电磁场的角动量

- 1 - 电磁场角动量守恒定律的简明推导

首先，电磁场的角动量密度可以表示为：$vec{L}=vec{r}timesvec{p}+epsilon_{ijk}r_iT_{jk}$，其中$vec{r}$为电磁场某一点的位置矢量，$vec{p}$为电磁场的线性动量密度，$epsilon_{ijk}$为反对称张量，$T_{jk}$为电磁场的应力张量。

接着，根据电磁场的连续性方程：$frac{partialrho}{partial

t}+

ablacdotvec{j}=0$，其中$rho$为电荷密度，$vec{j}$为电流密度。由此可得电荷密度的运动方程：$frac{partialrho}{partial t}+

ablacdot(rhovec{v})=0$，其中$vec{v}$为电荷的速度。

然后，根据电磁场的能量守恒定律：$frac{partial w}{partial

t}+

ablacdotvec{s}=-vec{j}cdotvec{E}$，其中$w$为电磁场的能量密度，$vec{s}$为电磁场的能流密度，$vec{E}$为电场强度。由此可得电磁场的动量守恒定律：$frac{partial}{partial

t}(rhovec{v})+

ablacdotvec{P}=-rhovec{E}$，其中$vec{P}$为电磁场的动量密度。

最后，结合电磁场的角动量密度、电荷密度的运动方程、电磁场的动量守恒定律，可以得到电磁场角动量守恒定律的表达式：$frac{partial}{partial t}(rhovec{r}timesvec{v})+ - 2 - ablacdotvec{M}=-vec{j}timesvec{E}$，其中$vec{M}$为电磁场的角动量密度。

综上所述，电磁场角动量守恒定律是电磁场的动量守恒定律和角动量密度的定义结合得出的基本原理，它描述了电磁场中角动量的守恒。

§9-2 电磁场的能量、动量和角动量

在第六章中，我们已学过真空中电磁场的能量、动量，对静止各向同性介质中的电磁场，

场的能量密度，能流密度（又称坡印适磁量）wSr

，动量密度gr

，角动量密度表达式如

下： lr

HBEDwrrrr

⋅+⋅=

21

21

， （9-2-1）

HESrrr

×=

， （9-2-2）

BDgrr

r

×=

， （9-2-3）

grlrrr

×=

。 （9-2-4）

于是，体积V中电磁场的总能量、总动量和总角动量分另为如下体积分：

∫∫∫=

VWdVWr

， ∫∫∫=

VdVgGrr

， ∫∫∫=

VdVlLrr

（9-2-5）

能量守恒定律的表达式为：

)(

nWW

dtd

AdS+−=⋅∫∫rr

（9-2-6）

上式中为积分的面元，是非电磁的总能量。可将上式与电荷守恒定律比较，以便加

深理解。 Adr

nWr

为加深对电磁场角动量的理解，我们可以作一个简单的实验，如图9-2-1，

图9-2-1 轴向均匀磁场中的圆柱电容器

一圆柱形介质电容器，长度为l

，充满介电常数为ε

的均匀各向同性介质，内力争上游

半径为，绕轴的转动惯量为I，板极充电荷为

21,rrQ±

，置于一均匀磁场Br

中，当电容器

放电后，电容器便绕轴旋转，其角速度为ω

□ωC

的大小可通过电磁场的角动量计算如下：

略去边缘效应，电容器中：

∫∫=⋅

SQ

SdE

0εrr

得

02επ⋅⋅=

lrQ

E

， r

rlQ

EDˆ

20

πε

εε==rr

ϕ

πε

)rr

r

rlQB

BDg

2−=×=

，

Z

rlQB

grl)

rrr

πε

2−=×=

，

于是电容器内电磁场的总角动量为

ZrrQBZlrr

lQB

dVlL

V))rv

)(

21

)(

22

12

22

12

2−−=⋅−−==∫∫∫εππ

πε

放电后，电容器内0=Er

□。由总角动量守恒，则 0=DCr

LL

nrr

=

□C

即 )(

21

2

12

2rrQBI−−=εω

。

于是得： )(

21

2

12

2rrQB

I−−=εω

上式中负号表示电容器逆时针旋转。

角动量

1.1角动量

先看这样一个事件：一个不受力的自由粒子，依惯性沿直线AB匀速运动（如图1.1a），它在相等的时间间隔△t内走过的相等的距离△s＝v△t。在AB旁任意选一点O作为原点，从O引失径r到粒子所在的位置。失径r在单位时间内扫过的面积，称为它的掠面速度（也称面积速度）。由图可见，各时间间隔△t内失径扫过的那些小三角形具有公共的高OH，它们的面积相等，都等于。若令r和v之间的夹角为θ，则，小三角形的面积等于。这个式子既可以理解为v与r在垂直于v方向上的投影（即）的乘积，又可以理解为r与v在垂直于r方向上的投影的乘积。从后一种角度来理解，代表失径旋转的加速度ω，因而掠面速度又可写为，即

，⑴

现在我们再来回忆一下开普勒第二定律：行星在任意相同的时间内扫过的面积相等，即面积速度是个常数。

上面所用的量都是运动学量，下面我们引入动力学量来分析上面的问题过程。在⑴的两边同时乘以粒子的质量m，则⑴化为：

mv为粒子的动量，θ是mv于r的夹角，这样就可以定义一个新的物理量J。J称为一个质点对原点O的角动量。J是一个矢量，它的大小为粒子的动量于失径及它们夹角的正弦三者的乘积，方向与粒子绕O转动的加速度方向相同。即J与动量P和失径r满作叉乘关系：

1.2冲量矩

先来回忆两个概念：1.冲量：力对时间的积累，，它与动量P有者相同的量纲。

2.力矩：力对转动的作用，，量纲是[Kg·M2·S-2]

那么类似的冲量的矩——冲量矩就应该写成：，它就应该是冲量对转动的作用，量纲为[Kg·M2·S-1].它显然同角动量有着相同的量纲，这正暗示着某种联系。

1.3角动量定理

先回忆另一个定理：动量定理：冲量等于动量的改变量。这句话告诉我们冲量与动量有这相同的量纲，那么我们设想角动量于冲量矩是否有一个相似的定理呢？即

冲量矩等于角动量的改变量。这个式子等价于。

下面证明这个定理：角动量，在△t时间内角动量的增量则

1 第五章 角动量角动量守恒定理

本章结构框图

学习指导

本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。

基本要求

1. 理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。

2. 理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。

3. 理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。

4. 掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。

5. 理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。 2 6. 掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。

内容提要

1. 基本概念

刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即：

I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。

质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。

表5.1 质点、质点系和定轴刚体的角动量

3 力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：

即：

大小： （力×力臂）方向：垂直于决定的平面， 其指向由右手定则确定。

对于力矩的概念应该注意明确以下问题：