人教版高中数学必修2《 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率(通用)》公开课教案_4

1 直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

基础卷

一．选择题：

1．下列命题中，正确的命题是

（A）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

（B）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

（C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率

（D）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

2．直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率为

（A）3 （B）－3 （C）33 （D）－33

直线的倾斜角和斜率(3.1.1)

教学目标:

知识与技能[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.

(3) 理解直线的斜率的存在性.

(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论.

教学过程：

（一）直线的倾斜角的概念[来源:]

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

PcbaYXO

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

引入直线的倾斜角的概念:

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,

规定α= 0°.

问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.[来源:学科网]

人教版高中数学必修二学案：3.1直线的倾斜角与斜率（无答案）

1 / 4 3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1．1 倾斜角与斜率

【知识点归纳】

1.直线的倾斜角：

2.直线的斜率：

3.直线的斜率公式：

【典型例题】

题型 一 求直线的倾斜角

例 1 已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）.

A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°

变式训练：

设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l，则1l的倾斜角为（ ）。

A. 45 B. 135 C. 135

D. 当0°≤α＜135°时为45，当135°≤α＜180°时，为135

题型 二 求直线的斜率

例 2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练： 已知过两点22(2,3)Amm, 2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.

题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系

例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）.

A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2

拓展 一 三点共线问题

例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 人教版高中数学必修二学案：3.1直线的倾斜角与斜率（无答案）

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变式训练:

若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（ ）.

A．4,5ab B．1ba C．23ab D．23ab

拓展 二 与参数有关问题

例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

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必修二 3.1 直线的倾斜角和斜率

一、直线的倾斜角

1、直线倾斜角的定义：

当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）

练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )

2、直线倾斜角的范围：

当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o，因此，直线的倾斜角的取值范围为：1800a

按倾斜角去分类，直线可分几类？

3、直线倾斜角的意义

体现了直线对轴正方向的倾斜程度

在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。

思考：倾斜角相同能确定一条直线吗？

相同倾斜角可作无数互相平行的直线

思考：过一点且倾斜角为α能不能确定一条直线？

能。一点+倾斜角→确定一条直线 （两者缺一不可）

注意： (1)直线向上方向；

(2)轴的正方向。

倾斜角倾斜程度2

二、直线的的斜率

思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即

1.直线斜率的定义：

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。

用小写字母 k

表示，即：

2.直线斜率的几种情况：

前进量升高量坡度aktan3

3、由两点确定的直线的斜率

直线的斜率公式：

公式的特点:

(1)与两点的顺序无关;

(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;

(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900

例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

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例2、如图，直线L1的倾斜角α=30。，直线L2垂直于L1，求两直线的斜率。