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运筹学_最小费用流问题

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实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题

实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题

北京联合大学实验报告项目名称: 运筹学专题实验报告学院: 自动化专业：物流工程班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩：2015 年 5 月 6 日实验三:使用matlab求解最小费用最大流算问题一、实验目的：(1）使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。

二、实验用仪器设备、器材或软件环境计算机，Matlab R2006a三、算法步骤、计算框图、计算程序等1.最小费用最大流问题的概念。

在网络D(V，A）中，对应每条弧(vi，vj)IA，规定其容量限制为cij(cij\0)，单位流量通过弧(vi，vj）的费用为dij(dij\0)，求从发点到收点的最大流f，使得流量的总费用d（f)为最小,即mind（f）=E（vi，vj）IA2。

求解原理。

若f是流值为W的所有可行流中费用最小者，而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为（W+E)的可行流中的最小费用流.根据这个结论，如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f 的最小费用的可扩充链。

为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E（f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi，vj)均变成两个方向相反的弧（vi,vj)和(vj，vi)1新图E（f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E（f)中各弧的权值定义为：新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij。

为了使E（f）能比较清楚，一般将长度为]的弧从图E(f）中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知，在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链，等价于在图E（f）中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f）中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。

1.最小费用流算法的框图描述。

图一2.计算最小费用最大流MATLAB源代码，文件名为mp_mc.mfunction[Mm，mc，Mmr]=mp_mc（a，c）A=a; %各路径最大承载流量矩阵C=c; %各路径花费矩阵Mm=0; ％初始可行流设为零mc=0； %最小花费变量mcr=0;mrd=0；n=0;while mrd~=inf %一直叠代到以花费为权值找不到最短路径for i=1:（size(mcr’，1)—1)if a(mcr（i）,mcr(i+1）)==infta=A(mcr（i+1)，mcr（i）)—a(mcr(i+1）,mcr（i））； elseta=a（mcr(i）,mcr（i+1));endn=min（ta,n）；％将最短路径上的最小允许流量提取出来endfor i=1：(size（mcr’，1）-1）if a(mcr(i),mcr(i+1））==infa(mcr（i+1),mcr(i））=a（mcr（i+1）,mcr（i))+n；elsea(mcr（i），mcr(i+1）)=a(mcr(i），mcr(i+1)）—n；endendMm=Mm+n；％将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量 for i=1：size（a，1）for j=1：size（a’，1）if i～=j&a（i，j）～=infif a(i，j)==A(i,j） %零流弧c（j，i）=inf;c(i,j）=C（i，j)；elseif a（i,j)==0 %饱合弧c（i,j）=inf;c(j，i）=C(j，i)；elseif a(i，j)~=0 %非饱合弧c（j，i）=C（j，i)；c（i,j）=C(i,j)；endendendend［mcr,mrd]=floyd_mr（c) %进行叠代，得到以花费为权值的最短路径矩阵(mcr）和数值（mrd）n=inf;end％下面是计算最小花费的数值for i=1:size(A,1)for j=1：siz e(A’，1)if A(i,j）==infA（i，j）=0;endif a（i，j）==infa(i,j)=0；endendendMmr=A—a； %将剩余空闲的流量减掉就得到了路径上的实际流量，行列交点处的非零数值就是两点间路径的实际流量for i=1：size(Mmr，1）for j=1:size(Mmr’，1)if Mmr(i，j）~=0mc=mc+Mmr(i，j）*C(i,j)；％最小花费为累加各条路径实际流量与其单位流量花费的乘积endendend利用福得算法计算最短路径MATLAB源代码,文件名为floyd_mr。

最小费用最大流问题的算法_运筹学_[共7页]

最小费用最大流问题的算法_运筹学_[共7页]

∑ ∑ cij − cij 。称 Δ（c μ）是沿增广链 μ 当可行流增加单位流值时费用的增量。简称为增广链 μ
u+
u−
的单位费用增量。
可以证明，若 X 是流量为 （f X）的所有可行流中费用最小者，而 μ 是关于 X 的所有增广
链中费用最小的增广链，则沿 μ 去调整 X ，得到的可行流 X ′ 就是流量为 （f X ′）的所有可行流
中的最小费用流。这样，当 X ′ 是最大流时，它也是我们所要寻找的最小费用最大流了。
注意到 cij ≥ 0 ，故 X = 0 必是流量为 0 的最小费用流。这样，总可以从 X = 0 开始。一般 地，若已知 X 是流量 （f X）的最小费用流，为了寻求关于 X 的最小费用增广链，我们构造一
个赋权有向图 D（X），它的顶点是原网络 D 的顶点，而把 D 中的每一条弧（vi，v j）变成两个相
反方向的弧（vi，v j）和（vj，vi），定义 D（X）中弧的权 wij′ ：
wij′
=
w（′ vi
,v j）=
⎧⎪⎨⎪⎩c+i∞j ,若,若xijxi<j =wwij ij
，
w
′
ji
=
w（′ v
j，vi）=
⎨⎪⎩⎧⎪+−∞cij，，若若xxijij
> 0
0
在 D（X）中长度为 +∞ 的弧可以略去。
故在网络 D 中寻找关于 X 的最小费用增广链就等价于在赋权有向图 D（X）中，寻找从 v1 到 vn 的最短路。这样，我们有如下算法。
第 6章 图 与 网 络 分 析
181
运
筹
Step1 确定初始可行流 X (0) = 0 ，令 k := 0 ；

运筹学最小费用最大流流问题

运筹学最小费用最大流流问题
第五节 最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图

(典型例题)《运筹学》运输问题

(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ

从运筹学角度分析制造企业运输环节最小费用问题

从运筹学角度分析制造企业运输环节最小费用问题
关键 词 ： 制造企业 ； 运输 问题 ； 表上作业法 ； 最小费用 彼得 ・ 德鲁克在题为 《 经济的黑暗大陆》一文 中指出 ，消费 运 输路 径 的 对 比 以及 合 理 规划 一 般 可 以 找 到一 条 最 经济 的运 输路
者 所 支 付 商 品价 格 的 约 ５ ％ 是 与 商 品流 通 活 动 有关 的 费 用 。 目 ０ 径 使 得 企 业 特 定 产地 到特 定市 场 的运 输 距 离 基 本 确 定 。 在运 距 确 前 ，我 国 许 多 商 品 的 总 成 本 中 ，物 流 费 用 仍 然 占到 ２％ 一 ４ ％， 定 的 情 况 下 企 业 应尽 量减 少空 驶 及 避 免 频 繁 停 车 ， 高 运 行速 度 ０ ０ 提 每 年 因 装 卸 运 输 造 成 的 损 失 约达 ５ ０ 元 。 美 国的 物 流 成 本 资 以 有 效 降 低 运输 费用 。 ０亿 从 料 中可 以 看 出 ， 输 成 本 约 占物 流 总 成 本 的 ３ ％，且 这 一 比 重 仍 运 ０ 市场需求量对于一般生产企业来说是一个相对客观的因素 ，
层 次 ，以达 到 绿 色 物 流 的 要 求 。所 以 需 要 综 合 考 虑 主 客观 两 方 面 的运 输 服 务 应 该 是 在 运 输 距 离 固 定 的 情 况 下 ，追 求 运 输 商 品 数 量 的最 大 化 。
因 素 来优 化 企 业 运 输 方 案 ， 以有 效 降 低 企 业 运输 成 本 。
通 常 是 一 定 的 ， 此 可 以 根 据 产 品 的可 靠 性 、 度 选 择 包 装 材 质 因 密 和 运 输 方 式 ， 其 在 运输 过程 中 的损 坏 率 达 到 最 小 ，同时 量 身 定 使 的 运 输 费 用 达 到最 小 。

最小费用最大流问题

最小费用最大流问题

近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。

运筹学基本问题

运筹学基本问题
运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它主要研究以下基本问题：
1. 线性规划问题：如何在一定的约束条件下，使目标函数达到
最大或最小值。

2. 整数规划问题：如何在决策变量为整数的情况下，使目标函
数达到最大或最小值。

3. 非线性规划问题：如何在目标函数和约束条件不是线性的情
况下，使目标函数达到最大或最小值。

4. 动态规划问题：如何在决策过程中考虑到未来的影响，使目
标函数达到最优值。

5. 网络流问题：如何在网络中寻找最短路径、最小费用流等问题。

6. 决策分析问题：如何在不确定的情况下，采取最优的决策。

这些基本问题是运筹学的核心内容，通过这些问题的研究和应用，可以在商业、工业、军事等领域中取得效益和成果。

- 1 -。

运筹学课件最小费用流问题概要


vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩s
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
v1
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
1）
（0，10，3）
v2
v3
第一次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P

《运筹学》第三章 运输问题


二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个

运筹学第三章 运输问题

则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称 产销不平衡。首先讨论产销平衡问题。
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
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定义 对网络G=(V,E,C,d ), 有可行流 f , 保持原网络各点, 每条边用两条方向相反的有向边代替, 各边的权lij按如下 规则： ： dij 当 f ij < c ij 1. 当边 (vi , vj) ∈E, 令 lij = +∞ 当 f ij = 0 ( 其中+∞的意义是: 这条边已饱和, 不能再增大流量, 否则 要花费很高的代价, 实际无法实现, 因此权为+∞的边可从 网络中去掉. ) 2.当边 (vj , vi) 为原来G中边(vi , vj) 的反向边, -dij 当 f ij > 0 令 lij = +∞ 当 f ij = 0 (其中+∞的意义是此边流量已减少到0, 不能再减少, 权为 +∞的边也可以去掉. ) 这样得到的网络 L( f ) 称为长度网络 (将费用看成长度). 长度网络
i j
特别地, 当要求 f 为最大流 此问题即为最小费用最大流 最大流时, 最大流 最小费用最大流 问题。 可行流, 定义 已知网络G=(V, E, C, d), f 是G上的一个可行流 µ 可行流 为从v s到v t的(关于 f 的)可增广链 d (µ) = ∑ d i j - ∑ d i j 可增广链, 可增广链
作 业
阅读 p174 p160 - 166 6.12(c). .
图示运输网络, 求流量v为10的最小费用流 的最小费用流, 例 图示运输网络, 求流量 为10的最小费用流, 边上括号为 ( c i j , d i j ) . v
(10,4) vs (8,1)
1
(10,0) vs (8,5)
1 L(vs→ vt ) = 4 (7,1) 4 vt vt vs (2,6) 2 6 (5,2) (4,2) 1 2 v2 (10,3) v3 v2 v3 3 (b) L ( f (0) ) (a) v1 v1 -1 L(vs→ vt ) = 4 (7,5) (10,4) 1 vt vt vs 1 (5,5) (2,0) (－2) (2,6) － (0,0) (2,2) -1 v2 (10,0) v3 v2 (10,3) v3 (c) f (1) W( f (1))=5 (d) L ( f (1) )
§5最小费用流问题 已知容量网络G=(V,E,C), 每条边 i , vj)除了已给出容量 ij 每条边(v 除了已给出容量 已知容量网络 除了已给出容量c 还给出了单位流量的费用 费用d 外, 还给出了单位流量的费用 ij(≥0), 记G=（V, E, C, d). （ 使得流量W(f)=v, 且总费用最小 且总费用最小. 求G的一个可行流 f ={fij}, 使得流量 的一个可行流 d ( f ) = (v ∑ ) ∈Ed i j f i j ,v
v1
d (f (1)) = 5×1+5×2+ 5×1= 20 × × ×
(10,4) vs (8,1)
v1
16续 例16续 (7,1) v1 7 W( f
(2) )=7
2 vt vt (2,6) vs d (f (2)) = 5 (2,0) (5,2) (4,2) 5 × × (0,2) 4×2+5×1+ v2 (10,3) v3 v2 0 v3 5×2+7×1= 30 × × (a) (e) f (2) v1 v1 -4 W (f (3))=10= v -1 7 2 vt v vt vs 4 -2 6 s 1 5 0 d (f (3)) = 8 2 3 -1 2×4+8×1+ × × v2 v3 v2 v3 3 3 (f) L( f (2) ) (g) f (3) 5×2+3×3+ × × 3×2+7×1= × × L(vs→ vt ) = 6 f (3) 即为所求 为 即为所求v为 30 10的最小费用流 的
对偶算法基本步骤: 对偶算法基本步骤: 零流为初始可行流 ⑴ 取零流 初始可行流 即 f (0) = {0} . 零流 初始可行流, 流量为W( 长度网络L( ⑵ 若有 f (k-1), 流量为 f (k-1) ) < v , 构造长度网络 f (k-1)). 长度网络 的最短路. ⑶ 在长度网络L( f (k-1))中求从 vs 到 vt 的最短路 若不存在 最短路, 则 f (k-1)已为最大流, 不存在流量等于v的流, 停止; 否则转⑷. 转 可增广链µ上, ⑷在G中与这条最短路相应的可增广链 可增广链 做 f (k) = f (k-1)θ 其中θ=min{min(cij - f i(k-1) ),min f i(k-1) } , µµ j j +
µ
此时 f (k)的流量为 W (f (k-1)) +θ, 若W (f (k-1)) +θ = v则停, 则 返回⑵ 否则 令 f (k) 代替 f (k-1) ，返回⑵. 定理 若 f 是流量为W( f )的最小费用流, µ是关于f 的从 vs到vt的一条最小费用可增广链, 则f 经过μ调整流量 θ 得 到新可行流 f ’(记为 f ’ = fµ θ), 一定是 一定是流量为 新可行流 W( f )+θ 的可行流中的最小费用流 最小费用流。 最小费用流
µ+ µ-
称为链µ的费用 链 的费用 的费用。
图中的可增广链µ中 图中的可增广链 中 v5 vs 3 5 v1 v2 4 v3 1 7 v4 6 v t 边上权为费用d i j
µ+ : {(vs , v1), (v2 , v3), (v3 , v4), (v5 , vt), } µ - : {(v2 , v1), (v5 , v4) } 链µ 的费用 d (µ) = (3+4+1+6) - (5+7)ห้องสมุดไป่ตู้= 2 是从v 所有可增广链中费用最小的链, 若µ+是从 s到vt所有可增广链中费用最小的链 则称μ+为最小费用增广链。 最小费用增广链。
对偶算法的基本思路: 对偶算法的基本思路: 的最小费用流 先找一个流量为 W ( f (0) < v ) 的最小费用流 f (0) , 再找从 可增广链µ, 再找从 v s 到 v t 可增广链 用最大流法将 f (0)调整到 f (1), 使f (1)流量为 W (f (0)) +θ, 是在W 流量下的最小费用流 且保证 f (1) 是在 (f (0))+θ流量下的最小费用流, 流量下的最小费用流, 为止。 不断进行到 W (f (k)) = v 为止。 在G中求关于 f 的最小费用可增广链等价于 最小费用可增广链等价于 最小费用可增广链等价于在长度网络 L( f ) 中求 从 v s 到 v t 的最短路 最短路.