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第八讲 真空中的稳恒磁场运动的电荷在空间不但激发电场，还激发磁场。
从运动电荷在磁场中受力的角度出发，引入磁感应强度来描述稳恒磁场的性质。
从场的观点建立磁场的高斯定理和环路定理，进一步认识和理解稳恒磁场的性质。
01 电流的磁效应运动的电荷之间除了有电场力外，还有一种相互作用力 —— 磁力。
20世纪初，随着近代物理的建立和发展，认识到磁场也是物质存在的一种形式。
磁力是运动电荷之间的一种作用力，磁场现象起源于电荷的运动，磁场和电场之间有着内在的联系。
1 两个电流元的作用1820年4月丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应，1820年9月到12月，法国物理学家安培对电流的磁效应做了进一步的研究，提出电流元的概念，总结出两个电流元之间相互作用的磁力公式。
如图XCH003_134和XCH003_134_01所示两个电流元： 电流元1：11I dl 和电流元2：22I dl电流元1对电流元2的作用力：11121222ˆ()I dl r dF I dl k r ⨯=⨯ —— 方向垂直于22I dl电流元2对电流元1的作用力：22212112ˆ()I dl rdF I dl k r ⨯=⨯—— 方向垂直于11I dl两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律 —— 不存在孤立的电流元 电流在磁场中受到的磁力 —— 安培力2 两个运动点电荷间的作用荷兰物理学家洛仑兹总结出两个运动点电荷相互作用的磁力公式，如图XCH003_139所示。
运动点电荷1：11qv运动点电荷2：22qv运动点电荷1对运动点电荷2的作用力：11121222ˆ()q r F q k r⨯=⨯ v v —— 方向垂直于22q v 运动点电荷2对运动点电荷1的作用力：22212112ˆ()q r F q k r⨯=⨯ v v —— 方向垂直于11qv 两个运动点电荷之间的相互作用力不服从牛顿第三定律：1221F F ≠02 磁感应强度运动的电荷 —— 在空间激发电场，同时激发磁场 磁力通过磁场传递的：moving charge Megnetic field moving charge从运动电荷受到磁力的角度引入描述磁场性质的物理量 —— 磁感应强度B在惯性系Oxyz 中运动的电荷q 在空间同时激发电场和磁场。
7 真空中的稳恒磁场一、基本概念及规律1、 磁感应强度B B 是描述磁场性质的物理量。
它可由运动电荷在磁场中某点所受到的磁力来定义，B 的大小定义为qvf B max = 式中，q 为正电荷的电量，v 为正电荷的运动速度，max f 为该电荷在该点所受到的最大磁力。
B 的方向为v f ⨯max 的方向。
在国际单位制中，B 的单位为特斯拉，简称为特。
2、毕奥- 萨伐尔- 拉普拉斯定律 电流元l Id 在空间某点激发的磁感应强度B d 2004r r l Id B d ⨯=πμ （0μ为真空磁导率） r 表示从电流元到该点的距离，0r 表示从电流元到该点的单位矢量。
3、安培环路定律在真空中的磁场中，沿任何闭合曲线的磁感应强度的环流，等于这闭合曲线所围绕的电流代数和的0μ倍。
即 ∑⎰=⋅I l d B 0μ4、磁力线、磁通量、磁场中的高斯定律为形象描绘磁场，在磁场中画一些曲线，使曲线上任意一点的切线方向和该点的磁感应强度的方向一致，这些曲线就叫磁力线或B 线，而通过一给定曲面的总磁力线数，称为通过该曲面的磁通量，用m Φ表示，则 ⎰⎰=⋅=ΦSS m dS B S d B θcos 由于磁力线都是闭合曲线，通过一个闭合曲面的磁通量必为零，数学表达式为 0=⋅⎰SS d B 这就是磁场的高斯定律，它反映了磁场是无源场、涡旋场。
5、运动电荷的磁场由毕-萨- 拉定律可导出运动电荷所产生的磁感应强度为 2004r r v q B ⨯= πμ B 的方向由0r v ⨯的方向与q 的正负决定。
磁铁与电流的周围存在磁场，但从本质上看，也都是由于运动的电荷所产生，所以可以说一切磁现象起源于电荷运动。
6、典型载流导线所产生的磁感应强度无限长载流直导线 rI B πμ20= 圆开电流轴线上一点 2/32220)(2R x IR B +=μ 圆心处（上式0=x ） R I B 20μ=载流长直螺线管 nI B B nI B 00210μμ=≈=端外内 载流细螺绕环 00≈=外内B nIB μ 7、安培定律 电流元l Id 在外磁场中受安培力F d 为 B l Id F d ⨯= 8、载流线圈在磁场中受力矩M 为 B m M ⨯= 式中，m 为线圈磁矩，其数值为IS m =，S 为线圈所围面积，如线圈为N 匝时，NIS m =。
[目的要求]1． 理解电流密度矢量、稳恒电流和稳恒电场的概念； 2． 理解非静电性力和非静电性场的概念，掌握电动势的定义； 3． 理解欧姆定律的微分形式，会作简单计算； 4． 理解磁感应强度的概念。
[教学过程][一] 总结上学期考试情况，本学期教学内容概述及学习要求 [二] 新课第九章 稳恒磁场§9-1 稳恒电流的基本概念一． 电流强度和电流密度 1． 电流强度：方向：正电荷运动的方向（规定）； 大小：tq I ∆∆=, dt dqt q lim I t =∆∆=→∆0单位：安培（A ）, 量纲：I（I 是标量，它只能描述通过导体中某一截面电流的整体特征。
而实际中有时会遇到电流在大块导体中流动的情形，这时导体的不同部分电流的大小和方向都不一样，形成一定的电流分布。
因此，必须引入能够细致描述电流分布的物理量）2． 电流密度矢量δ——描述电流分布的矢量点函数 大小：通过与该点场强方向垂直的单位面积的电流强度即： ⊥=dS dIδ方向：该点场强的方向，或该点正电荷运动的方向； 单位：2-Am 量纲：2-IL3． 已知δ求I ： S d dS dI ⋅==δθδcos⎰⎰⋅=⋅=ssdS S d I θδδcos复习：§9-1，§9-2 预习：§9-3，§9-4 作业：练习一二． 稳恒电流和稳恒电场1． 稳恒电流：通过导体中任一截面的电流强度的大小和方向都不随时间变化的电流。
I 不随时间改变→δ不随时间改变→q 的分布不随时间改变→单位时间内进出闭合面的净电荷为零。
即0=⋅⎰⎰sS dδ──电流的稳恒条件，由此可导出基尔霍夫定律（节点电流定律） 2． 稳恒电场：不随时间改变的电场。
（稳恒电流产生稳恒电场）由于产生稳恒电场的电荷的分布不随时间改变，静电场的基本规律（高斯定理、环流定理）对稳恒电场都适用。
即10⎰∑⎰⎰=⋅=⋅l d E qS d E e eε稳恒电场与静电场的区别：稳恒电场：导体内部的 0,0≠≠Eδ静电场： 导体内部的 0=δ, 0=E3．欧姆定律的微分形式RdUR dU U U dI -=--=)( dSdldSdlR γρ==dS E dldUdS dI ⋅=⋅-=γγ−−−→−=⇒=同向E E E dSdI,δγδγ上式即为欧姆定律的微分形式，是电磁学中重要的辅助方程之一，且普适。
三． 电源和电动势——稳恒电流的产生要得到稳恒电流，就必须有非静电力存在。
非静电力：能使正电荷逆着电场方向运动或能使负电荷顺着电场方向运动的力。
1．电源：能提供非静电力的装置。
能不断地把其它形式的能转变为电能的一种装置。
如：电池、发电机等。
2．电动势ε：定量地描述电源转换能量本领大小的物理量。
定义：① 单位正电荷从负极移到正极，非静电力所作的功。
qA k=ε ② 电源将单位正电荷从负极经电源内部移到正极，非静电力所作的功。
③ 将单位正电荷绕闭合回路一周，非静电力所作的功。
电动势是标量，单位、量纲与电势一样，为方便，规定：自负极经过电源内部到正极的方向为电动势的方向。
学完十二章电磁感应后，我们将对电动势有更加深刻的认识例1． 已知电子电量为e ，电子的“漂移”速度的平均值为v ，单位体积内自由电子数为n ，求金属导体中的传导电流密度。
解： S v ne tSt v ne t q I ∆∆∆⋅∆⋅=∆∆=∆＝ v ne SI =∆∆=δ例2．有一长为L 的圆柱形电容器，内、外极板的半径分别为R 1和R 2，两极间充满电阻率为ρ的非理想介质，当两极板间加上电压V 后，会产生漏电现象。
① 计算电介质的漏电电阻；② 求电介质内各点处的场强E 和漏电电流密度δ 解 ① 12ln 2221R R l rl dr dR R R R πρπρ=⋅==⎰⎰ ② 1221ln 2R R lV R V R UU I ρπ==-=2R S∆r R R V rl I S I 1ln 212⋅===ρπδ, rR R V E 1ln 12⋅==ρδ， 沿r 方向§9-2 磁场 磁感应强度一． 磁场 1． 磁极：同名相斥，异名相吸。
（根源亦是电流） 2．奥斯特的发现——磁场① 对其中的磁体、载流导线、运动电荷有磁力作用；② 当载流导线在其中运动或载流线圈在磁场中转动时，磁场力要作功（磁场有能量）。
二． 磁感应强度 （B）定义方法：类比于q fE =1．试验线圈（载流平面小线圈，如右图）要求：① I 0较小——不影响被测磁场的性质；② 线度小——线圈范围内的磁场性质可认为处处相同。
磁矩：n S I P m⋅∆⋅=0 法线方向与电流遵从右手螺旋定则。
2．B的定义：（大小、方向、单位、量纲） 将试验线圈置于磁场中某点处，线圈受到磁力矩M的作用。
① B 的方向：M=0（线圈平衡）时，m P 的方向；② B 的大小：实验发现，m P M ∝max 即：mP Mm ax 可以反映磁场的性质，则定义：mP M k B max1⋅= 在SI 制中，11=kmP M B max=③ 单位：112--⋅⋅=⋅⋅m A N m A m N = 特斯拉（T ），1T = 104G （高斯）S∆nI量纲：21--⋅⋅T I M［小结］…[目的要求]1. 理解磁场的高斯定理,明确磁场是无源场；2. 掌握毕奥－沙伐尔定律，会用其计算磁感应强度。
［复习］1.δ，S d I⋅=⎰δ2. 0=⋅⎰S dδ3. Eγδ= 4. B P m ,［新课］§9-3 磁场的高斯定理一． 磁感应线：1．定义：描述磁场分布的假想曲线。
2．特点：环绕电流的，无头无尾的闭合曲线，磁场是涡旋场。
3．B 的大小 ：dSd B mΦ=————磁感应线密度BI复习：§9-3，§9-4 预习：§9-5 作业：练习二：1，2，4 练习三：2二． 磁通量Фm ：1． 定义：磁感应通量，可以理解为通过磁场中任一给定曲面的磁感应线总数；2． 计算：⎰⎰⋅=Φ⋅==ΦS m m Sd B Sd B dS B dθcos 3．单位：韦伯（Wb ）三． 磁场的高斯定理0=⋅=Φ⎰⎰Sm S d B即：穿过任一闭合曲面的磁通量必然为零！ 物理意义：说明磁场是无源场。
微分形式：0=⋅∇B（数学中的高斯公式：0=⋅⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰VSdV )B (S d B ） （静电场：ρ=⋅∇D）§9-4 毕奥-萨伐尔(-拉普拉斯)定律毕—沙(—拉)定律相当于静电场中的库能定律，是计算B的基本定律。
一． 比—沙定律1．电流源：l IdI ──导线中的电流强度l d──载流导线上沿电流方向所取的线元。
2． B d的方向：垂直于l Id 与r 组成的平面，即r l Id ⨯的方向 3．B d的大小： 222sin ,sin rIdl k dB r Idl dB αα=∝, 170702104,104---⋅⋅⨯===A m T k πμπμ IlId rPBd则：20sin 4rIdl dB απμ⋅=⎰⨯⋅=−−−−→−⨯⋅=L r r l Id B r r l Id B d 303044πμπμ磁场叠加原理 ──计算任意电流的磁场的基础。
矢量积分，运算时，可对B d的各分量积分。
二． 运动电荷的磁场303030444r r v nSqdl r r l nSqvd r r l Id B d vdl l vd nSvq I⨯⋅=−−−→−⨯⋅=−−−→−⨯⋅===πμπμπμ 304rr v q dN B d B nSdl dN q ⨯⋅=−−−→−==πμ由此可见，q B 的大小为：()20,sin 4rr v v q B q⋅=πμ q B 的方向：当q>0时，q B 与r v ⨯同向；当q<0时，q B 与r v⨯反向。
如：一电子绕半径为R 的圆作匀速圆周运动，则0B：大小：2004RevB πμ⋅=， 方向：垂直纸面向里。
三． 比—沙—拉定律的应用 1． 载流直导线的磁场⎰⋅=⋅=2020sin 4,r sin 4r Idl B Idl dB απμαπμ方向：垂直纸面向里。
式中，r dl ,,α都是变量，须统一：如图，,,cos sin ββαatg l ==ββββd a dl a ar ⋅⋅=⋅==2sec ,sec cos ()1202220sin sin 4sec cos sec 421ββπμββββπμββ-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎰a Id a a I B 21,ββ的正负易错！其确定方法如下： ① 过P 点作I 或I 延长线的垂线；②21,ββ分别为垂线与载流导线始、末端（看电流方向）与P 点连线所夹的角； ③21,ββ从垂线开始旋转，顺电流方向为“+”，逆电流方向为“-”。
如右图： 讨论：① 对于无限长直导线，有,2,221πβπβ→-→ 则a I B πμ20=② 对于载流直导线或其延长线上一点，0=B ③ 对于半长直导线，有a I a I B πμπμ422100=⋅=2．圆电流轴线上的磁场取电流元304,rrl Id B d l Id⨯=πμ 由对称性知：0==⎰y y dB B3203030202244sin 4r IR R r IR r R Idl r Idl dB B x μππμπμαπμ=⋅=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰ 即： ()23222032022R x IR rIR B +==μμ讨论：① 负x 处，B=？——与P 处同! ②圆心处，B 0=？——RI20μ ③半个圆周，B 0=？——R I 40μ ④1/3圆周，B 0=？——RI60μ021＞＜ββ021＜＜ββ⑤圆弧θ，B 0=？——RI220μπθ ，即按弧度均分！3． 载流直螺线管轴线上的磁场均匀密绕螺线管，长度为L ，半径为R ，单位长度上绕n 匝，电流强度为I解：均匀密绕螺线管，每匝可看成一个圆形电流，各圆形电流在P 点的B 都沿X 方向ββββββμd nIR nIdl dI d R dl Rctg l R r dI r R dB 22320csc ,csc ,csc ,2-==-===⋅=()1200cos cos 2sin 221ββμββμββ-=⋅-==⎰⎰nId nI dB B讨论：① 无限长，()nI B R l 021,0,,μβπβ===② 长直螺线管端口中心处：nI B 02121,0,2μβπβ=== ③ 螺绕环：nI B 0μ=说明：以上1、2、3要求掌握，特别是一些特殊的情况。
（板书时，保留结论） 例1．无限长载流板的磁场如图，已知I ，a ，b ，求：p B解：axIdx x dxa I xdIdB πμπμπμ22200===bb a a I ax Idx B b a bp +⋅==⎰+ln 2200πμπμ 方向：垂直纸面向里。
