dd05-春-04s-p03等积变换

第三讲等积变换例1、你能否将任意一个三角形分成（1）三个面积相等的三角形。

（2）四个面积相等的三角形。

例2、试试将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为1：3：4。

分析：首先要理解面积之比的意思，三个三角形面积之比为1：3：4，可以理解为这个大三角形的面积可以看成是八份（1＋3＋4＝8），将其分成三个三角形使它们各占八份中的一份、三份、四份。

由于八分之四等于二分之一，占四份的那个三角形其实就是大三角形的一半。

我们可以先将这个大三角形二等分，得到占四份的三角形，再将另外半个三角形进行四等分，其中的四分之一就是总面积的八分之一，而剩下的就是八分之三那部分。

图6给出了一种分法，请同学们结合例1给出一些不同的分法。

例3、如图7，在梯形ABCD中，两条对角线AC＝BD，相交于点O，求证三角形AOB与三角形DOC面积相等。

分析：这是一道证明题。

首先给大家介绍两个常用的符号，“∵”（因为）和“∴”（所以）。

证明：例4、将图8中的四边形ABCD改成一个等积的三角形。

分析：采用三角形等积变换的方法：连接BD，过A点作BD的平行线AA’,交CB的延长线于A’。

这样便形成了一个梯形AA’BD。

在这个梯形中，△ABD与△A’BD同底等高，面积相等，因此△A’CD的面积与原四边形ABCD的面积相等。

解：例5、如图10，E是长方形ABCD中BC边上一点，△ABE的面积是梯形AECD 面积的一半，已知BC＝9厘米，求BE的长度。

分析：由于三角形ABE是梯形AECD面积的一半，那么三角形ABE就是整个长方形面积的三分之一，又因AB×BE，而长方形ABCD的面积等于为S△ABE=12AB×BC，所以可以通过三角形和长方形的面积关系求出BE的长度。

解：例6、有一块长20米，宽12米的草地，如图（11），草地中间有两条小路，路宽2米，一条是长方形，一条是平行四边形，求有草部分的面积（阴影部分）分析：由于不知道每一块草地的边长，无法直接求出每一小块草地的面积。

我们先看一下平行四边形小路的面积。

平行四边形的面积是底×高，底就是小路的宽度2米，高是长方形的宽12米，因此这个平行四边形的面积与一个长12米，宽2米的长方形相等。

于是，我们可以将这个平行四边形换成一个12米×2米的长方形，再把这两条小路都移到边长上，如图12，这时很容易求出草地部分的面积。

解：例7、一条白色的正方形手帕，边长是18厘米，手帕上横竖各有二道蓝条，如图8所示，蓝条的宽是2厘米。

求手帕中白色部分的面积。

图8图8-1解：将横条移至手帕下方，将竖条移至手帕左方（如图8-1），蓝条所占的总面积不变。

例8、图9是两个面积相等的长方形，图中阴影部分的大小关系是。

①A＞B ②A＜B ③A=B ④无法判断图9解：总结：最常用的是三角形的等积变换，下面是一些基本知识。

（1）由三角形面积公式：底×高÷2可知，三角形的面积与底和高的长度有关。

因此，等底等高的两个三角形面积相等。

（2）两个平行线间的距离处处相等。

（3）如果两个三角形的底在同一条直线上并且相等，该底所对的顶点是同一个点或在与底平行的同一条直线上，那么这两个三角形面积相等。

（4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

等积变换习题1、在图中的梯形ABCD 中，共有八个三角形，它们中哪几个的面积相等？解：2、图2中ABCD 是平行四边形，△ABF 和△DEF 的面积哪个大？3、在图3的△ABC 中，AD 是AC 的12，AE 是AB 的13。

△ABC 的面积是△AED 的几倍？4、如图4所示，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD 。

若△ADE 的面积为1平方厘米，求△ABC 的面积。

5、如图5，E 、F 是长方形ABCD 长和宽的中点。

已知ABCD 的面积是50cm 2，求阴影部分的面积。

图1D CBAo图2DB图3BECDA图4B ECDA 图5CBE DA6、如图6，三角形ABC 的面积是1，且AE=3AB ，BD=2BC 。

求三角形BED 的面积。

7、如图7，三角形ABC 的面积等于1。

将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ，CB 延长2倍到E ，AC 边延长3倍到F 。

求三角形DEF 的面积。

【习题集】1、在下图的平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是所在边的中点。

问：与△BFC 面积相等的三角形有哪些？2、如图10，在三角形ABC 中，BC=8厘米，AD=6厘米，E 、F 分别分AB 和AC 的中点。

求三角形BEF 的面积。

解：3、如图11，将一个三角形（阴影部分）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是小三角形的倍。

图11图6BAC ED图7DFECBA图10D C4、下图中△ABC和△DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，AB=9cm，FC=3cm，求阴影部分的面积。

5、用四个相同的等腰直角三角板相互重叠着拼成如图所示的正方形（单位：厘米），求阴影正方形的面积。

6、如图，在△ABC中，AC=2AE，BD=3DC，已知△DEC的面积是4cm2，求△ABC的面积。

解：7、正三角形ABC的面积是1m2，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形（如右上图），求六边形的面积。

解：8、右图所示的平行四边形周长为30 cm，AE=4 cm，AF=6cm，求平行四边形ABCD的面积。

解：9、如右图所示，把两张同样大的正三角形纸片，一个顶点向上，一个顶点向下叠在一起，得到一个六角星形，已知每个正三角形的面积是18cm2，求六角星形的面积。

解：10、右面九个图中，大正方形的面积分别相等，小正方形的面积分别相等。

问：哪几个图中的阴影部分与图（1）的阴影部分面积相等？解：11、如图，已知BO=2DO，CO=5AO，阴影部分的面积和是11cm2，求四边形ABCD的面积。

解12、如图，在正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，△CDO 的面积是△ABO面积的几倍？解：13、在右图中，ABCD和BEFG是两个正方形，EF长6cm，求阴影部分的面积。

解：【竞赛题选】1、如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点。

如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位。

2、现有一个5×5的方格表（如右图）。

每个小方格的边长都是1，那么图中阴影部分的面积总和等于 。

3、已知一个四边形的两条边的长度和三个角，如下图所示，那么这个四边形的面积是 。

4、如右图11,34BEBC CD AC==，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 的面积的 。

5、下图中三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB ，BD=2BC ，那么三角形BED 的面积是 。

6、如图，长方形ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9。

那么长方形ABCD 的面积是 。

ADEGCFBBECDAAEDCBA7、ABCD 是直角梯形，其上底CD=3，下底AB=9，线段DE 、EF 把梯形分成面积相等的三块S 1=S 2=S 3（如图）。

已知CF=2，那么这个直角梯形ABCD 的面积等于 。

8、一个直角梯形，若下底增加1.5米，则面积就增加3.15平方米；若上底增加1.2米，就得到一个正方形。

这个直角梯形的面积是（ ）平方米。

9、如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与梯形的一条腰CD 平行，AE 与BD 相交于O 点，已知三角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且EC=25BC 。

求梯形ABCD 的面积。

10、如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分。

三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米。

已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。

求梯形ABCD 的面积。

11、如下图，三角形ABC 和三角形DEC 都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形。

三角形ABC 与三角形DEC 的面积比是 。

AEBF2C 3DS 3S 2S1BECDOAB CDA。