数系的扩充和复数的概念
一、内容和内容解析
1.内容
数系的扩充和复数的概念
2.内容解析
《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容，大纲课时安排一课时。主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.
在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式，学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数，什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么.
本节课让学生在经历一系列的思维活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）使学生体会数的概念是逐步发展的，初步体会引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；
（2）理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类;
（3）在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中，激发学生勇于探索创新的精神，提高学生的创新思维和应用意识．
2.目标解析
（1）学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.
（2）作为新学知识，理解复数的基本概念，掌握复数有关知识，为今后学习奠定基础，承上启下.
（3）通过问题设置，引领学生追溯历史，提炼数系扩充原则，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中.
三、教学问题诊断分析
学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有：
1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.
2.由于学生的认知能力有限，学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.
3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.
在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，采用已学过的数集的认识历程，让学生体会数系的扩充是生产实践的需要，介绍数的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程．
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用图片展示数系学习历程，另外通过演示，体会复数从无到有的发展过程.
五、教学过程分析
（一）课题引入
多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”，引入课题.
设计意图：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，展示本节课学习的意义.
（二）复习回顾
1.已经学习了哪些数集？
2.回顾数的学习历程
情境一一年级数学第一节《数一数》
情境二三年级（上）数学第八节《分数的初步认识》
情境三三年级（下）数学第七节《小数的初步认识》
情境四六年级数学第一节《负数》
情境五七年级数学第六节《实数》
师：我们回顾了对数系的认识历程，我们看到数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数，请你思考：
（1）人们为什么不断地扩充数系？
师：从上述过程可以看出，满足社会实践的需要，是数系扩充的一个
重要原因．正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的．
另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！例如，求下列方程的解：x+3=1；3x−2=0；x2−2=0．如果没有数系的合理扩充，这些方程的解就是一个问题，数学本身也不可能协调的发展．
因此，数学源于社会实践又服务于社会实践，问题或数学矛盾是数学发展的动力．
（2）数学扩充的一般原则是什么？
师：数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律．
设计意图：通过梳理数系的学习历程，体会数系扩充的必要性，了解数系扩充前后的联系，为后面学习做好铺垫.
（三）问题导引
师：数系的扩充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的数系又是什么呢？
情境六与数学家的对话 16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了：
10=(5+√−15)+(5−√−15)，
40=(5+√−15)(5−√−15)．
师：这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢？这两个表达式有什么问题？又包含了有哪些“合理”的成分，没有让数学家们一巴掌把它拍死？
师：的确，虽然16世纪实数理论还没有完善，但任何一个（实）数的平方
都是一个非负数，或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的．这里√−15是什么？他有什么意义吗？是√−15个苹果还是√−15斤棉花？你卡尔达诺能说
清楚吗？
不过，另一方面，根据当时还不太严谨的运算法则，这两个式子好像也
没什么大的问题（先不管√−15是什么，和为10，积为40也是明显的），至
少就数学论数学来说，还马马虎虎有点意思，不能因为看不顺眼就拍死它吧？
设计意图：以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性.
（四）问题探究
提出1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“i maginary” .（“想象中的数”,虚数）
迷茫“……，它大概是存在和虚妄两界中的两物”．
——德国数学家莱布尼茨“……我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”
——瑞士数学大师欧拉
发展1777年，欧拉在其论文中首次用符号“i ”表示√−1，称为虚数
单位．
1832年，德国数学家高斯第一次引入复数概念，一个复数可以用
a＋b i来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位
完善1837年哈密顿用有序实数对(a，b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，把实数看成特殊的复数，建立
完整的复数系．
复数的概念 1.形如a+b i(a,bϵR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位
2.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示
