二元一次方程组含字母系数

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帮你解含字母系数的方程组

在解与二元一次方程组有关问题时,经常会遇到含字母系数的方程组,解此类

题的一般思路是根据条件采用代入求值的方法求得最后结果.常见的有以下几种

类型: 

一、代入求值型一、代入求值型

例1.已知关于x、y的二元一次方程组

{3

5axby

axby+=

-=，

的解是

{2

1x

y=

=，

.求ab

+的

值。值。

解析：由二元一次方程组解的定义，将{

2

1x

y=

=，

代入方程组得代入方程组得

{23

25ab

ab+=

-=，

，再解关于a和b的二元一次方程组，得{2

1a

b=

=-，

。所以ab

+

＝

1. 

二、添加（赋予）条件型二、添加（赋予）条件型

例2.若关于x

、y的二元一次方程组{

25

27xyk

xyk+=

-=，①

，②的解满足方程

1

25

3xy

-=

，那么k的值为的值为 。

解析:观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去，观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去， 由①＋②

得，412xk

=，即3xk

=

③；由①－②得，22yk

=-，即yk

=-④，将③④

分别代入方程1

25

3xy

-=，得1

32()5

3kk

´-´-=，解得5

3k

=。

例3.如果方程组{

352

23xyk

xyk+=

=＋，①

＋②

的解x

，y的和为2，求k的值及方程

组的解。组的解。

解析:由①－②得22xy

+=③，③，

将2xy

+=与③联立方程组{

2,

22xy

xy+=

+=

，

2 / 2

解得{

2,

0x

y=

=，

将x

，y

的值代入②得k

＝4. 

解此类题首先要观察方程组的特征，解此类题首先要观察方程组的特征，采取加减或代入的方法进行消元，采取加减或代入的方法进行消元，采取加减或代入的方法进行消元，使之使之

变形为二元一次方程组，从而求得最后结果。

三、同解型三、同解型

例4.已知关于x

、y

的二元一次方程组{

5,

27axby

axby+=

+=

与方程组{

237

324xy

xy+=

-=，

的解相同，求a

和b

的值。的值。

解析：观察第二个方程组可发现能直接解得x

專題：關於含字母係數的方程(組)的有關問題

◆類型一 利用二元一次方程的概念求方程(組)中的字母係數

1．若(a－3)x＋y|a|－2＝9是關於x、y的二元一次方程，則a的值為________．

◆類型二 利用二元一次方程的解求方程中的字母係數

【方法點撥】把解代入方程，得到關於未知係數的方程(組)，解這個方程(組)即可求出方程中未知係數的值．

2．若x＝3，y＝－2是關於x、y的方程ax＋y＝7的解，則a＝________．

3．若關於x，y的方程mx＋ny＝6的兩組解是x＝1，y＝－1和x＝3，y＝1， 則mn的值為________．

◆類型三 利用二元一次方程組的解求方程組中字母的值

一、有關常數項為含有字母a的式子的方程組，其解為另一個二元一次方程的解

【方法點撥】三種解題思路：①把a看作常數，求方程組的解，再代入第三個滿足的方程中求a；②已知方程組中消去a，再與第三個方程組成方程組；③已知方程組適當加減變形，整體代入【如T4(2)】．

4．已知關於x，y的方程組x＋y＝5＋a，2x－y＝1－4a.

(1)若其解滿足方程x－y＝－2，求a的值；

(2)若其解滿足方程x－2y＝1，求a的值．

二、利用二元一次方程組的解求看錯問題中的字母係數

【方法點撥】把解代入未看錯的方程中，得到關於字母係數的方程或方程組．

5．小穎解方程組ax＋2y＝7，cx－dy＝4時，把a看錯後得到的解是x＝5，y＝1，而正確解是x＝3，y＝－1，請你幫小穎寫出原來的方程組．

三、求被遮住的方程組的未知係數

【方法點撥】先設出它們的係數，再把方程的解代入，從而求出要求的未知數的係數，這種方法叫“待定係數法”，是數學中常用的一種方法．

6．小明給小剛出了這樣一道數學題：如果我將二元一次方程組2x＋□y＝3①，□x＋y＝3②的第①個方程中y的係數遮住，第②個方程中x的係數遮住，並告訴你x＝2，y＝1是這個方程組的解，你能求出原來的方程組嗎？

1 如何求二元一次方程（组）中的字母系数

如何求二元一次方程（组）中的字母系数，是七年级学生经常碰到的问题，它比单纯解二元一次方程组要求高，学生往往对此求解的思想方法理解不到位，解决问题错误率较高，本文就此问题进行归纳总结，以期帮助大家对二元一次方程（组）相关知识加深理解，培养学生的整体思想、转化思想、分类思想和正向逆向思维能力．

1．根据二元一次方程的定义求字母系数

例1 当m满足____时，方程(m－1)x＋y＝5是关于x、y的二元一次方程．

变式1 方程mx－2y＝x＋5是关于x、y的二元一次方程时，则m______．

变式2 当m满足____时，方程(m－1)x2m＋y＝5是关于x、y的二元一次方程．

设计意图 正确理解二元一次方程的定义．

2．根据二元一次方程组的解求字母系数

例2 已知关于x、y的方程组45axbybxay的解是21xy，求a＋b的值．

分析 根据二元一次方程组解的意义，把21xy代入原方程组，就可得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可求出．

解 已知二元一次方程组的解为21xy，则其满足两个二元一次方程．

代入45axbybxay得到2425abba

从而解得12ab，∴a＋b＝3．

另解（特殊方法）已知方程组的解为

21xy，代入2425abba

得到2425abba

将两个方程相加，可得

3a＋3b＝3（a＋b）＝9，故a＋b＝3．

设计意图 运用逆向思维强化二元一次方程（组）解的意义，同时，另解渗透了整体

2 思想．

3．根据二元一次方程组的解相同求字母系数

例3 已知关于x、y的方程组374xyaxby与523bxayxy有相同的解，求a、b的值．

1 含字母系数的一元二次方程常见错解剖析

河北省滦平县第二中学（068250）许志儒

一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。具体表现主要有以下几方面：

一、忽视二次项系数a0导致字母系数取值范围扩大

例1. 已知关于x的一元二次方程axax2212210有实根，求a的取值范围。

错解：因为方程有实根，所以△≥0

即4241022()()aa

解得a54

剖析：由一元二次方程的定义知：a210。

而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为：

依题意得：aaa2221042410()()

解得a54且a1

（注：例1等价于：已知关于x的方程axax2212210有两个实数根，求a的取值范围）

二、忽视△≥0导致错解

例2. 已知：xx12、是方程xkxkk222350的两实根，求xx1222的最大值。

错解：由根与系数的关系得：

xxkxxkk12122235，

所以xxxxxx1222122122

kkkkkk22351065192222

所以当k5时，xx1222有最大值19。

剖析：当k5时，原方程变为xx27150，此时△＜0，方程无实根！错因是忽略了△≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故△≥0，即：

()kkk2435022

解得443k

2 所以当k4时，xx1222有最大值18。

三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小

例3. 已知关于x的方程kxkxk22110，当k为何值时，方程有实数根？