路线,一次把每条路都走遍?如果能,应该怎样走?如果不能,应从哪个门进去?200 2.园林里浇花的王大叔要到下图中的各点(字母处)浇花,他怎样走才能不重复地一次走遍每条小路?四㊁操作题㊂给下图加最少的线,使这个图形能一笔画成功㊂练习卷1.4鸡鹅兔(后三空或填鹅鸭兔)2.(1)小猴36(2)小兔18(3)23.4.(1)卡通人物唐老鸭米老鼠蝙蝠侠孙悟空哪吒喜欢人数/人2312159 (2)孙悟空唐老鸭蝙蝠侠第十讲一笔画成(数学游戏)例1图中的7个交点都是双数点,所以能一笔画成㊂[同步精练]1.(1)10个交点都是双数点,可以一笔画成㊂307308(2)有4个单数点,不能一笔画成㊂2.只有2个单数点,能一笔画成,画法是:从一个单数点出发,到另一个单数点为终点㊂3.有4个单数点,不能一笔画成㊂例2 这个图形只有两个单数点,所以能一笔画成㊂画法为从一个单数点开始,到另一个单数点结束㊂如:E ңD ңA ңB ңC ңD ңC ңF ңB ңA ңE ңF[同步精练]1.有4个单数点,不能一笔画成㊂2.如下图,只有2个单数点,能一笔画成,从一个单数点出发,以另一个单数点为终点㊂3.都是双数点,能一笔画成㊂例3 用A 点表示左边的岛,D 点表示右边的岛,C 点表示北岸,B 点表示南岸,把题目转化成下图㊂因为图中4个交点都是单数点,不能一笔画成,所以不能不重复地走遍这七座桥㊂309[同步精练]1.能走通,图略㊂2.走法不存在㊂如果关闭C ㊁D 间,D ㊁E 间及D ㊁F 间这三个门,参观者就可无重复地走过每扇门㊂下面是其中的一种走法:F ңC ңA ңD ңB ңA ңB ңE ңF ㊂3.图中只有两个单数点,能一笔画成㊂画法:③ң④ң②ң①ң③ң⑩ңң⑨ң⑩ң⑧ң⑨ң⑦ң⑧ң⑤ң⑦ң⑥ң⑤ң②例4 把左上角两个单数点连线,把右下角两个单数点连线,这4个单数点都成为双数点㊂图中只剩下2个单数点,就能一笔画成了㊂[同步精练]1.能不走重复路线,方法不唯一,如:2.4个点都是双数点,能一笔画成㊂3.8个点都是双数点,能一笔画成㊂310练习卷一㊁1.双数单数双数单数2.1266不能3.770能二㊁1.有4个双数点,没有单数点,能一笔画成㊂2.只有两个单数点,能一笔画成㊂从AңB走法如下:3.图中只有两个单数点,能一笔画成,爸爸的进入点是双数点,不能一次不重复地走完所有的路,小华的进入点是单数点,能一次不重复地走完所有的路㊂4.(1)能(2)不能(3)不能三㊁1.东门处是双数点,不能不走重复路线一次把每条路都走遍㊂从西北㊁北门进去都可以㊂2.可以从A点出发,以E点为终点;也可以从E点出发,以A点为终点㊂四㊁最少加2条线,A E和B E,就可以一笔画成㊂311第十一讲 操作图形(图形的切㊁拼)例1[同步精练]1.方法很多㊂如2.3.例2[同步精练]1.。

高斯小学奥数含答案二年级(下)第10讲-平面图形认知(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十讲 平面图形认知前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲只需换风格就行，与其它的风格相符．长方形家族的 成员集合！菱形家族的成员集合！长方形，一定菱形，必胜！咦？我是正方形，我该去哪边呢？你是长方形家族的！你属于菱形，快归队！啊！！！ 救命！说一说，正方形到底该去哪边呢？在我们的周围有许多的几何图形：教室的墙、天花板都是长方形的，人民币是长方形的，我们现在正在看的这页纸也是长方形的，尼泊尔的国旗是三角形的，乐器中的三角铁也是三角形的．这些都是最基本的平面图形．在本讲中，我们就来认识一些基本的几何图形．例题1下图中哪些是三角形？哪些是长方形哪些是平行四边形哪些是菱形【提示】正方形既属于长方形也属于菱形．练习1数一数下面这幅画中的各种图形，并分别在横线上写出相应的个数．如果没有，在横线上打“×”．（不包括几个图形拼成的新图形）圆形___________ 平行四边形__________ 正方形_________ 菱形________________ 长方形_________ 梯形________________ 三角形_________ 五边形______________下面我们来了解一下图形的周长．周长是指围绕一个图形一周的长度．实际上，一般图形的周长都可以用所有边长相加得出．例题2如图，用4个完全相同的边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形拼成了一个“风车”．那么这个风车的周长是多少厘米？【提示】周长就是图形外围一周边的长度之和．练习2用4个完全相同的长和宽分别为10厘米、4厘米的长方形拼成如下图形．那么这个图形的周长是多少厘米例题3现有两个完全相同的各边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形纸片．（1）能拼成几个不同的等腰三角形几个不同的平行四边形（2）画出拼成后的每个图形，它们的周长分别是多少厘米【提示】动手拼拼看．练习3用两个完全相同的各边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形纸片，可以拼成几个不同的等腰三角形几个不同的平行四边形三角形是由三条线段首尾顺次相连得到的，是几何图案的基本图形．那么任意三条线段都能拼成一个三角形吗？动手试一试吧！例题4下面每组线段都可以拼接成一个三角形吗？可以的，在这组线段后面的括号中打“√”，不可以的，则在对应的括号中打“×”．【提示】三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．练习4下面每组线段都可以拼接成一个三角形吗可以的，在这组线段后面的括号中打“√”，不可以的，则在对应的括号中打“×”．（1）1厘米，3厘米，7厘米． （ ） （2）2厘米，5厘米，7厘米． （ ） （3）2厘米，6厘米，4厘米． （ ） （4）5厘米，8厘米，9厘米． （ ） （5）4厘米，4厘米，8厘米． （ ） （6）6厘米，7厘米，7厘米． （ ）例题5（1）一个等腰三角形的两条边的长度分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长可能是多少？（2）一个等腰三角形的两条边的长度分别是4厘米和9厘米，那么这个三角形的周长可能是多少【提示】利用三角形的组成条件，先判断三角形第三边是多少，再求周长．例题6周长是12厘米，各边长都是整数的等腰三角形有几种？（1）（2）（3）（ ） （ ） （ ）【提示】等边三角形属于等腰三角形吗？课堂内外错觉一般说来，两个相等的图形，如果一个在内部包含某个图形，而一个被包含在某个图形的内部，那么被包含的图就会显得比较大．下图就说明了这种错觉，右边的内圆显得比左边的外圆更大些，尽管它们实际上是一样大的．下面这个图更突出了这种错觉，两个本来相等的圆，右边的显得比左边的更大．作业1.下图中共有几个三角形几个长方形几个菱形几个平行四边形2.用四个完全相同的长和宽分别是5厘米和1厘米的长方形拼成如下图形，这个图形的周长为多少厘米3. 用3个完全相同的长和宽分别是3厘米和2厘米的长方形，可以拼成几个不同的长方形它们的周长分别是多少厘米4. 判断下面每组线段是否可以拼接成一个三角形．可以的，在对应的横线上打“√”；不可以的，在对应的横线上打“×”． （1）3厘米，6厘米，2厘米．________ （2）8厘米，8厘米，8厘米．________ （3）5厘米，1厘米，4厘米．________ （4）9厘米，5厘米，9厘米．________5. （1）一个等腰三角形的两条边长度分别是6厘米和10厘米，那么这个三角形的周长可能是多少厘米（2）等腰三角形的两条边长度分别为3厘米和8厘米，那么这个三角形的周长可能是多少厘米．15。

并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：
说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信.
解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：
1 2 3 4 6 8 9 12
144 72 48 36 24 18 16 12
可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求.
例5 12枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个？
解：列举出两种硬币的可能搭配：
可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币.
例6 小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能？
解：把4封信编号：1，2，3，4.
把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.
10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；
333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数.
由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.
例4 两个整数之积为144，差为10，求这两个数？
下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图（个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.
解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.
注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.

第十讲 整数的分拆整数 4有多少种不同的分拆方式？枚举 4=1+1+1+1=1+2+1=2+2=1+3一共有4种。

从1—9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？11=2+9=3+8=4+7=5+6，一共有4种。

把整数10分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+3+5一共有4种。

将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5 一共有7种。

某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各1枚，如果他想买一件7分钱的商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分、15分的商品呢？他又该如何付款？7=1+2+4，9=1+8，10=2+8，13=1+4+8；14=2+4+8；15=1+2+4+8。

（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组，如果不考虑顺序，那么和为10的三元自然数组有多少个？【注意：“不考虑顺序”的意思是指如（1，1，8）与（1，8，1）是相同的三元自然数组】挑战例题例1 例2 例3 例4例5 例6 分析解答分析解答分析解答分析解答 分析解答10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4 一共有8种。

有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好，现有200块糖要分发给5个人，请你帮助想一个吉利的分糖方案。

200=88+88+8+8+8 这样就可以表示成都是8的数了。

七只箱子分别放有1个，2个，4个，8个，16个，32个，64个苹果，现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法?87=64+16+4+2+1 事实上，每一个数都可以用1，2，4，8……这样一组数列组合而成。

四、基准数法 （1）计算：23+20+19+22+18+21 解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每 个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1 =120+3=123 6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加 了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再 减去“1”，以此类推. （2）计算：102+100+99+101+98
99+98+97+96+95=97×5=485
（2）9+99+999=10+100+1000-3
=1110-3=1107
5.解：（1）5+6+7+8&5+10+15+20+25+30+35
=20×7=140
（3）9+18+27+36+45+54
=（9+54）×3=63×3=189
第一讲速算与巧算 一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的 和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带 着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑 整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和， 再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以 凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2 减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运 算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算 19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1.

第十讲几排几座生活中我们经常遇到这样的问题，去看电影你要根据电影票来找你的位置，上课的时候你要根据老师的要求找对自己的座位等.这些问题里面也蕴涵着一些数学问题，如根据自己座位的位置怎样计算全班的总人数类似的一些问题.解答这些问题需要一定的数学方法，在这节课中我们将一起来学习，在解决这类问题的时候老师要引导学生结合画图来进行分析.课前复习1.同学们排成一行做操，从前面数小红是第6人，从后面数小红是第11人，这行一共有多少人?2.同学们排成一排，李红从左向右排在第5个，王亮在她右边和她间隔3个人，王亮从右向左数排在第6个，这一排一共有多少个同学?3.在体育课上32名同学排成一排，从左起往右数，王明是第8个；从右起往左数，李霞是第9个，王明和李霞之间有多少个同学？【分析】秋季我们已经学过简单的排队问题，今天这节课我们将在排队的基础上，进一步研究方阵等一些问题，因此上课前我们对之前所学知识做一个复习.（1）6+11-1=16（人），这行一共有16人.（2）5+3+6=14（人），这一排一共有14个小朋友.（3）32-8-9=15（人），王明和李霞之间有15个同学.同学们进教室上课，每个人都有一个座号，如果要让人知道你坐的位置，就要说清楚你的座位是几排、几座，你能说说你的座位在哪里吗？进电影院看电影，看着电影票上的几排、几座，你能找到自己的位置吗？同学们在操场上排队，如果排成方阵，知道了自己站的位置，你能算出全班的总人数吗？今天这节课我们就一起来研究这些问题.找位置【例1】按要求画图形.(1) 第4排第4格内画○.(2) 第1排第2格内画◇.（3）第3列第2格内画△.【分析】每个图形的位置由两个方面的要求确定.第(1)题，我们可以先找到第4排，横着数是排.再找第4格，竖着第4列.在右下角的格子内画上○.同样的方法做第(2)题，先找到第1排，再找到第二格，画上◇.第(3)题，先找到第3列，再找到第2格，画上△.拓展练习按要求画图.1．第2列第3格内画◇.2．第3排第4格内画○.3．第4排第1格内画☆.【例2】下图是一个棋盘形居住小区的示意图.每一小圆圈表示一栋楼房，由北向南数各排依次称为第1排，第2排，……第8排；从西往东数依次称为第1栋，第2栋，……第8栋.每栋之间的通道相距100米.小明家住2排7栋，小亮家住7排3栋，图书馆在3排2栋，你能分别找出小明、小亮的家和图书馆的位置吗？算一算，小明和小亮谁去图书馆更近？【分析】先标出小明与小亮家的位置如图所示，在这里一定要弄清楚排和栋的意思，先找在第几排，横着来看；再找在第几栋，竖着来看.最后来计算小明和小亮家到图书馆的距离，小明家到图书馆最少要600米，小亮家到图书馆最少要走500米，所以小亮到图书馆的距离更近一些.【例3】小聪去看电影，他的座位号比10少8，排数是座位号的3倍，你知道他的座位是第几排第几座吗?【分析】先求比10少8的数：10-8=2.即座位数为2.再求2的3倍，2×3=6，即排数为第6 排.小聪坐在第6排第2座.【例4】星期天，小狗买了两张电影票，立刻打电话给小猫：“今天下午2时，请你到儿童电影院看电影，我在座位上等你.”“好，我在几排几座?”小猫高兴地说.小狗马上说：“你的排数，十位数字减去个位数字等于十位数字除以个位数字；你的座号，十位数字加个位数字等于十位数字乘以个位数字.”小朋友，你知道小猫的座位是几排几座吗?【分析】先看座位的排数是两位数，“十位数字减个位数字等于十位数字除以个位数字”，只有4-2=4÷2，可知排数的十位数字是4，个位数字是2，排数是：42.再看座号，“十位数字加个位数字等于十位数字乘以个位数字，”只有2+2=2×2，说明座号的十位数字和个位数字都是2，座号是22.因此，小猫的座号是第42排22座.【例5】爸爸乘飞机去北京开会，领到登机牌时发现自己的座位在第二十几排，排数的个位数字等于十位数字的2倍.座位号都是用a、b、c、d、e、f代替1、2、3、4、5、6.爸爸座位的字母号对应的数字正好等于排数两个数字之和.请问爸爸的座位是第几排什么字母座?【分析】座位在二十几排，可见排数的十位数字是2，个位数字是十位数字的2倍，那么个位数字应该是4，爸爸的座位在第42排.再来看座位号，爸爸座位的字母号对应的数字正好等于排数两个数字之和，那么座位号对应的数字应该是4+2=6，6对应的字母是f，因此爸爸的座位是第42排第f座.拓展练习妞妞到图书室借《蓝猫警长》，管理员要她自己去取，书柜数是一个两位数，它的十位数字是个位数字的2倍，柜数是层数的7倍，每个书柜层数不超过5层.妞妞应到第几柜第几层去找《蓝猫警长》这本书?【分析】书柜数是一个两位数，它的十位数字是个位数字的2倍，那么这个书柜的编号可能是：21，42，63，84，再来看书会放在哪一层，柜数是层数的7倍，每个书柜层数不超过5层.只有21÷7=3，符合条件.因此《蓝猫警长》这本书应该放在第21柜第3层.【例6】一只猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠.这只猫自言自语地说：“我要分三次吃掉它们，我先让它们站好队编号，我从第一只开始吃，然后隔一只吃掉一只；吃完后我让它们不许动，第二次还是从剩下的第一只吃起，隔一只吃一只；第三次也是照这个办法吃，把最后一只放了.”猫的话被聪明的小白鼠听见了，于是它很快选好了一个位置，最后没有被吃掉.小朋友，你知道小白鼠选的是第几号位置吗?【分析】因为每隔一只吃一只，我们可以分析出猫每次会吃哪些老鼠：第一次吃的老鼠是：1，3，5，7，9 ，11；还剩下：2，4，6，8，10，12；第二次吃的老鼠是：2，6，10；还剩下：4，8，12；第三次吃的老鼠是：4，12；还剩下：8最后剩下的排在第8的老鼠会被放掉，所以小白鼠就站在了这排的第8个.方阵与队列【例7】影院门前人如海，进院对号坐下来，正数我坐13排，倒数还是13排，出个题目你猜猜，影院座位有几排?【分析】一个人在电影院里坐的座位从前排往后排数是13排，从后排往前数，也在13排，根据这两个条件可求出这个电影院里一共有多少排座位.我们可以想，正数我坐13排，就是说他的前面有12排，倒数也是13排，就是说他的后面也有12排，再加上他坐的这一排，就可以求出共有多少排了.还可以这样想，正数13排，他坐的这一排算进去了，倒数13排，他坐的这一排也算进去了，这样他坐的这一排就重复算了一次，减1就可以算出电影院里共有多少排座位了.解法一：(13-1)+(13-1)+1=25(排)解法二：13+13-1=25(排)答：电影院里座位有25排.【例8】四队同学做早操，每队人数都一样，小燕前面八个人，倒着数来她第八，共有几人做早操，小燕站在第几行?【分析】上面的歌谣，要我们求做操的总人数和小燕站在第几行.这个队伍有四列，每列人数都一样多关键要求出每列有多少人.从“小燕前面八个人”，可知小燕站在第九个位置，即第九行.从“倒着数来她第八”．可知她后面有七个人.从而可求出每列有多少人了.每列人数：8+8=16(人)或9+7=16(人)做操人数：16×4=64(人)小燕站的行数为：8+1=9(行)答：共有64人做早操，小燕站在第9行.拓展练习同学排队做早操，小红站在正中央，从前往后她第5，从后往前也第5，从左往右她第5，从右往左还第5，细心的同学算一算，共有几人做早操？【分析】从前往后她第5，从后往前也第5，可求出一共有5+5-1=9（行）；从左往右她第5，从右往左还第5，可求出一共有5+5-1=9（列）；一共有同学9×9=81（个）.【例9】小朋友排成十字做早操，小明前面4个人，后面5个人，左边6个人，后面4个人.一共几人做早操？【分析】例8和例9要注意区分，例8是排成方阵，例9是排成“十”字，那么就只有一排和一列，如图所示.小明前面4个人，后面5个人，可以计算出这列有：4+5+1=10（人）同学，左边6个人，后面4个人，可算出这排有6+4+1=11（人）同学，而横着数和竖着数时，小明多数了一次，在计算总人数的时候应该减掉.一共有10+11-1=20（人），或者10+4+6=20（人），或者4+5+1+6+4=20（人）.【例10一天，小花猫去找小狗妮妮玩.看见好多小狗排了一个方阵图形的队伍在做形体训练.小花猫一眼就看到了妮妮，它站的位置是它的前边有3只小狗，它的后边也有3只小狗，它的左边有4只小狗，它的右边也有4只小狗.小朋友，你知道方阵中共有多少只小狗吗?小花猫要找的那只小狗妮妮是第几行第几列呢?【分析】妮妮的前边有3只小狗，它的后边也有3只小狗，一共有几行呢？3+3+1=7（行）；妮妮的左边有4只小狗，它的右边也有4只小狗，一共有几列呢？4+4+1=9（列）；一共有多少只小狗呢？7×9=63（只）.小狗妮妮站在第4行第5列.总结方法：要求方阵的总人数，一般用行数×列数=总人数.【例11】学校准备在正方形的操场上进行队列训练，要求四个角上各站1名同学，每边共站6个同学，那么这次一共有多少个同学参加训练？【分析】每边各站6个同学，一共并不是需要24个同学，因为四个角上站的同学既属于所在的列又属于所在的行，被重复计算了2次，所以应从24里面减掉.所以一共有4×6-4=20（个）同学.【例12】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多少人？【分析】学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了11人，那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个.现在每行的人数是：（11+1）÷2=6（人），共6×6=36（人）.拓展练习某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人?【分析】方阵外层每边有（36+4）÷4=10人，共10×10=100人.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）军训的学生进行队列表演，排成了一个10行10列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人?【分析】一行一列各10人，顶点处重复.10×2-1=19人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把多算的一次减掉.游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人?【分析】外层13×4-4=48人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48-8=40人，共88人.同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学.每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人?【分析】一共有几行？列式：4+6+1=11（行）一共有几列？列式：5+3-1=7（列）一共有多少人？列式：11×7=77（人）练习十1. 森林里正准备召开运动会，熊大伯是裁判长.运动会开始了，熊大伯宣布：“运动会现在开始，请各代表报告人数.”一只小猴登上前台：“报告裁判长!小猴代表队的运动员排成了一排，我和小弟、小妹是这一排的最后三个人，报完数后，我们三人报的数加起来的和是24.”小朋友们，你知道共有几只小猴参加运动会吗?【答案】7+8+9=24，所以一共有9只小猴参加了运动会.2. 一群小猴排成整齐的队伍做操，队伍是一个方阵.长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴.长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴.小朋友，你能算出有多少只猴在做操吗?【答案】一共有多少行？列式：5+5+1=11（行）；一共有多少列？列式：4+4+1=9（列）一共有多少只猴子？11×9=99（只）3. “六一”前夕，学校举行画展，把展出的画挂成一排，卉卉的画从左往右数挂在第16位，彤彤的画从右向左数挂在第10位，彤彤的画挂在卉卉的左边，中间隔着2幅画，这次画展一共展出多少幅画?【答案】方法一：从右往左数卉卉在第几位？列式：10-3=7（位）；这次画展一共展出多少幅画?列式：16+7-1=22（位）.方法二：从左往右数彤彤在第几位？列式：16-3=13（位）这次画展一共展出多少幅画?列式：13+10-1=22（位）.方法三：16+10-2-1-1=22（位）4. 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【答案】每行：（13+1）÷2=7（人），总人数：7×7=49（人）.5.三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人?【答案】每行：（32+4）÷4=9（人），总人数：9×9=81（人）.别看它是一条黑母牛，牛奶一样是白的.珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮.有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意.珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，"珍妮，你昂起头来真美！"老师爱抚地拍拍她的肩那一天，她得到了许多人的赞美.她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了.自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐.温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得可爱--人人都喜欢的那种可爱.。

第十讲我是推理小能手【精品】推理是一年级知识体系中较难的一个知识点，本节课把我们学过的几种推理问题（等量代换、图形推理、语言推理）进行系统的复习.让学生感知到这几种不同类型问题的相通，进而能更好的掌握推理的一般方法.特别是等量代换，老师要引导学生找到解决问题的突破口，从突破口推断出等式的未知数，从而得到正确答案.数学乐园森林里有三间一模一样的房子，主人分别是小鹿、小猴、小兔.为了让大家能找到它们，所以就把写有自己名字的牌子挂在自己家门上.有一只狡猾的狐狸，把它们房子的牌子都换了，这时牌子和里面的主人都对不上号.这可怎么办啊？小狗还想去找小猴玩儿呢，动动脑，有办法了，聪明的小狗对狐狸说：“我只需要敲响一间房子的门，知道里面是谁，就能把门牌恢复原样了.”狐狸不相信小狗的话，结果当小狗敲开第一家门，看见这个房子的主人后，很快就把门牌换回来了.小朋友，你知道小狗是怎么做的吗？【教学思路】门牌调换后，现在的门牌和屋子的主人对不上号.屋子的主人是不变的，只有门牌被调换了.如图：假如小狗敲第一家，里面住的是小鹿，那么我们就可以把标有小鹿的门牌找回来.这时还剩下小兔和小猴的牌子要重新挂.看第三幅图，挂有小猴门牌的房子里面住的肯定不是小猴，那就是小兔.最后剩下的房子肯定就是小猴的了.在进行推理的时候，老师要结合图片来进行直观的分析.小朋友们，你们一定非常敬佩那些神勇无比的大侦探吧！不管什么时候他们都能抓住问题的关键，顺藤摸瓜很快找到问题的结果.遇到问题的时候，其实只要我们也能抓住问题的关键，一步步去推理分析，我们也能跟大侦探一样，很快的解决问题.今天这节课我们就从这些小小的数学问题开始吧！等式推理求出下列各图形表示的数各是多少？【教学思路】（1）◇+◇+◇=6，◇=2；口-◇=16，那么口-2=16，口=( 18 )．（2）☆-4=12，☆=16；○+☆=20，那么○+16=20，○=4；●+○=19，那么●+4=19，●=( 15 )．（3）因为■=4个◇，■=1个◆+2个◇.所以1个◆=4个◇-2个◇=2个◇.（4）把☆+⊙+⊙+⊙=21和☆+⊙+⊙+⊙+⊙=27进行比较，第二个式子比第一个式子左边多了一个⊙，右边多了6.所以⊙=6.因为☆+⊙+⊙+⊙=21，所以☆+6+6+6=21，☆=3.已知：求：相信自己，你是最棒的！已知：◇+◇+◇=6，口-◇=16，求：口=( )．已知：☆-4=12，○+☆=20，●+○=19，求：●=( )．已知：■=◇+◇+◇+◇，■=◆+◇+◇，求：◆=( )个◇．已知：☆+⊙+⊙+⊙=21，☆+⊙+⊙+⊙+⊙=27，求：☆=( )，⊙=( )．【教学思路】由，可以判断＞.又因为，我们可以来试一试.当=1时，=8.1+8=9不等于11.当=2时，=9.2+9=11.符合.所以=2，=9.拓展练习已知：求：【答案】把两个式子的左边和右边进行比较，左边第二个式子比第一个式子多了一个菠萝，右边多了2千克.所以一个菠萝等于2千克.在下面的“？”处再放几瓶酸奶才能使天平保持左右平衡？【教学思路】因为1瓶小可乐=2杯酸奶，那么2瓶小可乐=4杯酸奶.又因为1瓶大可乐=2瓶小可乐+1杯酸奶，那么1瓶大可乐=4杯酸奶+1杯酸奶=5杯酸奶，所以5杯酸奶-3杯酸奶=2杯酸奶，再放2杯酸奶才能使天平保持左右平衡.拓展练习1、根据下面的已知条件，你知道1个苹果的重量等于多少个草莓的重量吗？【答案】1个橘子的重量=2个草莓的重量，那么2个橘子的重量=4个草莓的重量.因为1个苹果的重量=2个橘子的重量，所以1个苹果的重量=4个草莓的重量.2、在下图中“？”处放几个球才能使天平保持左右平衡？【答案】“？”处应该放2个球才能使天平保持左右平衡.图形推理下面的空格里应画上什么样的图案？【教学思路】前两行中每行3个脸型都分别是、、，所以第三行的第三个脸型应该画.再来看眼睛和嘴巴，第一行的眼睛和嘴巴都是一样的，第二行的眼睛和嘴巴也都是一样的.所以第三行的眼睛和嘴巴也应该一样，那么最后空格里面的图案应该是.想一想第三幅图应怎么画？【教学思路】我们发现这四幅图中，每个区域的图形个数是一样的，即：.不同的是每个区域里面的图形不一样.在这四幅图中，每幅图中都有、、、这四个图形.从第二幅图起，这四种图形按顺时针方向旋转.根据这一规律，第三幅图应画：.拓展练习1、在下图的“？”处画上适当的图形.【答案】我们发现前两行的图形，第二个方块中的图形减去第一个方块中的图形就是第三个方块中的图形.根据这个规律，“？”处应该画：.2、根据上面图形的变化规律，下面A～D答案中，哪个应该是第四个图形？【答案】应该选择B.语言推理“小百灵”四人合唱组由乐乐、笑笑、闹闹、哈哈组成.已知乐乐不是年龄最小的；哈哈不是最大的，但比乐乐大；闹闹不比其他三人大.请你把他们四人的年龄从大到小排一排.【教学思路】由“闹闹不比其他三人大”知道闹闹比其他三人都要小，所以闹闹是最小的.由“哈哈不是最大的，但比乐乐大”我们可以推出哈哈不是最大的，而是第二大的，乐乐是第三大的.那么很显然笑笑是最大的，则把他们按从大到小的顺序排一排应是：笑笑＞哈哈＞乐乐＞闹闹.在首届动物全能体操比赛中，参赛的6个小动物的成绩是这样的：（1）小鹿比小狗的分数少；（2）小兔比小猴的分数多，但比小鹿的分数少；（3）小松鼠没有小鹿、小兔的分数多，但比小猴的多；（4）小狗的分数比小青蛙的又要少一些.请你当一回裁判，给这些小动物排队列，你认为谁是冠军？谁是亚军？谁是季军？谁是最后一名？【教学思路】由“小鹿比小狗的分数少”我们知道小狗的分数排在小鹿的前面.由“小兔比小猴的分数多，但比小鹿的分数少”“小松鼠没有小鹿、小兔的分数多，但比小猴的多“我们可以推出排在小鹿后面的依次是小兔、小松鼠、小猴.最后由“小狗的分数比小青蛙的又要少一些”，可知小青蛙应该排在第一.这样这六个小动物排列的顺序应该是“小青蛙、小狗、小鹿、小兔、小松鼠、小猴”.冠军是小青蛙，亚军是小狗，季军是小鹿，最后一名是小猴.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）从左往右观察下图，你认为第四幅图应是A～D中的哪一个？【教学思路】第一幅图从上往下看有5个图案，去掉倒数第二个图就是第二幅图；第二幅图去掉倒数第二个图就是第三幅图；第三幅图去掉倒数第二个图就应该是第四幅图，所以第四幅图应该选择D.在下图中的“?”处放上几个小，才能使天平保持左右平衡?【教学思路】因为1个=3个，那么2个=6个.又因为2个=2个+2个，所以2个=6个－2个=4个．1个=2个．即：在“?”处放上2个才能使天平保持左右平衡.在李叔叔、王叔叔、张叔叔三个人中，有一位是教师，有一位是医生，有一位是职员.现在知道：（1）张叔叔比职员的年龄大：（2）李叔叔和医生不同岁；（3）医生比王叔叔的年龄小.请你想一想：谁是教师，谁是医生，谁是职员？【教学思路】由（2）和（3）可以得出：李叔叔不是医生，王叔叔也不是医生，所以张叔叔才是医生.由（3）可知：医生年龄＜王叔叔年龄，也就是：王叔叔年龄＞医生的年龄.则王叔叔年龄＞张叔叔年龄.又由（1）可得：王叔叔年龄＞张叔叔年龄＞职员年龄，所以职员一定是李叔叔，最后王叔叔一定是教师.练习十1. 求出下面算式中每个图形所表示的数．已知：△+△+△=10-1，求：△=( 3 )；已知：●=○+○+○+○，○=5，求：●=( 20 )；已知：12+■+■=20，求：■=( 4 )；已知：☆+●-●=25+10，求：☆=( 35 )．2.在下面的“？”处再放几个，才能使天平保持左右平衡？【答案】“？”处再放4个，才能使天平保持左右平衡.3. 根据前几幅图的规律，接着在“?”处方格里画图形．【答案】因为前三组图每组中都有“△”和“口”两个图形，“△”的个数后一组总比前一组少2个，“口”的个数后一组总比前一组多1个，所以接下去应画4个“口”，“△”不再画．即：4. 找规律.在第四幅图中的空白处画上合适的图形．【答案】前三幅中每个图都有““和“△”，从第一幅图开始，每个小图形按照顺时针方向移动一个位置．所以，第四幅图中应画：5. 同学们刚刚做完体检，李老师问四位同学的身高：丁丁说：“我比牛牛高．”依依说：“牛牛比我高．”齐齐说：“我比依依矮4厘米.”请你把这四位同学的身高按从高到矮的顺序排一排．【答案】这四位同学的身高按从高到矮的顺序是丁丁、牛牛、依依、齐齐．因为：由条件①可知：丁丁>牛牛；由条件②可知：牛牛>依依；由条件③可知：依依>齐齐；所以连在一起是：丁丁>牛牛>依依>齐齐．6.小白、小花和小灰，三只小兔子的年龄不相同.小灰说：“我不是最大的．”小花说：“我不是最大的但也不是最小的．”它们三只小兔子谁最大?谁最小?【答案】由小花说的，可以推出小花应在中间，是第二大的．由小灰说的，可以推出灰兔不是最大的，第二大的又是小花，所以灰兔是最小的，最后确定三个小动物中小白是最大的．老师，辛苦了！谁也别出声小敏、小慧今天又做了一个有趣的游戏在这个游戏中每人都要画圆圈，用圆圈组成一个三角形（图1）.这个游戏规定“谁也别出声.”它的意思就是：在游戏中谁也不能发出声音，谁说话了，他就停罚一次掷骰子.游戏的方法是这样的：1.两人轮流掷骰子，根据骰子数画圆.例如，小慧掷得3，画出第三排的3个圆.小敏掷得5，画出第五排的5个圆（图2）.2.如果骰子点数与前面重复了，可以把这个数分解，再按照分解的数画圆.例如，小慧又掷得3，3可以分成1加2，她就可以画第一排和第二排.如果第一排和第二排也已经画好了，她只得放弃这一次机会.3.谁先无声地用圆圈画成三角形，他就是胜利者.小朋友，你也找一个小伙伴，一起试着玩玩这个游戏，一定会觉得挺有趣味的.。

二年级目录第1讲数数中的枚举 (2)第2讲趣味乘法 (5)第3讲趣味除法 (8)第4讲乘法计数 (11)第5讲剪拼图形 (14)第6讲代换综合 (17)第7讲生活中的枚举 (21)第8讲解应用初步 (24)第9讲平面图形计数进阶 (27)第10讲一笔画游戏 (30)第11讲巧算加减法进阶 (33)第12讲图形规律进阶 (35)第13讲数列规律进阶 (39)第14讲有趣的植树问题 (42)第15讲合理安排 (45)第16讲巧填算符进阶 (49)第17讲摆小棒 (51)第18讲逆向思维初步 (54)第19讲排队的学问 (57)第20讲解应用进阶 (60)第1讲数数中的枚举例题1有一个三位数，其中十位数字比百位数字大4，个位数字又比十位数字大4，这个三位数是多少？练习1十位上的数字比个位上的数字大2，写出所有符合条件额两位数？例题2十位上的数字与个位上的数字相差2，写出所有符合条件的两位数？练习2有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字正好相差4，把所有符合条件的数全部写出来？例题3在50以内（包括50），十位上的数字比个位上的数字大两位数一共有多少个？在60以内（包括60），十位上的数字比个位上的数字大两位数一共有多少个？例题4像17和71这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数是一家人，他们相加的和是88，请问像这样的相加和为99的一家人有好多对？练习4像16和61这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数是一家人，他们相加的和是77，请问像这样的相加和为77的一家人有好多对？例题5自然数21，654，7521这些数有一个共同的特点，相邻两个数字，左边的数字大于右边的数字，我们取名为“下降数”。

用4，6，7，9这四个数字，可以组成多少个“下降数”？练习5自然数12，135，1349这些数有一个共同的特点，相邻两个数字，左边的数字小于右边的数字，我们取名为“上升数”。

用6，6，7，8这四个数字，可以组成多少个“上升数”？有一些自然数，像121，2442这样，从左往右和从右往左读是相同的，我们把这样的数称作“回文数”，那么在三位数中，一共有多少这样的“回文数”？练习6像1001这样，从左往右和从右往左读是相同的，我们把这样的数称作“回文数”，那么在1000到2016之间有多少个“回文数”？名师点拨一、定义1.数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个。

从第一行拿1个放到第二行,两行的个数同样多,第二行应摆几个？第一行：第二行：师：现在,一起看一下第一行有多少个橙子？生：第一行有8个橙子。

师：第二行怎么一个橙子都没有？生：第二行的橙子需要我们自己画。

师：我们一起来读下题目。

生：［读题］师：读完题目之后,说说你是怎么想的？生：我认为第二行应该画8个,这样两行的个数就是一样多的。

师：还有哪位同学来发表一下你的看法？把小手举高,让老师看到。

生：……师：同学们,都说了自己的看法,老师在这里就不一一说了。

我们一起来做下题目,看看他们的想法到底对不对。

从题目中,我们已知的条件是什么？生：拿一个橙子到第二行,两行的个数同样多。

师：既然知道了已知条件,要求的问题是什么？生：第二行应摆几个。

师：我们一起来看看,要从第一行拿一个橙子放到第二行,是不是要移动一个橙子？跟老师一起来移一移,移动一个橙子到第二行,那么第一行还剩多少个橙子？生：还剩下8－1=7［个］。

师：第一行只有7个橙子了,而第二行有1个橙子,这时候,为了两行的数量同样多,那么我们第二行还需要几个橙子？生：第一行有7个,第二行只有1个,那么就还需要7－1=6［个］橙子。

师：所以,我们的第二行应该画几个橙子？生：画6个橙子。

师：知道移动的数量和两行相同的个数,我们就很容易知道应该移动多少个。

翻开书,我们一起来做下练习题。

板书：8-1=7［个］7-1=6［个］答：第二行应摆6个。

练习1：［6分］第二行移动2个笑脸到第一行,两行的笑脸数量会一样多,第一行应有多少个笑脸？第一行：第二行：板书：18－4×2=10［片］答：米德原来有10片枫叶。

（三）例题5［选讲］：阿派和卡尔有一些方糖,卡尔给阿派5块后,卡尔比阿派还多2块。

原来卡尔比阿派多多少块方糖？师：先一起来看下题目,这道题和上面的题目一样吗？生：一样,但是又不一样。

师：相同点是什么？生：和例题3一样都是求原来谁比谁多多少。

师：那不同点呢？生：题目中多了一个条件。

第十讲等式的加法和减法这节课我们要给学生介绍一种新的解题方法-----等式加减消元法。

在这类题中有两个或多个未知数需要我们求解。

对于二年级的孩子来说，这是比较难解的，那么我们就要找到低年级孩子能够理解和接受的方法，把复杂的问题简单化。

这节课的重点就是让学生理解和应用这种方法，通过等式的加、减先消掉一个未知数，求出另一个未知数，再根据数量关系求出被消掉的这个未知数。

因为方法比较抽象，所以我们的教学内容先用学生比较熟悉的图形算式来介绍总结这种方法，然后再自然过渡到我们的生活实际中去，这样可以让学生真正理解和应用所学知识。

白鼠先生和蓝皮鼠在跳蚤市场上交易，白鼠先生说：“你可以拿2条鱼和6块糖换我3个面包，或者拿2条鱼和9块糖换我的4个面包.”蓝皮鼠想了想，觉得不划算，于是他打算只拿糖去换白鼠先生的面包.请你算一算，蓝皮鼠的33块糖能够换到白鼠先生的多少个面包？【说明】开课的时候，通过讲故事来激发孩子学习的热情，营造一个思考的空间.这道题可放在学习完了今天的内容以后，再让学生独立思考.同学们，我们已学过两个数的加减法，你听说过两个等式也可以相加减吗？两个等式相加或相减，可以得到一个新的算式.这种做法能够解答许多比较复杂的问题.今天这节课我们就跟蓝皮鼠一起来学习这种方法吧！＊图形等式新解＊【例1】已知：○+△=16○-△=2求：○=（）△=（）【分析】观察这两个等式，我们发现它们的不同在于，上一个算式是“+△”，下一个算式是“-△”.这样我们可以把这两个等式左边与右边分别相加，加上一个△和减去一个△正好抵消，得到一个新的等式：○×2=18，○和△就容易求出来．解答如下：算式（1）和算式（2）相加．因为○×2=18，所以○=18÷2=9．又因为○+△=16，所以△=16-9=7．（或根据等式○-△=2，得△=9-2=7．）【例2】已知：□+△=10□+△+△=13求：△代表几?□代表？【分析】观察这两个等式，我们发现第二个算式比第一个算式多一个“△”，这样把这两个等式左边与右边分别相减，左边加上一个“□”和减去一个“□”正好抵消，再加上一个“△”和减去一个“△”也正好抵消，右边13-10=3，最后还剩一个△=3，这样进一步就能求出“□”了.解答如下：用算式(2)一算式(1)，得到：因此△=3；又因为口+△=10，所以口=10-3=7.所以，△代表3，□代表7.拓展训练1、下面的等式中，△和○各代表一个数，各是多少?△+○=15△-○=3【答案】△=（9 ）○=（ 6 ）2、下面的等式中，◇和口各代表一个数，各是多少?◇+◇+□=15◇+□=9【答案】◇=（6 ）□=（ 3 ）【例3】已知：□+□+△=16 (1)□+□+△+△+△=24 (2)求：□=? △=?【分析】第(2)个等式比第(1)个等式多8，是因为多了两个“△”．所以可以用(2)式一(1)式得到一个新的等式：△+△=8．口与△也就容易求出来了．解答如下：用(2)式一(1)式：因为2个△=8，所以△=8÷2=4．又因为□+□+△=16，□+□+4=16，□+□=16-4=12，所以□=12÷2=6．拓展训练已知：☆+☆+☆+△+△=22△+△+☆+☆+☆+☆+☆=30【答案】☆=( 4 ) △=( 5 )【例4】已知：○+○+△=10 (1)○+△+△=11 (2)求：○=（）△=（）【分析】观察这两个算式，我们知道未知数只有○和△，那么可以把等式左右相加就得到新的算式：3个○+3个△=21，也就是说○+△=7，把这个算式的得数代入到算式（1）和算式（2）里面就可以分别求出○和△的得数了.解答如下：用算式(1)+算式(2)，得：因为3个○+3个△=21，所以○+△=21÷3=7.把(1)中的○+△换成7，得：○+7=lO，所以○=10-7=3；把(2)中的○+△换成7，得：7+△=11，所以△=11-7=4；所以，○代表3，△代表4.【例5】已知：□+△=5(1)△+○=6(2)□+○=7 (3)求：三种图形各代表几?【分析】在这三个不同的图形里，我们知道每两个图形相加的和，如果也求出这三个图形相加的和，就能分别求出这三个图形所代表的数了.解答如下：把已知的三个等式相加，得：所以□+△+○=9 （4）（算到这里，求这三种图形各代表几的方法就很多了.我们只需要把算式（1）（2）（3）的结果，带到算式（4）里面就可以分别求出了.）根据(1)式，可以把(4)式中的口+△换成5，得：5+○=9 ○= 9-5=4把○=4代入(2)中，得：△+4=6 △=6-4=2把○=4代入(3)中，得：□+4=7 □=3所以，○代表4，△代表2，□代表3.拓展训练已知：○+☆=7○+□=8☆+□=11【答案】○= ( 2 ) ☆=( 5 ) 口=( 6 )＊生活中的数学＊【例6】小玲买了一枝圆珠笔和2本练习本共用去3元钱，又知道一枝圆珠笔比2本练习本多1元．问小玲买一枝圆珠笔多少钱?【分析】根据题目的意思，可得到两个等式：l枝圆珠笔+ 2本练习本=3元l枝圆珠笔一2本练习本=1元把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，这样就能很快求出一枝圆珠笔的价钱了．在前面已经有了图形等式计算的经验，现在变换成文字就容易了许多.解答如下：把两个等式相加：因为2枝圆珠笔4元，所以l枝圆珠笔为4÷2=2(元)答：小玲买1枝圆珠笔是2元．拓展训练小玲买了一枝圆珠笔和2本练习本共用去7元钱，又知道一枝圆珠笔比2本练习本少1元．问小玲买一枝圆珠笔和一个练习本各多少钱?【答案】根据题目的意思，可得到两个等式：2本练习本+ l枝圆珠笔=7元2本练习本一l枝圆珠笔=1元把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，这样就能很快求出一本练习本的价钱了．把两个等式相加：因为4本练习本是8元，所以l本练习本为8÷4=2(元)又因为2本练习本+l枝圆珠笔=7元所以一枝圆珠笔=7-2×2=3（元）答：小玲买1枝圆珠笔是3元，l本练习本是2元.【例7】益民小饭店第一次买了2千克肉和3千克鱼用去27元，第二次买了来4千克肉和3千克鱼用去39元．请你算一算肉、鱼每千克各多少元?【分析】根据题意，可列出两个等式：第一次：2千克肉+3千克鱼=27元(1)第二次：4千克肉+3千克鱼=39元(2)从式中可看出，第二次比第一次多用去了39-27=12(元)，是因为第二次比第一次多买了2千克肉．可以用(2)式一(1)式得到一个新的等式，问题就很容易解决了．解答如下：用(2)式一(1)式：因为2千克肉的价钱是12元，所以l千克肉的价钱是12÷2=6(元)；又因为2千克肉+3千克鱼=27元，所以3千克鱼=27-12=15元，1千克鱼价钱是15÷3=5(元)．答：肉每千克6元，鱼每千克5元．拓展训练已知5个苹果与3个梨的重量和是350克；2个苹果与3个梨的重量和是230克.求1个苹果和1个梨各重多少克?(假设每个苹果、每个梨的重量分别相等)【答案】由题意有：由(1)式一(2)式得所以，1个苹果重40克，1个梨重50克.【例8】草地上有许多兔子，数一数黑兔与白兔一共6只，黑兔与灰兔一共7只，白兔与灰兔一共5只．问草地上三种兔子各多少只?【分析】根据题目的意思，可以得到三个等式：黑兔+白兔=6只黑兔+灰兔=7只白兔+灰兔=5只这也是一道复杂的数学问题，需要等式的多次加与减，才能解决问题．我们在计算的过程中，可以让学生回顾例5的计算方法.解答如下：先把三个等式的左边与右边分别相加起来.所以黑兔+白兔+灰兔=18÷2=9(只) (4)再用（4）式－（1）式：同理用(4)式－(2)式，可得白兔=2(只) I用(4)式一(3)式，可得黑兔=4(只) l答：草地上黑兔有4只，白兔有2只，灰兔有3只．白鼠先生和蓝皮鼠在跳蚤市场上交易，白鼠先生说：“你可以拿2条鱼和6块糖换我3个面包，或者拿2条鱼和9块糖换我的4个面包.”蓝皮鼠想了想，觉得不划算，于是他打算只拿糖去换白鼠先生的面包.请你算一算，蓝皮鼠的33块糖能够换到白鼠先生的多少个面包？【解答】根据题意，可列出两个数量关系式：2条鱼+6块糖→3个面包2条鱼+9块糖→4个面包用下面的式子减去上面的式子，可得3块糖可以换1个面包，那么，33块糖可以换成33÷3=11（个）面包.【附1】已知：☆+☆+☆+△+△=13☆+☆+△+△+△=12☆=( 3 ) △=( 2 )【分析】用上一个等式加下面一个等式，就得到一个新的等式：5个☆+5个△=25，那么☆+△=5.把它代入到第一个式子就能求出：☆=13-5×2=3，代入第二个式子就能求出：△=12-5×2=2.【附2】下列式中梨、苹果与橘子各代表一个数，请你算出来．梨+梨+苹果+橘子=13梨+苹果+苹果+橘子=12梨+苹果+橘子+橘子=11【分析】先把三个等式相加：所以，梨+苹果+橘子=9，把这个算式代入到第一个算式中，梨=13-9=4（个），代入到第二个算式中，苹果=12-9=3（个），代入到第三个算式中，橘子=11-9=2（个）.【附3】买5本漫画书与8本故事书要花57元，买8本漫画书与8本故事书要花72元.那么要单买6本漫画书要花多少钱？【分析】根据题意，可列出两个等式：5本漫画书+8本故事书=57（元）8本漫画书+8本故事书=72（元）用下面的式子减去上面的式子得到：3本漫画书=72-57=15（元）那么，6本漫画书=15×2=30（元）【附4】小林家养了一只大白兔和一只小花猫，有一天，小林抱着大白兔站在体重计上称一称，正好是12千克，后来小林放下大白兔，又抱起小花猫站在体重计上称一称，正好是10千克；最后小林把大白兔和小花猫一起放在体重计上称一称是4千克．请问小林、大白兔和小花猫各是多少千克?【分析】根据题意，得到下面三个等式，相加：小林+大白兔=12千克（1）小林+小花猫=10千克（2）+）大白兔+小花猫=4千克（3）（小林+大白兔+小花猫）×2=26个所以，小林+大白兔+小花猫=13（千克）（4）再用（4）式－（1）式：小花猫重是13－12=1（千克）（4）式－（2）式：大白兔重是13－10=3（千克）根据（1）式，得小林重是12-3=9（千克）练习十1. 已知：□一△=6，□+△=24.求：□=( 15 )，△=( 9 ).2. 已知：△+○=16，△+△+△+○=36.求：△=( 10 )，○=( 6 ).3. 已知：○+○+□=16，□+□+○=17.求：○=( 5 )，□=( 6 ).4. 一件上衣与两条裤子的总价是500元，这件上衣比这两条裤子的价钱贵100元.求：一件上衣多少钱?一条裤子多少钱?（两条裤子是一样的）【答案】根据题目的意思，可得到两个等式：1件上衣+ 2条裤子=500元1件上衣一2条裤子=100元把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，2件上衣=600（元），1件上衣=600÷2=300（元）.1条裤子=（500-300）÷2=100（元）答：一件上衣300元钱，一条裤子100元钱.5. 7个篮球与4个排球共值145元钱，5个篮球与4个排球共值115元钱.求：1个篮球多少钱?1个排球多少钱?【答案】根据题意，得到下面两个等式，并相减：7个篮球+4个排球=145元-）5个篮球+4个排球=115元2个篮球= 30元所以1个篮球=40÷2=15（元）又因为7个篮球+4个排球=145元所以1个排球=（145-15×7）÷4=10（元）答：1个篮球15元，1个排球10元.6. 有红、黑、白三种颜色的球.红的黑的合起来是10个，红的白的合起来是7个，黑的白的合起来是5个，三种球各有多少个?【答案】根据题意，得到下面三个等式，并相加：红的+黑的=10个（1）红的+白的=79个（2）+）黑的+白的= 5个（3）（红的+黑的+白的）×2=22个所以，红的+黑的+白的=22÷2=11（个）（4）用（4）式-（1）式得：白色的球是11-10=1（个）（4）式-（2）式得：黑色的球是11-7=4（个）根据（1）式得：红色的球是10-4=6（个）答：红色的球6个，白色的球1个，黑色的球4个.底片与照片小慧可喜欢照相了.现在，她又和小伙伴一起坐在大榕树下，老师给他们拍集体照.每次她拿到照片时，不但要欣赏那美丽的画面，还爱琢磨：底片中的白色部分，冲洗后将变成黑色；而黑色部分冲洗后又变成了白色.那么，左面这张底片冲洗以后，得到的是哪一张照片呢？请小朋友告诉她，是照片1还是照片2？。