(完整)高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布

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专题十一 概率与统计

第三十六讲二项散布及其应用、正态散布

一、选择题

1．（ 2015 湖北）设 X : N ( 1 , 12 ) ， Y : N ( 2 , 22 ) ，这两个正态散布密度曲线如图所

示．以下结论中正确的选项是

A ． P (Y ≥ 2 ) ≥ P(Y ≥ 1 )

B． P( X ≤ 2 ) ≤ P( X ≤ 1 )

C．对随意正数 t ， P( X ≤ t) ≥ P(Y ≤ t)

D．对随意正数 t ， P ( X ≥ t) ≥ P(Y ≥ t)

2．（ 2015 山东）已知某批零件的长度偏差（单位：毫米）听从正态散布 N (0,3 2 ) ，从中随

机取一件，其长度偏差落在区间 (3,6) 内的概率为

（附：若随机变量 听从正态散布 N ( , 2 ) ，则 P( ) 68.26% ，

P(2 2 ) 95.44% ）

A ．4.56%B ． 13.59% C． 27.18% D． 31.74%

3．（ 2014 新课标 2）某地域空气质量监测资料表示，一天的空气质量为优秀的概率是 0.75，

连续两天为优秀的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优秀，则随后一天的空气质量为

优秀的概率是

A ． 0． 8 B． 0． 75 C．0． 6 D． 0． 45

4.（ 2011 湖北）已知随机变量 听从正态散布 N 2, 2 ，且 P 4 0.8 ，则

P 0 2

A ． 0.6 B． 0.4 C． 0.3 D． 0.2 (完整)高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布

二、填空题

5．（ 2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为

0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回

地抽取

100次，错误 ! 未找到引用源。 表示抽到的二等品件数，

则

DX

=

．

6．（ 2016

四川）同时投掷两枚质地均匀的硬币，当起码有一枚硬币正面向上时，就说此次

试验成功，则在

2 次试验中成功次数

X

的均值是

．

7．（ 2015 广东）已知随机变量

听从二项散布

n, p

，若

30，

D

20 ，

则 p

．

8．（ 2012

新课标）某一零件由三个电子元件按以下图方式连结而成，元件

1 或元件

2 正常工

作，且元件 3 正常工作，则零件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）

均听从正态散布 N (1000,50 2 ) ，且各个元件可否正常工作相互独立，那么该零件的使

用寿命超出 1000 小时的概率为 ．

元件 1 元件 3

元件 2

三、解答题

9．（ 2017 新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，查验员每日从该生产线

上随机抽取 16 个零件，并丈量其尺寸 (单位： cm)．依据长久生产经验，能够以为这条

生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态散布 N ( , 2 ) ．

(1)假定生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (3 ,3 )

以外的零件数，求 P( X ≥ 1) 及 X 的数学希望；

(2)一天内抽检零件中， 假如出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 以外的零件， 就以为这条生

产线在这天的生产过程可能出现了异样状况，需对当日的生产过程进行检查．

(ⅰ )试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ⅱ )下边是查验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：

9． 95 10． 12 9． 96 9．96 10． 01 9． 92 9． 98 10． 04

10． 26 9． 91 10． 13 10． 02 9． 22 10 ． 04 10． 05 9． 95

经 计 算 得 x 1 16 9.97 错 误 !

xi 未 找 到 引 用 源 。 ，

16 i 1 (完整)高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布

1 16 (x x ) 2 1 16 x 2 16x 2 ) s

i (

16 i 1 16 i 1 i

0.212! 未找到引用源。 ，此中 xi 抽取的第 i 个零件的尺寸， i =1，2，⋯，16．

用 本均匀数 x 作 的估 !未找到引用源。 ?，用 本 准差 s作

的估 ? ，利用估 判断能否需 当日的生 程 行 ？剔除 !未找

到引用源。 以外的数据，用剩下的数据估 和 (精准到 0． 01)．

附：若随机 量 Z 听从正 散布 N ( , 2 ) ， P( 3 Z 3 ) =0．997 4，

0.997416 0.9592 ， 0.008 0.09 ．

10．（ 2016 新 Ⅱ）某 种的基本保 a（ 位：元）， 种的投保人称

保人， 保人今年度的保 与其上年度出 次数的关 以下：

上年度出 次数 0 1 2 3 4 ≥ 5

保 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

种一 保人一年内出 次数与相 概率以下：

一年内出 次数 0 1 2 3 4 ≥ 5

概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

（Ⅰ）求一 保人今年度的保 高于基本保 的概率；

（Ⅱ）若一 保人今年度的保 高于基本保 ， 求其保 比基本保 超出 60% 的概率；

（Ⅲ）求 保人今年度的均匀保 与基本保 的比 ．

11．（ 2015 湖南）某商 行有 促 活 ， 客 必定金 商品后即可抽 ，每次抽

都从装有 4 个 球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个 球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出

1 个球， 在摸出的 2 个球中， 若都是 球， 一等 ； 若只有 1 个 球， 二等 ；

若没有 球， 不 ．

（ 1）求 客抽 1 次能 的概率；

（ 2）若某 客有 3 次抽 时机， 客在 3 次抽 中 一等 的次数 X ，求 X 的

散布列和数学希望．

12．（ 2015 湖北）某厂用 牛奶在某台 上生 A, B 两种奶制品． 生 1 吨 A 品需 牛

奶 2 吨，使用 1 小 ， 利 1000 元；生 1 吨 B 品需 牛奶 1.5 吨，使用

1.5 小 ， 利 1200 元．要求每日 B 品的 量不超 A 品 量的 2 倍， 每日 (完整)高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布

生产 A, B 两种产品时间之和不超出 12 小时 . 假定每日可获取的鲜牛奶数目 W（单位：

吨）是一个随机变量，其散布列为

W 12 15 18

P 0.3 0.5 0.2

该厂每日依据获取的鲜牛奶数目安排生产， 使其赢利最大， 所以每日的最大赢利 Z（单

位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求 Z 的散布列和均值；

（Ⅱ） 若每日可获取的鲜牛奶数目相互独立， 求 3 天中起码有 1 天的最大赢利超出 10000

元的概率．

13．（ 2015 新课标Ⅱ） 某企业为认识用户对其产品的满意度， 从 A ， B 两地域分别随机检查

了 20 个用户，获取用户对产品的满意度评分以下：

A 地域： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地域： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）依据两组数据达成两地域用户满意度评分的茎叶图， 并经过茎叶图比较两地域满

意度评分的均匀值及分别程度（不要求计算出详细值，得出结论即可） ；

（Ⅱ）依据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分

满意度等级 不满意 满意 特别满意

记事件 C：“ A 地域用户的满意度等级高于 B 地域用户的满意度等级” ，假定两地域

用户的评论结果相互独立， 依据所给数据， 以事件发生的频次作为相应事件发生的概率，求 C 的概率．

14．（2014 山东）甲、乙两支排球队进行竞赛，商定先胜 3 局者获取竞赛的成功，竞赛随即