2022版高考数学大一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和2

2022622

第六章 数 列

第二讲 等差数列及其前n项和

1。［2021嘉兴市高三测试］数列{an｝的前n项和为Sn,且Sn=n2-n+a，n∈N*，则“a=0”是“数列｛a2n}为等差数列”的 ( )

A.充分不必要条件 B。必要不充分条件

C。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件

2。[2021南昌市高三测试］已知Sn为等差数列｛an}的前n项和,3a3=5a2,S10 =100,则a1= ( )

A.1 B。2 C.3 D.4

3.[2021洛阳市统考］已知等差数列{an｝的前n项和为Sn，S4=7a1，则𝑎5𝑎2= （ ）

A.2 B.3

C.32 D.53

4。[2021江西红色七校联考]在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=36，a11+a12+a13=84,则a5+a9= （ )

A。30 B。35 C。40 D.45

5。[2021湖北省四地七校联考］在等差数列{an｝中，已知a7>0，a3+a9<0,则数列{an｝的前n项和Sn的最小值为 ( ）

A。S4 B。S5 C。S6 D.S7

6.［2021陕西省部分学校摸底检测］数列{2𝑎𝑛+1}是等差数列，且a1=1,a3=-13，那么a5= （ ）

A。35 B。—35 C。5 D.—5 2022622

7.[2021惠州市一调]《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466～485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺，则该女子织布每日增加的尺数为 （ )

A。47 B.1629 C。815 D。1631

8.［2020湖北部分重点中学高三测试］已知等差数列{an｝满足4a3=3a2,则{an｝中一定为零的项是( ）

A.a6 B。a7 C.a8 D.a9

9。［2020大同市高三调研]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且𝑎11𝑎10<-1，则Sn取正值时项数n的最大值为 （ )

A。15 B。17 C.19 D.21

10。[2020武汉市六月模拟］已知数列｛an｝是等差数列，公差为d,Sn为数列{an}的前n项和，a1+a7=-2,S3=15.

（1)求数列{an}的通项公式an；

（2)求数列｛｜an|｝的前n项和Tn。

11。[2021四省八校联考]已知公差非零的等差数列｛an｝满足｜a3｜=|a8|,则下列结论正确的是 （ ） 2022622

A。S11=0 B.Sn=S11-n（1≤n≤10，n∈N*)

C。当S11〉0时，Sn≥S5 D。当S11〈0时，Sn≥S5

12.[2021河南郑州一中等名校联考］［等差数列与向量综合］已知Sn,Tn分别为等差数列{an},｛bn｝的前n项和,𝑆𝑛𝑇𝑛=3𝑛+24𝑛+5，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎2+𝑎4𝑏3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +λ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 （ )

A。2825 B。-925 C.325 D.1825

13。［2020成都市三诊］设数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1=5,S5=10，且{𝑆𝑛𝑛}是等差数列,则|a1|+|a2|+|a3|+…+｜a10|的值为 。

14。[2021江苏省部分学校学情调研]记Sn为等比数列{an｝的前n项和,已知S2=2，S3=-6。

(1）求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn+1,Sn，Sn+2是否成等差数列。

15。已知数列｛xn｝满足xn+2+xn=2xn+1+3,且x1=1,x2=5，则x40= 。

答 案

第六章 数 列

第二讲 等差数列及其前n项和 2022622

1。A 因为Sn=n2—n+a，n∈N＊，所以an={𝑆1,𝑛=1𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2,即an={𝑎,𝑛=12𝑛-2,𝑛≥2，所以a2n=4n-2，n∈N＊，所以无论a为何值，数列｛a2n}都为等差数列.所以“a=0”是“数列{a2n｝为等差数列”的充分不必要条件,故选A.

2.A 设等差数列{an｝的公差为d，依题意{3𝑎3=5𝑎2,𝑆10=100,即{3(𝑎1+2𝑑)=5(𝑎1+𝑑),10𝑎1+45𝑑=100,解得a1=1,d=2。故选A.

3。A 设等差数列｛an｝的公差为d，因为S4=7a1,所以4a1+4×32d=7a1，即a1=2d,所以𝑎5𝑎2=𝑎1+4𝑑𝑎1+𝑑=6𝑑3𝑑=2，故选A。

4。C 解法一 设等差数列｛an}的公差为d，则由题意可得,{𝑎1+(𝑎1+𝑑)+(𝑎1+2𝑑)=36,(𝑎1+10𝑑)+(𝑎1+11𝑑)+(𝑎1+12𝑑)=84,解得{𝑎1=525,𝑑=85,所以a5+a9=（a1+4d)+（a1+8d)=2a1+12d=2×525+12×85=40,故选C。

解法二 由a1+a2+a3=3a2=36，得a2=12，由a11+a12+a13=3a12=84，得a12=28，所以a5+a9=a2+a12=12+28=40,故选C.

5。C 在等差数列｛an}中,a3+a9=2a6<0,∴a6〈0，又a7>0,∴数列｛an}的公差d〉0,首项a1<0，∴数列｛an｝的前n项和Sn的最小值为S6.故选C。

6.B 解法一 令bn=2𝑎𝑛+1,由已知得数列｛bn}是等差数列,设其公差为d。因为a1=1,a3=−13，所以b1=2𝑎1+1=1，b3=2𝑎3+1=3，所以d=𝑏3-𝑏12=1，所以b5=b1+4d=5，即2𝑎5+1=5，所以a5=−35，故选B。

解法二 因为数列｛2𝑎𝑛+1｝是等差数列，所以2𝑎1+1+2𝑎5+1=2×2𝑎3+1，又a1=1,a3=−13,所以21+1+2𝑎5+1=2×2-13+1，解得a5=−35,故选B. 2022622

7.B 由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列，记为｛an｝，则a1=5。记{an}的前n项和为Sn,则S30=390.设｛an}的公差为d，所以S30=30a1+30×292×d=30×5+30×292×d=390，解得d=1629，故选B。

8.A 解法一 设数列{an}的公差为d（d≠0)，因为4a3=3a2,所以4（a1+2d)=3（a1+d)，所以a1=-5d,故an=a1+(n-1)d=（n—6）d.令(n-6)d=0,得n=6，故选A。

解法二 设数列{an｝的公差为d(d≠0）,因为4a3=3a2,所以a3=—3d。又a3=a1+2d,所以a1=—5d，故an=—5d+(n-1)d。令an=0,得n=6,所以数列{an}中,a6=0。故选A。

9.C 由等差数列{an｝的前n项和Sn有最大值,且𝑎11𝑎10<—1，可知等差数列{an｝的公差d〈0，a10〉0,a11〈0，且a11<-a10,则a10+a11〈0。由a10〉0,得2a10=a1+a19〉0，所以S19>0,由a10+a11<0，得

a1+a20=a10+a11〈0,所以S20〈0,所以Sn取正值时项数n的最大值为19,故选C。

10。（1）解法一 ∵{an}是等差数列，公差为d,

且a1+a7=—2,S3=15,∴{2𝑎1+6𝑑=-2,3𝑎1+3×22𝑑=15,解得a1=8,d=-3,

∴an=a1+(n—1)d=8+（n-1)（—3）=—3n+11，

∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11（n∈N*）。

解法二 ∵{an｝是等差数列，∴2a4=a1+a7=—2,∴a4=—1.

∵S3=15，∴3a2=15,∴a2=5。

∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=—3,

∴an=5+（n—2）(—3)=—3n+11。 2022622

∴数列{an｝的通项公式为an=—3n+11(n∈N＊).

（2）令an≥0,则—3n+11≥0，∴3n≤11,∴n≤113，又n∈N*，

∴当n≤3时，an〉0；当n≥4时,an〈0.

∵a1=8,an=—3n+11,∴当n≤3时，Tn=｜a1|+｜a2|+…+｜an|=a1+a2+…+an=(8-3𝑛+11)𝑛2=𝑛(19-3𝑛)2，

当n≥4时，Tn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an|=a1+a2+a3+（-a4—…-an)=2（a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3—Sn=2×15−𝑛(19-3𝑛)2=3𝑛2-19𝑛+602,

∴Tn={𝑛(19-3𝑛)2,𝑛≤3,3𝑛2-19𝑛+602,𝑛≥4.

11。C 因为数列{an}是公差非零的等差数列，且｜a3|=｜a8｜,所以a1>0,d〈0或a1<0，d>0，且a3=

-a8,S10=10(𝑎1+𝑎10)2=5（a3+a8）=5（a5+a6)=0.所以a5,a6异号且均不为0。对于A,S11=S10+a11=11a6≠0，故A不正确;对于B,当n=1时，S1=a1≠0，S10=0，此时Sn≠S11—n，故B不正确;对于C，当S11〉0时，11a6〉0，a6>0,则a5<0，于是a1〈0，d〉0,数列{an}是递增数列，所以(Sn)min=S5,所以Sn≥S5，故C正确；对于D，当S11<0时，11a6<0,a6<0,则a5〉0,于是a1>0，d<0,数列｛an}是递减数列，所以(Sn)max=S5，所以Sn≤S5,故D不正确。综上，选C。

12。B 因为P,B,C三点共线，所以𝑎2+𝑎4𝑏3+λ=1，所以2𝑎3𝑏3+λ=1,𝑎3𝑏3=𝑎1+𝑎52×5𝑏1+𝑏52×5=𝑆5𝑇5=3×5+24×5+5=1725,所以2𝑎3𝑏3+λ=3425+λ=1,λ=−925，故选B.

13。792 因为𝑆11=5，𝑆55=2，所以等差数列｛𝑆𝑛𝑛｝的公差d=2-55-1=−34，所以𝑆𝑛𝑛=5−34（n—1)=−34n+234⇒Sn=−34n2+234n。当n=1时,a1=5；当n≥22022622

时,an=−32n+132.所以an=−32n+132,n∈N＊。令an=−32n+132>0,得n〈133,所以｜a1｜+｜a2|+｜a3|+…+|a10｜=a1+a2+a3+a4—a5—a6—a7-a8-a9-a10=2(a1+a2+a3+a4)-a1-a2-a3-a4-a5-a6—a7—a8-a9-a10=2S4-S10=2（−34×16+234×4）-(−34×100+234×10)=792.

14。（1)设{an}的公比为q，则an=a1·qn-1，

由已知得{𝑎1+𝑎1𝑞=2,𝑎1𝑞2=𝑆3-𝑆2=-8,解得a1=-2，q=—2，

所以{an｝的通项公式为an=（-2）n。

(2)由（1)得Sn=-2[1-(-2)𝑛]1-(-2)=−23+23·(—2)n，

所以Sn+1=−23+23·（—2)n+1=−23−43·（—2）n,Sn+2=−23+23·（—2)n+2=−23+83·（-2）n，