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人教A版高中数学必修五同步练测：第一章解三角形.docx

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鑫达捷 第一章 解三角形（必修5人教实验A版）

建议用时 实际用时 满分 实际得分

120分钟 150分

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为（ ）

A.200米 B.300米

C.400米 D.500米

2.线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则行驶( )h后，两车的距离最小．

A. B.

C. D.

3.已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角B=( )

A. B.

C. D.

4.在△ABC中， B＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大内角为( )

A.45° B.60°

C.70° D.75°

5.若△ABC的周长是20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是( )

A.5 B.6 C.7 D.8

6.在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝( )

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）

7.在锐角△ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于 ，AC的取值范为 .

8.在△ABC中， 2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是 .

9.在△ABC中，cos2 B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 .

10.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝ .

11.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 km. 12.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是 n mile.

三、解答题（共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.（16分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.

(1)若c＝2,C＝,且△ABC的面积为,求a,b的值；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A,试判断△ABC的形状.

14.（10分）在△ABC中，已知23a，62c，B=45°，求b及A.

15.（16分）在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABACuuuruuur．

（1）求△ABC的面积；

（2）若6bc，求a的值．

16.（12分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知2bac，且a2－c2=ac－bc，求

∠A的大小及cBbsin的值.

17.（10分）在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,B＝,b＝,a＋c＝4,求a的值.

18.（18分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC = 0.1

km.试探究图中B，D间距离与另外那两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，21.414，62.449）

19.（18分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &

鑫达捷 角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

第1章 解三角形答题纸

得分：

一、选择题

题号 1 2 3 4 5

6

答案

二、填空题

7． 8． 9． 10． 11． 12．

二、解答题

13.

14.

15.

16.

17.

18．

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鑫达捷

第一章 解三角形参考答案

1.C 解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面,则BC=100米，∠BDC=30°，∠BAD=30°，

∴ BD=200米，AB=2BD=400 米．故选C.

2.A 解析：如图所示，设行驶t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD =80t，BE =50t.因为AB =200，所以BD =200-80t，

问题就转化为求DE最小时t的值．

由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°

=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t

=12900t2-42000t+40000.当t =7043时，DE最小．故选A.

3.C

解析：∵

m⊥n，∴

3cos

A－sin

A＝0，∴ tan

A＝3，∴ A＝π3.

∵ acos B＋bcos A＝c sin C，∴ sin A cos B＋sin B cos A＝sin C sin C，

∴ sin(A＋B)＝sin2C，∴ sin C＝sin2C.∵ sin C≠0，∴ sin C＝1.

∴ C＝π2，∴ B＝π6.故选C.

4.D 解析：不妨设a为最大边．由题意得，

ac ＝ sinAsinC＝3＋12，即sinAsin(120°－A)＝3＋12，

∴ sinA32cosA＋12sinA＝3＋12，即(3－3)sin A＝(3＋3)cos A，

∴ tan A＝2＋3，∴ A＝75°.故选D.

5.C 解析：依题意及面积公式S＝12bc sin A，

得103＝12bc sin 60，即bc＝40.

又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c ＝20－a.

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2bc cos 60°

＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.

6.B 解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc ＝2bc－2bc cos A＝12bc sin A，∴ sin A＝4(1－cos A),16(1－cos A)2＋cos2A＝1，∴ cos A＝1517.故选B.

7. 2 ，)3,2( 解析：设,A则B2B，由正弦定理得

,12.sin2sin2coscosACBCACAC

由锐角△ABC得0290045oooo，

又01803903060ooooo，故233045cos22oo，

2cos(2,3).AC

8.等腰三角形 解析一：∵ 在△ABC中，A＋B＋C＝π，

即C＝π－(A＋B)，∴ sin C＝sin(A＋B)．

由2sin Acos B＝sin C，得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &

鑫达捷 即sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.

又∵ －π＜A－B＜π，∴ A－B＝0，即A＝B.∴ △ABC是等腰三角形．

解析二：利用正弦定理和余弦定理

2sin Acos B＝sin C可化为2a·a2＋c2－b22ac＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，

a2＝b2，故a＝b.∴ △ABC是等腰三角形．

9.直角三角形 解析：∵ cos2B2＝a＋c2c，∴ cosB＋12＝a＋c2c，

∴ cos B＝ac，∴ a2＋c2－b22ac＝ac，∴ a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，

∴ △ABC为直角三角形．

10.2 解析：如图所示，在△ABC中，由正弦定理得

6262sin30sin75sin4530boooo()=4，∴ b=2.

11. 7.30 解析：如图所示,依题意有AB＝15×4＝60,

∠MAB＝30°,∠AMB＝45°,

在△AMB中,由正弦定理得＝，解得BM＝30（km）.

12. 70 解析：如图，由题意可得OA＝50，OB＝30.

而AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 120°

＝502＋302－2×50×30×(－12)

＝2 500＋900＋1 500＝4 900，

∴ AB＝70.

13. 解：(1)∵ c＝2,C＝,∴ 由余弦定理＝＋－2abcos C得＋－ab＝4.

又∵△ABC的面积为,∴ absin C＝,ab＝4.

联立方程组解得

(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A,得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A,

即2sin Bcos A＝2sin Acos A,∴ cos A·(sin A－sin B)＝0,

∴ cos A＝0或sin A－sin B＝0,

当cos A＝0时,∵ 0

∴ A＝,△ABC为直角三角形；

当sin A－sin B＝0时,得sin B＝sin A,

由正弦定理得a＝b,即△ABC为等腰三角形.

∴ △ABC为等腰三角形或直角三角形.

14.解：∵ 2222cosbacacB

=22(23)(62)223(62)cos 45°

=212(62)43(31)=8，

∴ 22.b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.

方法一：∵ cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴ 60.A

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【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.2第3课时三角形中的几何计算(含答案)

【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.2第3课时三角形中的几何计算(含答案)

1 第一章 解三角形

1.2 应用举例

第3课时三角形中的几何计算

A级 基础巩固

一、选择题

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝45，则△ABC的面积是( )

A．8 B．6 C．4 D．2

解析：因为cos C＝45，C∈(0，π)，

所以sin C＝35，

所以S△ABC＝12absin C＝12×5×4×35＝6.

答案：B

2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为( )

A．45° B．60° C．120° D．150°

解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccos A，

所以4·12bcsin A＝2bccos A，

所以tan A＝1，

又因为A∈(0°，180°)，

2 所以A＝45°.

答案：A

3．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为( )

A.12 B.32 C.3 D．23

解析：S△ABC＝12AB·AC·sin A＝32.

答案：B

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝π3，当△ABC的面积等于3时，tan C等于(

)

A.3 B．－3 C．－23 D．－2

解析：S△ABC＝12acsin B＝12·1·c·32＝3，所以c＝4，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，

所以b＝13，

所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝－113，

所以sin C＝1213，

所以tan C＝sin Ccos C＝－12＝－23.

答案：C

5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝6，cos A＝78，则△ABC的面积等于( )

3 A.152 B.15 C．2 D．3

解析：因为b2－bc－2c2＝0，

所以(b－2c)(b＋c)＝0，

所以b＝2c.

【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第一章 《解三角形》单元测试题(含答案)

【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第一章 《解三角形》单元测试题(含答案)

1 高中数学必修4第一章 《解三角形》单元测试题

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，则△ABC的形状是( )

A．等边三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角或直角三角形

2．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝45°，则角A＝( )

A．30°或150° B．60°或120°

C．60° D．30°

3．在△ABC中，若a＝52 b，A＝2B，则cos B等于( )

A.53 B.54 C.55 D.56

4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽为(精确到1 cm)( )

A．170 m B．98 m

C．95 m D．86 m

5．在△ABC中，已知cos Acos B＞sin Asin B，则△ABC是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

6．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )

2 A．25 B.5

C．25或5 D．以上都不对

7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )

A．(2，＋∞) B．(－∞，0)

C.－12，0 D.12，＋∞

8．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )

A.922 B.924 C.928 D．92

9．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝π3，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(

新课标A版高中数学必修5：第一章++解三角形+单元同步测试(含解析)

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1 新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略

第一章测试

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．非钝角三角形

解析 最大边AC所对角为B，则cosB＝52＋62－822×5×6＝－320<0，∴B为钝角．

答案 C

2．在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为( )

A．A>B>C B．B>A>C

C．C>B>A D．C>A>B

解析 由正弦定理asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝32.

∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A.

答案 C

3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

A．42 B．43

C．46 D.323

解析 由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b 2 新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略

＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝46.

答案 C

4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA→·BC→的值为( )

A．5 B．－5

C．15 D．－15

解析 在△ABC中，由余弦定理得

cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝25＋49－642×5×7＝17.

∴BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|cosB＝5×7×17＝5.

答案 A

5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )

A．1：2：3 B．1：3：2

人教A版高中数学必修五《第一章解三角形》(A卷)单元检测题.docx

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班级 姓名 分数

一、选择题：（每小题5分，共30分）。

1．ΔABC中, a = 1, b =3, ∠A=30°，则∠B等于 （ ）

A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°

2．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于( )

A．221 B．6 C．221或6 D．23615

3．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )

A．9 B．18 C．93 D．183

4．在△ABC中，A∶B∶C = 1∶2∶3，则a∶ b∶ c等于（ ）

A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶3∶2 D．2∶3∶1

5．△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，5,4ab，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC（ ）

A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定

6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ）

A. 90° B. 120° C.135° D. 150°

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.

7．在△ABC中，若,12,10,9cba则△ABC的形状是_______ __三角形。

8．在△ABC中，B=1350，C=150，a = 5，则此三角形的最大边长为 .

9．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是___ ___。