有限元分析中的应力
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有限元分析中的应⼒
你真的了解有限元分析中的“应⼒”吗Feaforall
虽然在有限元分析中我们常常会⽤到软件后处理程序得出的应⼒值（stress），但其实应⼒有很多值得我们研究的地⽅。
如果我们把作⽤于物体的⼒产⽣的各处应⼒汇总起来，那么应⼒也就像流体分析CFD中的速度或者压⼒⼀样形成应⼒场“流
过”物体，我们抓取感兴趣的地⽅来进⾏强度的评估。然⽽，由于应⼒状态变化复杂，并不好在3D单元中进⾏可视化，所以我
们更需要根据软件已有的功能来探究应⼒的意义。
1. ⼏乎所有的有限元分析结果中，默认的应⼒结果是冯⽶斯应⼒（Von Mises），冯⽶斯应⼒是⼀个标量结果，并没有⼒的⽅
向性指⽰。学过材料⼒学
的应该知道还有⼀种应⼒是主应⼒（principle stress），主应⼒是⽮量，某些情况下也是⾮常有⽤的，那么他们之间有什么区
别？
2.物理内部的受⼒在不同部位都不⼀样，我们怎样尽可能多的去研究内部⼒场的不同特性并且通过软件可视化出来呢？
下⾯我们将探究上⾯的两个问题。
什么是应⼒？
⾸先我们先说说什么是应⼒。众所周知，应⼒（stress）是单位⾯积上作⽤的⼒（forces）。我们并不好感知或者测量应⼒，但
⼒（force）是实实在在的，我们可以很好的感知和测量。物质总是由原⼦构成的，从原⼦的维度看，原⼦之间相吸或者相斥。
物体在没有受⼒的状态下，原⼦处于⾃然状态，所有的⼒互相平衡，如果物体受到外部⼒的作⽤，原⼦就会偏离平衡位置去寻
找新的平衡位置来平衡外部⼒。如下图所⽰，相同长度L上分别有两排5对的原⼦和两排6对的原⼦，如果假设原⼦之间的吸引
⼒相同，那么单位长度上6对原⼦的应⼒要⽐5对的⼤，扩展到宏观的3D情形同样适⽤。
⼒和应⼒单元
微积分学科的发展可以使我们通过数学运⽤⽆限（⽆限⼤或者⽆限⼩）的原理来处理很多实际问题，宏观物体的受⼒是微观单
元的叠加。在材料⼒学中，我们把⼀个⽆限⼩的⽴⽅体（cube）单元来描述某⼀点的受⼒情况。为什么⽆限⼩呢？因为由于⽆限⼩，⼩到物体内部⼒是均匀的，没有应⼒变化，只有⼀种应⼒状态。如下图所⽰，六个⾯分别受到法向⼒平衡。
上图是垂直于截⾯的法向⼒（normal force）情形，那么⾃然还有⼀种剪切⼒（shear force）。如下图所⽰，如果X⽅向截⾯受
到剪切⼒Fxy（下标x 代表x⽅向截⾯，y代表受⼒朝向y⽅向），那么为了使单元平衡，就会产⽣其余三个⼒Fyx，Fxy，Fyx（如果想当然觉得只有Fxy产⽣，那么⽴⽅体将受到弯矩⽆法平衡）如果将法向⼒和剪切⼒汇总到⼀个⽴⽅体中（为了便于图形呈现，其它三个⾯的受⼒状态这⾥没表⽰出来）：
有限元模型中，每个单元受到的⼒，包括法向⼒、剪应⼒的合⼒都是和外⼒通过节点传递到该单元的⼒平衡的，这种微观的平
衡是⼒学平衡的微观表现。
有⼒（force）就有应⼒（stress），相应的应⼒单元如下图所⽰：
下⾯我们通过⼀个实例来研究物体在受⼒状态下的⼒的多种观察视⾓。
如下图所⽰，⼀个斜⼗字交叉的简易桁架模型左端两个孔完全约束，右边两个吊⽿孔分别受到向下和左/右⽅向的⼒（⼤⼩任意）。整体的Von Mises应⼒状态如下图所⽰，⼀般情况下软件都默认得到这个应⼒云图，我们看看最⼤的受⼒区域和值就可以了，
但今天我们不关注这个，我们更关注⼒在不同区域，不同⽅向的不同形式，von mises是标量，没有⽅向，得出的数值也没有正负，得不到这些细节信息。
⾸先我们来看看X⽅向的受⼒情况：
从上图中我们可以看出来，上⾯部分主要受到拉伸⼒（数值是正值），下⾯主要受压缩⼒（数值是负值），为了证明我们的观
察，我们将上⾯受到拉伸的区域C和压缩⼒的区域E局部放⼤得到如下的结果。
放⼤区域C：
从上图可以看出在图中虚线⽅向上，⼒的变化都是正值，还可以看出这种变化是线性的。
再看区域E：
从上图可以看出在图中虚线⽅向上，⼒的变化都是负值，同样是线性变化的。
此外，从X⽅向的应⼒分布云图中还可以看出，区域A似乎是拉伸最⼤点，区域B似乎是压缩最⼤点，但这只是X⽅向的情形并
不能告诉我们全部的信息。
我们再看看Y⽅向的应⼒分布：
从Y⽅向的应⼒分布来看，最感兴趣的应该是区域D。绘制区域D的应⼒变化可以看出次区域既有拉伸应⼒也有压缩应⼒。
我们观察了X⽅向和Y⽅向的应⼒分布。如果我们想观察和X⽅向或者Y⽅向成⼀定⾓度⽅向上的应⼒分布呢？这时候我们需要
建⽴局部坐标系。如下图所⽰：
我们甚⾄可以看看xy平⾯⽅向上的剪应⼒分布：
上⾯我们介绍了在笛卡尔坐标系下不同⽅位的应⼒分布，我们姑且称这种应⼒为“笛卡尔”应⼒（Cartesian stresses）吧。
下⾯我们来看看主应⼒（principle stress）和冯⽶斯应⼒（Von Mises stress）
主应⼒（principle stress）
上⾯我们观察了x⽅向、y⽅向和局部坐标系下的应⼒分布。事实上，我们可以任意旋转坐标系来观察应⼒的分布，虽然⽅向不
同，但他们其实都是等价的，只是通过不同的⾓度来描述相同的应⼒状态⽽已。
我们以下图中所⽰的点x为基准，研究这⼀点在不同坐标⾓度下x⽅向、y⽅向和剪应⼒xy⽅向的应⼒变化。下图我们把⼏个关键的信息列在⼀张图中⽅便观察。
左上⾓是主应⼒（主应⼒、剪应⼒）计算公式，可以看出，不同⾓度⽅向上主应⼒⼤⼩是不同的，所以主应⼒是⽮量。右边的
曲线图代表点“x”在不同⽅向（X、Y、XY）和不同⾓度下（0—360°）的主应⼒变化值，可以看出呈正（余）弦变化，这也是
和主应⼒公式吻合的。⼀般我们把最⼤主应⼒（max principal stress)简称为P1，最⼩主应⼒（min principal stress，有符号，
不代表真的很⼩）简称为P3，最⼤剪应⼒（max shear stress）简称为P2。此例中由于P2⾮常⼩我们不考虑，主要考虑P2和P3。
下图所⽰为拉伸主应⼒占主导的区域，没有显⽰应⼒云图的区域是因为拉伸主应⼒太⼩或者受到压缩应⼒，我们把它过滤掉不
显⽰出来。这⾮常有⽤，从图中我们可以看出，上⾯的桁架主要受拉伸应⼒，左上到右下的的区域也受到稍微⼩⼀点的拉伸应⼒
那么哪些部位主要受到压缩应⼒呢？
下图所⽰为压缩应⼒占主导的区域，没有显⽰应⼒云图的区域是因为压缩应⼒太⼩或者受到拉伸应⼒，我们把它过滤掉不显⽰
出来。可以看出拉伸应⼒和压缩应⼒两幅图呈现互补（不完全互补）状态。我们甚⾄可以绘制应⼒云图来呈现⼒场在内部的流动。拉伸应⼒的⽮量云图如下图所⽰，拉伸应⼒越⼤的地⽅颜⾊越深。
下图为压缩应⼒战主导的区域，同样的，压缩应⼒越⼤颜⾊越深。
最⼤主应⼒P1和最⼩主应⼒P2在疲劳耐久分析（fatigue analysis）中⾮常重要，对于压缩应⼒，在屈曲分析中也⾮常有⽤。
冯⽶斯应⼒（Von Mises）
冯⽶斯应⼒是我们在平时分析时最常见的⼒，2D状态下的冯⽶斯应⼒公式为：
从公式也可以看出冯⽶斯应⼒是没有负值的，是⼀个标量。我们再次贴出上⾯的那张图：
从上图可以看出，⼤约有四个区域的应⼒云图是我们需要关⼼的，冯⽶斯应⼒的意义就在于此，它可以让我们很快找到最危险
的区域。但是由于是标量，我们并不能从中知道哪些地⽅是受到拉伸应⼒，⽽哪些地⽅受到压缩应⼒，我们也不知道某些区域
到底是主应⼒占主导，还是剪应⼒占主导，⽽这些细节往往在某些分析类型中是必不可少的。
下图是吊⽿处的冯⽶斯应⼒分布图，从图中可以看出存在应⼒较⼤的集中部位，但我们并不知道到底是拉伸还是压缩占主导
（⼀般从垂直应⼒⽅向开始
疲劳屈服），但在疲劳分析中，这两个因素带来的影响很关键但也是不同的。另外，我们也不知道剪应⼒是否占主导，剪应⼒
较⼩时我们可以忽略，但如果剪应⼒较⼤，其带来的影响往往⽐主应⼒更严重。所以光有冯⽶斯应⼒是不够的，我们需要综合考虑这两种⼒。
三种⼒的总结
综上，在有限元分析的后处理中，我们通常关注这三种⼒：笛卡尔应⼒（Cartesian stresses），主应⼒（principal stresses）
和冯⽶斯应⼒（von Mises stress），我们之所以综合探究他们，是因为这样可以使我们对分析对象的受⼒有⼀个更清晰的图
景，可以使我们更好的做出判断。
1.冯⽶斯应⼒
冯⽶斯应⼒主要使我们能看到整体的应⼒分布和应⼒集中的地⽅，是强度评估的主要参考指标。
2.笛卡尔应⼒
笛卡尔应⼒是把冯⽶斯应⼒分解在不同⽅向上，或者建⽴局部坐标系探究不同⽅位上的⼒分布，这些⼒在载荷施加在2D平⾯内
的分析⾮常有效（如本例就是如此，Z轴⽅向是等价均匀的），但在复杂的3D模型状态下，往往需要局部在厚度⽅向上简化。
笛卡尔应⼒主要展现了哪种⼒是占主导的。3.主应⼒
通过绘制最⼤/最⼩主应⼒等⾼线云图和向量云图，能使我们更好的了解到物体内部的应⼒流场分布，清晰的了解到最糟糕的拉
伸/压缩/剪应⼒区域。
