2.3一次函数和二次函数

一次函数与二次函数

知识点一、一次函数的性质与图像

考点1、一次函数的概念

（1）函数)0(kbkxy叫做一次函数，定义域是R,值域是R;

（2）图像是一条直线，其中k叫做直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距；一次函数又叫做线性函数；

例1、已知函数mmxmy,31)12(为何值时，

（1）这个函数为正比例函数；

（2）这个函数为一次函数;

（3）函数值y随x的增大而减小；

（4）这个函数的图像与直线1xy的交点在x轴上?

考点2、一次函数的图像和性质

（1）单调性：0k时，为增函数；0k时，为减函数；

（2）奇偶性：0b时，为奇函数；0b时，为非奇非偶函数。

例2、画出函数12xy的图像，利用图像解决下列问题：

（1）求方程012x的解；

（2）求不等式012x的解集；

（3）当的取值范围；时，求xy3

（4）当的取值范围。时，求xy33

考点3、一次函数性质的应用

例3、已知直线求：,44)2(2axay

（1）a为何值时，这条直线过原点；

（2）a为何值时，这条直线与y轴交于点（0，-2）；

（3）a为何值时，这条直线过点（1，0）。

考点四、一次函数的最值问题 求一次函数)0(kbkxy在某一区间ca,上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间ca,上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当0k时，它的值域是)(),(0,)(),(afcfkcfaf时，它的值域是当。

例5、已知)(xf为一次函数且满足183)1(2)1(4xxfxf，求函数11-)(，在xf上的最大值，并比较)2011()2010(ff和的大小。

练习：1、对于每个实数取设)(,xfxxyxyxy21,12,1三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出的最小值。的解析式，并求)()(xfxf

2、如果一次函数)0(kbkxy的图像经过第一、三、四象限，那么.0___,0___bk

3、已知一次函数bxaya32)1(是奇函数，且在定义域R内单调递减，求ba,的值。

知识点二、二次函数的性质与图像

考点一、函数)0(2aaxy的图像与性质

例、已知函数2222)3(mmxmmy是二次函数，则___m，此时函数的值域是______.

考点二、二次函数)0(2acbxaxy的图像与性质

例1、已知函数cbxaxy2，如果cba，且0cba，则它的图像是（ ）

A B C D

例2、 已知函数kkxxxf2)(在区间[2，4]上是单调函数，则k的取值范围是____________________

例3：若函数cbxaxxf2)(满足),1()4(ff那么（ ） A．)3()2(ff B.)2()3(ff C.)2()3(ff D.)2(),3(ff大小关系不确定

练习：1、二次函数)(xf满足Rxxfxf),3()3(，且0)(xf有两个实根21,xx， 则21xx_____

2、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在(0,2)上是增函数，且f(a) ≥f(0),那么a的取值范是（ ）

A.a ≥ 0 B.a≤0 C. 0≤ a ≤4 D.a ≤0或 a ≥4

考点三、二次函数的解析式

例3、已知二次函数)0(2acbxaxy与x轴交于点A（-3，0）对称轴为1x，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式.

练习1、已知二次函数)(xf满足0)3()1(ff，且)(xf的最大值是8，试确定此二次函数。

2、已知一个二次函数f（x）， f（0）=-5， f（-1）=-4， f（2）=5，求这个函数解析式.

考点4、二次函数的最值求解（一） 定区间定对称轴

例4、求函数3422xxy的最值：

（1）Rx;（2）].4,2[)4(;];3,0[)3(];0,2[xxx

练习：当22x时，求函数322xxy的最大值和最小值。

二次函数的最值求解（二） 定区间动对称轴 例：求函数上的值域。在]2,0[122axxy

练习：函数aaxxxf12)(2在[0,1]上有最大值2，求实数a的值。

二次函数的最值求解（三） 动区间定对称轴

例、二次函数.]1,[22)(2上的最值在区间ttxxxf

练习：已知二次函数的值。，求的最大值为bxfbbxbbxxxf25)(],1,[),0(41433)(22

二次函数的最值求解（四）动区间动对称轴

例、设的表达式试求的最大值是记是正数)().(213),0,0(2,2aMaMxxyyxyaxa

练习：求函数上的最大值。在],1[)(axaxxy

考点五、二次函数恒成立问题

对于二次函数0)(xf在区间[p,q]上恒成立问题，通常转化为)(xf在[p,q]上的最值问题，结合不等式组去解决。

例1、函数3)(2axxxf （1）当Rx时，axf)(恒成立，求a的取值范围；

（2）当的取值范围。恒成立，求实数时，aaxfx)(]2,2[

练习：1、已知函数xaxxxf2)(2).,1[,x若对任意[1,),()0xfx恒成立,试求实数a的取值范围。

2、已知函数12)(2xxxf，若存在实数t，当mx,1时，xtxf)(恒成立，则实数m的最大值是（ ）

A．1；B．2；C．3；D．4

知识点三、待定系数法

考点：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件写出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法。

例1、已知二次函数,2),0,5()5,0()(xBAxfy它的对称轴为直线、的图像过点求这个二次函数的解析式。

例2、（1）已知一次函数的解析式；求满足)(,34))(()(xfxxffxf

（2）已知二次函数式；试求此二次函数的解析且满足,8)21(,1)1(,1)2()(fffxf

（3）已知二次函数)(xf对任意实数xxfxftftft的图像与，又知函数有最小值且满足关系)(9-)()2()2(轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数的解析式。

二次函数练习题 1、二次函数)(xfy的图像过原点，且顶点为)8,2(，则)(xf（ ）

A、xx822 B、xx822 C、xx822 D、xx822

2、若函数2()32(1)fxxaxc在区间(,1]上是减函数，则a的取值范围是（ ）

A (,2] B [2,) C (,2] D [2,)

3、已知cbxxxf2)(，且)3()1(ff，则（ ）

A．)1()1(fcf B．)1()1(fcf C．)1()1(ffc D．)1()1(ffc

4、 已知函数baxy和cbxaxy2，那么它们的图像可能是（ ）

A． B． C． D．

5、函数2(23,yxxx且)xz的值域是 。

6、若二次函数cbxaxy2的部分对应值如下表所示，则02cbxax的解集是______________

7、若],[,3)2(2baxxaxy图像关于1x对称，则b_____________

8、抛物线226yxxc与x轴有两个交点，且两个交点间的距离为2，则c=

9、函数1)1(2)1()(2xmxmxf的图像与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是___________________

10、已知二次函数5,5,222xaxxxf，

（1）当1a时，求xf的最大值和最小值；（2）求实数a的值，使函数在区间5,5为单调函数。

x -2 -1 0 1 2 3 4 5

y -5 0 3 4 3 0 -5 -12