初等数论期末练习

初等数论试卷 (B)一，选择题 （满分 15 分，每题3 分）1，下列不正确的是（）A 设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 ab(mod m) ，则 b a(mod m) 。

B 设 m ∈ N ， a , b , c ∈ Z , 若 a b c(mod m) , 则 ac b(mod m) .C设 m ∈ N， a 1 ,b 1 , a 2 ,b 2∈ Z ， , 若 a 1 b 1 (mod m) ， a 2 b 2 (mod m) ， 则a 1 a 2b 1b 2 ( m o md) 。

D设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 a 2b 2 (mod m)，则 ab(mod m) 。

2，下列哪一个为模 12 互质的剩余类（）A[2] ，B [5] ，C [6]， D [3] 。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A3， B7， C1， D 19 。

2060 51004，同余方程 x 2 2 0(mod 5) 的解为（）Ax 0(mod 5) ， B x 4(mod 5) ， Cx 2(mod 5) ， D 此方程无解。

5，下列哪一个同余方程组无解（）x9(mod 25)x4(mod 9)A， Bx 7(mod 10) x 1(mod 6)x17(mod 25)x 19(mod14)C， D。

x 2(mod 45) x 26(mod 7)二，填空题（满分 10 分，每题 2 分）1，当 m =时， 3211(mod m) 和 17 11(mod m) 同时成立。

2，设 m ∈ N ，则为模 m 的非负最小完全剩余系。

3， (16)。

4，写出模 8 的一个简化剩余系：。

5，余式 x a(mod 5) 等价于等式：。

三，判断题（满分 10分，每题 2 分 ）1，( m)为欧拉函数，则1(m)m 1 。

（）2，设m ∈N，a∈Z ，（a,m =1，若整数集合a1 , a2 ,......,a( m)为模m的一个简化）剩余系，则aa1 , aa2 ,......,aa(m )也为模 m 的一个简化剩余系。

初等数论试卷(B)一，选择题（满分15分，每题3分）1，下列不正确的是（ ）A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。

B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(mo d 2121m b b a a ≡。

D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。

2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ）A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A 203，B 607，C 51，D 10019。

4，同余方程)5(m od 022≡+x 的解为（ ）A )5(mod 0≡x ，B )5(mod 4≡x ，C )5(mod 2≡x ，D 此方程无解。

5，下列哪一个同余方程组无解（ ）A ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，B ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)6(mod 1)9(mod 4x xC ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，D ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。

二，填空题（满分10分，每题2分）1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。

2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。

3，=)16(ϕ 。

4，写出模8的一个简化剩余系： 。

5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。

三，判断题（满分10分，每题2分 ）1，)(m ϕ为欧拉函数，则1)(1-≤≤m m ϕ。

（ ）2， 设m ∈+N ，a ∈Z ，（a,m ）=1，若整数集合{})(21,......,,m a a a ϕ为模m 的一个简化剩余系，则{})(21,......,,m aa aa aa ϕ也为模m 的一个简化剩余系。

初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。

解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。

根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。

解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。

根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。

证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。

我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。

对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。

所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。

而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。

期末考试卷(A)一、填空题（每空3分，共45分）1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。

2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。

3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数是 ，所有正约数的和是 。

4. 。

5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。

6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。

7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。

8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21nn =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。

9. 设今天是星期一，则102天后是星期 。

二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。

（7分）三、（16分）1、求4063的个位数。

2、 求1001006！约分后的分母。

四．解方程（16分）。

＝0 ；2. 525x ＋231y=42。

五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。

2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。

中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧数学专业初等数论试题2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．如果b，d，e，b，则( )．A．a＝b B．a＝-bC．a≥b D．a＝±b2．如果2|n, 15|n，则30( )n．A. 整除B．不整除c. 等于D．不一定3．大于10且小于30的素数有( )．A．4个B．5个C 6个D．7个4．模5的最小非负完全剩余系是( )．A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，45．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解．A．(a，b)|c B．c|(a，b)C．a|c D．(a，b)|a6．整数637693能被( )整除．A．3 B．5C．7 D．9二、填空题(每题4分，共24分)1．x=[x]+ ·2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数．3．在176与545之间有是17的倍数．4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= ·5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的·S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ．三、计算题(共32分)1．求(336，221，391)＝?2．求解不定方程4x+12y=8．3．解同余式12x+4≡0(mod 7)．4．解同余式x2≡2(mod 23)四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分)1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2．2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．试卷代号：1077中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．B 2．D 3．B4．A 5．D 6．A二、填空题(每题4分，共24分)1．{x}2．33．124．ab5．因数6．1三、计算题(每题8分，共32分)1．求(336，221，391)＝?解：(336，221，391)＝(336，(22l，391))…………………………—…………………(4分)＝(336，17)＝l ，．，．．，，，．，．．．．．，．．．·(4分)2．求解不定方程4x+12y＝8．解：因为(4，12)＝4 | 8，所以有解……………………………………………………(2分)化简x+3y＝2，则有x＝-1,y＝l ……………………………………………(4分)通解为x＝-1十3t,y＝1一t ……………………………………………………(2分)3．解同余式12x十4≡O(mod7)．解：因为(12，7)＝1|4，所以有解，而且解的个数为1 …………………………(2分)变形12x一7y＝一4………………………………………………………………(2分)简单计算x≡2(mod7)．…………………………………………………………(4分)4．解同余式x2≡2(mod23)解：因为，所以有解，而且解的个数为2……………………(4分)解分别为x≡5，18(mod23)………………………………………………………(4分)四、证明题(第14、题lo分，第2小题lo分，共20分)1．如果(a，b)＝1，则(a+b，a-b)＝1或2．证明设(a十b，a一b)=d，则d|(a十b)，d|(a一b)…………………………………(3分)所以d|(a十b)十(a一b)，d|2a．同理d|2b…………………………………………(4分)再(a，b)＝1，所以d|2．即d＝1或2……………………………………—………(3分)2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．(10分)证明设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2)…………………………………………(2分)所以2n(2n十2)＝4n(n十1) …………………………………………………………<3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数………………………………………………(2分)即4n(n+1)是8的倍数．…………………………………………—……………(3分)初等数论一、判断题1、任意给出5个整数必有三个数之和能被整数3整除。

初等数论期末考试模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，共25分）1. 若两个正整数a和b的最大公约数为1，则称a和b互质。

若a和b互质，则a+b与a-b也互质。

（）2. 设m和n是正整数，且m、n互质。

若存在正整数k，使得km+1与kn+1互质，则k的最小值为（）。

答案：13. 已知p和q是不同的质数，且p+q=17，则p^2+q^2的最小值为（）。

答案：974. 设F(n)表示斐波那契数列的第n项，且F(n+1)=F(n)+F(n-1)，F(1)=1，F(2)=1。

若F(n)能被3整除，则n的最小值为（）。

答案：85. 已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，则称a、b、c 为勾股数。

勾股数中，a、b、c都是奇数的三元组称为奇素勾股数。

已知最小的奇素勾股数是(3,4,5)，则第二小的奇素勾股数是（）。

答案：(15,8,17)二、选择题（每题5分，共25分）6. 以下关于最大公约数和最小公倍数的说法，错误的是（）。

A. 两个正整数的最大公约数是它们的公共因子中最大的一个B. 两个正整数的最大公约数等于它们的乘积除以最小公倍数C. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积D. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数一定互质答案：D7. 设p是质数，且p>2，则以下说法正确的是（）。

A. p的平方能被3整除B. p的立方能被3整除C. p的平方加1能被3整除D. p的平方减1能被3整除答案：D8. 以下关于斐波那契数列的说法，错误的是（）。

A. 斐波那契数列中的任意两个相邻项互质B. 斐波那契数列中的任意两个非相邻项互质C. 斐波那契数列中的任意三个连续项构成勾股数D. 斐波那契数列中的任意两个相邻项之比越来越接近黄金比例答案：C9. 设a、b、c是勾股数，且a是最小的质数。

以下说法正确的是（）。

A. b和c一定互质B. b和c一定不互质C. b和c中至少有一个是质数D. b和c中至少有一个不是质数答案：D10. 以下关于同余的说法，错误的是（）。

初等数论练习题一、单项选择题2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9 8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15]二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ). 11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、B 8、A 9、A 11、B 二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数? 解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

初等数论期末考试一、选择题（共20题，每题2分）1.质数是指只能被1和本身整除的自然数。

下列数中，属于质数的是（）A. 1B. 2C. 4D. 92.下列数中，能被2整除的是（）A. 15B. 21C. 34D. 493.下列数中，属于互质数对的是（）A. 6和9B. 12和15C. 16和24D. 18和254.在100以内，能被2和3整除的数是（）A. 12B. 24C. 36D. 48…二、填空题（共10题，每题4分）1.两个数的最大公约数为5，最小公倍数为30，则这两个数为____和____。

2.两个数的最大公约数为18，较大的数为54，则较小的数为_____。

3.一个数除以9余7，除以13余11，这个数最小是_____。

4.两个数的最大公约数等于45，较小的数是135，则较大的数为_____。

…三、计算题1.用辗转相除法求出以下两个数的最大公约数和最小公倍数：（）A. 72和96B. 80和120C. 112和140D. 135和180解答：设a和b为两个数，不妨设a > b，则执行以下步骤：1.计算a除以b的余数，记作r1。

2.将b除以r1的余数，记作r2。

3.若r2不等于0，则将r1除以r2的余数，记作r3。

4.依此类推，直到rk等于0为止，此时rk-1即为最大公约数。

5.最小公倍数可以通过a和b的乘积除以最大公约数得到。

经过计算，得到以下结果：–72和96的最大公约数为24，最小公倍数为288。

–80和120的最大公约数为40，最小公倍数为240。

–112和140的最大公约数为28，最小公倍数为560。

–135和180的最大公约数为45，最小公倍数为540。

所以答案为：A. 72和96，B. 80和120，C. 112和140，D. 135和180。

…四、证明题1.证明素数有无穷多个。

证明：假设素数只有有限个，记作p1, p2, p3, …, pn。

令P = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1，则P必定是一个大于1的整数。

一、填空1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。

2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。

3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-=4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{5. 写出标准分解式(1)!20= .(2)30!=(3)32!= .6. !20中质因数2的指数是 。

在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。

7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。

8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。

9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是：(1) (自反性) ；(2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；(3) （传递性） 。

10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： .11. 欧拉函数2(7)ϕ= ， =)10(ϕ ，=)37(ϕ ，=)120(ϕ 。

12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。

13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ，[125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= .14. 写出82798848的标准分解式 。

15. 写出51480的标准分解式 。

二、判断1.若)(mod m b a ≡，d 是m b a ,,的任一公因数，则)(mod d md b d a =。

（） 2.模m 的一个简化剩余系中数的个数为1)(-m ϕ。

（ ）3.若)(m od 22m b a ≡成立，则)(mod m b a ≡。

（ ）4.若)2(mod b a ≡，则)2(mod 222b a ≡。