2020年福建省龙岩市高考数学一模试卷(理科)
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第1页，共13页
2020年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合M={x|y=}，N={x|-2＜x＜3}，则M∩N=（ ）
A. {x|-3＜x≤2} B. {x|-3＜x＜2} C. {x|-2＜x≤2} D. {x|-2＜x＜2}
2. 若复数z满足z=（1-2i）•i，则复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知a=log38，b=21.1，c=0.83.1，则（ ）
A. b＜a＜c B. a＜c＜b C. c＜b＜a D. c＜a＜b
4. （x+1）（2x-）5的展开式中常数项为（ ）
A. -40 B. 40 C. -80 D. 80
5. 赵爽弦图（图1）是取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．图2是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成．现随机向图2中大正方形的内部投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为2和3，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数f（x）=2sin（2x+φ）满足f（-x）=f（+x），则f（）=（ ）
A. -2 B. 0 C. D. 2
7. 函数f（x）=（3x-3-x）log3x2的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9. 关于函数f（x）=2sinsin（+）-x有下述四个结论：
①函数f（x）的图象把圆x2+y2=1的面积两等分
②f（x）是周期为π的函数
③函数f（x）在区间（-∞，+∞）上有3个零点
④函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递减
其中所有正确结论的编号是（ ） 第2页，共13页 A. ①③④ B. ②④
C.
①④
D.
①③
10.
已知O是坐标原点，F是双曲线C：-=1（3a=4b＞0）的左焦点，过F作斜率为k（k＞0）的直线l与双曲线渐近线相交于点A，A在第一象限且|OA|=|OF|，则k等于（ ）
A. B. C. D.
11. 已知在△ABC中，AB=4，AC=6，其外接圆的圆心为O，则•=（ ）
A. 20 B. C. 10 D.
12. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 2 D. 6
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线y=（x2-2）lnx在x=1处的切线方程为______．
14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则A=______．
15. 记Sn为数列{an}的前n项和，若a1=1，2Sn+1=an+1，则=______．
16. 波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，现有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，则当△ABC的面积最大时，AC边上的高为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知等差数列{an}的公差d≠0，若a6=11，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
18. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C．
（1）求证：BC⊥平面ACD1；
（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成锐二面角的余弦值． 第3页，共13页
19. 近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求．各大养猪场正面临巨大挑战．目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在[1，139]内的猪分为三个成长阶段如下表．
猪生长的三个阶段
阶段 幼年期 成长期 成年期
重量（Kg） [1，24） [24，116） [116，139]
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布X～N（70，232）．
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．
已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元．
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．
（参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974）
20. 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点P（2，m），F为焦点，△PFO面积为1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点P引圆的两条切线PA、PB，切线PA、第4页，共13页 PB与抛物线C的另一个交点分别为A、B，求直线AB斜率的取值范围．
21. 已知函数f（x）=xlnx-ax2（a∈R）．
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若g（x）=f（x）-x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．
22. 已知曲线C的极坐标方程是ρ-6cosθ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．
23 已知函数f（x）=|x+1|+|x-2a|．
（1）若a=1，解不等式f（x）＜4；
（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2-2m+4=f（x），求实数a的取值范围．
2020年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）
答案和解析
【答案】 第5页，共13页 1. C 2. D 3. D 4. A 5. A 6. B 7. B
8. D 9. C 10. B 11. C 12. B
13. x+y-1=0
14.
15.
3
16.
2
17.
解：（1）∵a6=11，∴a1+5d=11，①
∵a2，a5，a14成等比数列，∴，
化简得d=2a1，②
由①②可得，a1=1，d=2．
∴数列的通项公式是an=2n-1；
（2）由（1）得=，
∴Sn==．
18. 解：（1）证明：如图，连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，∴BC⊥D1C，
在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作CG⊥AB于点G，
∵AB=4，BC=CD=2，AB∥CD，
则AG=3，BG=1，CG==，
∴AG====2，
因此满足AC2+BC2=16=AB2，∴BC⊥AC，
又D1C，AC⊂平面AD1C，D1C∩AC=C，
∴BC⊥平面AD1C．
（2）解：由（1）知AC，BC，D1C两两垂直，
∵D1C⊥平面ABCD，∴，∴D1C=CD=2，
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D1（0，0，2），
∴=（-2，2，0），=（-2，0，2），
设平面ABC1D1的法向量=（x，y，z），
由，取x=1，得=（1，），
又=（0，0，2）为平面ABCD的一个法向量，
设平面ABC1D1与平面ABCD所成锐二面角为θ， 第6页，共13页 则cosθ===．
∴平面ABC1D1与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．
19. 解：（1）由于猪的体重X近似服从正态分布X～N（70，232），
设各阶段猪的数量分别n1，n2，n3，
所以P（1≤X＜24）=P（70-3×23≤X＜70-2×23）=，
所以n1=10000×0.0215=215（头）；
同理P（24≤X＜116）=P（70-2×23≤X＜70+2×23）=0.9544，
所以n2=10000×0.9544=9544（头）
P（16≤X＜139）=P（70+2×23≤X＜70+3×23）=
所以 n3=10000×0.0215=215（头）
所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头．
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，
随机变量Y可能取值为1100，400，-300，
P（Y=1100）==，P（Y=400）==，P（Y=-300）==
所以Y的分布列为：
Y 1100 400 -300
P
所以E（Y）=1100+（元），
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为785•215=168775（元）．
20. 解：（1）由已知得，，即，解得p=2，
所以抛物线C的方程为x2=4y；
（2）由（1）得P（2，1），设直线PA斜率为k1，则PA方程为y-1=k1（x-2），即k1x-y+1-2k1=0，
又∵直线PA与圆的相切，∴，
∴，
设直线PB斜率为k2，同理得，
∴k1，k2 是方程（4-r2）k2+8k+4-r2=0 的两个根
∴△=4r2（8-r2）＞0 （∵），
∴，k1k2=1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得x2-4k1x+8k1-4=0，由韦达定理得x1+2=4k1，
