11.1对弧长的曲线积分
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11.1对弧长的曲线积分
《高等数学》
同济 高等数学 精品课
第11章 曲线积分与曲面积分curvillnear integral and
surface integral
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第一节
第一类曲线积分
问题的提出对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算
几何意义与物理意义小结 思考题 作业3
第十章 曲线积分与曲面积分
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对弧长的曲线积分
一、问题的提出实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M s
分割 M1 , M 2 , , M n 1OA
By
L( i , i ) M iM1 M 2
M n 1
M i 1 si
取近似 取 ( i , i ) si , M i ( i , i ) si
x
求和
M ( i , i ) sii 1 n
n
近似值精确值4
取极限 M lim ( i , i ) si 0i 1
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对弧长的曲线积分
二、对弧长的曲线积分的概念设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列M1 ,
M 2 , , M n 1
1.定义
把L分成n个小段. 设第i个小段的y
长度为 si ,又( i , i )为 第i个小段上任意取定的 ②作乘积 f
( i , i ) si , 一点, ③ 并作和 f ( i , i ) si ,i 1 n
( i , i ) M i
L
M n 1
B ④ 如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
O
A
M1 M 2
M i 1
si
x5
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对弧长的曲线积分 n
注意: 被积表达式都定义在曲线上, si f ( i , i ) 即满足曲线的方程 . i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 记作 第一类曲线积分. 被积函数
L f ( x, y )ds, 即n
f ( i , i ) si L f ( x, y )ds lim 0 i 1积分弧段弧元素L
积分和式
曲线形构件的质量 M ( x , y )ds6
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对弧长的曲线积分
2. 存在条件
当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上 连续,对弧长的曲线积分3.
推广 L f ( x, y )ds 存在.
函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 上 对弧长的曲线积分为
f ( x , y , z )ds lim f ( i , i , i ) si 0i 1
n
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对弧长的曲线积分
注意(1) 若 L (或 )是分段光滑的, ( L L1 L2 )
L L1
2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )dsL1 L2
(对路径具有可加性)
( 2) 函数f ( x , y )在 闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
L f ( x, y )ds8
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对弧长的曲线积分
4. 性质 (1)
L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L
(2)
L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数) L ⌒ f ( x, y )ds ( AB )L
(⌒ BA)
(3) 与积分路径的方向无关, 即f ( x , y )ds 同济 高等数学 精品课
对弧长的曲线积分
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分 , y ) 在一条光滑(或分段光滑)的 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积 曲
线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则 分曲线L的对称性.
L f ( x, y )ds1
当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数 0 , 2 f ( x , y )ds ,
当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数
L
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.
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对弧长的曲线积分
例
计算 ( x y )ds . 其中L是圆周 x 2 y 2 R 2 . L3
解 对称性,得
yL L
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0L O
x
对 xds , 因积分曲线L关于 x=0对称,被积函数x是L上 关于x的奇函数
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
Lxds 0
被积函数 y 3是L上 关于y的奇函数 y 3ds 0 L11
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对弧长的曲线积分
三、对弧长曲线积分的计算
解法 化为参变量的定积分计算
定理 设 f ( x , y )在曲线弧 L上 有定义且连续, x (t ) L的参数方程为 ( t ),其中 y (t )
( t ), ( t )在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt
对弧长的曲线积分要求 ds 0 (1)化为定积分的下限 一定要小于上限 (2) 积分值与曲线方向无关.
注意
( )
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L
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t )
2 (t )dt
特殊情形 (1) L : y ( x ), a x b
( )
L f ( x, y )ds L
b
a
f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx (a b)
ds 1 2 ( x )dx (2) L : x ( y ), c y d
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c13
d
ds 1 2 ( y )dy
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对弧长的曲线积分
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t )
L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形 (3) L : ( ),
2 (t ) 2 (t )dt
( )
f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d L f ( x , y )ds
推广 : x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 14
f ( x , y , z )ds
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对弧长的曲线积分
如果积分路径 L是两个曲面的交线 1 ( x , y , z ) 0 z f ( x, y)
或 z g( x , y ) 2 ( x , y , z ) 0此时需把它化为参数方程 (选择x , y ,
z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
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对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到L
y ( 0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 32
( 2
,2)的一段.
对x积分?2
y
y2 2x
( 2,2)
O x
例2 求I xyzds , 其中 : x a cos , y a sin ,
z k 的一段. (0 2 )解 I
2
0
a 2 cos sin k a 2 k 2d
1 2 2 2 ka a k 2
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对弧长的曲线积分
例3 计算 L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即
2
⌒ 如图)的 解 由曲线L(半圆周ABC 2 2 2 方程x y R , 得ds 1 y 2dx
x y R ( x 0).2 2
A
y
LB x
OC
R x2 y2 dx dx 2 | y| y
L R 0
| y | ds AB ⌒ | y | d s ⌒ | y | d s BCR R R dx 2 R 2 | y | dx | y | 0 | y| | y|17
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对弧长的曲线积分
计算 | y | ds , 其中L是右半圆周,即 L x 2 y 2 R 2 ( x 0).解此题时也可用 对称性质
L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,故
A
y
LB x
L | y | ds 2 ⌒ ydsAB
OC
2
R
02
R y dx y
2R
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对弧长的曲线积分
例4 求 I x 2 d s ,
x2 y2 z2 a2 , 其中 为圆周 x y z 0.解 由于 的方程中的x, y,
z的地位完全对称, 有
